形状记忆聚合物的宏观力学本构模型

∫+
t 0
⎡ ⎢(1 ⎢⎣
+
v)
⎛ ⎜ ⎝
σ ij µ
− εij λ
⎞ ⎟ ⎠
−
v
⎛ ⎜ ⎝
σ kk µ
− ε kk λ
⎞ ⎟ ⎠
δ
ij
⎤ ⎥ ⎥⎦
dτ
+ α (T − T0 )δij ,
(12)
其中
K
=
⎡1 ⎢⎣ E
+
H (σ − σ s ) ⎤−1 P ⎥⎦
(13)
称为弹塑性模量. 积分形式的宏观力学三维本构方
中国科学: 物理学 力学 天文学 SCIENTIA SINICA Phys, Mech & Astron
论文
2010 年 第 40 卷 第 7 期: 896 ~ 903 www.scichina.com phys.scichina.com
《中国科学》杂志社
SCIENCE CHINA PRESS
形状记忆聚合物的宏观力学本构模型
dτ
.
⎦
(10)
对于各向同性材料, SMP 的热膨胀应变张量
εt ij
= α (T
− T0 )δij ,
(11)
其中 α 为热膨胀系数, T 为温度, T0 为初始温度. 将 (8), (10)和(11)式代入(1)式, 得 SMP 积分形式的宏观
力学三维本构方程, 即
ε ij
=
(1 + v)σ ij − vσ kkδij K
⎡ ⎢⎣
1 2
(1
+
v)(δ
ik
δ
jl
+
δ
il
δ
jk
)
−
vδ
ijδ
kl
⎤ ⎥⎦
,
(5)
其中 E 为弹性模量, v 为 Poisson 比,
δ ij
=
⎧1 ⎨⎩ 0
(i = j), (i ≠ j)
(6)
为 Kronecker 符号. 本文将塑性柔度张量表示为
Sp ijkl
=
1 P
⎡ ⎢⎣
1 2
(1
+
v)(δ
ik
δ
jl
+
δ
ilδ
jk
)
−
vδ
ijδ
kl
⎤ ⎥⎦
,
(7)
其中 P 为塑性强化模量. 将(7)和(5)式代入(2)式, 并
利用应力张量的对称性 σij = σ ji , 得
ε ep ij
=
⎡1 ⎢⎣ E
+
H
(σ − P
σ
s
)
⎤ ⎥⎦
[(1
+
v)σ
ij
− vσ kkδij ].
(8)
897
周博等: 形状记忆聚合物的宏观力学本构模型
SMP 总应变分解为弹塑性应变、黏性应变和热膨胀
应变, 即
ε ij
=
ε
ep ij
+
ε
v ij
+
ε
t ij
,
(1)
其中 εij 为应变张量,
ε ep ij
和
εv ij
和
εt ij
分别为弹塑性应
变张量、黏性应变张量和热膨胀应变张量. 根据固体
力学, 弹塑性应变张量可表示为应力张量的函数, 即
ε ep ij
=
[
Se ijkl
+ H (σ
− σ s )Sijpkl ]σ kl ,
(2)
其中 σ kl 为应力张量, σ s 为塑性屈服极限,
σ
=
⎡ ⎢⎣
3 2
⎛ ⎜⎝
σ
ij
−
1 3
σ
kk
⎞ ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
σ
ij
−
1 3
σ
kk
⎞ ⎤ 0.5 ⎟⎠⎥⎦
(3)
为等效应力,
H (σ e
−σ
p
)
=
⎧⎪1 ⎨⎪⎩ 0
(σ e > σ p ), (σ e ≤ σ p )
周博①②*, 刘彦菊③, 冷劲松②*
① 哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院, 哈尔滨 150001; ② 哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所, 哈尔滨 150080; ③ 哈尔滨工业大学航天科学与力学系, 哈尔滨 150001 * 联系人, E-mail: zhoubo@hrbeu.edu.cn, lengjs@hit.edu.cn
上述 SMP 细观力学三维本构模型, 均从材料微 观结构方面解释 SMP 形状记忆效应的成因, 这为研 究 SMP 产生形状记忆效应的微观机理提供了基础, 具有重要意义. 但这些三维本构模型表述形式复杂, 所涉及的材料参数也不易获得, 因此不便于工程实 际应用. 建立能描述 SMP 形状记忆效应的宏观现象, 表述形式直观且材料参数容易测定的宏观力学三维 本构模型, 同样具有工程和理论意义. 本文在前期研 究[14,15]的基础上, 应用固体力学和热黏弹性理论, 建 立了描述复杂应力状态下 SMP 热力学行为的宏观力 学三维本构方程. 根据 DMA 实验结果, 建立了描述 在 SMP 玻璃体转化过程中, SMP 材料参数和温度间 关系的材料参数方程. 由上述力学本构方程和材料 参数方程构成的 SMP 宏观力学三维本构模型, 具有 直观的表述形式、且所涉及的材料常数均可通过宏观 实验测定, 克服了现存 SMP 三维本构模型不便于工 程实际应用的局限性. 应用所建立的 SMP 宏观力学 三维本构模型, 数值模拟了 SMP 在高温变形过程、 应力冻结过程、低温卸载过程和形状恢复过程的热力 学行为, 并分析了加载率和温度变化率对 SMP 热力 学行为的影响. 数值结果和与现存 SMP 力学本构方 程和材料参数方程的对比, 表明所建立的 SMP 宏观 力学三维本构模型能有效地描述 SMP 的热力学行为, 可为 SMP 的工程实际应用提供理论基础.
