2007反作用飞轮结构的动态优化设计
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·3.#·万方数据
前者属于广义特征值问题，后者属于标准特征值 问题。因此飞行器结构固有特性的有限元分析问 题可以归结为数学上的特征值问题，D)EFE 中有 多种数值方法可以对此问题进行求解，本文采用 适用于大型对称特征值问题求解的分块兰索斯方 法（ G@HI/ J4(I;H*）［.］。
!B 反作用飞轮结构的有限元分析
!"#$%&’ ()*&%+% !,-&.# /0 1,$’*&/# 5 23,,4 5*6+’*+6, 6789 :;<;=! 6789 -9>?>8=! 678=@ A;8=B>! )8= C8=@D7E=@! F8=@ A;8=D7E=@
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!( " #$%&% 参数化设计语言 #’()［.］
D)EFE 提供了两种建立有限元模型的方法，
即 KL（M 图形用户界面）操作和应用 D9NJ 语言编
程。D9NJ 是 D)EFE 内部的编 程 语 言，与 OPQR
SQD) 类似，可以提供一般程序语言的功能，也可
提供简单界面定制，实现参数交互输入、界面驱动
反作用飞轮结构的动态优化设计———赵丽滨 赵友选 张建宇等
度要 求，但 极 惯 性 矩
较大，且 结 构 的 第 一
阶固有频率较低。由
图 ! 可 看 出，第 一 阶
振型为轮轴相对轮毂
的轴 向 平 动，不 符 合
设计 要 求，需 要 对 结 构轴向刚度和径向刚 度的分布及结构的质
图 ! 初始结构的第一阶 固有频率及模态
以及运行应用程序等。在分析过程中，简单地修
改其中的参数即可达到反复分析各种尺寸、不同
载荷大小的多种设计方案，极大地提高了分析效
率，降 低 了 分 析 成 本。同 时，D9NJ 也 是 D)EFE
设计优化的基础，只有创建参数化的分析流程才
能对其中的设计参数执行优化设计。本文采用
D9NJ 编程方式建立反作用飞轮结构的有限元模
·"%2·
中国机械工程第 3? 卷第 1 期 1##T 年 3 月下半月
（!）约束条件为：! 在设计转速 "###$ % &’(
下达到角动量 ! " "#)·&·*。根据角动量 ! 与转
速 ! 的关系 ! " #+!（ #+ 为反作用飞轮相对自转 轴的极惯性矩），该约束条件转化为极惯性矩 #+ 略大于 #, #-" .-!/0·&1 。" 反作用飞轮的结构形
#! 引言
现代航天器对姿态控制系统的精度、寿命和 可靠性的要求越来越高。由于飞轮系统具有不消 耗工质、能产生较精确的控制力矩、适于吸收周期 性干扰的影响等诸多优点，因此，在中高轨道上长 期工作的航天器都是采用飞轮系统组成三轴稳定 系统作为飞行器姿态控制的执行机构，以确保系 统精度高、寿命长。基于磁悬浮轴承技术的反作 用飞轮是飞轮执行机构中惯性轮的一种，其结构 简单，可靠性高，飞轮的转速可以正负变化，且平 均角动量为零。通过控制反作用飞轮的加速或减 速来改变角动量，产生控制力矩，可精确地控制卫 星等空间飞行器的姿态。在飞轮存储同样动能的 前提下，提高飞轮的转速可以减小飞轮的质量，且 飞轮的角动量不随质量变化。因此，应尽可能地 减小飞轮的质量和体积［"］。为提高姿态控制系统 的精度和稳定度，尽可能地减小执行机构的质量和 体积，必须采用结构动态设计的方法控制反作用飞 轮的振动水平，提高结构的安全可靠性，同时结合
量分布情况进行调整。利用参数化模型可很方便
地改变参数取值进行分析的特点，考虑设计变量
对结构轴向刚度、径向刚度及结构质量分布的影
响，通过计算分析得知，辐条的宽度是影响结构第
一阶振型形态的关键因素。为保证结构第一阶振
型的形态，需要对设计变量的范围进行限定。
!" 反作用飞轮结构的动态优化设计
基于多学科综合设计优化平台 #$#%&’ 和结 构有限元分析软件 ()$*$，对反作用飞轮结构进 行动态优化设计，以确保反作用飞轮结构在给定 转 速 下 能 达 到 一 定 的 角 动 量，同 时 满 足 强 度、刚 度、形态、体积等方面的要求，并使飞轮的质量最 小。
态为扁 平 转 子，其 极 惯 性 矩 与 赤 道 惯 性 矩 之 比
#+ $ #2 在 3, . % 1 之间，并尽量减小反作用飞轮结 构的体积。# 在设计转速下反作用飞轮结构满足
强度要求，即最大等效应力 "&45，67 要小于许用应 力［ "］ " !!#894。$ 反作用飞轮结构满足设计
转速下飞轮 安 全 工 作 的 要 求，且 一 阶 频 率 &3 ’ 3###:;，一阶振型为径向模态。
"&45，67 $［ "］
&3 & 3###:;
)@*
$
)*
$
)
A *
B
B
* " 3，1，!，.
