27.2.2相似三角形的应用精品
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S
A' B' C'
h O
A B C
6.如图：小明想测量一颗大树AB的高度， 发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地 面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成 30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米， 那么树的高度是多少？
A
D
B
C
10.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他 走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到 路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时， 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部， 已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是 9.6m，设AP =x(m)。 (1)求两路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是 D C 多少？
O
例5 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路ι 从左向右前进，当他与左边 较低的树的距离小于多少时， 就不能看到右边较高的树的顶 端点C？ 设观察者眼晴的位置（视点） 为F，∠CFK和∠AFH分别是 观察点C、A的仰角，区域Ⅰ 和区域Ⅱ都在观察者看不到 的区域（盲区）之内。
解：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的 位置点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上。 ∵AB⊥ι，CD⊥ι， ∴AB∥CD，△AFH∽△CFK， ∴FH：FK=AH：CK， 即 FH 8 1. 6 6 .4 ，
FH 5
12 wenku.baidu.com1.6
10 .4
解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高 的树的顶端点C。
7、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到 达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的 影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自 己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m， 求路灯杆AB的高度。 A
C E
B
D
G
F
A E
X X
D F C 影长法 ED DF 比例式 X BC : A
B
平面镜法 DC CE 比例式 X AE :
5、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的 厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉 卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若 OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
（分析：如图，要想求厚 度x，根据条件可知，首先 得求出内孔直径AB。而在 图中可构造出相似形，通 过相似形的性质，从而求 出AB的长度。）
(2)解 : CEN 90 , ACB NCE , Rt ABC NEC , EN CE 2 9 , 又EC 3, BC . AB BC 3 2
2.有一棵高大的松树，小丽想测算出它 的高度。由于太高无法攀登，也不好砍倒它。 如果此时小丽手中只有一卷的软皮尺，你能 帮帮她吗？说说你的设计方案。
A F
D
4m
H 20m
E
C
B
1m 1.8m
例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的 中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证： AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3， 求BC的长。
证明(1) 四边形ABCD是矩形,MAE NCE, AME CNE, 又E为AC的中点,即AE EC , AME CNE; AM CN .
1.小华为了测量所住楼房的高度，他请来 同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长 和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小 华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度 为 米．
2、如图：在点E处放一面平面镜，入射光线 为DE，反射光线为BE，已知CD=2， AE=6， 4 CE=3，则AB=——
B
F
D C
∟
AB AE DC CE
A
E
例: 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对 岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直 的直线 a 上选择适当的点 T ，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ． 分析：设河宽PQ长为x m ， 由于此种测量方法构造了三 角形中的平行截线，故可得 到相似三角形，因此有， x 60 即 x 45 90 ．再解x的方程 可求出河宽．
X
E
F
G
B 标杆法 C
D
比例式 :
HF GF X GE
8.为了测量路灯（OS）的高度,把一根长 1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上, 测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹 竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把 竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长 （B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
A
P
Q
B
1.
通过本堂课的学习和探索，你学会了什么?
谈一谈!你对这堂课的感受?
2.
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物 体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问 题,建立相似三角形模型,再利用对应边的比相 等来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.
小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗杆靠 近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中的一部分 映在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB在地面上 的影长BC为20m,在墙上的影长CD为4m,同时 又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为1.8m, 请帮助小丽求出旗杆的高度. (精确到0.1)
A' B' C'
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6.如图：小明想测量一颗大树AB的高度， 发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地 面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成 30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米， 那么树的高度是多少？
A
D
B
C
10.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他 走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到 路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时， 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部， 已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是 9.6m，设AP =x(m)。 (1)求两路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是 D C 多少？
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例5 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路ι 从左向右前进，当他与左边 较低的树的距离小于多少时， 就不能看到右边较高的树的顶 端点C？ 设观察者眼晴的位置（视点） 为F，∠CFK和∠AFH分别是 观察点C、A的仰角，区域Ⅰ 和区域Ⅱ都在观察者看不到 的区域（盲区）之内。
解：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的 位置点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上。 ∵AB⊥ι，CD⊥ι， ∴AB∥CD，△AFH∽△CFK， ∴FH：FK=AH：CK， 即 FH 8 1. 6 6 .4 ，
FH 5
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解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高 的树的顶端点C。
7、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到 达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的 影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自 己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m， 求路灯杆AB的高度。 A
C E
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A E
X X
D F C 影长法 ED DF 比例式 X BC : A
B
平面镜法 DC CE 比例式 X AE :
5、如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的 厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉 卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若 OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。
（分析：如图，要想求厚 度x，根据条件可知，首先 得求出内孔直径AB。而在 图中可构造出相似形，通 过相似形的性质，从而求 出AB的长度。）
(2)解 : CEN 90 , ACB NCE , Rt ABC NEC , EN CE 2 9 , 又EC 3, BC . AB BC 3 2
2.有一棵高大的松树，小丽想测算出它 的高度。由于太高无法攀登，也不好砍倒它。 如果此时小丽手中只有一卷的软皮尺，你能 帮帮她吗？说说你的设计方案。
A F
D
4m
H 20m
E
C
B
1m 1.8m
例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的 中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证： AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3， 求BC的长。
证明(1) 四边形ABCD是矩形,MAE NCE, AME CNE, 又E为AC的中点,即AE EC , AME CNE; AM CN .
1.小华为了测量所住楼房的高度，他请来 同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长 和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小 华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度 为 米．
2、如图：在点E处放一面平面镜，入射光线 为DE，反射光线为BE，已知CD=2， AE=6， 4 CE=3，则AB=——
B
F
D C
∟
AB AE DC CE
A
E
例: 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对 岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直 的直线 a 上选择适当的点 T ，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS的直线b的交点R．如果测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，求河的宽度PQ． 分析：设河宽PQ长为x m ， 由于此种测量方法构造了三 角形中的平行截线，故可得 到相似三角形，因此有， x 60 即 x 45 90 ．再解x的方程 可求出河宽．
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F
G
B 标杆法 C
D
比例式 :
HF GF X GE
8.为了测量路灯（OS）的高度,把一根长 1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上, 测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹 竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把 竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长 （B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
A
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1.
通过本堂课的学习和探索，你学会了什么?
谈一谈!你对这堂课的感受?
2.
1. 在实际生活中, 我们面对不能直接测量物 体的高度和宽度时. 可以把它们转化为数学问 题,建立相似三角形模型,再利用对应边的比相 等来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.
小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗杆靠 近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中的一部分 映在建筑物的墙上.小丽测得旗杆AB在地面上 的影长BC为20m,在墙上的影长CD为4m,同时 又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为1.8m, 请帮助小丽求出旗杆的高度. (精确到0.1)