7 点群与晶系分析
七大晶系详细图解之欧阳科创编
七大晶系详细图解已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体自然也是有的。
它们都是按七种结晶方式模式发育的，即七大晶系。
晶体即是一种以三维方向发育的的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四跟人为添加的轴来表示晶体的长宽高以及中心。
三条轴分别用X、Y、Z （U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表示，而为了更好表示轴之间的度数，我们用α、β、γ来表示轴角。
就这样出现了七种不同的晶系模式：立方晶系（也称等轴晶系）、四方晶系、三方晶系、六方晶系、正交晶系（也称斜方晶系）、单斜晶系、三斜晶系。
其中又按照对称程度又分为高级晶族、中级晶族、低级晶族。
高级晶族中只有一个立方晶系；中级晶族有六方、四方、三方三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的，即X=Y=Z，且互相垂直，即α=β=γ=90°，对称性最强。
具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系。
属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞。
这个晶系的晶体并不是只有狭义的正方体一种形状，四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系。
它们从不同角度看高低宽窄都差不太多，相对晶面和相邻晶面都相似，横截面和竖截面一样。
最典型立方晶系的晶体为：氯化钠。
常见立方晶系晶体模型图：晶体实物图：二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（X轴、Y轴）长度一样，Z 轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
横截面为正方形，四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都是一样的，但和顶端不对称。
所有主晶面交角都是90。
特征对称元素为四重轴。
如果Z 轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（X轴、Y 轴）发育大于Z轴，那么晶体就会呈现四方板状，最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了。
固体物理第二章第二节 对称性和布拉维格子的分类
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB A a B 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则 该操作将使B 格点转到 B位臵,则由于转动对称 操作不改变格子,在 B 处必定原来就有一个格点。 因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
A B H E
D
D
C G
F
C
正四面体既无四 度轴也无对称心
参考方俊鑫书 P37-39
A
G
B F E H
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 独立的对称操作有8种, 即1，2，3，4，6，i， m， 4 。 或C1，C2，C3， C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
3
4
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维 点阵
nm
n2 n2
nm
高二物理竞赛晶体的对称性,晶系,点群,空间群课件
P：简单Bravais格子； C：底心Bravais格子；
I：体心Bravais格子；
F：面心Bravais格子
13
Bravais格子和晶系
晶胞与轴矢坐标系
晶胞：既能反映晶体的对称性 特征又能反映晶格周期性（平 移对称性）的重复单元。 轴矢： a1、 a2、 a3或a、 b、 c 晶胞参量：a、 b、 c、、、
14
晶系 对称性特征 三斜 只有C1或Ci 单斜 唯一C2或CS 正交 三个C2或CS 三方 唯一C3或S6 四方 唯一C4或S4 六方 唯一C6或S3 立方 四个C3
晶胞参数
ab c ab c ==90º ab c = ＝= 90º
a=b=c = ＝ 90º
a=b c = ＝= 90º
P、C P、C、I、
F R
P、I
H
P、I、F 15
任何一种晶体，对应的晶格都是14种 点阵中的一种，指出晶体所属的点阵类型 不但表征了晶格的周期性，而且能从它所 属的晶系了解到该晶体宏观对称所具有的 基本对称性，因此点阵类型概括了晶体的 对称性，阐明晶体结构只要绘出它的带有 基元内容的点阵惯用原胞（晶胞）即可。
晶体的对称性，晶系，点群，空间群
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
1
晶体的宏观对称性
点对称操作
若一个空间图形经过一空间操作（线性变换）， 其性质复原，则称此空间操作为对称操作。由于对称 操作前后图形中任意两点间的距离保持不变，故此线 性变换为正交变换。
• 六方晶系 Hexagonal 最高对称具有唯一的6次轴或6次反轴
大晶系详细图解
七大晶系详细图解已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体自然也是有的。
它们都是按七种结晶方式模式发育的，即七大晶系。
晶体即是一种以三维方向发育的的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四跟人为添加的轴来表示晶体的长宽高以及中心。