式中，)@* 、)A* 分别为各设计变量的下限和上限。
1B 结构的静态分析及模态分析
对结构进行有限元离散化后，静力分析过程
可表示为
"# " $
（3）
式中，" 为结构的刚度矩阵；# 为节点位移列阵；$ 为载荷
（"）设计变量为反作用飞轮结构 的 外 型 参 数，即肋板宽度 !" 、轮毂内径 !3 、肋板高度 !% 和轮 毂厚度 !1 。给定初始参数为 ! "［ !" !3 !% !1 ］* "［"1 "W# 3# X1］（* OO），如图 " 所示。
图 ;< 反作用飞轮结构示意图
（3）目标函数为反作用飞轮结构质量 （# !） 最小。
型，对反作用飞轮结构进行静动力分析及结构的
动态优化设计。
!< *+ 反作用飞轮结构的有限元分析
根据给定的初始参
数，对 结 构 进 行 有 限 元
静动 力 分 析，有 限 元 模
型如图 1 所示。
对图 1 所示模型进
行结 构 静 动 力 分 析，得 到的计算结果如表 3 所 图 * 有限元分析模型
示，相 应 的 应 力 云 图 及 结 构 模 态 如 图 !、图 .
列阵。
对式（3）进行边界条件处理即可求解节点位 移 #。在计算出各单元的节点位移 #（6）后，即可由
下式求出相应的节点应力：
! " %" " %&#（6）
（1）
式中，% 为弹性模量矩阵；" 为单元的应变列阵；& 为结构
的几何矩阵。
应用有限元方法对结构进行模态分析时，系
统的运动微分方程可表示为
’#C
+
根据约束条件，需要先估算结构轴向刚度和径
向刚度的分布，综合考虑结构的体积、结构质量分
布等情况，对设计变量的变化范围进行限定，以保
证一阶振型形态。结构优化的数学模型可表示为
&’( （& !）
*< =< #( #-" .-! $ #+ $ #, #-" >?（ /0·&1 ）
3( . $ #+ $ #2 $ 1
优化值,.@ A0, ,+-@ /!- -+@ 10- 0-@ A1+ ?@ ?A+ +- ,@ 1- -0@ 0! ,???@ ., 0@ A/A
万方数据
图 $ 优化结构的应力云图
" " 由表 . 及图 0、
图 1 可知：优化后的
结 构 在 转 速 +???
设计变量（22） 优化
目标 约束变量
函数
模型
!,
!.
!- !!
"3
"3 6 "7 !289，:; #, （# !）
（45·2.） （<=8）（&>） （45）
最小值 / ,+? -? +0 ?@ ?A+ !A- ,@ ! ? ,???
最大值 ,-@ ? ,++ !? 0! ?@ ?A+ 0/ .@ ? --?
