1.1变化率与导数-教学设计-教案
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1.1变化率与导数-教学设计-教案
I教学准备
1.教学目标
(1)理解平均变化率的概念
(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念•
(3)理解导数的概念
(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率•
2.教学重点/难点
教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解
教学难点:会求简单函数y = f (x )在x = x0 处的导数
3.教学用具
多媒体、板书
4.标签
教学过程
一、创设情景、弓I入课题
【师】十七世纪,在欧洲资本主义发展初期,由于工场的手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果------------------------- 微积分的产生。
【板演/PPT】
【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t (单位:秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
【板演/PPT】
让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
[1]变化率问题
【合作探究】
探究1气球膨胀率
【师】很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢•从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是■
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
【板演/PPT】
【活动】
【分析】仍=瞪
当V从0增加到1时,气球半径增加了
XT.9AT—13.1
气球的平均膨胀率为芝严^0.62(亦2)
(1)当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为号护如°
0.62>0.16
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r(V
)-r(V)
:
解析:
探究2高台跳水
【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t (单位:秒)存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描
述其运动状态?
(请计算)
f •沖U二二-时®屮环朿度
【生】学生举手回答
【活动】学生觉得问题有价值,具有挑战性, 迫切想知道解决问题的方法。
【师】解析:h(t)=-4.9t
在时阿昱
【设计意图】两个问题由易到难,让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服
=-8J2(M I S)
【板演/PPT】
拭纣一*⑴
务。
探究3计算运动员在。兰“宁这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:轨鑰=拭0)=10 »=孚=0
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
【活动】师生共同归纳出结论
平均变化率:
上述两个问题中的函数关系用y = f (x)表示, 那么问题中的变化率可用式子心)-心表示.
可—旳
我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.
习惯上用△ x=%x1, △ y=f(%f(x1)
这里Ax看作是对于x1的一个增量”可用x1+Ax 代替x2
同样△ y=f(x)-f(x),于是,平均变化率可以表示为:
【几何意义】观察函数f (x)的图象,平均变化率驚先护的几何意义是什么?
【提示】:直线AB的斜率
【生】学生结合图象思考问题【设计意图】问题的目的是:
①让学生加深对平均变化率的理解;
②为下节课学习导数的几何意义作辅垫;
③③培养学生数形结合的能力。
[2]导数的概念
探究1何为瞬时速度
【板演/PPT】
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度•
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势•
【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
ft(f)= _4.9f3 +6.5r + 10
求:从2s到(2+4)s这段时间内平均速度
解:
v =—
探究2当△趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
从2s到(2+凸:方这段时间内平均速度
当厶t 趋近于0时,即无论t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋 近与一个确定的值 -
3.1.
从物理的角度看,时间间隔|无限变小时, 平均速度就无限趋近于t = 2时的瞬时速度.因 此,运动员在t = 2时的瞬时速度是 -3.1 m/s.
表示 当t =2, △趋近于0时,平均速度 趋近
于确定值T3.1 ”.
【瞬时速度】
表示当t=2, △趋近于0时,平均速度趋于确 定值-
13.1 ”.
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速 度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡 到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时 刻的瞬时速度?
为了表述方便,我们用
血吃+凶)-也)=g z Af
我们用
/i(2+2V)-;:(2)
Af
= -13.1