三条轴分别用X、Y、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表示，而为了更好表示轴之间的度数，我们用α、β、γ来表示轴角。
就这样出现了七种不同的晶系模式：立方晶系（也称等轴晶系）、四方晶系、三方晶系、六方晶系、正交晶系（也称斜方晶系）、单斜晶系、三斜晶系。
其中又按照对称程度又分为高级晶族、中级晶族、低级晶族。
高级晶族中只有一个立方晶系；中级晶族有六方、四方、三方三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的，即X=Y=Z，且互相垂直，即α=β=γ=90°，对称性最强。
具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系。
属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞。
这个晶系的晶体并不是只有狭义的正方体一种形状，四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系。
它们从不同角度看高低宽窄都差不太多，相对晶面和相邻晶面都相似，横截面和竖截面一样。
最典型立方晶系的晶体为：氯化钠。
常见立方晶系晶体模型图：晶体实物图：二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（X轴、Y轴）长度一样，Z轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
横截面为正方形，四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都是一样的，但和顶端不对称。
所有主晶面交角都是90。
特征对称元素为四重轴。
如果Z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（X轴、Y轴）发育大于Z轴，那么晶体就会呈现四方板状，最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了。
【材料学堂】七大晶系详解（文字+多图）
【材料学堂】七⼤晶系详解（⽂字+多图）已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体⾃然也是有的。
它们都是按七种结晶⽅式模式发育的，即七⼤晶系。
晶体即是⼀种以三维⽅向发育的的⼏何体，为了表⽰三维空间，分别⽤三、四跟⼈为添加的轴来表⽰晶体的长宽⾼以及中⼼。
三条轴分别⽤S、Y、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表⽰，⽽为了更好表⽰轴之间的度数，我们⽤α、β、γ来表⽰轴⾓。
就这样出现了七种不同的晶系模式：⽴⽅晶系（也称等轴晶系）、四⽅晶系、三⽅晶系、六⽅晶系、正交晶系（也称斜⽅晶系）单斜晶系、三斜晶系。
其中⼜按照对称程度⼜分为⾼级晶族、中级晶族、低级晶族。
⾼级晶族中只有⼀个⽴⽅晶系；中级晶族有六⽅、四⽅、三⽅三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
点群（point group）：晶体形态中，全部对称要素的组合称为该晶体形态的对称型或点群，在10种对称素的基础上组成的对称操作群。
对称性是晶体的⼀个共性，结晶多⾯体中，全部对称要素的组合，称为该结晶多⾯体的点群（也称对成型）。
根据晶体的特征对称元素所进⾏分类。
晶体可分为7⼤晶系：三斜晶系、单斜晶系、正交（斜⽅）晶系、四⽅晶系、六⾓（六⽅）晶系、三⾓（三⽅）晶系、⽴⽅晶系；14种布喇菲格⼦：简单三斜、简单单斜、底⼼单斜、简单正交、底⼼正交、体⼼正交、⾯⼼正交、三⾓、简单四⽅、体⼼四⽅、六⾓、简单⽴⽅、体⼼⽴⽅、⾯⼼⽴⽅；32个晶类（点群）：C1、Ci、C2、Cs、C2h、D2、D2v、D2h、C3、C3i、D3、C3v、D3d、C4、C4h、D4、C4v、D4h、S4、D2d、C6、C6h、D6、C3v、D6h、C3h、D2h、T、Th、Td、O、Oh（这⾥⽤ Schoenflies 符号表⽰，还可以⽤国际符号表⽰。
32点群的动画图⽚1、⽴⽅晶系⽴⽅晶系是指具有4个⽴⽅体对⾓线⽅向三重轴特征对称元素的晶体。
英⽂名：cubic crystal system⼜称：等轴晶系⽴⽅晶系晶体对称性最⾼，其晶体理想外形必具有能内接于(内)球⾯的⼏何特点。
7大晶系对应的32种点群
7大晶系对应的32种点群
晶体学中共有7大晶系，它们分别是三方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱斜晶系、三斜晶系和立方晶系。
每一种晶系都对应着若干个点群，下面是这些点群的具体介绍：
1. 三方晶系：三方晶系共有4个点群，分别是32、31、34和33。
其中，32点群对应的晶体有最高的对称性，具有6重旋转轴和反演中心。
2. 四方晶系：四方晶系共有10个点群，分别是16、14、13、12、11、10、8、7、6和4。
其中，16点群对应的晶体具有最高的对称性，具有4重旋转轴和反演中心。
3. 正交晶系：正交晶系共有4个点群，分别是222、mm2、2mm 和mmm。
其中，222点群对应的晶体具有最高的对称性，具有3个互相垂直的2重旋转轴和反演中心。
4. 单斜晶系：单斜晶系共有2个点群，分别是2和m。
其中，2点群对应的晶体具有最高的对称性，具有2重旋转轴和反演中心。
5. 菱斜晶系：菱斜晶系共有2个点群，分别是222和mm2。
其中，222点群对应的晶体具有最高的对称性，具有3个互相垂直的2重旋转轴和反演中心。
6. 三斜晶系：三斜晶系只有1个点群，即1。
该点群对应的晶体具有最低的对称性，只有反演中心。
7. 立方晶系：立方晶系共有5个点群，分别是432、23、4、3和m3。
