函数绝对值

高考数学中绝对值函数的性质与应用

高考数学中绝对值函数的性质与应用在高考数学中，绝对值函数是一道经典的数学题型，也是许多同学所困扰的难点，今天我来为大家详细讲解绝对值函数的性质与应用。

一、绝对值函数的定义绝对值函数就是一个把自变量转变符号的函数，一般表示为|f(x)|，其中x为自变量，f(x)为函数。

我们可以对绝对值函数进行分类讨论：1.当x>0时，|x| = x；2.当x<0时，|x| = −x；3.当x=0时，|x| = 0。

二、绝对值函数的性质1.非负性：|x|≥0，即绝对值不会小于0。

2.同号性：|ab|=|a|·|b|，当且仅当a和b同号时，成立。

3.三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，a、b为任意实数。

三、绝对值函数的应用现在我们来看几个具体的例子。

1.绝对值函数的应用于解方程首先我们来看一个简单的例子：|x−3|=5，我们需要解出x的值。

首先我们可以根据绝对值的两种情况对原式进行分类讨论：①当x−3≥0时，|x−3|=x−3，则原式变成x−3=5。

解得：x=8②当x−3<0时，|x−3|=−(x−3)，则原式变成−(x−3)=5。

解得：x=−2因此绝对值方程的解法就是把绝对值函数拆分成两条方程，然后求解。

2.绝对值函数的应用于证明不等式题目：设a，b为正实数，证明：(a+b)²≥4ab。

解析：我们先来试着将(a+b)²拆开，得到：(a+b)²= a²+2ab+b²又因为x²≥0，所以a²+b²≥2ab。

将此代入(a+b)²= a²+2ab+b²中，得(a+b)²= (a²+b²)+2ab ≥4ab3.绝对值函数的应用于优化问题考虑一个面积固定的长方形，现在把它分成两个相等的正方形，求它的周长的最小值。

解析：设长为x，宽为y，面积为xy，由题目可知x²=2xy，可得到y=x/2。

含绝对值的函数方程解法

含绝对值的函数方程解法
对于含有绝对值的函数方程，求解的过程需要考虑绝对值的两种情况：正数和负数。

下面将介绍两种常见的解法。

1. 正数解法
当绝对值中的变量取正数时，可以将绝对值去除，直接求解函数方程。

例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，其中 $a,b,c$ 都是已知的实数常数，我们可以按照以下步骤求解：
1. 当 $x - a > 0$ 时，$|x - a| = x - a$，因此方程可转化为 $f(x) = x - a + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = c - b + a$。

因此，当 $x - a > 0$ 时，方程的解为 $x = c - b + a$。

2. 负数解法
当绝对值中的变量取负数时，可以将绝对值去除，并加上负号，再求解函数方程。

例如，对于方程 $f(x) = |x - a| + b = c$，我们可以按照以下步骤
求解：
1. 当 $x - a < 0$ 时，$|x - a| = -(x - a)$，因此方程可转化为 $f(x) = -(x - a) + b = c$；
2. 将方程整理为 $x = a + c - b$。

