山东省济宁市嘉祥县2018-2019学年八年级(下)期末数学试卷(含解析)

山东省济宁市嘉祥县2018-2019学年八年级第二学期期末数学试卷
一.选择题：（本大题共10个小题.每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列各式正确的个数是（）
①＝﹣2；②（）2＝﹣5；③×＝④（﹣）2＝1
A．0B．1C．2D．3
2．矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是（）
A．互相平分
B．互相垂直
C．相等
D．任何一条对角线平分一组对角
3．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）
A．
B．
C．
D．
4．如果（2+）2＝a+b，a，b为有理数，那么a﹣b＝（）
A．3B．4﹣C．2D．﹣2
5．Rt△ABC中两条边的长分别为a＝1，b＝2，则第三边c的长为（）
A．B．C．或D．无法确定
6．寓言故事《乌鸦喝水》教导我们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解．如图，一个紧口瓶中盛有一些水，可乌鸦的嘴够不到瓶中的水．于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中的水面高度得到提升．由于放入的石子较多，水都快溢出来了，乌鸦成功喝到了水，如果衔入瓶中石子的体积为x，水面高度为y，下面图象能大致表示该故事情节的是（）
A．B．
C．D．
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠COE＝30°，∠ADC＝50°，则∠BAC＝（）
A．80°B．90°C．100°D．110°
8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（）
A．B．
C．D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S
＝（）
△AEC
A．8B．7.5C．7D．6
10．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+5的图象l1与正比例函数的图象l2交于点M（m，3），一次函数y＝kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3能围成三角形，则在下列四个数中，k的值能取的是（）
A．﹣2B．1C．2D．3
二.填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分.）
11．一组数据5，7，2，5，6的中位数是．
12．已知一次函数y＝（2m﹣3）x﹣m+5的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是．
13．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如果四边形ABCD的中点四边形是矩形，则对角线AC BD．
14．如图，以Rt△ABC的两条直角边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝5，则图中阴影部分的面积为．
15．若一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为．三.解答题：（本大题共7小题，共55分）
16．（6分）计算：
（1）（）0﹣
（2）×+（+）（﹣）
17．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD 的长．
18．（6分）王老师为了了解学生在数学学习中的纠错情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的八年级（5）班和八年级（6）班进行了检测．并从两班各随机抽取10名学生的得分绘制成下列两个统计图．根据以上信息，整理分析数据如下：
班级 八年级（5）班 （1）求出表格中a ，b ，c 的值；
（2）你认为哪个班的学生纠错得分情况比较整齐一些，通过计算说明理由．
19．（8分）如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF ． （1）求证：D 是
BC 的中点；
（2）若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．
20．（9分）2019年是我们伟大祖国建国70周年，各种欢庆用品在网上热销．某网店销售甲、乙两种纪念商品，甲种商品每件进价150元，可获利润40元；乙种商品每件进价100元，可获利润30元．由于这两种商品特别畅销，网店老板计划再购进两种商品共100件，其中乙种商品不超过36件．
（1）若购进这100件商品的费用不得超过13700元，求共有几种进货方案？
（2）在（1）的条件下，该网店在7•1建党节当天对甲种商品以每件优惠m （0＜m ＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种商品价格不变，那么该网店应如何调整进货方案才能获得最大利润？ 21．（10分）【知识背景】
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
【应用举例】
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股4＝（9﹣1），弦5＝（9+1）；
勾为5时，股12＝（25﹣1），弦13＝（25+1）；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，
则股＝，弦＝．
【解决问题】
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝，c＝，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、
24、：第二组：、、37．
22．（10分）知识再现：
如果M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点坐标为（，）；对于两个一
次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2，若两个一次函数图象平行，则k1＝k2且b1≠b2；若两个一次函数图象垂直，则k1•k2＝﹣1．
提醒：在下面这个相关问题中如果需要，你可以直接利用以上知识．
在平面直角坐标系中，已知点A（0，8），B（6，0）．
（1）如图1，把直线AB向右平移使它经过点P（6，4），如果平移后的直线交y轴于点A′，交x轴于点B′，请确定直线A′B′的解析式．
（2）如图2，连接BP，求B′P的长．
（3）已知点C是直线y＝﹣x上一个动点，以AB为对角线的四边形ACBD是平行四边形，当CD取最小值时，请在图3中画出满足条件的▱ACBD，并直接写出此时C点坐标．
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共10个小题.每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【分析】根据根式运算法则逐个进行计算即可．
【解答】解：①＝﹣2，故错误；
②（）2＝﹣5，错误；
③×＝，正确；
④（﹣）2＝5﹣2，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简，注意二次根式要化最简．
2．【分析】因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．