其中，432点群对应的晶体具有最高的对称性，具有4重旋转
轴和反演中心。
晶体与空间群概述
aP
m
单斜
abc
90
mP,mC
o 正交 a bc 90 oP,oC,oI,oF
t 四方 a bc 90 tP,tI
h
a b, 120
三方
90 a bc
hP hR
六方
a b, 120 90
hP
c 立方 a bc 90 cP,cI,cF
简单、体心、 侧心和面心。
晶体学点群符号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
不对称单元
在空间群的对称操作作用下，可以
产出晶胞中全部原子的最少数目的原子 或原子团，就叫不对称单元（asymmetric unit）或不对称单位，也叫晶体学独立单 元（crystallographic independent unit）。 在《国际表》A卷[2]中每个空间群都列 出晶胞中各种元素的情况。
c
2012-第一章第四讲
a2 a1
第一章 晶体结构
a1,a2,a3又称为正点阵的基矢，组成正点阵 晶胞的体积为：
V a1 (a2 a3 )
第一章 晶体结构
定义b1,b2,b3为新的基矢：
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V a1 a2 b3 2 V
V a1 (a2 a3 )
T Th Td O Oh
43m
432
4 2 3 m m
点群一览
三 单 正 正 菱 六 斜 斜 交 方 方 方 立 方
点群与物理性质
从晶体的点群对称性，可以判明晶体有无对映体、旋
光性、压电效应、热电效应、倍频效应等。
1.旋光性出现在15种不含对称中心的点群。
2.热电性出现在10种只含一个极性轴的点群。 3.压电性出现在20种不含对称中心的点群(432除外)。 4.倍频效应出现在18种不含对称中心的点群。
滑移面分类 • 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移; • 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方 向滑移，平移分量为对角线一半; • 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线 方向滑移，平移分量对角线1/4的对角滑移面。 只有在体心或面心点阵中出现，这时有关对 角线的中点也有一个阵点，平移分量仍然是 滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
第一章 晶体结构
a)轴线滑移面；b)对角线滑移面；c)菱形滑移面
镜面和滑移面
a， b， c是平行于单
胞边的滑移。
n是对角滑移，在两 个方向都滑移单胞长 度的一半。 d是类似n的对角滑移， 镜面或滑移面的符号。 (在左边： 沿
但这里在每个方向移 动单胞边长的1/4。
镜面的边缘看。 在右边是沿垂直于镜 面的方向观看。 箭头表示平移方向。
点群与晶系分析课件
空间群确定
根据晶体结构分析结果， 确定空间群，以便进一步 研究晶体结构和性质。
点群与空间群关系
理解点群与空间群之间的 关系，有助于理解晶体结 构和物理性质。
晶系分析方法
晶系分类
01
根据晶体对称性对晶系进行分类，包括立方、四方、六方等晶
系。
晶格常数
02
测量和计算晶体的晶格常数，有助于确定晶系和进一步研究晶
晶系的特点
每个晶系都有其独特的几何特征和对 称元素，这些特征决定了晶体在三维 空间中的结构和性质。
晶系的对称性
对称操作
晶体的对称性是指晶体在三维空 间中能够通过某些操作保持不变 的性质。这些操作包括旋转、平
移和反演等。
对称元素
晶体中存在的对称元素，如对称面 、旋转轴和反演中心等，决定了晶 体的对称性。通过对称元素可以将 晶体分类到不同的晶系。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
点群与晶系的实际应用
材料科学中的点群与晶系应用
晶体结构预测
利用点群和晶系分析，可以预测材料的晶体结构，从而影响其物理 和化学性质。
相变研究
通过分析点群和晶系，有助于研究材料在不同温度和压力下的相变 行为，为材料制备和应用提供指导。
生物学
在生物学中，点群和晶系分析可用于研究蛋白质的结构和功能，对 于药物设计和疾病治疗具有重要意义。
点群与晶系的发展趋势
高压和高温下的点群和晶系研究
随着实验技术的不断发展，人们开始探索高压和高温条件下晶体结构的对称性和稳定性。
点群和晶系的计算模拟
利用计算机模拟技术，可以更准确地预测和理解晶体结构和性质，有助于发现新的材料和 化合物。
晶体结构2
见黄昆书30页
三. 晶体宏观对称性的表述:点群: 晶体中只有 8 种独立的对称元素:
C1 (1),C2 (2),C3 (3),C4 (4),C6 (6),Ci (i),σ(m)和 S3 (4) σ 4
实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素 的各种可能组合之一,由对称元素组合成对称操作群 时,对称轴之间的夹角,对称轴的数目,都会受到严 格的限制,例如,若有两个2重轴,它们之间的夹角只 可能是 300 , 450 ,600 ,900 ,可以证明总共只能有 种不同 总共只能有32种不同 总共只能有 的组合方式, 种点群.形形色色的晶体就宏观 的组合方式,称为 32 种点群 对称性而言,总共只有这 32 种类型,每种晶体一定属 于这 32 种点群之一,这是对晶体按对称性特点进行的 第一步分类.
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
σ (m)
Ci (i)
S (6)
5 3
S (4)
3 4
S (3)
5 6
旋转-反演轴的对称操作:
1次反轴为对称中心;2次反轴为对称面; 3次反轴为3次轴加对称中心
旋转-反演轴的对称操作:
6次反轴为3次轴加对称面;4次反轴可以独立存在.