因此，当 $x - a < 0$ 时，方程的解为 $x = a + c - b$。

需要注意的是，在求解含有绝对值的函数方程时，我们需要分
别考虑正数和负数的情况，并得到两组解。

最后，我们可以将两组
解合并为一个解集。

以上就是含绝对值的函数方程的解法。

希望以上内容能对你有
所帮助！。

绝对值函数

绝对值函数在整个函数问题当中，算作一个难点，一个我们较为熟悉的常见函数，在其中添加了绝对值符号之后，从几何上来看，它的图象就不再是我们熟悉的图线；而从我们研究问题的方向去看，这个函数的性质（单调性与奇偶性）一般也会发生改变．那这些东西的改变直接对我们在研究函数的最值或者值域的过程中产生了影响，所以想要解决绝对值函数相关的问题，我们的核心思想就是去研究函数的图象到底是什么样的，函数的单调性到底是什么样的！首先，我们先来看一下什么是绝对值函数，绝对值函数的定义是：(),0,0x x f x x x x ⎧==⎨-<⎩≥根据我们初中对绝对值的认识，其实绝对值就是把符号里的这个整体变成非负的．一个大于等于零的数想要变成非负的其实不需要改变，保留自身就行；而一个小于等于零的数想要变成非负的就需要给它整体添加一个负号．那所以，对于绝对值函数的关键就在于去分析符号里的这个整体与零的关系，将与零的关系分作大于等于和小于两类之后，我们就能把任意的绝对值函数改写成分段函数的形式．如：()()()()434,34033443434,3403x x x f x x x x x x ⎧-+-+⎪⎪=-+=⎨⎪--+=--+<>⎪⎩≥即≤即；()()()()2222223,230132323,23013x x x x x x f x x x x x x x x ⎧-----⎪=--=⎨-----<-<<⎪⎩≥即≤或≥即；()()()()()2,20222,202x x x x f x x x x x x x --⎧⎪=-=⎨⋅---<<⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥即≥即对于月考中涉及到的绝对值相关的问题，都可以采用分类讨论去绝对值的方式去转化成分段函数研究，而只要有了分段函数的形式，那我们就可以根据自变量x 在不同区间内不同的解析式去把整个函数图象给画出来，并且准确的去刻画函数的单调性，最终根据图象以及单调性解题如：（18苏高）函数()22f x x x =-+的递减区间是________【解析】：将绝对值符号内的2x 根据与零的关系进行分类讨论，可以将原函数转化为分段函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--<⎪⎩≥，也就是该函数在自变量大于等于零和小于零的部分应该是不一样的函数图象，所以我们可以分别去画两段的函数图象根据图象得到答案．根据图象，我们可以知道，该函数的减区间为[]1,0-和[)1,+∞（18星海）函数221y x x =-+的单调增区间为________【解析】：同样的分析我们可以得到分段函数形式2221,021,0x x x y x x x ⎧-+⎪=⎨++<⎪⎩≥，根据解析式画得函数图像如下根据图象，我们可以知道，该函数的增区间为[]1,0-和[)1,+∞如：（18十中）若关于x 的方程220x a --=有三个不相等的实数解，则实数a 的值是________【解析】：这是一道研究根的个数的问题，题目中的方程含有绝对值，我们还是选择数形结合，原方程转化为()22f x x a =-=，我们只需要画出()22f x x =-的函数图像即可．()2222,2222,22x x x f x x x x ⎧--⎪=-=⎨--<<⎪⎩≥或≤，函数图像如下而该函数函数值为a 的时候有三个不同的实数解，所以在图像中我们添加一条水平直线y a =，观察怎样能使直线与()f x 有三个不同的交点即可，最终根据图像可得，只有当2a =时满足题意．以上是一些出现在第一次月考中的含有绝对值的填空选择题，大多难度不大，只要熟练掌握去绝对值并画图的能力数形结合即可；而出现在大题中的带绝对值问题，在第一次月考中通常会出现在比较靠后的位置，会成为拉分的关键．总结历年的月考试卷，不难发现，大题中绝对值函数考察的函数模型几乎全是二次函数，要么是二次函数整体带绝对值，要么是二次函数中部分带绝对值，而为了体现作为压轴题的难度，解析式中一定会带有参数使得函数图象不确定，比如我们可以看一下以下几个题目中的函数解析式．如：（18星海20）()2f x x ax =+①（18苏高21）()f x x x m =-②（18新实19）()()f x x x a =-③（18圆三19）()21f x x x a =+-+④（18十中19）()22f x x x m =---⑤通过以上的总结，我们可以知道其实这类题的考察函数很类似，而最终无论出题人想根据这个函数问我们什么样的问题，核心都在于能不能想明白随着参数的变化，函数图象会发生什么变化，函数的单调性会发生什么变化．而这种变化就会是我们最终研究问题时分论讨论的依据．这里将所有这类题中出现的函数分作两大类，一类是可因式分解的（如①②③），另一类是不可因式分解的（如④⑤），两类中第一类的函数会更容易分析一些．类型一：二次含参绝对值函数我们的处理方式也是分情况讨论去绝对值，明确函数图象到底在什么地方分界，而这类可因式分解的情况，有一个很关键的入手点在于我们可以知道这个函数的零点（函数图像与x 轴交点的横坐标）是多少，再根据零点去分析图象即可．如：（18星海20）设a ∈R ，函数()2f x x ax=+（1）若()f x 在[]0,1上单调递增，求a 的取值范围（2）记()M a 为()f x 在[]0,1上的最大值，求()M a 的最小值【思路】：函数()2f x x ax =+中的形式可因式分解，我们可以发现函数的两个零点为0和a -，因此在画图的时候可以先将这两个点在图上标出来．在标的时候，0很容易就标在了原点的位置，但是a -我们由于不知道它到底是正数还是负数还是零，所以无法确定这个点应该在哪里．而正是因为这个点位置的不确定，所以在这道题中，我们需要将a -根据0去分三种情况讨论，最后对应的分别是0a >，0a =和0a <【解析】：（1）1︒0a =时，此时()2f x x =，符合题意；2︒0a >（即0a -<时），原函数是开口向上且过()0,0和(),0a -的二次函数，而整体加了绝对值，就只是将函数图像中小于0的部分全部翻折转化成大于0的，图象如下，符合题意；3︒0a <（即0a ->时），同样的分析我们可以得到如下函数图像在这种种况下，我们会发现没办法直接确定[]0,1上的单调性，因为该函数是在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增的，为了保证符合题意，所以需要12a -，解得2a -≤；综上所述，a 的取值范围为(][),20,-∞-+∞ （2）【思路】：题目需要我们求()M a 的最小值，从形式上这是一个关于a 的函数，我们需要现有它的解析式才能够去求最值．而()M a 是原函数在[]0,1上的最大值，所以我们得先确定原函数在[]0,1上的最大值是多少，而要求最大值，核心就在于函数的单调性，根据第一问知道函数在[]0,1上单调增，所以这些情况中，最大值就在1x =时取到，而其他情况中单调性不明确，所以我们要根据单调性去分析函数的最值．【解析】：1︒由第一问可知，当(][),20,a ∈-∞-+∞ 时，()f x 在[]0,1上单调增，所以()()11M a f a ==+．2︒在其他情况中即20a -<<时，1会出现在2a -的右边，而此时函数在[]0,1上单调性不明，所以我们在画图时分析1的具体位置去考虑单调性．当1从对称轴开始往右挪动后，结合图像，会发现此时最大值就在顶点处，也即2ax =-时取最大值但是当1x =这条线出现在上图中点A 的右侧时，[]0,1中的最大值又会是在1x =时取到，所以这道题做到这还需找找出点A 的横坐标．点A 的唯一信息在于纵坐标和顶点纵坐标相同，而顶点纵坐标为224a a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 出的函数解析式为()2f x x ax =+，令()24a f x =即224a x ax +=解得x =A的横坐标为)122a a x +-==-，如果)1122aa +->>-即22a -<<-时，()f x 在2a x =-时取到最大值；如果)1012a <-≤即20a -<时，()f x 在1x =时取到最大值．综上所述()()(])(211,,22,2,224f a a M a a a f a ⎧⎡=+∈-∞--+∞⎣⎪⎪=⎨⎛⎫-=∈--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ，去绝对值后得())()(](21,21,,2,2,24a a M a a a a a ⎧⎡+∈-+∞⎪⎣⎪⎪=-+∈-∞-⎨⎪⎪∈--⎪⎩，在三段上分别考虑()M a 的最小值最终得到()M a的最小值为(23M -=-．如：（18苏高21）已知函数()f x x x m =-，()m ∈R （1）当4m =时，解不等式()82f x x -≥；（2）若函数()f x 在[]1,1-上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若0m >，且存在相异实数,,a b c 使得()()()1f a f b f c m ===+，求a b c ++的取值范围．【分析】：函数解析式中绝对值内的部分为x m -，将其根据与零的大小分类可知最终函数图象在x m =的两侧会发生改变，即()()(),,x x m x m f x x x m x m ⎧-⎪=⎨--<⎪⎩≥．在作图时，因为该函数两个零点分别为0和m ，所以在确定m 的位置时也会根据m 与0的位置关系将之分成0m =，0m <，0m >三种．10m ︒=时，()22,0,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥，所以函数图象如下20m ︒<时，函数过点()0,0和(),0m 并且在x m =的两侧不一样，观察两侧的函数形式，可以发现共同点在于都过这两个零点，而不同点在于开口方向的差别，因此可以先将两个图都画出来，再在两侧进行取舍，x m =的左侧保留开口向下的部分，右侧保留开口向上的部分30m ︒>时，同样的方式我们可以得到函数图象如下【解析】：（1）当4m =时，原不等式为482x x x --≥，当4x ≥时，即为2280x x --≥，解得4x ≥；当4x <时，即为2680x x -+≤，解得24x <≤，综上所述，不等式的解集为[)2,+∞（2）()f x 在[]1,1-上单调增，根据开头的分析，当0m =时符合要求；当0m <时，结合图像，需保证对称轴12m x =-≤即2m -≤；当0m >时，结合图像，需保证对称轴12m x =≥即2m ≥．综上所述，m 的取值范围为2m -≤或0m =或2m ≥．（3）0m >时，根据开头的分析，可知函数图像如下题目中所说的存在相异实数,,a b c 使得()()()1f a f b f c m ===+，即函数图象与直线1y m =+要存在三个不同的交点，如上图所示，并且该三点横坐标从左到右记作,,a b c ．如果要满足题意，则要求1m +比顶点纵坐标更小，即2124m m m f ⎛⎫+<= ⎪⎝⎭，解得m的范围为2m >+．根据对称性可知a b m +=，()f c 处的解析式为()()1f c c c m m =-=+，即()()110c m c -++=⎡⎤⎣⎦解得1c m =+，所以21a b c m ++=+，因为2m >+，所以a b c ++的取值范围为()5,++∞以上是两个可因式分解的类型，在作图时可利用零点的位置更快的作图，而如果是没法因式分解的类型，那我们只能分情况讨论去绝对值转化为分段函数作图，在作图的时候明确两个关键点，第一，该函数在什么地方分界，即绝对值内等于零时自变量的取值；第二，在分界点的两侧，二次函数开口朝向，以及其对称轴与分界点的关系．将这两点明确之后，就可以精确的描述函数在各段上的单调性，并借此解题．如：（18圆三19）已知()()21f x x x a x =+-+∈R （1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数()f x 的最小值()g a 的解析式．【解析】：（1）若函数为偶函数，则()()f x f x =-，即()2211x x a x x a +-+=-+--+，解得0a =；若函数为奇函数，则()()0f x f x +-=，即2220x x a x a +-+--+=，无解；综上所示，当0a =时，()f x 为奇函数，当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）去绝对值之后得()()221,1,x x a x a f x x x a x a ⎧+-+⎪=⎨--+<⎪⎩≥可知该函数在x a =处分界，并且两侧都是开口向上的二次函数，接下来对于对称轴与分界点位置的分析会是重中之重，决定最终分类讨论的依据．当x a <时，对称轴为12x =，当x a ≥时，对称轴为12x =-，而分界线x a =出现在不同位置会对整体的单调性造成改变．1︒12a -≤时，函数在(],a -∞上单调减，1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调减，1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调增，图象如下根据图象以及函数的单调性可知此时()1724g a f a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭；122a ︒≥时，函数在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调减，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，[),a +∞上单调增，图象如下根据图象以及函数的单调性可知此时()1724g a f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；3︒1122a -<<时，函数在(],a -∞上单调减，(),a +∞上单调增，图象大致如下．根据图象得此时()()21g a f a a ==+综上所述()()2171,,242171,,242111,,22f a a g a f a a f a a a ⎧⎛⎫⎛⎤=-∈-∞- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦⎪⎪⎛⎫⎡⎫=-=+∈+∞⎨ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎪⎪⎛⎫=+∈-⎪ ⎪⎝⎭⎩。

