固体物理--能带理论
固体物理黄昆
V (r a )] f (r a )
2 r a
和
2 x 2 ,
2 y2 ,
2 z 2
微分结果一样
T
Hˆ f
(r)
[
2 2m
2 r
V
(r)]
f
(r
a
)
Hf (r a ) HT f (r )
T H HT
布洛赫定理：当势场
V
(r )
具有晶格周期性时，波动
方程的解具有以下性质
(r
Rn
)
e
ik Rn
(r )
k 为一矢量。当平移晶格矢量为
了位相因子
e
ik
Rn
Rn
，波函数只增加
根据布洛赫定理，波函数可以写成
(r )
e
ik r
uk
(r )
布洛赫函数
H Hi
i
H i ( ri ) Ei ( ri )
能带理论的基本近似和假设:
3)周期性势场假设: 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
V ( r ) ( r ) u( r )
V ( r ) V ( r Rn )
在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多
电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子
TT T T
平移任意晶格矢量 Rm m1a1 m2a2 m3a3
对应的平移算符
T
(
Rm
)
T m1 1
能带理论在固体物理中的应用
能带理论在固体物理中的应用随着科技的不断进步，物理学研究的深度和广度也在不断扩展和深化。
当今，固体物理学已经成为物理学的一个重要分支，涉及了诸多领域，例如半导体物理、磁性物理、纳米材料等等。
能带理论作为固体物理学的重要基础理论之一，已经应用于许多领域，对于提供理论模型和实验设计都具有重大意义。
能带理论最早来源于研究金属中电子行为的工作，后经过发展和推广，得到了广泛应用。
在能带理论中，电子是以能带的形式出现的，能带是能量空间的一种描述方式，代表了在特定能量范围内，电子空间所具有的状态。
不同能带之间的电子状态是不同的，因此能带理论在描述电子的行为时非常有效。
在半导体物理中，能带理论被广泛应用。
半导体是指在温度很低时，电子受外力作用下所产生的电导率比金属低，比非金属高的物质。
在半导体中，能带理论对于半导体中的电子行为有着非常重要的作用。
例如，由于硅、锗等半导体中的禁带宽度较小，所以电子的自由运动范围也较小，容易受热效应和掺杂等外部因素的影响。
想要提高半导体的电导率，就必须通过能带理论来设计非常完美的材料结构。
在现代磁性物理的研究中，能带理论同样具有重要的地位。
磁性物理是指研究宏观或微观磁性体性质的物理学分支，它涉及到固体物理中的自旋和磁矩等概念，而能带理论对于研究这些问题有着非常重要的作用。
例如，在铁磁金属中，自旋极化效应会导致磁性电子在框架中的分裂，使电子的行为与非磁性电子的行为不同，因此能带理论的应用是非常必要的。
纳米科技是指通过控制和操作微小纳米级尺度的物质，从而制造新型材料和构建各种器件的技术。
能带理论也在纳米科技中得到了广泛的应用。
例如，通过计算和模拟得到的纳米结构的Electronic Density of States(EDoS)能够对纳米电子学中的输运性质，如霍尔效应和隧穿效应等进行研究。
因此，能带理论在纳米科技中的应用也有非常重要的意义。
总之，能带理论是固体物理学中重要的理论之一，它在多个领域中得到了广泛的应用。
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
固体物理学能带理论小结
固体物理学能带理论⼩结能带理论⼀、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近⾃由电⼦近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及⼏个典型的结构的计算；5）明⽩简约布⾥渊区的概念和能带的意义及应⽤；6）会计算能态密度。
本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍⽣出来的的模型的应⽤。
⽐如将能带理论应⽤于区分绝缘体，导体，半导体；2）对三种模型的证明推导。
了解容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。
⼆、基本容1、三种近似在模型中它⽤到已经下假设：1）绝热近似：由于电⼦质量远⼩于离⼦质量，电⼦的运动速度就⽐离⼦要⼤得多。
故相对于电⼦，可认为离⼦不动，或者说电⼦的运动可随时调整来适合离⼦的运动。
多体问题化为了多电⼦问题。
2）平均场近似：在上述多电⼦系统中，可把多电⼦中的每⼀个电⼦，看作是在离⼦场及其它电⼦产⽣的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。
多电⼦问题化为单电⼦问题。
3）期场近似：假定所有离⼦产⽣的势场和其它电⼦的平均势场是期势场，其期为晶格所具有的期。
单电⼦在期性场中。
2、期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格期性时，电⼦波动程的解具有以下性质：形式⼀：()()nik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式⼆：()()ik rr e u r ψ?=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了期场的波函数可取布拉维格⼦的所有格⽮成⽴。
2）证明过程：a. 定义平移算符µT ，)()()()(332211321a T a T a T R T mmmm ?= b ．证明µT 与?H的对易性。
ααHT H T =c.代⼊期边界条件，求出µT 在µT 与?H共同本征态下的本征值λ。
