逻辑与科学方法论基础第二章命题逻辑基本知识

解：令p、q、r、s、t、u分别表示“1号上场”、 “3号上场”、 “4
号上场”、“6号上场”、 “9号上场”、 “12号上场”，则前提（1） －（5）可分别表达为：r →s，﹁p ←﹁q，q →﹁s，t ∧u →r，p ∧u 应用形式证明推导如下：
普通逻辑学基本知识
① r →s ② ﹁p←﹁q ③ q →﹁s ④ t∧u → r ⑤ p∧ u ⑥ p ⑦ q ⑧ ﹁s ⑨ ﹁r ⑩ ﹁( t ∧u ) 11. ﹁ t∨﹁ u 12. u 13. ﹁ t 前提 前提 前提 前提 前提 由⑤，∧分解式 由②⑥，←否定前件式 由③⑦，→肯定前件式 由①⑧，→否定后件式 由④⑨ ，→否定后件式 由⑩，德摩根律 由⑤， ∧分解式 由11、12，∨否定肯定式
排中律（Law of Excluded Middle ）：在同一个思维过程中，不能
同时否定两个相互反对的命题。 形式： A或非A p∨﹁p
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
1. 析取定义律： (p∨q ) ↔ ﹁(﹁ p∧﹁ q ) 2. 合取定义律： (p∧q ) ↔ ﹁(﹁ p∨﹁ q ) 3. 德摩根律： ﹁ (p∧q ) ↔ (﹁ p∨﹁ q ) ﹁ (p∨ q ) ↔ (﹁ p∧ ﹁ q ) 4. 蕴涵定义律： (p →q ) ↔ (﹁p∨q) 5. 否定蕴涵律： ﹁ (p →q ) ↔ (p∧﹁q) 6. 逆蕴涵定义律： (p ←q ) ↔ (p∨﹁q) 7. 否定逆蕴涵律： ﹁ (p ←q ) ↔ (﹁p∧q) 8. 蕴涵逆蕴涵交换律： (p →q ) ↔ (q ← p ) (p ←q ) ↔ (﹁ p → ﹁ q ) 9. 等值定义律： (p ↔q ) ↔ ((p∧q )∨(﹁p∧﹁q)) (p ↔q ) ↔ ( p →q )∧(p ←q) 10. 否定等值律： ﹁ (p ↔q ) ↔ ((p∧﹁ q )∨(﹁p∧q))
得到公正的分配；而财富的Fra Baidu bibliotek正分配将结束经济风险；但是，风 险的存在正是经济有效率运作的不可或缺的先决条件。
从这个经济学家的上述观点，可以得出以下哪项结论？
A. 一个国家政治上的稳定和经济上的富有不可能并存。
B. 一个国家政治上的稳定和经济上的有效率运作不可能并存。
C. 一个富有国家的经济动作一定是有效率的。 D. 在一个经济运作无效率的国家中，财富一定得到了公正的分配。
1. 行数取决于命题变项的数量：n个变项，则有2n 行； 2. 列数取决于命题的复杂程度。
普通逻辑学基本知识
真值(命题)形式的种类
永真（重言）式：在真值表中取值恒真的真值形式。 永假（矛盾）式：在真值表中取值恒假的真值形式。 适真（可满足）式：在真值表中取值有真有假的真值形式。
p 1 q 1 ﹁p 0 p→q 1 p ∧﹁p ﹁( p ∧﹁p ) p ∨﹁ p 0 1 1 p→ p 1
真 假
假
无效 有效
无效
错误 错误
错误
不定 不定
不定
第二讲
命题逻辑基本知识
逻辑学概述 普通逻辑学基本知识 狭义数理逻辑
普通逻辑学基本知识
符号体系
命题变项：p，q，r ，s，t ...... 命题常项：
联结词 符号 否定 ﹁ 日常读法 “并非” 类型 一元 例如 ﹁p 命题类型
负命题
合取
析取 蕴涵 逆蕴涵 等值
逻辑学概述 —— 逻辑学研究对象
思维形式 由逻辑常项和逻辑变项组成的思维表达式。
逻辑常项：在某种逻辑形式中不随思维内容发生变化的部分。
（判定一逻辑形式之具体类型的惟一根据） 如：联结词 ﹁ ， → ， ← ， ↔ ， ∧ ，∨ ......
A，E， I，O
逻辑变项：在某种逻辑形式中随着思维具体内容的变化而发生变
化的部分。 如：概念变项 P ，S ...... 命题变项 p，q，r ......