excel中绝对值函数

excel中绝对值函数
Excel中的绝对值函数（Abs）是Excel中常用的内置函数，用于计算数值的绝对值。

它可以根据用户需要精确地计算绝对值，该函数可以帮助用户更有效地分析处理数据。

一、绝对值函数简介
1.定义：
绝对值函数（Abs）是一个Excel中内建函数，可用于查出给定数据的绝对值。

2.格式：
ABS（number）
number：需要求绝对值的数据。

二、绝对值函数使用步骤
1.在B2单元格中输入待求绝对值的数据，例如-3.14
2.在C2单元格中输入公式“=ABS（B2）”，然后按Enter键计算
3.在C2单元格中查看绝对值，结果显示为3.14；
4.如此，计算绝对值的功能就完成了。

三、绝对值函数的优势
1.绝对值函数可以有效地处理数据，节省用户的输入时间。

2.绝对值函数是一个免费的功能，每个人都可以使用，使用简单。

3.绝对值函数可以让用户更有效地做出正确的决定，并有效地处理问题。

4.绝对值函数对于对数据进行分析和处理非常有用，它可以帮助用户更加准确、快速地求出绝对值。

四、总结
由上可知，绝对值函数（Abs）是Excel中内置的有用的函数，它的用
法简单，易于使用，可以有效地计算出数值的绝对值，为分析数据和
做出正确的决定带来很大的便利。