图 + 给出了用序列二次规划方法对反作用飞 轮结构进行动态优化设计时结构质量的优化历 程，共迭代 ,-. 步，最优结果在第 /0 步。表 . 列 出了优化模型的取值范围和最优设计结果。图 0 和图 1 分别给出了按优化设计变量得到的结构应 力分布云图和模态图。
图 " 反作用飞轮结构质量优化历程
表 # 优化模型取值范围及优化结果
所示。
表 " 给定的初始参数下结构静动力分析计算结果
#（+ /0·&1 ） #+ % #2 #< 3#> #. 3< T"
"&45，6（7 894） &（3 :;） （& !）（ /0）
!"< 3. T#1< -?
T< 1>#
图 ! 初始结构的应力云图
B B 由表 3 及图 ! 可知，结构的最大应力出现在 肋板与轮毂的交界处，且远小于许用应力，满足强
反作用飞轮结构的动态优化设计———赵丽滨 赵友选 张建宇等
反作用飞轮结构的动态优化设计
赵丽滨! 赵友选 张建宇! 韩邦成 房建成
北京航空航天大学，北京，"###$%
摘要：在综合考虑飞轮执行机构的动量容量、输出力矩、质量、体积、功耗、成本及复杂性等因素的基
础上，基于优化设计软件 &’&()* 及结构有限元分析软件 +,’-’，对基于磁悬浮轴承技术的反作用飞轮 的结构外形尺寸进行动态优化设计，在确保反作用飞轮结构在给定设计转速下能达到一定的角动量，同
·
(#
+
"#
"
$
（!）
式中，’、(ห้องสมุดไป่ตู้分别为质量、阻尼矩阵。
考虑阻尼一般很小，对系统的影响不大，故对
结构的固有特性分析可只考虑无阻尼自由振动的
形式，即 ’#C + "# " #，则系统的模态方程可表示
为如下两种形式：
"# " #’# 或 )# " ##
式中，# 为系统的模态向量；# 为特征值；) 为动力矩阵，它 综合了系统的质量和刚度特性，) " ’ ,3 "。
收稿日期：3##W—"#—3W 基金项目：国家民用航天预研重点项目（ 科工技［3##1］"W%X 号）
万方数据
结构优化设计的思想对结构进行优化设计，使质量 和刚度的分配进一步合理，达到减小结构质量的目 的，即对反作用飞轮结构进行动态优化设计［3，%］。
" 结构优化设计的数学模型
对反作用飞轮结构进行优化设计，要求飞轮 在给定设计转速下能达到一定的角动量，同时满 足强度、刚度、形态、体积等方面的要求，并使飞轮 的质量最小。优化设计模型如下：
时满足结构强度、刚度、形态等方面的要求的前提下，使反作用飞轮的质量最小，优化结果令人满意。设
计思路和方法可以用于系列反作用飞轮结构的设计和研制。
关键词：反作用飞轮；有限元分析；优化；动态设计
中图分类号：*)"%%. /；01"1. "2! ! ! 文章编号："##1—"%34（3##/）#3—#"%2—#1
前者属于广义特征值问题，后者属于标准特征值 问题。因此飞行器结构固有特性的有限元分析问 题可以归结为数学上的特征值问题，D)EFE 中有 多种数值方法可以对此问题进行求解，本文采用 适用于大型对称特征值问题求解的分块兰索斯方 法（ G@HI/ J4(I;H*）［.］。
!B 反作用飞轮结构的有限元分析
!"#$%&’ ()*&%+% !,-&.# /0 1,$’*&/# 5 23,,4 5*6+’*+6, 6789 :;<;=! 6789 -9>?>8=! 678=@ A;8=B>! )8= C8=@D7E=@! F8=@ A;8=D7E=@