晶体中只有 2,3,4,6 次 旋转轴,没有 5次轴和大于 6 次以上的轴,可以直观的 从只有正方形,长方形,正 三角形,正六边形可以重复 布满平面,而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间 来直观理解.因此固体中不 可能存在 5 次轴曾是大家的 共识,然而1984年美国科学 家Shechtman在急冷的铝锰 合金中发现了晶体学中禁戒 的 20 面体具有的 5 次对称 性,这是对传统晶体观念的 一次冲击.
7 点群与晶系
2. 向上述 12 种轴式加对称面 P, 对称面只 能有如下两种加法: (1)垂直于主轴加对称面 , 这样加上去的 对称面称为水平的 , 用 PH 表示。根据对
称元素组合定理 :
PH ·L1
PH·L2
P〔m〕,
L2PC 〔2/m〕 ,
PH ·L3
PH ·L4
L3P = Li6 〔 6 〕 ,
欧拉定理是最基本的对称元素组合定 理 , 其它所有的对称元素组合定理均可由 欧拉定理派生出来。 欧拉定理不仅适合于对称轴 , 而且也 适合于旋转反伸轴(包括 Li1 = C,Li2 = P )。
定理二 :两个二次轴 (L2)相交 , 如交角 为 360o /2n , 则过该两二次轴交点并与其 所在平面垂直的直线恒为一n 次对称轴。 推理 : 如有一个二次对称轴与一个 n 次对称轴垂直 (相交) , 则必有 n 个二次对 称轴同时垂直(并相交)于该 n 次对称轴。
正交晶系 二次轴或对称面或二者之和 大于、等于 3; 单斜晶系 二次轴或对称面或二者和小 于 3； 三斜晶系 只有一次轴或一次旋转反伸 轴 ( 对称中心〉
如前所述 , 晶体的宏观对称性是 其微观对称性的反映。晶体的格子构 造可看作是由许多被称为晶胞的基本 结构单元在三维空间平移而形成整个 空间格子。
根据组合定理四之推理 ,L⊥2 · Li4 Li4 2L2 2P 〔 42m 〕 , 由于该点群中含有对 称面 , 所以把该点群归于下一组点群中。
习惯上把高于二次轴的对称轴或旋转反 伸轴(简称反轴) , 如 L3, L4, L6, Li4 等称为高 次轴。含有一个以上高次轴的组合推导稍为 复杂一些 , 在此从略。
晶胞是晶体中能 表征晶体结构的最小 单位——平行六面体。可以用 ao 、 bo 、 co 和α、β、 γ 六个晶胞参数来 表征一个晶 胞。 其中α是 bo 和 co 之间的夹角, β是αo和 co 间的夹角 , γ是 ao 和 bo 间的夹角。
七大晶系
点群：C3、C3i=S6、C3v D3、D3d
三方
四方/四角/正方晶系
简单四方
体心四方
晶胞基矢的特性：
a=b≠c α=β=γ=90°
对称特征:一个4度轴 点群：C4、C4h、C4v、
D4、D4h、D2d、 S4
六方/六角晶系
c a
六方
晶胞基矢的特性：
a=b≠c
α=β= 90°γ=120°
对称特征:一个6度轴 点群：C6、C6h、C6v
C3h、D3h D6、D6h、
立方/等轴晶系
简单立方
体心立方
面心立方
晶胞基矢的特性：a=b=c α=β=γ=90° 对称特征：三个4度轴、四个3度轴、六个2度轴 点群：T、Th、Td、O、Oh
六方
c
a a
单斜
c
ab
立方
a
aa
三方
四方
c
aa
a aa
三斜
对称特征： 一个2度轴或1个对称面 点群：C2、C2h、
Cs=C1h=C1v
正交/斜方晶系
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 晶胞基矢的特性：a≠b≠c α=β=γ=90° 对称特征：有3个互相垂直的2度轴 点群：D2、D2h、C2v
三方/三角/菱方晶系
晶胞基矢的特性：
a=b=c α=β=γ＜120°，≠90°
七大晶系
晶系：把晶胞基矢a、b、c满足同一类要求(边
长a，b，c和夹角α，β，γ)的一种或数种布 拉伐格子称为一个晶系。
七大晶系：
c
三斜、单斜、正交、
三方、四方、六方、
b
立方晶系
a
级别 低级
中级 高级
七大晶系详细图解
七年夜晶系详细图解之勘阻及广创作已知晶体的形态已经超越了四万种,可是万物城市有规律,晶体自然也是有的.它们都是按七种结晶方式模式发育的,即七年夜晶系.晶体即是一种以三维方向发育的的几何体,为了暗示三维空间,分别用三、四跟人为添加的轴来暗示晶体的长宽高以及中心.三条轴分别用X、Y、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来暗示,而为了更好暗示轴之间的度数,我们用α、β、γ来暗示轴角.就这样呈现了七种分歧的晶系模式：立方晶系（也称等轴晶系）、四方晶系、三方晶系、六方晶系、正交晶系（也称斜方晶系）、单斜晶系、三斜晶系.其中又依照对称水平又分为高级晶族、中级晶族、初级晶族.高级晶族中只有一个立方晶系；中级晶族有六方、四方、三方三个晶系；初级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系. 一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的,即X=Y=Z,且互相垂直,即α=β=γ=90°,对称性最强.