绝对值函数和绝对值不等式

绝对值函数和绝对值不等式典型例题：【过关习题4】1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a，b是实数，则“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a－b|≤2”的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.【2018年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a>0，函数f(x)=|x2+|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a=.3.【2018年温州二模，17，，☆☆☆】已知f(x)=x2－ax，|f(f(x))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为.4.【2017年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f(x)=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c>0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c=.5.【☆☆】设正实数x，y，则|x－y|+的最小值为.6.【2017年杭州二模，10，☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)的两个零点为x1、x2，若|x1|+|x2|≤2，则.A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤27.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a，b∈R，a≠1，则|a+b|+的最小值为.8.【2017年浙江绍兴市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知x，y∈R，则.A.若|x2+y|+|x－y2|≤1，则B.若|x2－y|+|x－y2|≤1，则C.若|x+y2|+|x2－y|≤1，则D.若|x+y2|+|x2+y|≤1，则9.【2016年浙江高考，8，☆☆☆】已知实数a、b、c，下面四个选项中正确的是.A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b－c|≤1，则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b－c2|≤1，则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2－c|≤1，则a2+b2+c2<10010.【2017年杭州高级中学最后一模，17，☆☆】设实数x，y，z满足则|x|+|y|+|z|的最大值为.11.【2017年浙江名校协作体，7，☆】设f(x)=|2x－1|，若f(x)≥对任意的a≠0恒成立，则x的取值范围为.12.【2016年浙江样卷，☆】已知f(x)=ax2+bx+c，a、b、c∈R，且a≠0，记M(a，b，c)为|f(x)|在[0，1]上的最大值，则的最大值是.13.【☆☆】设函数f(x)=|x2+ax+b|，若对任意的实数a、b，总存在x0∈[0，4]使得f(x0)≥m成立，则实数m的取值范围是.14.【2017年浙江缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数f(x)=－x3－3x2+x，记M(a，b)为函数g(x)=|ax+b－f(x)|(a>0，b∈R)在[－2，0]上的最大值，则M(a，b)的最小值为.15.【2017年杭州一模，9，☆☆☆】设函数f(x)=x2+ax+b，记M为函数y=|f(x)|在[－1，1]上的最大值，N为|a|+|b|的最大值，则.A.若M=，则N=3B.若M=，则N=3C.若M=2，则N=3D.若M=3，则N=316.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数f(x)=|ax+2+b|，若对任意的x∈[0，4]，函数f(x)≤恒成立，则a+2b=.17.【浙江省绍兴市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数x都有|a cos2x+b sin x+c|≤1恒成立，则|a sin x+b|的最大值为.18.【浙江省嘉兴市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】设max{a，b}=，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max的最小值为．19.【☆☆】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若对任意的|x|≤1，都有|f(x)|≤1，则|a|+|b|+|c|的最大值为.20.【2014年湖南高考，☆☆】在直角平面坐标系xOy中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的最大值为.21.【浙江省2017年预赛，10，☆☆☆】已知f(x)=若方程f(x)+2+|f(x)－2|－2ax－4=0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，若x3－x2=2(x2－x1)，则a=.22.【2006年辽宁，☆】已知函数f(x)=(sin x+cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域为.23.【2008年江西，☆】函数y=tan x+sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是.24.【浙江省绍兴市2015年高三教学质量调测，15，☆☆☆】当且仅当x∈(a，b)∪(c，d)(b≤c)时，函数f(x)=2x2+x+2的图像在函数g(x)=|2x+1|+|x－t|的下方，则b－a+d－c的取值范围为. 25.【2016高考浙江文数，☆☆】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．26.【2014年四川预赛，9，☆☆】已知a、b为实数，对任何满足0≤x≤1的实数x，都有|ax+b|≤1成立，则|20a+14b|+|20a－14b|的最大值是.27.【2014年黑龙江预赛，14，☆☆】已知f(x)=g(x)=|x－k|+|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为.28.【2014年全国联赛，3，☆☆】若函数f(x)=x2+a|x－1|在[0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是.29.【2015年湖北预赛，1，☆☆】若对任意实数x，|x+a|+|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为.30.【2016年山东预赛，1，☆☆☆】方程x=|x－|x－6||的解为.31.【2016年陕西预赛，12，☆☆】设x∈R，则函数f(x)=|2x－1|+|3x－2|+|4x－3|+|5x－4|的最小值为.32.【2016年浙江预赛，11，☆☆☆】设a∈R，方程||x－a|－a|=2恰有三个不同的实数根，则a=.33.【1982年全国，4，☆☆】由曲线|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是.A.1B.2C.πD.434.【2017年江苏预赛，5，，☆☆】定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1.若函数y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值和最小值的差为.35.【2018年浙江预赛，8，☆】设f(x)=|x+1|+|x|－|x－2|，则f(f(x))+1=0有个不同的解.36.【2015年全国，6，☆☆】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x，y)|(|x|+3|y|－6)(3|x|+|y|－6)≤0}所对应的平面区域的面积为.37.【2008年湖南预赛，9，☆☆☆】在平行直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1－x2|+|y1－y2|.若C(x，y)到点A(1，3)、B(6，9)的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为.38.【2014年湖北预赛，4，☆☆】在直角坐标系中，曲线|x－1|+|x+1|+|y|=3围成的图形的面积是.39.【2017年金华十校期末调研考试，9，☆☆】设x、y∈R，下列不等式成立的是.A.1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|B.1+2|x+y|≥|x|+|y|C.1+2|xy|≥|x|+|y|D.|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|40.【2017年绍兴市高三教学质量调测，9，☆☆☆】记min{x，y}=设f(x)=min{x2，x3}，则.A.存在t>0，|f(t)+f(－t)|>f(t)－f(－t)B.存在t>0，|f(t)－f(－t)|≥f(t)－f(－t)C.存在t>0，|f(1+t)+f(1－t)|>f(1+t)+f(1－t)D.存在t>0，|f(1+t)－f(1－t)|>f(1+t)－f(1－t)41.【浙江省2016届高三下学期第二次五校联考(理)，18，☆☆☆】已知函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=c|x|+bx+a，对任意x∈[－1，1]，|f(x)|≤.(I)求|f(2)|的取值范围；(II)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有|g(x)|≤142.【浙江省嘉兴市2016届高三期末考试，20，☆☆☆】已知函数f(x)=－x2+2bx+c，，设函数g(x)=|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值为M．(I)若b=2，试求出M；(II)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值．43.【2016四川预赛，16，☆☆☆☆】已知a为实数，函数f(x)=|x2－ax|－ln x，请讨论函数f(x)的单调性.。