【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选A．故选：A．
【点评】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
3．【分析】根据函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而判断得出即可．
【解答】解：选项ABC中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，故y是x的函数；
只有选项D中，x取1个值，y有2个值与其对应，故y不是x的函数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数的定义，正确掌握函数定义是解题关键．
4．【分析】直接利用完全平方公式化简进而得出a，b的值求出答案即可．
【解答】解：∵（2+）2＝a+b，
∴7+4＝a+b，
∵a，b为有理数，
∴a＝7，b＝4，
∴a﹣b＝7﹣4＝3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确应用完全平方公式是解题关键．
5．【分析】分b是直角边、b是斜边两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：当b是直角边时，斜边c＝＝，
当b是斜边时，直角边c＝＝，
则第三边c的长为或，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
6．【分析】根据题意可以分析出各段过程中h与t的函数关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，
刚开始瓶子内盛有一些水，则水面的高度大于0，故选项A，B错误，
然后乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中的水面高度随着t的增加缓慢增加，当水面与瓶子竖直部分持平时，再继续上升的过程中，h与t成一次函数图象，故选项C错误，选项D正确，故选：D．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．【分析】根据平行四边形的性质得到DO＝OB，∠ABC＝∠ADC＝50°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，根据平行线的性质得到∠ACB＝∠COE＝30°，利用三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝OB，∠ABC＝∠ADC＝50°，
∵DO＝OB，DE＝EC，
∴OE∥BC，
∴∠ACB＝∠COE＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
8．【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法
求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组． 【解答】解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）； 分别求出图中两条直线的解析式为y ＝2x ﹣1，y ＝﹣x +2，
因此所解的二元一次方程组是．
故选：A ．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
9．【分析】根据直角三角形的性质得到AE ＝BE ＝CE ＝AB ＝5，根据勾股定理得到CD ＝＝3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，C 点E 是边AB 的中点，
∴AE ＝BE ＝CE ＝AB ＝5， ∵CD ⊥AB ，DE ＝4，
∴CD ＝
＝3，
∴S △AEC ＝S △BEC ＝BE •CD ＝
3＝7.5， 故选：B ．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能求出AE ＝CE 是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
10．【分析】把M （m ，3）代入一次函数y ＝﹣2x +5得到M （1，3），求得l 2的解析式为y ＝3x ，根据l 1，l 2，l 3能围成三角形，l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y ＝kx +2的图象不经过M （1，3），于是得到结论．
【解答】解：把M （m ，3）代入一次函数y ＝﹣2x +5得，可得m ＝1， ∴M （1，3）， 设l 2的解析式为y ＝ax ， 则3＝a ， 解得a ＝2，
∴l 2的解析式为y ＝3x ， ∵l 1，l 2，l 3能围成三角形，
∴l1与l3，l3与l2有交点且一次函数y＝kx+2的图象不经过M（1，3），
∴k≠3，k≠﹣2，k≠1，
∴k的值能取的是2，
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数图象及性质；熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．
二.填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分.）
11．【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：将数据从小到大排列2，5，5，6，7，
因此中位数为5．
故答案为5
【点评】本题考查了中位数，正确理解中位数的意义是解题的关键．
12．【分析】若函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，由此可以确定m的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝（2m﹣3）x﹣m+5经过第一、二、四象限，
∴2m﹣3＜0，﹣m+5＞0，
故m＜．
故答案是：m＜．
【点评】考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．13．【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得GH∥AC，同理可得EF∥AC，HG∥EF，HE ∥GF，可得中点四边形是平行四边形，要想保证中点四边形是矩形，需要对角线互相垂直．【解答】解：∵H、G，分别为AD、DC的中点，
∴HG∥AC，
同理EF∥AC，
∴HG∥EF；
同理可知HE∥GF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
当AC⊥BD时，AC⊥EH．
∴GH⊥EH．
∴∠EHG＝90°．
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：⊥．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，矩形的判定，熟练运用三角形的中位线定理是解题的关键．
14．【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝5，
S
＝（AC2+BC2）＝×25＝，
阴影
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
15．【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．
【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，
解得：，