与代数比较：x2 + y2 = z2
逻辑学概述 —— 逻辑学研究对象
推理形式的有效性
有效（valid）式：若前提为真，则结论必然为真的推理形式。
（前提与结论间具有必然性推出关系）
无效（invalid）式：当前提为真，但结论不必然为真的推理形式。
E. 一个政治上不稳定的国家，一定同时充满了经济风险。
普通逻辑学基本知识
1. 以下是一个西方经济学家陈述的观点： 一个国家如果能有效率地运作经济，就一定能创造财富的
变得富有；而这样的一个国家想保持政治稳定，它所创造的财
富必须得到公正的分配；而财富的公正分配将结束经济风险； 但是，风险的存在正是经济有效率运作的不可或缺的先决条件。
2. P I M MIS SI P
有的人是科学家 有的科学家是哲学家
有的巧克力是甜的
有的甜的是西瓜 有的西瓜是巧克力
有的哲学家是人
注意：
1. 推理形式是否有效，与前提和结论事实上的真假无关； 2. 只要存在前提真而结论假的情况，则推理形式无效。
逻辑学概述 —— 逻辑学研究对象
推理与推理形式
推理形式：有效/无效 正确的推理：形式有效 且 前提真实（正确） 推理 错误的推理：形式无效 或 前提虚假（错误） 前提 真 推理形式 有效 推理 正确 结论 真
1 0 0
0 1 0
0 1 1
0 1 1
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
适真式没有确定的真值，而一旦将其变项带入具体内容 后，所得到的命题的值也就唯一确定了。
普通逻辑学基本知识
复合命题推理的有效式
类 型
负命题推理
有效式
双重否定： p├ ﹁﹁p ﹁﹁p├ p 或 ： p├┤﹁﹁p 分解式： p∧q├ p p∧ q├ q
（简单、复合） 表达命题的语句：陈述、反问、感叹、祈使句
特性：有真值（真、假）
推理 —— 由一个或多个命题推出另一个命题的思维形态
（简单、复合）
逻辑学概述 —— 逻辑学研究对象
思维形式
形 态 形 式（变项、常项）
P, Q, R, S, T…
SIP…； p, q, r, s, t…
概念 花，红色，哥德巴赫猜想，鬼 ……
0
1
1
1
0
1
0
等值（equivalent）关系：每一行都同真、同假
矛盾（contradictory）关系：每一行都不同真、不同假
普通逻辑学基本知识
1. 以下是一个西方经济学家陈述的观点： 一个国家如果能有效率地运作经济，就一定能创造财富的变得
富有；而这样的一个国家想保持政治稳定，它所创造的财富必须
普通逻辑学基本知识
命题的成真条件
1 代表“真”，0 代表“假”
p 1 1 q 1 0 ﹁p 0 0 p∧q 1 0 p ∨q 1 1 p→ q 1 0 p← q 1 1 p ↔q 1 0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
P真则 全真则 一真则 前真后假 前假后真 同真（假） 假，p 真，其 真，全 则假，其 则假，其 则真，其 假则真 余为假 假则假 余为真 余为真 余为假
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
检验： 4. 蕴涵定义律：
5. 否定蕴涵律：
(p →q ) ↔ (﹁p∨q)
﹁ (p →q ) ↔ (p∧﹁q)
p 1 1 0
q 1 0 1
﹁p ﹁q p →q 0 0 1 0 1 1 0 0 1
﹁ (p →q ) 0 1 0
﹁p∨q 1 0 1
p∧﹁q 0 1 0
0
普通逻辑学基本知识
2. 某女排队有1号、3号、4号、6号、9号和12号等六名主力队员。在长 期的训练和比赛中，教练对主力队员之间的最佳配合总结了几条规律： （1）要是4号上场，6号也要上场； （2）只有1号不上场，3号才不上场； （3）如果3号上场，6号就不上场； （4）如果9号和12号同时上场，则4号也要上场。 现在，需要 （5）1号和12号同时上场。 请问：为了保持球场最佳阵容，9号该不该上场？
逻辑与科学方法论基础
付 敏
澳门科技大学通识教育部 二○一一年
内容纲要
第一讲 第二讲 导论 命题逻辑基本知识
第三讲
第四讲 第五讲 第六讲 第七讲
类比与归纳方法
公共知识的逻辑 逻辑实证主义的科学方法论 波普的证伪主义科学方法论 库恩的历史主义科学方法论
第八讲
第九讲 第十讲
费耶阿本德的科学方法论
博弈思维与社会科学方法论 科学发展的杠杆：逻辑悖论
从这个经济学家的上述观点，可以得出以下哪项结论？
政治稳定 → 财富公正分配
财富公正分配 → 结束经济风险 结束经济风险 → 不能有效率地运作经济 所以，政治稳定 → 不能有效率地运作经济