1997 年, Tobushi 等人[7]在描述传统黏弹性固体材料 的黏壶-弹簧模型基础上, 引入不可恢复的滑移单元, 建立了描述 SMP 在实现形状记忆效应过程中热力学 行为的一维线性本构模型. 2001 年, Tobushi 等人[8]在 上述研究的基础上, 构建了能描述 SMP 热力学行为 的一维非线性本构模型. 2006 年, Liu 等人[9]认为 SMP 由高温软化相和低温冻结相组成, 形状记忆效应是 在温度变化和应力共同作用下, 发生在软化相和冻 结相间的相变结果, 并建立了描述 SMP 热力学行为 的细观力学三维本构模型. 2008 年, Kafka[10]利用广
固态高聚物的黏性行为主要表现为蠕变与松弛
两个方面, 可通过黏性系数和延迟时间两个材料参 数定量地描述材料的黏性行为[7,18]. 本文将 SMP 的黏 性应变张量对时间的导数表示为
ε ivj
=
(1 + v)σ ij − vσ kkδij µ
− (1 + v)εij − vε kkδij λ
,
(9)
(4)
为 Heaviside 阶梯函数,
Se ijkl
和
Sp ijkl
分别为弹性柔度张
量和塑性柔度张量.
在本文, 假设 SMP 为各向同性材料. 各向同性
固体材料, 沿不同方向具有相同的力学性质且只有
弹性模量和 Poisson 比两个独立的材料常数, 其弹性
柔度张量可描述为[17]
Se ijkl
=
1 E
1 三维本构模型
1.1 力学本构方程
与普通固体材料不同, 高聚物的力学行为与温
度变化率(加热率和冷却率)、加载率(应力率和应变率)
均有密切的关系, 这是构成聚合物的大分子链在不 同热力学条件下的运动结果[16]. 根据固体力学和热
黏弹性理论, 可将影响 SMP 力学行为的因素概括为
弹塑性、黏性和热膨胀三个方面. 为便于研究, 将
计算. 在已知应力率的情况下, 利用(14)式可以方便
地对 SMP 的热力学行为进行数值模拟计算; 在已知
应变率的情况下, 利用(16)式可以方便对 SMP 的热
力学行为进行数值模拟计算.
1.2 材料参数方程
SMP 的形状记忆效应是其发生在低温玻璃态与 高温橡胶态间的玻璃体转化的结果. 在玻璃体转化 过程中, SMP 的力学性能随着温度的改变发生急剧变 化, 材料参数如弹性模量、塑性强化模量、黏性系数 和延迟时间, 也随着温度的变化而变化. 建立描述这 些材料参数和温度间关系的材料参数方程, 是描述 SMP 在实现形状记忆效应热力学过程中, 即在高温 变形过程、应力冻结过程、低温卸载过程和形状恢复 过程中热力学行为的基础. Zhou 等人[14]通过 DMA 实 验研究了 SMP 的玻璃体转化行为, 将玻璃化转化的 临界温度定义为开始温度、峰值温度和结束温度, 通 过弹性模量对温度导数和温度间的关系曲线确定这 三个临界温度, 并建立了余弦型材料参数方程, 描述 SMP 在玻璃体转化过程中材料参数和温度间的关系.