此时y＝2x+7，
（Ⅱ）当k＜0时，，
解得：，
此时y＝﹣2x+3，
综上，所求的函数解析式为：y＝2x+7或y＝﹣2x+3．
【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．
三.解答题：（本大题共7小题，共55分）
16．【分析】（1）根据零指数幂的意义以及二次根式的运算法则即可求出答案．（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：（1）原式＝1﹣＝1﹣3＝﹣2；
（2）原式＝+5﹣3
＝6+5﹣3
＝8；
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．17．【分析】依据菱形的性质可得Rt△ABO中∠ABO＝30°，则可得AO和BO长，根据AC＝2AO 和BD＝2BO可得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°．
在Rt△ABO中，AB＝10，
∴AO＝5，BO＝5．
∴AC＝2AO＝10，BD＝2BO＝10．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，解决菱形中线段的长度问题一般转化为在直角三角形中利用勾股定理求解．
18．【分析】（1）将条形统计图中数据相加再除以10，即可到样本平均数；找到图折线统计图中出现次数最多的数和处于中间位置的数，即为众数和中位数；
（2）计算出两个班的方差，方差越小越整齐．
【解答】解：（1）八年级（5）班的平均数a＝（21×3+24×4+27×3）＝24；
八年级（6）班处于中间位置的数为27和27，中位数b＝27，出现次数最多的数为27，众数c＝27；
（2）S52＝[（21﹣24）2×3+（24﹣24）2×4+（27﹣24）2×3]
＝×（27+27）＝5.4；
S62＝[（15﹣24）2+（18﹣24）2×2+（21﹣24）2+（27﹣24）2×4+（30﹣24）2×2]
＝×276＝27.6；
S52＜S62，八年级（5）班成绩比较整齐．
【点评】本题考查了条形统计图，方差、算术平均数、众数和中位数，熟悉各统计量的意义及计算方法是解题的关键．
19．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB＝AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD，
∴D是BC的中点；
（2）解：若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD；
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
20．【分析】（1）设甲种纪念商品购进x件，则乙种纪念商品购进（100﹣x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过13700元，列出不等式解答即可；
（2）首先求出总利润W的表达式，然后针对m的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．【解答】解：（1）设甲种纪念商品购进x件，则乙种纪念商品购进（100﹣x）件，
根据题意得：，
解得：64≤x≤74，
故进货方案有11种，甲种纪念商品购进件数最少64件，最多74件．
（2）设总利润为W元，依题意可知：
W＝（40﹣m）x+30（100﹣x），
即W＝（10﹣m）x+3000，
①当0＜m＜10时，10﹣m＞0，W随x增大而增大，
∴当x＝74时，W有最大值，即此时购进甲种服装74件，乙种服装26件；
②当m＝10时，所以按哪种方案进货都可以；
③当10＜m＜20时，10﹣m＜0，W随x增大而减小．
当x＝64时，W有最大值，即此时购进甲种服装64件，乙种服装36件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利用x
表示出利润是关键．
21．【分析】（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24＝（49﹣1），弦25＝（49+1）；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝m2﹣1，c＝m2+1；
（4）依据柏拉图公式，若m2﹣1＝24，则m＝5，2m＝10，m2+1＝26；若m2+1＝37，则m＝6，2m＝12，m2﹣1＝35．
【解答】解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24＝（49﹣1），弦25＝（49+1），
故答案为：（49﹣1），（49+1）；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1），
故答案为：（n2﹣1），（n2+1）；
（3）根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，a＝2m（m表示大于1的整数），则b＝m2﹣1，c＝m2+1；
故答案为：m2﹣1，m2+1；
（4）依据柏拉图公式，
若m2﹣1＝24，则m＝5，2m＝10，m2+1＝26；
若m2+1＝37，则m＝6，2m＝12，m2﹣1＝35；
故答案为：10、26；12、35．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
22．【分析】（1）用待定系数法可求直线AB的解析式，由平移的性质可设直线A'B'的解析式为：y
＝﹣x+b，将点P坐标代入可求直线A′B′的解析式；
（2）由P（6，4），B（6，0），点B'坐标（9，0）可得BP⊥B'B，BP＝4，BB'＝3，由勾股定理可求B'P的长；
（3）由平行四边形的性质可得EC＝DE＝CD，AE＝BE，当CE⊥CO时，CE的值最小，即CD 的值最小，由中点坐标公式可求点E坐标，可求CE解析式，列出方程组可求点C坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，且过点A（0，8），B（6，0）．
∴
∴
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8
∵直线AB向右平移使它经过点P（6，4），
∴直线A'B'的解析式为：y＝﹣x+b，且过点P（6，4）∴4＝﹣×6+b
∴b＝12
∴直线A'B'的解析式为：y＝﹣x+12
（2）∵直线A'B'交y轴于点A′，交x轴于点B’
∴当x＝0时，y＝12，
当y＝0时，x＝9
∴点A'坐标（0，12），点B'坐标（9，0）
∵P（6，4），B（6，0），点B'坐标（9，0）
∴PB⊥x轴，BP＝4，BB'＝3
∴B'P＝＝5
（3）如图，设AB与CD的交点为E，
∵四边形ACBD是平行四边形
∴EC＝DE＝CD，AE＝BE，
∴要使CD取最小值，即CE的值最小，
由垂线段最短可得：当CE⊥CO时，CE的值最小，即CD的值最小，
∵点A（0，8），B（6，0），且AE＝BE
∴点E（3，4）
∵CD⊥CO，直线CO解析式为：y＝﹣x
∴设CE解析式为：y＝x+n，且过点E（3，4）
∴4＝3+n
∴n＝1
∴CE解析式为：y＝x+1
∴联立直线CE和OC的解析式成方程组，得
解得
∴点C（﹣，）
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式、平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键是：（1）读懂并理解材料；（2）利用中点坐标公式求出点E的坐标；（3）联立两直线的解析式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标．。