CE;78=@ G=;HEIJ;KB，CE;L;=@，"###$% 78-*6$’*：M9=J;NEI;=@ K7E O9OE=K>O D8P8<;Q;KB，E?P9IK O9OE=K，RE;@7K，H9Q>OE，D9JK 8=N D9OPQE?;KB EKD. 9S K7E SQBR7EEQ 9PEI8K;9= NEH;DE，K7E 9>KQ;=E P8I8OEKEIJ 9S 8 IE8DK;9= 5 R7EEQ JKI>DK>IE R8J NEJ;@=EN NB=8O;D8QT QB 9PK;O>O K9 J8K;JSB K7E IEU>;IEOE=KJ K78K 8IE 8J S9QQ9RJ：（"）K9 E=J>IE K7E IE8DK;9= 5 R7EEQ K9 8II;HE 8K 8= 8=T @QE O9OE=K>O QEHEQ 8K NEJ;@=EN 8=@QE HEQ9D;KB；（3）K9 E=J>IE K7E IE8DK;9= 5 R7EEQ JKI>DK>IE K9 J8K;JSB K7E IET U>;IEOE=KJ 9S JKIE=@K7，JK;SS=EJJ，J78PE，J;VE，EKD. ；（%）K9 S8IK7EJK IEN>DE K7E RE;@7K 9S K7E IE8DK;9= 5 R7EEQ JKI>DK>IE. *7;J 9PK;O>O NEJ;@= R8J <8JEN 9= K7E O>QK;N;JD;PQ;=8IB NEJ;@= 9PK;O;V8K;9= J9SKR8IE &’&()* 8=N K7E Q8I@E 5 JD8QE @E=EI8Q J9SKR8IE +,’-’. *7E 9PK;O8Q IEJ>QK ;J J8K;JS8DK9IB. *7E NEJ;@= ;NE8 8=N K7E OEK79N K9 EJT K8<Q;J7 K7E 8=8QBK;D8Q O9NEQ PIEJE=KEN 7EIE;= 8IE >JES>Q S9I NEJ;@= 9S 8 JEI;EJ 9S IE8DK;9= 5 R7EEQ. 9," 2/6:-：IE8DK;9= 5 R7EEQ；S;=;KE EQEOE=K 8=8QBJ;J；9PK;O;V8K;9=；NB=8O;D NEJ;@=
!( " #$%&% 参数化设计语言 #’()［.］
D)EFE 提供了两种建立有限元模型的方法，
即 KL（M 图形用户界面）操作和应用 D9NJ 语言编
程。D9NJ 是 D)EFE 内部的编 程 语 言，与 OPQR
SQD) 类似，可以提供一般程序语言的功能，也可
提供简单界面定制，实现参数交互输入、界面驱动
反作用飞轮结构的动态优化设计———赵丽滨 赵友选 张建宇等
度要 求，但 极 惯 性 矩
较大，且 结 构 的 第 一
阶固有频率较低。由
图 ! 可 看 出，第 一 阶
振型为轮轴相对轮毂
的轴 向 平 动，不 符 合
设计 要 求，需 要 对 结 构轴向刚度和径向刚 度的分布及结构的质
图 ! 初始结构的第一阶 固有频率及模态
以及运行应用程序等。在分析过程中，简单地修
改其中的参数即可达到反复分析各种尺寸、不同
载荷大小的多种设计方案，极大地提高了分析效
率，降 低 了 分 析 成 本。同 时，D9NJ 也 是 D)EFE
设计优化的基础，只有创建参数化的分析流程才
能对其中的设计参数执行优化设计。本文采用
D9NJ 编程方式建立反作用飞轮结构的有限元模
·"%2·
中国机械工程第 3? 卷第 1 期 1##T 年 3 月下半月
（!）约束条件为：! 在设计转速 "###$ % &’(
下达到角动量 ! " "#)·&·*。根据角动量 ! 与转
速 ! 的关系 ! " #+!（ #+ 为反作用飞轮相对自转 轴的极惯性矩），该约束条件转化为极惯性矩 #+ 略大于 #, #-" .-!/0·&1 。" 反作用飞轮的结构形