能带理论-固体物理理论
三 倒格子
基矢+法线取向 周期性的点 米勒指数 倒格子 晶面族 基矢 P点的位矢： 光程差 正格矢
衍射极大值条件 令 则
令 则 倒格矢
若倒格矢写为：
倒格矢和正格矢之间的关系：
反比 倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。
周期边界条件(Born-Von Karman)
边界上原子的振动对于晶格振动的色散关系的影响是很小的。 1.固定边界条件 即固定两端的原子不动，得到驻波解。 2.周期边界条件 行波解
波矢是量子化的
七一维双原子链
色散关系
色散关系
声学支 光学支
禁带
光学波&声学波
主要依据长波极限下的性质
&
极化波
长光学波可以利用光波的电磁场激发
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。 单电子的薛定谔方程为：
Bloch定理： 周期势场的平移对称性
周期势场中粒子波函数的形式为： 即，波函数不再是平面波，而是调幅的平面波，幅度周期性变化。 另外一种形式：
它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子 ， 所以不同原胞对应点上，电子出现的几率是相同的，这是晶体周期性的反映。
声子
晶格的振动是一种集体运动形式，表现为不同模式的格波
简正变化，消除交叉项
晶格振动的总Hamiltonian
晶格振动系统的总能量为 能量是量子化的
声子：
特点： 1.准粒子：不是真实的粒子，不能游离于固体之外 2.准动量： 3.Bose子：
第二章能带理论ppt课件
能级
能带 E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
固体物理(第14课)能带理论
根据布洛定理，有 k ( r Rn ) e e e 因而有：
k (r)
e uk ( r ) uk ( r )
i k Rn i k r i k ( Rn r )
uk ( r Rn ) uk ( r )
i k r
上式表明，在周期场中 运动的单电子，其能量 本征函数
l1、l2、l3 Z
为了确定本征值，引入玻恩-卡门边界条件
( r ) ( r N1a1 ), ( r ) ( r N 2a2 ), ( r ) ( r N 3a3 ),
N1
N N1 N 2 N 3
( r N1a1 ) T1 ( r ) 1 ( r ),
(r) u(r) eikr
比较
势场为0
正离子
周期势场 正离子
电子波函数
周期性势场
势场中电子的波函数
6.1.1 布洛赫定理的证明
平移对称性
晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格 在平移对称操作下是不变的。 T(Rn)平移算符表示使r到r+Rn的平移操作相当的算符。 其意义是使T(Rn)作用在任意函数f(r)上产生新的函数 f(Rn+r)。 T(Rn) f(r)= f(Rn+r) 晶体中的平移算符共有N1×N2×N3种 平移算符彼此对易，即：
k ( r N1a1 N 2a2 N 3a3 ) eik( N a N a N a ) k ( r ) 因此有：N1a1 N 2a2 N 3a3 2 n
1 1 2 2 3 3
l1 l2 l3 而此仅当 k b1 b2 b3 N1 N2 N3 时才能满足。
固体物理学中的电子结构和能带理论
固体物理学中的电子结构和能带理论固体物理学是研究物质的电子结构、自旋、磁性、导电、热学等性质的分支学科。
而电子结构与能带理论是固体物理学中最基础、最基本的概念之一。
电子结构指的是物质中电子的分布状态。
在经典物理学中，物质中的电子被视为点电荷，可以精确地计算出电子在各个位置上的势能的大小。
但是，在量子力学中，电子被视为一种波动性粒子，其能量和动量在各个方向上都是有限制的。
因此，在固体中，每个电子存在着特殊的运动方式，也即是所谓的“波函数”。
能带理论是电子结构理论中的一种，用于解释在固体物质中电子结构与导电性等现象。
能带即不同电子能量的总体能量段。
在能带理论中，一个电子在周期性势场作用下发生运动，其波函数可以写成布洛赫函数的形式。
由于电子的波函数受局限于介质的周期性势场，存在独特的运动方式，所以电子的能量只能分布在特定能量范围内，而不是一种连续的分布。
电子的能量态分布在空间中的不同区域、形成电子能带结构或禁带结构。
由于禁带存在，在晶体中当电子没有激发到更高的能量带时，这些电子是不能参与导电的，因此，晶体的导电性与禁带的大小有着密切的联系。
除此之外，电子的运动、能量和动量在车里士空间中是有限制的，车里士空间即为由倒易格子所构成的空间。
倒易空间的概念，在固体物理学中也是非常重要的概念之一。
由倒易空间的性质可以分析出生长晶体过程中的晶格常数大小对于晶体中能带结构的影响。
总之，电子结构与能带理论在固体物理学、材料学、电子学等领域的应用不可谓不广泛。
对于制造半导体材料与计算机芯片来说，这些概念至关重要。
同时，电子结构理论的另一大作用，是使得物理学者们在研究电子结构时，更进一步理解微观世界的本质。
固体物理第5章-能带理论-习题参考答案
第六章 能带理论 (习题参考答案)1. 一矩形晶格，原胞长10a 210m -=⨯，10b 410m -=⨯ （1）画出倒格子图（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子） 解：（1）因为a =a i=20A i b =b j=40A j倒格子基矢为12a i A*=, 014b j A*=以a * b *为基矢构成的倒格子如图。
由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。