函数绝对值函数绝对值是数学中最常用的概念之一，它可以使任意一个数的绝对值即正负号均可以成为正数。

它用来取出任意一个数的绝对值。

它有着多种属性，并可以用来解决许多数学问题。

一、函数绝对值的定义函数绝对值是一个复数（有理数或无理数），它代表一个数的绝对值，即正负号无关，只与该数的大小有关。

一般来说，函数绝对值的定义为：函数绝对值=|f(x)|=max{f(x),-f(x)}，其中x为任意实数。

使用该定义，可以得出一个绝对值的函数f(x)的函数绝对值公式如下：f|x|=max{f(x),-f(x)}=begin{cases}f(x) & text{if } f(x)>0-f(x) & text{if } f(x)leq 0end{cases}二、函数绝对值的性质函数绝对值有着以下几种性质：（1）函数绝对值的取值范围：若f(x)满足非负定义，则有0≤f|x|≤∞；（2）函数绝对值的奇偶性：f|x|是一个偶函数；（3）函数绝对值的最值：函数f|x|在x=0处取得最大值f|0|；（4）函数绝对值的单调性：如果f(x)为单调递增函数，则f|x|也是单调递增的；（5）函数绝对值的反函数：如果f(x)有反函数，则f|x|也有反函数，反函数为f-1|x|=f-1(|x|)；（6）函数绝对值的可导性：f|x|是可导的函数，其导数为：f|x|/x=sgn(f(x))*f’(x)，其中sgn(f(x))表示f(x)的符号函数，取值为：sgn(f(x))=1 为 f(x)>0；sgn(f(x))=0 为 f(x)=0；sgn(f(x))=-1 为 f(x)<0。

三、函数绝对值的应用函数绝对值在数学中有着重要的作用，它可以用来解决许多数学问题。

例如：（1）求函数的极值问题。

对于任何一个复变量函数f(x)，若满足f(x)=0，则f(x)可能处于极值点；但由于存在正负号的问题，因此可以用函数绝对值来解决这一问题。

绝对值函数动点与绝对值不等式专题

绝对值函数动点与绝对值不等式专题介绍
本文档将讨论绝对值函数动点与绝对值不等式专题。

我们将探
讨绝对值函数的基本特性以及如何使用绝对值不等式解决相关问题。

绝对值函数动点
绝对值函数是一种常见的在数学中使用的函数，它以竖线表示，例如 $|x|$。

绝对值函数的图像是一个以原点为中心对称的折线，其中折线的斜率为正数。

绝对值函数的动点指的是函数的输入值，也就是 $x$ 的值。

当
输入值变化时，绝对值函数的输出值也会相应地发生改变。

对于绝
对值函数 $y = |x|$，动点是指变量 $x$ 的取值。

绝对值不等式
绝对值不等式是一种用于解决数学问题的重要工具。

绝对值不
等式可以表示为 $|a| \geq b$ 或 $|a| \leq b$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数。

解决绝对值不等式的关键是找出满足不等式的可能取值范围。

当不等式中的绝对值大于等于一个常数时，可能的取值范围是一个
区间。

当不等式中的绝对值小于等于一个常数时，可能的取值范围
是两个区间的并集。

结论
绝对值函数动点与绝对值不等式是数学中重要的概念和技巧。

掌握绝对值函数的基本特性，以及使用绝对值不等式解决相关问题，将帮助我们更好地理解和应用数学知识。

请随时与我联系，如果您有任何进一步的问题或需要进一步的
帮助。

参考资料：。

绝对值函数公式

绝对值函数公式绝对值函数是数学中的一种基本函数形式，它常用来描述数的大小或者表示距离。

绝对值函数的定义很简单，即取一个实数作为输入，输出该实数的绝对值。

在数学上，绝对值函数通常表示为 |x|，其中x 是实数。

绝对值函数的形式可以用一个简单的公式来表示，即：| x | = {x, if x ≥ 0,-x, if x < 0.}上述公式说明了绝对值函数在不同取值情况下的计算方法。