具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系.属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞.这个晶系的晶体其实不是只有狭义的正方体一种形状,四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系.它们从分歧角度看高低宽窄都差不太多,相对晶面和相邻晶面都相似,横截面和竖截面一样.最典范立方晶系的晶体为：氯化钠.罕见立方晶系晶体模型图：晶体实物图：二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直,即α=β=γ=90°.其中两个水平轴（X轴、Y轴）长度一样,Z轴的长度可长可短,通俗的说：四方晶系的晶体年夜多是四棱的柱状体,有的是长柱体,有的是短柱体,即其晶胞必具有四方柱的形状.横截面为正方形,四个柱面是对称的,即相邻和相对的柱面都是一样的,但和顶端分歧毛病称.所有主晶面交角都是90.特征对称元素为四重轴.如果Z轴发育,它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（X轴、Y轴）发育年夜于Z轴,那么晶体就会呈现四方板状,最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了.罕见的立方晶系的晶体模型图：注：柱体的棱角发育成窄小晶面,此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面,四个小柱面.晶体实物图：三、斜方晶系斜方晶系的晶体中三个轴的长短完全不相等,它们的交角仍然是互为90度垂直.即X≠Y≠Z.Z轴和Y轴相互垂直90°.X轴与Y 轴垂直,可是不与Z轴垂直,即α=γ=90,β>90°与正方晶系直观相比,区别就是：x轴、y轴长短纷歧样.如果围绕z轴旋转,四方晶系旋转九十度即可使x轴y轴重合,旋转一周使x轴y轴重合四次（使另两轴重合的次数多于两次,该轴称“高次轴”）,四方晶系有一个高次轴,也叫“主轴”.斜方晶系围绕z轴旋转,需180度才可使x轴y轴重合,旋转一周只重合两次,属低次轴.也就是说,斜方晶系的对称性比四方晶系要低.特征对称元素是二重对称轴或对称面.其实,斜方晶系的晶体如果围绕x轴或y轴旋转,情况与围绕z轴旋转相同.换句话说,斜方晶系没有高次轴,或曰没有理论上的主轴.从模型上看,四方晶系的x轴和y轴所指向的晶面完全都是对称相同的,斜方晶系的x轴和y轴所指向的晶面却是各自相等的.罕见立方晶系模型图：斜方晶系晶体两个轴（如x轴、y轴）构成的平面,即晶体横截面是长方形,也可以是菱形,或者两者的复合形,如下图：晶体实物图：四、单斜晶体单斜晶系的三个晶轴长短皆纷歧样,即X≠Y≠Z.Z轴和Y轴相互垂直90°.X轴与Y轴垂直,可是不与Z轴垂直,即α=γ=90°,β>90°.作一个形象的比如：把斜方晶系模型顺着z 轴方向推压一下,使前后的晶面上、下错位,这就是单斜晶系的模型.如果围绕z轴旋转180度,可以使y轴指向的晶面对称；而围绕x轴旋转.则不能发生任何晶面的重合对称（除非旋转一周,但无意义）.通俗地说：斜方晶系晶体的两个晶面可以通过y轴旋转180度到达重合,而左右晶面和前后晶面却不能通过旋转到达重合,它们只能顺y轴和x轴平移才华到达重合.所谓“单斜”,可以联想为：晶体有一个轴所顶的面是斜的.单斜晶系只有一个对称轴和对称面,无高次对称轴和斜方晶系相比,它的对称水平又低了一级,特征对称元素是二重对称轴或对称面.晶体实物图：五、三斜晶体三斜晶系的“三斜”,指的是三根晶轴的交角都不是九十度直角,它们所指向的三对晶面全是钝角和锐角角构成的平行四边形（菱形）,相互间没有垂直交角.即X≠Y≠Z,α≠β≠γ≠90°.作个形象比如：把一个砖头形的长方块朝着一个角的方向斜推压,形成一个全是菱形面的立方体,这就是三斜晶系的模型.三斜晶系的晶轴长短纷歧,斜角相交,没有晶轴能作重合对称的旋转,前后、左右、上下的三组晶面只能顺晶轴作平移重合（平面对称）,不含任何轴次高于1的对称轴,在七年夜晶系中,三斜晶系的对称性最低.三斜晶系的晶体给人的感觉多是“拧、扁、歪、斜”的,特征对称元素为一重对称轴.罕见三斜晶体模型图：晶体实物图：六、三方/六方晶系三方晶系和六方晶系有许多相似之处,一些矿物专著和科普书刊往往将二者合并在一起,或干脆就称晶体有六年夜晶系.与前面讲的五个晶系最年夜的分歧是三方/六方晶系的晶轴有四根,即一根主轴（z轴）三根水平横轴（x、y、u轴）.竖轴与三根横轴的交角皆为90度垂直,三根横轴间的夹角为120度（六方晶系为60度,也可说成三横轴前端交角120度.）.即三方：X=Y=U≠Z,α=β=90°,γ=120°,六方：X=Y=U≠Z,α=β=γ<120°≠90°.如果围绕z轴旋转一周,三方晶系晶体的横轴可以重合三次,六方晶系晶体的横轴则重合六次,故,三方/六方晶系晶体的对称度都高,z轴是高次轴,也就是主轴.特征对称元素为三重对称轴.三方晶系罕见的晶体有三棱柱状、三角片状等,有时呈六棱柱、六角片状（复三方、复三角面）及它们的各种聚形；六方晶系晶体罕见有六棱柱状、六方板（片）状以及它们的各种聚形,偶然会呈现十二棱柱体（复六方柱）.有时候三方/六方晶系会呈现菱形六面体晶型,较容易同三斜晶系的晶体混同.罕见的三方/六方晶系模型图：晶体实物图：。