(2)取任一倒格子点O 作为原点，由原点以及最近邻点A i ,次近邻点B i 的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。
如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。
(3) 设晶体中共有N 个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N 个状态。
简约布里渊区的面积021()8A a b A ***-=⨯=而状态密度022()16()Ng K N A A *==当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为202()216Fk F N g k kdk N k ππ=⨯=⎰所以01/211111()0.2()210()8F k A m π---=≈=⨯这就是费米圆的半径。
费米圆如下图所示2. 已知一维晶体的电子能带可写成()2271cos cos 2,88E k ka ka ma ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭式中a 是晶格常数。
试求： （i ）能带的宽度；（ii ）电子在波矢k 状态时的速度； （iii ）能带底部和顶部电子的有效质量。
()()()()()()()()22222min 2max 22max min 22222min 71cos cos 2,8811cos 24400,2;221sin 24sin 404k i E k ka ka ma ka ma k E k E a maE E E ma maii v E kv ka ka maiiiE k k kE E m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦====∆=-=∴=∇∴=--==+解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得：()()()22min 22max 22max 22034223kE m m m E k k E E k mk E m m mππδδδ****=+∴===-=+∴=-在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k=+k 可得：aa3. 试证明：如果只计及最近邻的相互作用，用紧束缚方法导出的简单立方晶体中S 态电子的能带为word 格式-可编辑-感谢下载支持()2cos 2cos 2cos 2s x y z E k E A J ak ak ak πππ⎡⎤=--++⎣⎦并求能带的宽度。
固体物理中,能带论的三个近似
固体物理中,能带论的三个近似1.引言1.1 概述固体物理是研究固体材料中原子或分子的行为和性质的学科领域。
能带论是固体物理中一个非常重要的理论，它描述了电子在晶体中的能量分布及其行为规律。
能带论的三个近似是固体物理中非常重要的概念。
第一个近似是关于能带的定义和特点。
能带是指具有相似能量的电子态的集合。
在固体中，原子间的相互作用引起了电子的周期性排列，形成能带结构。
能带结构决定了电子能量的分布及其在固体中的运动方式。
根据波尔兹曼统计，能带中的电子填充情况将影响固体的导电性、磁性等物理性质。
第二个近似是关于周期势场下的能带结构。
周期势场是指固体中原子间的周期性排列造成的电子受到的平均势场。
在周期势场下，电子的行为将受到布洛赫定理的约束，即电子波函数在晶格周期性重复。
这样，能带结构就可以通过布洛赫定理进行简化描述，从而得到电子能量与波矢的关系。
第三个近似是近自由电子近似。
近自由电子近似是指在某些特定材料中，电子在晶格势场下的运动表现出类似自由电子的行为。
在近自由电子近似下，电子的能量分布可以用简单的能带模型来描述，以及电子的运动类似于自由电子在真空中的运动。
这种近似计算方法在一些金属或导体中得到了广泛应用。
综上所述，能带论的三个近似是固体物理中不可或缺的工具，它们对于解释和预测固体材料的性质具有重要意义。
本文将对这三个近似进行详细的介绍和分析，并展望能带论在未来的发展和应用前景。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。
每个部分将有不同的子节，以便深入探讨和解释固体物理中能带论的三个近似。
引言部分将提供对整篇文章的概述，阐明本文的目的和重要性。
我们将简要介绍固体物理领域中的能带论及其在研究材料性质和电子行为上的重要性。
同时，引言还将展示本文的结构，介绍每个部分的主要内容及其相互关系。
正文部分将详细讨论能带论的三个近似。
第一个近似部分将探讨能带的定义和特点，以及简化的布洛赫定理。
能带理论
能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.能带和能带隙具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
适合初学者看的能带理论
03
分子能带理论
分子能级与电子排布
分子能级
分子中的原子在相互振动时，会形成 不同的能级，这些能级决定了分子的 稳定性和化学反应能力。
电子排布
分子中的电子按照能量高低在不同轨 道上排布，形成不同的电子构型，对 分子的化学性质产生影响。
分子光谱与电子跃迁
分子光谱
通过分析分子吸收或发射的光谱，可以了解分子内部能级结 构和电子排布。
量子计算与量子通信的能带理论基础
量子计算
量子计算利用量子力学的特性进行信息处理，能带理论在理解量子比特和量子门操作等 方面发挥了重要作用。
量子通信
量子通信利用量子态的传输进行信息传递，能带理论在量子密钥分发和量子隐形传态等 方面提供了理论基础。
能带理论与其他物理理论的交叉研究
凝聚态物理
能带理论与凝聚态物理密切相关，通过研究 不同材料的能带结构和物理性质，可以深入 理解物质的微观结构和宏观性质。