当输入x 大于等于零时，绝对值函数的输出等于x；而当输入x 小于零时，绝对值函数的输出等于 x 的相反数，即 -x。

绝对值函数的图像呈现出一条以原点为中心的 V 形曲线，在原点处取得最小值为零。

当 x 值小于零时，绝对值函数的图像位于 x 轴的下方，且与 x 轴关于原点对称；而当 x 值大于等于零时，绝对值函数的图像位于 x 轴的上方。

可以将绝对值函数看作是对输入 x 值进行一种“取正”的操作，即使输入为负数，最终输出仍然是正数。

这种性质使得绝对值函数在数学以及实际应用中具有广泛的运用。

绝对值函数的性质及运算规律也是数学中的基础知识。

以下是一些常见的性质和运算规律：1. 非负性：对于任意实数 x，绝对值函数的值始终大于等于零，即|x| ≥ 0。

2. 对称性：绝对值函数关于原点对称，即 |x| = |-x|。

3. 三角不等式：对于任意实数 x 和 y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。

这个不等式表明，两个实数的绝对值之和不会超过它们的绝对值分别相加。

4. 分段函数：绝对值函数可以表示为一个分段函数，即根据 x 的正负情况采取不同的计算方法。

这种分段定义使得绝对值函数具有良好的连续性。

5. 求导性质：绝对值函数在 x = 0 处不可导，但在 x = 0 处的左右导数均存在。

在 x = 0 处的左导数为 -1，右导数为 1。

绝对值函数在各种应用中都有重要的作用。

例如，在几何学中，绝对值函数常用于计算两点之间的距离。

在经济学中，绝对值函数常用于计算价格和成本之间的差异。

绝对值函数-讲义+题目+答案-适合高一下册学生的初次学习

知识点绝对值函数
3.12
例1.设函数
()2f x x a =-（[]0,1x ∈）的最大值为()g a ，求()g a 的最小值．解：因为()2f x x a =-，所以当[]0,1x ∈时，()()max g a f x ⎡⎤=⎣⎦{}max ,2a a =-．方法一：函数图像(){},1,max ,22, 1.a a g a a a a a ≥⎧=-=⎨-<⎩
，画函数方法二：几何意义g （a ）=max ｛|a|，|a-2|｝
其中a 一般结论2a b x +=时取方法三：绝对值三角不等式∵g （a ）是最大值，
∴g （a ）≥|a|，g （a ）≥|a-2|两式相加得()22a a g
a +-≥▲逆用不等式右边()212a a --≥=，当且仅当1a =时取到等号．
例3.已知a ∈R ，函数()4f x x a x
=+-+a 在区间[1,4]上的最大值是5，求a 的取值范围. 方法一：令4x a t x
+-=，因为[]1,4x ∈，所以[]4,5t a a ∈--．由题意得{}max 5,45a a a --=-▲要凑成5,那么该式应=5-a 又因为该式≥0则5-a ≥0，因此5a ≤，▲！即
{}max 5,45a a a --=-，从而45a a -≤-，解得92
a ≤. 方法二：对于{}max 5,45a a a --=-：因为{}1
max 5,42a a --≥，所以152a -≥，解得92a ≤.
方法三：令4x a t x +-=，因为[]1,4x ∈，所以[]4,5t a a ∈--．
因此题意即函数y t =在[]4,5t a a ∈--时的最大值为5a -，从而545a a a -≤-≤-，解
得9
2a ≤．。

绝对值函数最值及函数值范围问题

绝对值函数最值及函数值范围问题引言绝对值函数是数学中常见的一种函数形式。

本文将讨论绝对值函数的最值以及函数值范围的问题。

绝对值函数的定义绝对值函数是一种以正数表示非负数的函数形式。

它可以用如下的数学表达式表示：$$f(x) = |x|$$其中，$x$ 表示自变量，$f(x)$ 表示函数的值。

最值问题1. 绝对值函数的最大值绝对值函数 $f(x) = |x|$ 的最大值为正无穷大。

当 $x$ 趋向于正无穷大时，$f(x)$ 也趋向于正无穷大。

绝对值函数 f(x) = |x| 的最大值为正无穷大。

2. 绝对值函数的最小值绝对值函数 $f(x) = |x|$ 的最小值为零。

当 $x$ 等于零时，$f(x)$ 的取值为零。

绝对值函数 f(x) = |x| 的最小值为零。

函数值范围问题绝对值函数的函数值范围是指函数 $f(x)$ 可能取到的所有值的集合。

1. 函数值的非负范围对于绝对值函数 $f(x) = |x|$，所有的函数值均为非负数。

即函数值范围是 $[0, +\infty)$。

函数值范围为[0, +∞)。

2. 函数值的取值范围绝对值函数的取值范围是确定的，即绝对值函数的函数值可以是任何非负实数。

绝对值函数的函数值可以是任何非负实数。

结论绝对值函数的最值和函数值范围可以通过数学性质求得。

最大值为正无穷大，最小值为零，函数值范围为非负实数。

这些性质可以帮助我们理解绝对值函数的特点和行为。

绝对值函数的最值和函数值范围可以通过数学性质求得，最大值为正无穷大，最小值为零，函数值范围为非负实数。

绝对值函数公式

绝对值函数公式绝对值函数是数学中一种函数，其定义为一个实数集合中，每个实数x都有一个实数 |x|，这个实数是x的绝对值，它的定义如下： |x| = x，当x 0；|x| = -x，当x < 0。

绝对值函数有多种表示形式。

最常用的是通过画函数图的方式来表示它。

它的函数图是一个“V”字形，其中，从原点出发，往右边是正数，往左边是负数，当它碰到0时，会发生“V”字形分界线，在这个分界线之上的点都是正数，下面的点都是负数，绝对值函数表示为：y = |x|。

此外，还有一种叫做折线图的图形，其中，从原点出发，往右边是正数，往左边是负数，而不是一条“V”字形的线，而是一条由若干条线段构成的线形，表示的方式为：|x| = |x|。

还可以用表格的方式来表示绝对值函数，它的表格如下：x |x|-5 5-4 4-3 3-2 2-1 10 01 12 23 34 45 5以上就是绝对值函数的公式，它以不同的方式来表示实数集合中每个实数x的绝对值。

它主要被应用在计算机科学、控制系统、系统分析、统计学等领域。

绝对值函数在计算机科学中有很多应用，比如它可以用来模拟硬件，如果这个绝对值函数的输入是一个实数，那么它就可以返回该实数的绝对值，从而实现“零检测”，将正数和负数分开。