结构化学晶系图解..
晶体的七大晶系是十分专业的问题，它有时是鉴别晶体的关键，鉴藏矿晶的人多少应该知道一些。
概论已知晶体形态超过四万种，它们都是按七种结晶模式发育生长，即七大晶系。
晶体是以三维方向发育的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四根假想的轴通过晶体的长、宽、高中心，这几根轴的交角、长短不同而构成七种不同对称、不同外观的晶系模式：等轴晶系，四方晶系，三方晶系，六方晶系，斜方晶系，单斜晶系，三斜晶系。
请看图：上图是七大晶系的理论模型，在同一水平面上，请大家仔细分辨它们的区别。
面向观众的轴称x轴，与画面平行的横轴称y轴，竖直的轴称z 轴，也可叫“主轴”一，等轴晶系简介等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直。
常见的等轴晶系的晶体模型图金刚石晶体八面体和立方体的聚形的方铅矿黄铁矿二，四方晶系简介四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x 、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状，最有代表性的就是钼铅矿。
请看常见的一些四方晶系的晶体模型：这个晶系常见的矿物有锡石、鱼眼石、白钨矿、符山石、钼铅矿等。
请看实物图片：符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
七大晶系详细图解
七大晶系详细图解已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体自然也是有的。
它们都是按七种结晶方式模式发育的，即七大晶系。
晶体即是一种以三维方向发育的的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四跟人为添加的轴来表示晶体的长宽高以及中心。
三条轴分别用X、Y、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表示，而为了更好表示轴之间的度数，我们用α、β、γ来表示轴角。
就这样出现了七种不同的晶系模式：立方晶系（也称等轴晶系）、四方晶系、三方晶系、六方晶系、正交晶系（也称斜方晶系）、单斜晶系、三斜晶系。
其中又按照对称程度又分为高级晶族、中级晶族、低级晶族。
高级晶族中只有一个立方晶系；中级晶族有六方、四方、三方三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的，即X=Y=Z，且互相垂直，即α=β=γ=90°，对称性最强。
具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系。
属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞。
这个晶系的晶体并不是只有狭义的正方体一种形状，四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系。
它们从不同角度看高低宽窄都差不太多，相对晶面和相邻晶面都相似，横截面和竖截面一样。
最典型立方晶系的晶体为：氯化钠。
常见立方晶系晶体模型图：晶体实物图：二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（X 轴、Y轴）长度一样，Z轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
横截面为正方形，四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都是一样的，但和顶端不对称。
所有主晶面交角都是90。
特征对称元素为四重轴。
如果Z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（X轴、Y轴）发育大于Z轴，那么晶体就会呈现四方板状，最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了。
7-点群与晶系分析
推理 : 如有一m 次对称轴与一n 次对称
轴相交 , 则围绕 n 次对称轴恒有 n 个共点的 m 次对称轴; 同时 , 围绕 m 次对称轴恒有 m 个共点的 n 次对称轴 , 且任意两个 m 次对 称 轴与 n 次对称轴间的交角均等于原始的 m 次对称轴与 n 次对称轴之间的交角。
表 3.3 列出了各晶 系的特征对称元素 及其相应的晶胞参数特征。