#! 引言
现代航天器对姿态控制系统的精度、寿命和 可靠性的要求越来越高。由于飞轮系统具有不消 耗工质、能产生较精确的控制力矩、适于吸收周期 性干扰的影响等诸多优点，因此，在中高轨道上长 期工作的航天器都是采用飞轮系统组成三轴稳定 系统作为飞行器姿态控制的执行机构，以确保系 统精度高、寿命长。基于磁悬浮轴承技术的反作 用飞轮是飞轮执行机构中惯性轮的一种，其结构 简单，可靠性高，飞轮的转速可以正负变化，且平 均角动量为零。通过控制反作用飞轮的加速或减 速来改变角动量，产生控制力矩，可精确地控制卫 星等空间飞行器的姿态。在飞轮存储同样动能的 前提下，提高飞轮的转速可以减小飞轮的质量，且 飞轮的角动量不随质量变化。因此，应尽可能地 减小飞轮的质量和体积［"］。为提高姿态控制系统 的精度和稳定度，尽可能地减小执行机构的质量和 体积，必须采用结构动态设计的方法控制反作用飞 轮的振动水平，提高结构的安全可靠性，同时结合
量分布情况进行调整。利用参数化模型可很方便
地改变参数取值进行分析的特点，考虑设计变量
对结构轴向刚度、径向刚度及结构质量分布的影
响，通过计算分析得知，辐条的宽度是影响结构第
一阶振型形态的关键因素。为保证结构第一阶振
型的形态，需要对设计变量的范围进行限定。
!" 反作用飞轮结构的动态优化设计
基于多学科综合设计优化平台 #$#%&’ 和结 构有限元分析软件 ()$*$，对反作用飞轮结构进 行动态优化设计，以确保反作用飞轮结构在给定 转 速 下 能 达 到 一 定 的 角 动 量，同 时 满 足 强 度、刚 度、形态、体积等方面的要求，并使飞轮的质量最 小。
态为扁 平 转 子，其 极 惯 性 矩 与 赤 道 惯 性 矩 之 比
#+ $ #2 在 3, . % 1 之间，并尽量减小反作用飞轮结 构的体积。# 在设计转速下反作用飞轮结构满足
强度要求，即最大等效应力 "&45，67 要小于许用应 力［ "］ " !!#894。$ 反作用飞轮结构满足设计
转速下飞轮 安 全 工 作 的 要 求，且 一 阶 频 率 &3 ’ 3###:;，一阶振型为径向模态。
"&45，67 $［ "］
&3 & 3###:;
)@*
$
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A *
B
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式中，)@* 、)A* 分别为各设计变量的下限和上限。
1B 结构的静态分析及模态分析
对结构进行有限元离散化后，静力分析过程
可表示为
"# " $
（3）
式中，" 为结构的刚度矩阵；# 为节点位移列阵；$ 为载荷
（"）设计变量为反作用飞轮结构 的 外 型 参 数，即肋板宽度 !" 、轮毂内径 !3 、肋板高度 !% 和轮 毂厚度 !1 。给定初始参数为 ! "［ !" !3 !% !1 ］* "［"1 "W# 3# X1］（* OO），如图 " 所示。
图 ;< 反作用飞轮结构示意图
（3）目标函数为反作用飞轮结构质量 （# !） 最小。
型，对反作用飞轮结构进行静动力分析及结构的
动态优化设计。
!< *+ 反作用飞轮结构的有限元分析
根据给定的初始参
数，对 结 构 进 行 有 限 元
静动 力 分 析，有 限 元 模
型如图 1 所示。
对图 1 所示模型进
行结 构 静 动 力 分 析，得 到的计算结果如表 3 所 图 * 有限元分析模型
示，相 应 的 应 力 云 图 及 结 构 模 态 如 图 !、图 .