把这种零检测用在控制系统中，可以检测出是正数还是负数，从而更好地控制系统。

此外，还有一些系统分析任务，要求分析者使用绝对值函数来求出参数的数值，从而找出最优解。

这里，绝对值函数可以让分析者快速地求出参数的绝对值，从而加快分析的进度。

另外，绝对值函数还经常被用在统计分析中，当需要求出某一组数据的标准差的时候，就需要使用绝对值函数，来求出这些数据的绝对值之和，这样才能得到标准差。

总之，绝对值函数是一种非常有用的数学函数，它有多种表示形式，有函数图、折线图和表格等，它被广泛应用在计算机科学、控制系统、系统分析、统计学等领域，为这些领域带来了很大的好处。

绝对值函数

• = ��+�� + ��+�� + ⋯ + ��−�� − �� + �� + ⋯ + ��−��
应用
• 例1、（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为。
��
�� − �� − �� > �� • �� = �� − �� ≤ �� ≤ �� −�� + �� + �� < 图像
• 作函数�� = �� − �� + �� + �� 的图像
��
• �� =
−�� − �� ≤ −��
�� + �� ≥ �� −�� ≤ �� ≤ ��
绝对值函数
绝对值函数的图像

excel里的绝对值函数

excel里的绝对值函数Excel是一种功能强大的电子表格软件，广泛用于管理、分析和处理数据。

在Excel 中，绝对值函数是一种非常常用的函数，它可以快速准确地计算数值的绝对值，让用户轻松地完成数据处理和分析工作。

本文将从以下几个方面详细介绍Excel中的绝对值函数。

一、绝对值函数的概述绝对值函数，顾名思义，就是计算数值的绝对值。

在Excel中，绝对值函数的语法如下：=ABS(number)其中，number表示要计算绝对值的数值。

如果number为负数，ABS函数会将其转换为正数。

1. 基本使用方法在Excel中，使用绝对值函数非常简单。

只需要在一个单元格中输入绝对值函数的公式，然后按下回车即可计算出结果。

例如，在A1单元格中输入数字-100，则可以在B1单元格中使用绝对值函数计算该数字的绝对值，公式为：=ABS(A1)。

然后按下回车，B1单元格中就会自动显示100。

2. 使用绝对引用在使用绝对值函数时，有时候需要把某个数值作为参数传入多个公式中。

如果我们不使用绝对引用，那么在复制这些公式时，参数会随着单元格的位置而改变，导致结果错误。

解决方法是使用绝对引用，将参数的单元格地址用"$"符号固定住。

例如，公式为：=ABS($A$1)，这样在复制公式时，参数的单元格地址不会改变，可以确保计算结果准确无误。

1. 计算两个数的差值有时候我们需要计算两个数的差值，并且要求差值的结果为正数。

这时候就可以使用绝对值函数进行计算。

例如，在A1和B1单元格中分别输入两个数字，我们需要计算它们之间的差值，并要求结果为正数。

这时可以使用公式=ABS(A1-B1)来计算。

3. 对负数取绝对值有时候我们需要对一组数据中的负数取绝对值，以便进行下一步数据处理。

四、小结本文从绝对值函数的概述、使用方法和示例应用三个方面对Excel中的绝对值函数进行了介绍。

绝对值函数是Excel中的常用函数之一，可以帮助用户完成各种数据处理和分析工作。

绝对值函数的性质和应用

绝对值函数的性质和应用绝对值函数是一种常见的数学函数，在许多领域中都有重要的应用。

它的性质和应用在实际问题中起着重要的作用。

本文将探讨绝对值函数的基本性质，并且介绍一些常见的应用场景。

一、绝对值函数的定义和性质绝对值函数表示为 |x|，其中x是实数。

它的定义是当x大于等于0时，|x|等于x，当x小于0时，|x|等于-x。

绝对值函数具有以下基本性质：1. 非负性质：对于任意实数x，|x|大于等于0，即绝对值函数的结果永远是一个非负数。

2. 正定性质：对于任意实数x，当且仅当x等于0时，|x|等于0，即绝对值函数的结果为0的充要条件是x等于0。

3. 对称性质：对于任意实数x，|x|等于|-x|，即绝对值函数关于y轴对称。

4. 三角不等式：对于任意的实数x和y，有| x + y | ≤ |x| + |y|，即绝对值函数满足三角不等式。

二、绝对值函数的应用绝对值函数的性质使得它在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。

1. 距离计算绝对值函数可以用于计算两个点之间的距离。

考虑平面上两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d =|x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|。

这是因为在平面上，我们可以通过沿x轴和y轴的位移来到达目标点，绝对值函数保证了我们计算的是位移的绝对值。

2. 条件约束在一些实际问题中，我们需要对变量进行条件约束。

绝对值函数可以帮助我们实现这样的约束。

例如，假设我们希望找到一个使得函数f(x)达到最小值的x值，同时限制x的取值范围在[a, b]之间。

我们可以构造一个新的函数g(x) = f(x) + k|x - c|，其中k是一个正数，c是[a, b]之间的任意点。

然后，我们只需要找到使得g(x)达到最小值的x值，即可满足条件约束。

3. 求解不等式绝对值函数在求解不等式时也有很多应用。

考虑不等式|f(x)| ≤ g(x)，我们可以将它转化为两个不等式来求解。

二次函数绝对值的若干性质

二次函数绝对值的若干性质二次函数绝对值定义为y=|ax^2+bx+c|，其中a、b、c是常数，它是一个单调函数。

下面介绍二次函数绝对值的若干性质：一、总体极值1．若a>0，则二次函数绝对值的极值为：P = -b/ (2a)，yP = |aP^2 + bP + c|局部极大值；2．若 a<0，则无极值，二次函数绝对值永不等于0。