人们通常把七个晶系中不具有高次轴者 ( 三斜晶系、单斜晶系、正交晶系)归为一 类 , 称为低级晶族 ; 把含有一个高次轴者 〈四方晶系、三方晶系、六方晶系〉归为 一类 , 称为中级晶族 ; 把含有一个以上高次 轴者 ( 立方晶系〉称为高级晶族。
其中点群 622,23,432 中对称元素在 空间排布及其极射赤平投影图分别如图 3.13, 3.14 和 3.15 所示。
2. 向上述 12 种轴式加对称面 P, 对称面只 能有如下两种加法: (1)垂直于主轴加对称面 , 这样加上去的 对称面称为水平的 , 用 PH 表示。根据对
称元素组合定理 :
L2 ·L1
L2 〔 2 〕 (其中 ·代表组合作用)
L⊥2 ·L2
3 L2 〔 222 〕
L⊥2 ·L3
L3 3L2 〔 32 〕
L⊥2 ·L4
L4 4L2 〔 422 〕
L⊥2 ·L6
L6 6L2 〔 622 〕
方括号中的符号是相应点群的国际符号。
下标 “ ⊥ ” 表示 L2 与另一对称轴垂直相交。
以字母 D 表示垂直于主对称轴加二次 轴后的组合 , 其下标表示主轴轴次。例如 ： 用D2, D3, D4 和 D6 分别表示3L2, L33L2, L44L2 和 L66L2 。
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七大晶系详细图解已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体自然也是有的。
它们都是按七种结晶方式模式发育的，即七大晶系。
晶体即是一种以三维方向发育的的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四跟人为添加的轴来表示晶体的长宽高以及中心。
三条轴分别用P、P、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表示，而为了更好表示轴之间的度数，我们用α、β、γ来表示轴角。
就这样出现了七种不同的晶系模式：立方晶系（也称等轴晶系）、四方晶系、三方晶系、六方晶系、正交晶系（也称斜方晶系）、单斜晶系、三斜晶系。
其中又按照对称程度又分为高级晶族、中级晶族、低级晶族。
高级晶族中只有一个立方晶系；中级晶族有六方、四方、三方三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的，即P=P=Z，且互相垂直，即α=β=γ=90°，对称性最强。
具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系。
属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞。
这个晶系的晶体并不是只有狭义的正方体一种形状，四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系。
它们从不同角度看高低宽窄都差不太多，相对晶面和相邻晶面都相似，横截面和竖截面一样。
最典型立方晶系的晶体为：氯化钠。
常见立方晶系晶体模型图：晶体实物图：二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（P 轴、P轴）长度一样，Z轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
横截面为正方形，四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都是一样的，但和顶端不对称。
所有主晶面交角都是90。
特征对称元素为四重轴。
如果Z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（P轴、P轴）发育大于Z轴，那么晶体就会呈现四方板状，最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了。
晶体结构空间群点群
(二)点群、单形及空间群点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型，称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。
F：代表面心格子。
I：代表体心格子。
C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
R：代表三方原始格子。
其它符号：意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。
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L2 ·L1 L⊥2 ·L2 L⊥2 ·L3
L2 〔 2 〕 (其中 ·代表组合作用) 3 L2 〔 222 〕 L3 3L2 〔 32 〕
L⊥2 ·L4
L⊥2 ·L6
L4 4L2 〔 422 〕
L6 6L2 〔 622 〕
方括号中的符号是相应点群的国际符号。
下标 “ ⊥ ” 表示 L2 与另一对称轴垂直相交。
32种点群的极射赤平投影
32种点群中对称元素的空间分布和相互关系
1.