光子禁带
在光子晶体的能带结构中，某些频率的光不能在其中传播，这种现象被称为光子禁带。光子禁带的存在可以用来 控制光的传播和光与物质的相互作用。
光子在介质中的传播与散射
传播
当光子在介质中传播时，会受到介质的折射和反射。折射和反射的性质取决于光子的波长和介质的性 质。
散射
当光子与介质中的原子或分子相互作用时，可能会发生散射。散射会导致光的方向改变和能量的损失 。散射的性质取决于介质的微观结构和光子的波长。
太阳能电池原理与应用
01
02
03
光吸收与能带结构
太阳能电池利用半导体材 料的能带结构，通过光吸 收产生光生载流子，从而 实现光电转换。
光电转换效率
能带理论有助于理解光电 转换效率的限制因素，为 提高太阳能电池效率提供 理论指导。
固体物理学中的能带理论
固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。
其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。
这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。
在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。
1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。
它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。
能带是指具有类似能量水平的电子能级。
禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。
2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。
最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。
然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。
在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。
经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。
3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。
首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。
它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。
其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。
通过对能带结构的调控，我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。
例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。
而且，能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。
例如，能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。
它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响，为器件的设计和优化提供了指导。
总结起来，能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。
固体物理6-1 能带理论
h2 d 2 H0 = − + U0 2 2m dx
⎛ 2π nx ⎞ H ′ = ∑U n exp ⎜ i ⎟ a ⎠ ⎝ n ≠0
—— 零级近似 —— 微扰项
分别对电子能量E(k)和波函数ψ(k)展开
E ( k ) = Ek(0) + Ek(1) + Ek(2) + ⋅⋅⋅
ψ k = ψ k(0) + ψ k(1) + ψ k(2) + ⋅⋅⋅
将以上各展开式代入Schrödinger方程中，得
H 0ψ k(0) = Ek(0)ψ k(0) H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0)
H 0ψ k(2) + H ′ψ k(1) = Ek(0)ψ k(2) + Ek(1)ψ k(1) + Ek(2)ψ k(0)
一级微扰方程： H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0) 令：
ψ k(1) = ∑ al(1)ψ l(0)
l
l
(1) al El(0)ψ l(0) + H ′ψ k(0) = Ek(0) ∑ al(1)ψ l(0) + Ek(1)ψ k(0) ∑
周期性势场： U ( x ) = U ( x + a )
a：晶格常数
⎛ 2π nx ⎞ Fourier展开： U ( x ) = U 0 + ∑U n exp ⎜ i ⎟ ⎝ a ⎠ n ≠0
1 L U 0 = ∫ U ( x ) dx —— 势能平均值 L 0 1 L ⎛ 2π nx ⎞ U n = ∫ U ( x ) exp ⎜ −i ⎟dx L 0 a ⎠ ⎝
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固体物理中关于能带理论的认识
摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的
概念更细致的把握。