二、拐点若a>0，b^2 - 4ac>0，则二次函数绝对值在拐点处是变程函数的拐点，其拐点为：P1 =(-b+√(b^2-4ac))/2a；P2 =(-b-√(b^2-4ac))/2a；y1 = |aP1^2 + bP1 + c|；y2 = |aP2^2 + bP2 + c|三、泰勒级数展开设φ(x)=|ax^2 + bx + c|，当x=x0时：φ(x) = |a(x-x0)^2 + (bx0 + c)|= |(bx0 + c) + a(x-x0)^2|= |bx0 + c| + a(x-x0)^2 +…= |φ(x0)| + a(x-x0)^2 +…四、微分当x=P时，且a>0，则二次函数绝对值在拐点处的导数计算如下：P = -b/ (2a)，yP = |aP^2 + bP + c|=>y'P= |2aP + b|五、函数的奇偶性二次函数绝对值的奇偶性如下：1．若a>0，则二次函数绝对值在任一点上取值都为正，它是一个偶函数。

2．若a<0，则二次函数绝对值在任一点上取值都为负，它是一个奇函数。

六、函数的对称性二次函数绝对值函数有以下三种对称性：1．若a>0，b=0，则该函数关于y轴对称；2．若a<0，b=0，则该函数关于原点对称；3．关于直线x=1/a垂直于y轴的对称性。

综上所述，二次函数绝对值的若干性质有：总体极值、拐点、泰勒级数展开、微分、函数的奇偶性、函数的对称性。

熟悉了二次函数绝对值的性质，就能较为准确的求解二次函数绝对值函数的函数图像与正确值，从而得到更好的数学求解方案。

函数的绝对值性质

函数的绝对值性质
函数的绝对值性质指的是函数取正值时仍然保持了原来的形式，它是一个很重要的数学性质。

函数f(x)在定义域内，当其取正
值时，它仍然可以保持其原有的形式不变，称之为函数的绝对值性质。

该性质可以用下面这种形式表达：如果f(x)是定义域
上的函数，且可以经过变量变换将它化为f（x）=|x|的幂代函数，那么f（x）就具有绝对值性质，即对于任意定义域上的
实数a，都有f（a）= f（|a|）成立。

函数的绝对值性质的几何解释是什么呢？我们可以将函数f （x）=|x| 的图像进行模型化，两部分分别为y = |x| 和y = – |x|，其中 |x| 就是函数f (x) 的绝对值，函数f (x) 的图像是y = |x| 与
y = - |x| 这两部分的组合，因此，函数f (x) 具有绝对值性质，
即f (x) = |x|，f (-x) = |-x| = |x|。

因此，函数f (x) 的图像只有一
条水平线，且它的横坐标为其定义域所有实数，纵坐标的范围是从定义域的最小值到最大值之间的所有正实数，因此，该函数的特征是，从定义域的最小值到最大值，它的值不会发生任何变化。

该函数的绝对值性质的应用也比较广泛，例如在使用求导法求函数的最小值或最大值时，绝对值函数的绝对值性质可以帮助我们减少许多运算量，使求解问题变得更加容易。

另外，当确定某种函数在特定条件下是有界的时候，绝对值性质也提供了重要的推理工具，从而使得函数的行为能够更好地被理解。

以上就是函数的绝对值性质的主要内容，由于绝对值性质的不同形式，可以被应用到多种数学和物理问题中，无论是在理解
函数行为，还是在求解特定问题上，绝对值性质都有极大的帮助。

excel函数中绝对值公式

excel函数中绝对值公式
在Excel中，可以使用ABS函数来计算绝对值。

ABS函数的语法如下：
ABS(number)。

其中，number是要计算绝对值的数值。

绝对值公式的作用是返回给定数值的绝对值。

如果数值为正数或零，则返回该数值本身；如果数值为负数，则返回其绝对值。

下面是一些使用绝对值公式的示例：
1. 计算单个数值的绝对值：
=ABS(-5) // 返回结果为5。

2. 计算单元格中数值的绝对值：
=ABS(A1) // 假设A1单元格中的值为-10，返回结果为10。

3. 结合其他函数使用绝对值公式：
=ABS(SUM(A1:A5)) // 计算A1到A5单元格范围内数值的绝对值之和。

绝对值公式在Excel中非常常用，可以用于数值分析、条件判断、数据清理等多个方面。

希望以上信息能够帮到你，如果还有其他问题，请继续提问。

绝对值函数导数

绝对值函数导数绝对值函数导数绝对值函数（Absolute Value Function）是一种非常常见的函数，它的定义域和值域都是实数集，是一个“单调的”函数，它只跟斜率有关，和切线方向无关，以下将详细介绍绝对值函数的导数学定义及求偏导的方法一、定义：绝对值函数的定义为：$f(x) =|x|$, 其中：x ∈ R二、导数定义：通过极限法，可以得出绝对值函数的导数定义：$f'(x) =begin{cases}1, & x > 0-1, & x < 00, & x = 0end{cases}$三、求偏导的方法：(1) 求$f(x) = |x|$ 的导数：设$u=x^2$，则有：$f(x) = |x| = sqrt {u}$, 根据链式法则，有：$f'(x) = frac {du}{dx} cdot frac {dsqrt {u}}{du} =frac{2x}{2 sqrt {u}} = frac{x}{sqrt {x^2}} =begin{cases}1, & x > 0-1, & x < 00, & x = 0end{cases}$(2) 求$f(x) = |2x+3|$ 的导数：设$u=2x+3$, 则有：$f(x) = |2x+3| = |u|$, 根据链式法则，有：$f'(x) = frac {du}{dx} cdot frac {dleft| uight|}{du} = frac {d(2x+3)}{dx} cdotbegin{cases}1, & u > 0-1, & u < 00, & u = 0end{cases}= 2 cdotbegin{cases}1, & u > 0-1, & u < 00, & u = 0end{cases}=begin{cases}2, & u > 0-2, & u < 00, & u = 0end{cases}$因此，$f(x) = |2x+3|$ 的导数为： $f'(x) =begin{cases}2, & 2x+3 > 0-2, & 2x+3 < 00, & 2x+3 = 0end{cases}$。