《复变函数》第二章习题全解钟玉泉版

第二章 解析函数

（一）

1.证明:0>∃δ,使{}0001/),(t t t t δδ+-∈∀,有)()(01t z t z ≠,即C 在)(0t z 的对应去心邻域内无重点,即能够联结割线)()(10t z t z ,是否就存在数列{}01t t n →,使

)()(01t z t z n =,于是有

0)

()(lim )(0

10100

1=--='→t t t z t z t z n n t t n

此与假设矛盾.

01001),(t t t t t >⇒+∈δ 因为 [])()(arg )

()(arg

010

101t z t z t t t z t z -=--

所以 []])

()(lim arg[)()(arg

lim )()(arg lim 0

101010101010

10

1t t t z t z t t t z t z t z t z t t t t t t --=--=-→→→

因此,割线确实有其极限位置,即曲线C 在点)(0t z 的切线存在,其倾角为

)(arg 0t z '.

2.证明:因)(),(z g z f 在0z 点解析,则)(),(00z g z f ''均存在.

所以 )()()()()

()(lim )()()()(lim )()

(lim 0

00

00000000z g z f z z z g z g z z z f z f z g z g z f z f z g z f z z z z z z ''=

----=--=→→→ 3.证明:()()()

()()3322

,0,0,,0,00x y x y u x y x y x y ≠⎧-⎪

=+⎨⎪=⎩

()()()

()()

3322

,0,0,,0,00x y x y v x y x y x y ≠⎧+⎪

=+⎨⎪=⎩

于是()()()00,00,00,0lim

lim 1x x x u x u x

u x

x →→-===,从而在原点()f z 满足C R -条件,

但在原点，()()()()()'0,00,0x x u iv u iv f f z z z

+-+-=

()()()

()()()33

3311i x y i z

x y z ⎡⎤+--+⎣⎦=

⎡⎤+⎣⎦

当z 沿0y x =→时,有()()

()

'2

12f f z i z x --+= 故()f z 在原点不可微.

4.证明:(1)当0≠z 时,即y x ,至少有一个不等于0时,或有y x u u ≠,,或有y x u u ≠-,故z 至多在原点可微.

(2)在C 上处处不满足C R -条件. (3)在C 上处处不满足C R -条件. (4)

221y

x yi

x z z z z ++==,除原点外, 在C 上处处不满足C R -条件. 5.解:(1) y x y x v xy y x u 22),(,),(==,此时仅当0==y x 时有 xy v xy u x v y u x y y x 22,22-=-===== 且这四个偏导数在原点连续,故)(z f 只在原点可微. (2) 22),(,),(y y x v x y x u ==,此时仅当y x =这条直线上时有 00,22=-=====x y y x v u y v x u

且在y x =这四个偏导数连续,故)(z f 只在y x =可微但不解析. (3) 333),(,2),(y y x v x y x u ==,且

00,9622=-=====x y y x v u y v x u 故只在曲线

02

12

3

12

=-

x y 上可微但不解析.

(4) 32233),(,3),(y y x y x v xy x y x u -=-=在全平面上有

xy v xy u y x v y x u x y y x 66,33332222-=-=-=-==-= 且在全平面上这四个偏导数连续,故可微且解析. 6.证明:(1)y y x x iu v iv u z f D yi x z -=+='=∈+=∀)(0,

(2)设().f z u iv =+则()f z u iv =-，由()f z 与()f z 均在D 内解析知

,,x y y x u v u v ==-,,x y y x u v u v =-=

结合此两式得0x y x y u u v v ====，故,u v 均为常数,故)(z f 亦为常数. (3)若0)(=≡C z f ,则显然0)(≡z f ,若0)(≠≡C z f ,则此时有0)(≠z f ,且

2

)()(C z f z f ≡,即)

()(2

z f C z f ≡也时解析函数,由(2)知)(z f 为常数.

(4)设().f z u iv =+,若C y x u ≡),(,则0,0≡≡y x u u ,由C R -条件得 0,0≡=≡-=x y y x u v u v 因此v u ,为常数, 则)(z f 亦为常数.

7.证明：设,f u iv g i f p iQ =+==+则,,f u iv g v iu =-=-由 ()f z 在D 内解析

知,x y y x u v u v ==-

从而 ,x x y v y y x p v u Q p v u Qx ==-====- 因而()g z 亦D 内解析.

8.解:(1)由32233),(,3),(y y x y x v xy x y x u -=-=,则有 222233,6,6,33y x v xy v xy u y x u y x y x -==-=-=

故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且 22236)33()(z xyi y x i v u z f x x =+-=+='

(2) ()()()(),cos sin ,cos sin x x u x y e x y y y v x y e y y x y =-⋅=- ()cos sin cos x x y u e x y y y y v =-+= ()sin sin cos x y x u e x y y y y v =--+=-