列阵。
对式（3）进行边界条件处理即可求解节点位 移 #。在计算出各单元的节点位移 #（6）后，即可由
下式求出相应的节点应力：
! " %" " %&#（6）
（1）
式中，% 为弹性模量矩阵；" 为单元的应变列阵；& 为结构
的几何矩阵。
应用有限元方法对结构进行模态分析时，系
统的运动微分方程可表示为
’#C
+
根据约束条件，需要先估算结构轴向刚度和径
向刚度的分布，综合考虑结构的体积、结构质量分
布等情况，对设计变量的变化范围进行限定，以保
证一阶振型形态。结构优化的数学模型可表示为
&’( （& !）
*< =< #( #-" .-! $ #+ $ #, #-" >?（ /0·&1 ）
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优化值,.@ A0, ,+-@ /!- -+@ 10- 0-@ A1+ ?@ ?A+ +- ,@ 1- -0@ 0! ,???@ ., 0@ A/A
万方数据
图 $ 优化结构的应力云图
" " 由表 . 及图 0、
图 1 可知：优化后的
结 构 在 转 速 +???
设计变量（22） 优化
目标 约束变量
函数
模型
!,
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"3
"3 6 "7 !289，:; #, （# !）
（45·2.） （<=8）（&>） （45）
最小值 / ,+? -? +0 ?@ ?A+ !A- ,@ ! ? ,???
最大值 ,-@ ? ,++ !? 0! ?@ ?A+ 0/ .@ ? --?
图 + 给出了用序列二次规划方法对反作用飞 轮结构进行动态优化设计时结构质量的优化历 程，共迭代 ,-. 步，最优结果在第 /0 步。表 . 列 出了优化模型的取值范围和最优设计结果。图 0 和图 1 分别给出了按优化设计变量得到的结构应 力分布云图和模态图。
图 " 反作用飞轮结构质量优化历程
表 # 优化模型取值范围及优化结果
所示。
表 " 给定的初始参数下结构静动力分析计算结果
#（+ /0·&1 ） #+ % #2 #< 3#> #. 3< T"
"&45，6（7 894） &（3 :;） （& !）（ /0）
!"< 3. T#1< -?
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图 ! 初始结构的应力云图
B B 由表 3 及图 ! 可知，结构的最大应力出现在 肋板与轮毂的交界处，且远小于许用应力，满足强
反作用飞轮结构的动态优化设计———赵丽滨 赵友选 张建宇等
反作用飞轮结构的动态优化设计
赵丽滨! 赵友选 张建宇! 韩邦成 房建成
北京航空航天大学，北京，"###$%
摘要：在综合考虑飞轮执行机构的动量容量、输出力矩、质量、体积、功耗、成本及复杂性等因素的基
础上，基于优化设计软件 &’&()* 及结构有限元分析软件 +,’-’，对基于磁悬浮轴承技术的反作用飞轮 的结构外形尺寸进行动态优化设计，在确保反作用飞轮结构在给定设计转速下能达到一定的角动量，同
·
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（!）
式中，’、(ห้องสมุดไป่ตู้分别为质量、阻尼矩阵。
考虑阻尼一般很小，对系统的影响不大，故对
结构的固有特性分析可只考虑无阻尼自由振动的
形式，即 ’#C + "# " #，则系统的模态方程可表示
为如下两种形式：
"# " #’# 或 )# " ##
式中，# 为系统的模态向量；# 为特征值；) 为动力矩阵，它 综合了系统的质量和刚度特性，) " ’ ,3 "。
收稿日期：3##W—"#—3W 基金项目：国家民用航天预研重点项目（ 科工技［3##1］"W%X 号）
万方数据
结构优化设计的思想对结构进行优化设计，使质量 和刚度的分配进一步合理，达到减小结构质量的目 的，即对反作用飞轮结构进行动态优化设计［3，%］。
" 结构优化设计的数学模型
对反作用飞轮结构进行优化设计，要求飞轮 在给定设计转速下能达到一定的角动量，同时满 足强度、刚度、形态、体积等方面的要求，并使飞轮 的质量最小。优化设计模型如下：
时满足结构强度、刚度、形态等方面的要求的前提下，使反作用飞轮的质量最小，优化结果令人满意。设
计思路和方法可以用于系列反作用飞轮结构的设计和研制。
关键词：反作用飞轮；有限元分析；优化；动态设计
中图分类号：*)"%%. /；01"1. "2! ! ! 文章编号："##1—"%34（3##/）#3—#"%2—#1