高中数学必修3课本知识点

第二章统计

一、统计学的基本数学思想

统计的基本数学思想：用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，通过研究样本的情况来估计总体的相应情况. 所以样本的数据选取至关重要！所以样本必须具有代表性、广泛性和随机性.

二、抽样方法

目的：获取有代表性的样本

为了使所抽的样本具有代表性，有以下抽样方法：

（1）简单随机抽样

n≤，定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本()N 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，称这种抽样方法为简

单随机抽样

特点：①被抽取样本的总体中个体有限

②逐个不放回抽样

③每次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同

分类：①抽签法

定义：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n

的样本

②随机数法

定义：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样优点：操作简单易行

缺点：只能在个体不多的情况下进行.如果总体中的个体数很多，抽签法编号的工作量大；使用随机数表也不方便快捷；“搅拌均匀”也非常困难.最终使样本失去代

表性

（2）系统抽样

步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号．为简便起见,有时可直接利用个体所带有的号码,如考生的准考证号、街道上各户的门牌号,等等

②确定分段的间隔k ，对编号进行分段.当

n N （n 是样本容量）是整数时，取 n N k =；若n

N （n 是样本容量）不是整数，可以先从总体中剔除几个个体， 使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除

③在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号()k l l ≤

④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l 加上间隔k ,得到第2个编号 ()k l +,再将(()k l +加上k ,得到第3个编事情k l 2+,这样继续下去,直到 获取整个样本）

思考：为什么n N k =

？k l ≤？ （3）分层抽样

定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按一定比例，从各层独立 地抽取一定数量的个体，将各层抽取的个体合在一起作为样本，这种抽样方法 是一种分层抽样

步骤：①分层

②按比例确定每层抽取个体的个数

③各层（方法可以不同）

④合成样本

例子：调查某高一学生的平均身高、某高中生的视力

三、样本估计总体（单一数据）

目的：对样本进行处理

样本处理的两种方式：（1）图表 （2）样本的数字特征

考题三种：（1）图表 （2）样本的数字特征 （3）图表⇒样本的数字特征

（1）图表

类型：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图 步骤：1.求极差

2.决定组距和组数：分组合适即可. 一般样本容量越大，分组越

多.组距

极差组数=

例：样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分为5-12 组

3.将数据分组

4.列频率分布表

5.频率分布直方图

由频率分布表来画频率分布直方图

注意：<1>纵坐标表示的是组距频率

<2>由<1>可知小长方形的面积=组距=⨯组距

频率频率 <3>在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1

6.频率分布折线图

将频率分布直方图中各小长方形上端中点连接，就得到频率分布折线图

7.总体密度曲线

当总体中的个体较多时，抽取样本的的容量就增加，若作图时组数增加， 组距减少，相应的频率分布折线图越接近一条光滑曲线，即是总体密度曲线. 总体密度曲线是一个函数图像，所以，统计学和函数也有一定的关系

8.特例：茎叶图

优点：<1>能反映原始数据

<2>展示数据的分布情况：众数、中位数、平均数

（2） 样本数字特征（众数、中位数、平均数、标准差、方差）

设样本数据为x x x x n ,......,,21 则

标准差公式：()()()[]22221.......1x x x x x x n s n -++-+-=

方差()()()[]2

22212......1x x x x x x n s n -++-+-= 思维：有标准差的公式我们可知：标准差反映数据的分散程度（解释：有标准差可

知0≥s ，故当s 取最小值0时，数据不分散，即：n x x x x ====........321）

（3）由图表求样本的数字特征

①由频数分布直方图求样本的数字特征

众数：最高矩形的中点

中位数：中位数左右直方图的面积相等

平均数：频数分布直方图每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和（此 处与后面的期望一致，两者有一定的关系，稍后在学）

标准差、方差：略，此处不研究！ 故现阶段求方差、标准差只能利用原始数据 ②由总体密度曲线求样本的数字特征：略，此处不研究

思路：由频数分布直方图还原原始数据后再求标准差、方差

四、样本预测未来（变量之间的关系）

变量之间的关系核心思路：通过研究两变量之间的关系来预测未来

（1）图表

散点图：既然是研究变量之间的关系，图像是最好的选择！所以说建立直角坐标系， 将相应的对应关系描在坐标系中，即可得到散点图（类似函数描点）

回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则就说这两条 直线具有线性关系，这条直线叫做回归直线

变量间的线性关系：正相关、负相关

回归直线的方程求法：设为b kx y += ()()()

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====x k y b x n x y x n y x x x y y x x k n i i n i i i n i i n i i i 1221121 回归直线的特点是：必过()

y x ,，这是考查点！

预测未来：将0x x =代入回归直线的方程b kx y +=即可求出0y 第三章 概率

一、基本概念

（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件