关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定
引言
能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。
能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。
1 能带理论的假定
能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。
量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。
能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。
实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。
如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。
1.1 绝热近似
考虑到电子与核的质量相差悬殊。
可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。
电子运动时,可以认为核是不动的。
电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。
1.2 平均场近似
因为所有电子的运动是关联的。
可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。
使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。
使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。
1.3 周期场假定
薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。
代表一种平均势能，应是恒量。
因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。
2 电子的共有化运动
我们知道,由于原子核对电子的静电引力, 使得电子只能围绕原子核在一定
的轨道上运动。
由于电子在空间运动的范围受到限制,电子在能量上就呈现出不连续的状态, 电子的能量只能取彼此分立的一系列可能值——能级。
晶体是由大量的原子在空间有规则地周期性地排列而成的。
相邻原子间距只有几个埃的能量级,例如,硅的原子间距为4.2埃。
因此,晶体中的原子状态和孤立原子中的电子状态不同,特别是外层电子的状态会有显著的变化。
原子中的电子分列在内外层电子轨道上,每一层轨道对应于确定的能量。
当原子间相互接近形成晶体时,不同原子的内外层个电子轨道之间就有一定的交迭,相邻原子最外层轨道上交迭最多,内层轨道交迭较少。
当原子组成晶体后, 由于电子轨道间的交迭,电子不再完全局限于某一个原子中,他可以由一个原子转移到相邻的原子上去,而且可以从相邻的原子再转移到更远的原子上去,以致任何一个电子可以在整个晶体中从一个原子转移到另一个原子,而不再专属于哪一个原子所有, 这就是晶体中电子共有化运动。
应该注意到,不同原子的相似轨道才有相近的能量,电子只能在相似轨道上进行转移。
因此,产生共有化运动是由于不同原子的相似轨道间的交迭而引起的。
每一个原子能级结合成晶体后,引起“与之相应”的共有化运动。
例如,3s轨道引起“3s”的共有化运动,2p轨道引起“2p”的共有化运动。
从共有化运动来看,当电子“经过”每一个原子时,他的运动仍接近于原来的原子轨道(3s或2p)上的运动，从原子运动的观点看,共有化运动就是电子由一个轨道转移到另一个相似的轨道,如下图所示。
3 能带的一般解释
晶体中电子共有化运动引起了能级的分裂,我们以最外层的价电子为例来说明。
假如晶体中包含N个原子(N约为1022数量级),原子最外层的价电子是一个，它的能量级为En,当这些原子相距很远时,每个原子的价电子的能级都是En,所以是互不相关的能级。
但是,当N个原子组成晶体后每个价电子的运动都受到其它原子核的影响,它们的能级也会发生变化。
根据泡利不相容原理,一块晶体中的电子运动状态不能相同。
为了容纳原来属于N个单个原子的所有价电子,原来分属于N 个单个原子的相同的价电子能级就必须分裂成属于整个晶体的N个能量稍有差别的能级。
这些能级相互靠得很近,分布在一定的能量区域,通常把这N个相互靠得很近的能级所占据的能量区域称为能带,如下图所示。
在原子结合成晶体时,如果内层电子的轨道也有交迭,则价电子能级分裂成价电子能带的同时,其内层电子的能级也要分裂。
根据同样道理,能量比价电子能级更高的激发态能级也要分裂,形成激发态能级。
在两个能带之间的区域中,不存在电子的能量,因此这个能量区域中也不可能有电子,这与单个原子两能级之间的能量区域中不可能有电子一样。
我们称这两个能带之间的区域为“禁带”。
每个能带和禁带的宽度是由各种晶体的具体原子结构和晶体结构决定的。
一般约为零点几到几个电子伏特。
总结
从以上分析可知,能带理论是研究晶体中电子运动规律的一种近似理论。
晶体由原子组成, 原子又包括原子核和最外层电子,它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化,首先假定晶体中的原子核固定不动,并按一定规律作周期性排列,然后进一步认为每个电子都是在固定的原子核周期势场及其他电子的平均势场中运动,这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论是现代晶体电子技术的理论基础,对于微电子技术的发展起了无可估量的作用。
而且是说明晶体性质最重要的基础理论。
它的出现是量子力学,量子统计理论在固体中最直接最重要的应用。