普通逻辑学基本知识
2. 某女排队有1号、3号、4号、6号、9号和12号等六名主力队员。在长 期的训练和比赛中，教练对主力队员之间的最佳配合总结了几条规律： （1）要是4号上场，6号也要上场； （2）只有1号不上场，3号才不上场； （3）如果3号上场，6号就不上场； （4）如果9号和12号同时上场，则4号也要上场。 现在，需要 （5）1号和12号同时上场。 请问：为了保持球场最佳阵容，9号该不该上场？
简单 有些花是红色的。
命题
复合
简单
如果你解决了哥德巴赫猜想， p→ q， ﹁ p， p ∧ q， 那么我就去跳楼。 p∨ q， p← q ， p ↔ q 有些花是红色的， 所以，有些红色的是花。 SIP├ PIS；SAP…
推理
如果你解决了哥德巴赫猜想， p├ p 那么我就去跳楼； 复合 你没有解决哥德巴赫猜想。 p→ q, ﹁ p├ q 所以，我不去跳楼。
如果 1+1=2，那么 2+2=4； 1+1=2 。 所以， 2+2=4 。
注意：
1. 推理形式是否有效，与前提和结论事实上的真假无关； 2. 只要存在前提真而结论假的情况，则推理形式无效。
逻辑学概述 —— 逻辑学研究对象
推理形式的有效性
例如：
1. 如果 p，那么 q； p。 所以，q。 如果上帝是全善的，那么人间就没有罪恶； 上帝是全善的。 所以，人间没有罪恶。
无效式
联言推理
组合式： p，q├ p∧q
选言推理
否定肯定式： p∨q , ﹁p├ q p ∨ q ∨ r, ﹁ q ├ p ∨ r
附加律：p├ p∨q p∨ q├ p∨ q∨ r
肯定否定式
普通逻辑学基本知识
复合命题推理的有效式
类 型
充分条件假言推理
有效式
肯定前件式： p→q , p├ q 否定后件式： p→q , ﹁q├ ﹁p
普通逻辑学基本知识
命题的成真条件
1 代表“真”，0 代表“假”
p 1 1 q 1 0 ﹁p 0 0 p∧q 1 0 p ∨q 1 1 p→ q 1 0 p← q 1 1 p ↔q 1 0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
P真则 全真则 一真则 前真后假 前假后真 同真（假） 假，p 真，其 真，全 则假，其 则假，其 则真，其 假则真 余为假 假则假 余为真 余为真 余为假
第二讲
命题逻辑基本知识
第二讲
命题逻辑基本知识
逻辑学概述 普通逻辑学基本知识 狭义数理逻辑
逻辑学概述 —— 逻辑学研究对象
逻辑学：研究思维形式结构及其规律的学科。
思维的形态
概念 —— 反映对象本质属性或特有属性的思维形态
（内涵、外延） 表达概念的一般是名词、形容词等实词
命题 —— 对对象有所断定（肯定/否定）的思维形态
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
同一律（Law of Identity）：在同一个思维过程（同一对象、时间、
关系）中，每一思想（概念、命题）必须与其自身保持同一。 形式：A 是 A ； p → p
矛盾律（Law of Non-Contradiction ）：在同一个思维过程中，不能
同时肯定两个相互反对的命题。 形式： A 不是非A ﹁(p∧﹁p)
（前提与结论间不具有必然性推出关系）
注意：
1. 推理形式是否有效，与前提和结论事实上的真假无关； 2. 只要存在前提真而结论假的情况，则推理形式无效。
逻辑学概述 —— 逻辑学研究对象
推理形式的有效性
例如：
1. 如果 p，那么 q； p。 所以，q。 如果上帝是全善的，那么人间就没有罪恶； 上帝是全善的。 所以，人间没有罪恶。 如果 1+1=3，那么 2+2=6； 1+1=3 。 所以， 2+2=6 。
无效式
否定前件式 肯定后件式
必要条件假言推理
否定前件式： p←q , ﹁p├ ﹁q 肯定后件式： p←q , q├ p
肯定前件式 否定后件式
肯定前件式： p ↔ q , p├ q 充分必要条件假言 肯定后件式： p ↔q , q├ p 推理 否定前件式： p ↔ q , ﹁p├ ﹁q 否定后件式： p ↔q , ﹁q├ ﹁p
∧
∨ → ← ↔
“并且”
“或者” “如果…那 么…” “只有…才…” “当且仅当”
二元
二元 二元 二元 二元
p∧ q
p∨ q p→ q p← q p↔q
联言命题
选言命题 充分条件假言命题 必要条件假言命题 充分必要条件假言命题
推出符号： 推出：├
如： p→q, p├ q （ p→q 和p 推出 q ） 互推：├┤ 如：p├┤﹁﹁ p （p 和 ﹁﹁ p 互推）