对称轴的组合(轴式): 前面提到有 8 种可 以独立存在的宏观对称元素 , 它们是 L1, L2, L3, L4, L6, Li4 和 P, C, 其相应点群的 国际符号分别为1, 2, 3, 4, 6, 4, m 和 1。 L1, L2, L3, L4, L6 和 Li4称为原始轴式。 当在这 6 种对称轴(或旋转反伸轴)上垂直 加入一个 L2, 根据对称元素组合定理二之 推理 , 可以得到:
定理五 :如有一偶次对称轴垂直于一个对称 面 , 则其交点恒为一对称中心。 推理一: 偶次对称轴、垂直于它的对称面和 对称中心中 , 任意二者的组合必产生第三者。 推理二 : 当有对称中心存在时 , 偶次对称 轴的个数之和必等于对称面的个数之和 , 且每一 个偶次轴均垂直于一个对称面。
3.2.3
定理一(欧拉定理): 通过任意二相交对称轴之交点 , 必可找到 第三个新轴 , 其作用等于前二者之积 , 其轴次 及其与两个原始对称轴之间的交角则取决于 该二原始对称轴的 轴次及它们之间的交角。
推理 : 如有一m 次对称轴与一n 次对称
轴相交 , 则围绕 n 次对称轴恒有 n 个共点的 m 次对称轴; 同时 , 围绕 m 次对称轴恒有 m 个共点的 n 次对称轴 , 且任意两个 m 次对 称 轴与 n 次对称轴间的交角均等于原始的 m 次对称轴与 n 次对称轴之间的交角。
根据组合定理四之推理 ,L⊥2 · Li4 Li4 2L2 2P 〔 42m 〕 , 由于该点群中含有对 称面 , 所以把该点群归于下一组点群中。
习惯上把高于二次轴的对称轴或旋转反 伸轴(简称反轴) , 如 L3, L4, L6, Li4 等称为高 次轴。含有一个以上高次轴的组合推导稍为 复杂一些 , 在此从略。
推理 : 如有一二次轴垂直于(或对称面包 含)一n 次旋转反伸轴时 , 当 n 为奇数时 , 恒 有 n 个共点的二次轴垂直于此 n 次旋转反伸 轴 , 同时还有 n 个共线的对称面包含该 n次 旋转反伸轴 ; 当 n 为偶数时 , 则恒有n/2个共 点的二次轴垂直于该 n 次旋转反伸轴 , 同时 还有n/2个共线的对称面包含该 n 次旋转反 伸轴。
D3h (6m2) 点群的对称系和对称点系
PH · 3L24L3 3L24L33PC = 3L24Li33P, 〔m3〕(PH ⊥ L2) , PH ·3L44L36L2 3L44L36L29PC 〔m3m 〕 , 〔PH ⊥ L4〕 。
这样以来 , 通过加垂直于主轴的对称 面 , 又产生出 11 个点群 ( 去掉重复的) , 它 们是: m, 2/m, 6, 4/m, 6/m, mmm, 6m2, 4/m mm, 6/m mm, m3 和 m3m 。其中点 群mmm, 4/m mm, 6/m mm 和 m3m对称 元素的极射赤平投影图如图 3.16 所示。
2. 向上述 12 种轴式加对称面 P, 对称面只 能有如下两种加法: (1)垂直于主轴加对称面 , 这样加上去的 对称面称为水平的 , 用 PH 表示。根据对
称元素组合定理 :
PH ·L1
PH·L2
P〔m〕,
L2PC 〔2/m〕 ,
PH ·L3
PH ·L4
L3P = Li6 〔 6 〕 ,
定理三 : 二对称面的交线恒为一对称轴 , 其基转角为该二对称面之交角的 2 倍。 推理 : 如有一个对称面包含一n 次对称 轴 , 则必有 n 个对称面同时包含该 n 次轴 , 且相邻二对称面之交角为该与对称面之交 点并垂直于该二次对称轴之直线恒为一旋 转反伸轴, 该旋转反伸轴之基转角等于该二 次轴与对称面交角之余角的两倍。
32 个点群
就数学上的意义而言 , 任何空间对称变 换即构成了所谓 “ 群 “ 。 通常把对称变换的集合和对称元素的集 合总称为对称群。 把相交于一点的宏观对称元素的集合所 构成的对称群 , 称为点群。
根据上述定理和推理 , 晶体中的宏观对 称元素只可能有 32 种组合方式 , 称为 32 种 对称类型或 32 个点群。 32 个点群亦可用群论的方法推导出来。 下面看一下 32 个点群的简单推导过程。
欧拉定理是最基本的对称元素组合定 理 , 其它所有的对称元素组合定理均可由 欧拉定理派生出来。 欧拉定理不仅适合于对称轴 , 而且也 适合于旋转反伸轴(包括 Li1 = C,Li2 = P )。
定理二 :两个二次轴 (L2)相交 , 如交角 为 360o /2n , 则过该两二次轴交点并与其 所在平面垂直的直线恒为一n 次对称轴。 推理 : 如有一个二次对称轴与一个 n 次对称轴垂直 (相交) , 则必有 n 个二次对 称轴同时垂直(并相交)于该 n 次对称轴。
理论和实际情况 均表明 , 含有多个高 次轴的组合只能有以下两种 , 即 3L24L3 和 3L44L36L2, 其相应的国际符号为 23 和 432, 这两种点群中包含的所有对称轴恰与 四面体和立方体或八面体所含 对称轴完全 一样。
这一组点群中包括 12 个不重复的点 群 , 即 1, 2, 3, 4, 6, 4, 222, 32, 422, 622, 23, 432( 点群 622, 432 也可 记作 62 和 43 )。 其中点群 622,23,432 中对称元素在 空间排布及其极射赤平投影图分别如图 3.13, 3.14 和 3.15 所示。
L4PC 〔4/m〕 ,
PH ·L6
PH ·Li4
L6PC 〔6/m〕 ,
L4PC,
定理五
PH ·3L2
3L23PC〔mmm 〕 ,
PH ·L44L2
PH ·L33L2
L44L25PC 〔4/m mm〕
L33L24P = Li63L23P L66L27PC 〔6/m mm〕
〔 6m2 〕 ,
PH ·L66L2