程(12)不便于实现数值模拟计算, 需要建立 SMP 微
分形式的宏观力学本构方程. 将积分形式的本构方
程(12)的两端对时间求导数, 可得到用应力率表示应
变率的微分形式的宏观力学三维本构方程, 即
εij
=
(1 + v)σij − vσkkδij K
+
(1 + v)σ ij − vσ kkδij µ
引用格式: 周博, 刘彦菊, 冷劲松. 形状记忆聚合物的宏观力学本构模型. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2010, 40: 896 ~ 903
中国科学: 物理学 力学 天文学 2010 年 第 40 卷 第 7 期
义中尺度力学的概念, 建立了描述 SMP 热力学行为 的细观力学三维本构模型. 2008 年, Chen 等人[11,12]在 Liu 等人[9]工作的基础上, 借鉴研究形状记忆合金马 氏体相变的研究经验, 解释了 SMP 形状记忆效应的 细观机理, 分别建立了描述 SMP 小变形和大变形力 学行为的细观力学三维本构模型. 2009 年, 李郑发等 人[13]在 Liu 等人[9]研究工作的基础上, 借鉴聚合物结 晶学相关理论, 建立了描述 SMP 力学行为的微观力 学三维本构模型, 有效地解释了 SMP 形状记忆效应 的微观机理. 2009 年, Zhou 等人[14]对 SMP 发生在橡 胶态和玻璃态间的玻璃体转化行为进行了实验研究, 建立了描述 SMP 玻璃体转化行为的玻璃体转化模型. 2009 年, 周博等人[15]利用 Tobushi 等人[7]建立的 SMP 本构模型, 开发了可供 ABAQUS 调用的材料库函数, 对 SMP 力学行为进行了有限元模拟分析.
收稿日期: 2009-08-12 ; 接受日期: 2010-03-01 国家高技术研究发展计划(编号: 2006AA03Z109)、国家自然科学基金(批准号: 95505010)、中国博士后科学基金(编号: 20080430933)、 哈尔滨市科技创新人才研究专项基金(编号: RC2009QN017046)和中央高校基本科研业务费专项基金资助项目
σij
=
1
K +
v
Biblioteka Baidu⎛ ⎜⎝
εij
+
1
v − 2v
εkk
δ
ij
⎞ ⎟⎠
−
K µ
σ ij
+
K λ
ε ij
−
Kα 1 − 2v
Tδij .
(16)
利用微分形式的宏观力学三维本构方程(14)和
(16), 可以对 SMP 在实现形状记忆效应的热力学过
程中, 即高温变形过程、应力冻结过程、低温卸载过
程和形状恢复过程中的热力学行为, 进行数值模拟
关键词 形状记忆聚合物, 形状记忆效应, 力学本构方程, 材料参数方程
PACS: 46.35.+z, 46.05.+b, 46.25.Hf
形状记忆聚合物(SMP)是继形状记忆合金在 20 世纪 60 年代取得巨大进展后, 在 20 世纪 80 年代发 展起来的又一新型形状记忆材料[1~3]. SMP 形状记忆 效应的实现包括高温变形、应力冻结、低温卸载及形 状恢复四个热力学过程. SMP 具有变形量大、赋形容 易、形状恢复温度便于调整、易着色、可印刷、质轻 耐用、价格低廉等特点, 在电力电子、航空航天、包 装、医疗、智能控制系统等领域得到日益广泛应用[4~6]. 广泛的工程应用需要能有效描述 SMP 实现形状记忆 效应热力学过程、且便于实际应用的热力学本构模型.
其中“ ⋅ ”代表对时间的导数, µ 和 λ 分别称为黏性系
数和延迟时间, 为反应材料黏性特性的两个材料参 数. 对(9)式积分、并利用初始时刻黏性应变为 0 的初 始条件, 得
∫ ε v ij
=
t 0
⎡ ⎢ ⎣
(1
+
v)σ
ij − µ
vσ
kk
δ
ij
−
(1 + v)εij − vε kkδij λ
⎤ ⎥
− (1 + v)εij − vε kkδij λ
+ αTδij .
(14)
对(14)式进行张量缩并运算, 得
σ kk
=
K
⎛ ⎜ ⎝
1
εkk − 2v
− σ kk µ
+ ε kk λ
−
1
3α − 2v
T
⎞ ⎟ ⎠
.
(15)
将(15)式代入(14)式, 经整理可得到用应变率表示应
力率的微分形式的宏观力学三维本构方程, 即
摘要 建立有效描述形状记忆聚合物(Shape Memory Polymer, SMP)的热力学行为、且便于工程应用的宏观 力学本构模型具有理论和工程意义. 在前期研究的基础上, 应用固体力学和热黏弹性理论建立了描述复杂应 力状态下 SMP 在实现形状记忆效应热力学过程中, 即在高温变形过程、应力冻结过程、低温卸载过程和形状 恢复过程中热力学行为的宏观力学三维本构方程. 利用 DMA 实验结果, 建立了描述 SMP 在玻璃体转化过程 中, 材料参数和温度间关系的材料参数方程. 应用所建立的力学本构方程和材料参数方程, 数值模拟了 SMP 的高温变形过程、应力冻结过程、低温卸载过程和形状恢复过程, 并分析了加载率和温度变化率对 SMP 热力 学行为的影响. 数值模拟结果和与现存 SMP 力学本构方程和材料参数方程的对比表明, 本文建立的由力学本 构方程和材料参数方程构成的 SMP 宏观力学三维本构模型, 能有效地描述 SMP 的热力学行为, 可为 SMP 的 工程应用提供理论基础.