曹杨二中高一下学期期中数学试卷及答案
【解析】上海市曹杨二中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题
上海市曹扬二中2018学年第二学期高一年级期终考试数学试卷一、填空题：(1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)1.已知向量(3,1)a =r，(,1)b x =-r，且a r与b r垂直，则x 的值为______. 【答案】13【分析】根据a r与b r垂直即可得出0a b rr ⋅=，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值． 【详解】a b ⊥Q rr；310a b x ∴⋅=-=rr ；13x ∴=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．2.若120o 角的终边经过点()1,P a -，则实数a 的值为_______.【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出a 的值.【详解】由诱导公式得()tan120tan 18060tan 60=-=-=oo oo另一方面，由三角函数定义得tan1201aa ==-=-oa =【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.3.已知向量()4,3a =r ，则a r的单位向量0a u u r 的坐标为_______.【答案】43,55⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】由结论“与a r 方向相同的单位向量为0a a a =r u u r r ”可求出0a u u r 的坐标.【详解】5a ==r Q ，所以，0143,555a a a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭r u u r r r ，故答案为：34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.4.在等差数列{}n a 中，155a a +=，43a =，则8a 的值为_______. 【答案】5. 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件建立1a 、d 的方程组，求出1a 、d 的值，即可求出8a 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1514124533a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得13212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，813177522a a d =+=+⨯=，故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.5.若a r 、b r 为单位向量，且()23a ab ⋅+=r r r ，则向量a r 、b r 的夹角为_______.（用反三角函数值表示）【答案】1arccos 3π-. 【分析】设向量a r 、b r的夹角为θ，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出cos θ的值，利用反三角函数可求出θ的值.【详解】设向量a r 、b r的夹角为θ， 由平面向量数量积的运算律与定义得()222cos 1cos 3a a b a a b a a b θθ⋅+=+⋅=+⋅=+=r r r r r r r r r ，1cos 3θ∴=-，1arccos 3θπ∴=-，因此，向量a r 、b r 的夹角为1arccos 3π-，故答案为：1arccos 3π-.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.6.已知向量()cos ,sin a θθ=r，(b =r ，则a b -r r 的最大值为_______.【答案】3 【分析】计算出()22a b a b -=-r r r r ，利用辅助角公式进行化简，并求出2a b -r r 的最大值，可得出a b-r r 的最大值. 【详解】1cos 2cos 2sin cos cos sin 26a b πθθθθθθθ⎫⎛⎫⋅=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭r r Q 2sin 6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222cos sin 1a θθ=+=r，22214b =+=r ，所以，()2222212sin 452sin 766a b a ba ab b ππθθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⋅+=-++=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r rr r r r ，当且仅当()3262k k Z ππθπ+=+∈，即当()726k k Z πθπ=+∈，等号成立， 因此，a b -r r.【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.若4sin25θ=，且sin 0θ<，则θ是第_______象限角. 【答案】三 【分析】利用二倍角公式计算出cos θ的值，结合sin 0θ<判断出角θ所在的象限.【详解】由二倍角公式得2247cos 12sin 1202525θθ⎛⎫=-=-⨯=-< ⎪⎝⎭，又sin 0θ<Q ，因此，θ是第三象限角，故答案为：三.【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.8.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是_______. 【答案】[2,2]- 【分析】取BC 的中点O 为坐标原点，BC 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点D 的坐标为(),0x ，其中11x -≤≤，利用数量积的坐标运算将AD BC ⋅u u u r u u u r转化为有关x 的一次函数的值域问题，可得出AD BC ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【详解】如下图所示：取BC 的中点O 为坐标原点，BC 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 则点(3A 、()1,0B -、()1,0C ，设点(),0D x ，其中11x -≤≤，(,3AD x =-uuu r ，()2,0BC =uu u r ，[]22,2AD BC x ∴⋅=∈-uuu r uu u r，因此，AD BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是[]22-,，故答案为：[]22-,. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.9.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】25；f(x)＝sin x －2cos x 5525x x ⎫-⎪⎪⎝⎭5－φ)，其中sin 25，5，当x －φ＝2kπ＋2π(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以25.10.走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______. 【答案】211π. 【分析】设时针转过的角的弧度数为α，可知分针转过的角为12α，于此得出122ααπ=+，由此可计算出α的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值α的值. 【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为α，由分针的角速度是时针角速度的12倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为12α， 由题意可知，122ααπ=+，解得211πα=，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于211π， 故答案为：211π. 【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.11.如图，P 为ABC ∆内一点，且1135AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，延长BP 交AC 于点E ，若AE AC λ=uu u r uuu r，则实数λ的值为_______.【答案】310【分析】由AE AC λ=uu u r uuu r，得1AC AE λ=uuu r uu u r ，可得出1135AP AB AE λ=+uu u r uu u r uu u r ，再利用B 、P 、E 三点共线的向量结论得出11135λ+=，可解出实数λ的值. 【详解】由AE AC λ=uu u r uuu r，得1AC AE λ=uuu r uu u r ，可得出1135AP AB AE λ=+uu u r uu u r uu u r ， 由于B 、P 、E 三点共线，11135λ∴+=，解得310λ=，故答案为：310.【点睛】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.12.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】 【分析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值.【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=o ，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)64xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.二、选择题（每题5分，满分20分）13.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（ ） A. 0d < B. 0d >C. 160a <D. 160a >【答案】C 【分析】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由1021S S >并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项.【详解】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由1021S S >， 得()112116211011122021161111211022a a a S S a a a a a +⨯-=++++===<L ，可得160a <，故选：C.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.已知数列{}n a 满足12a =，()()11nn n n a a a n N *+=+-∈，则42a a 的值为（ ）A.1615B.43C.13D. 83【答案】B 【分析】由()11nn n n a a a +=+-，得()111nn na a +-=+，然后根据递推公式逐项计算出2a 、4a 的值，即可得出42a a 的值.详解】()11nn n n a a a +=+-Q ，()111nn na a +-∴=+，则211111122a a =-=-=，3211123a a =+=+=，431121133a a =-=-=，因此，4224233a a =⨯=，故选：B.【点睛】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15.在非直角ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由tan tan A B >得出22tan tan 0A B ->，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系. 【详解】若tan tan A B>，则222222sin sin tan tan cos cos A BA B A B-=-()()22222222sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos A B A B A B A B A B A B A B A B -+-==⋅⋅()()()2222sin sin sin sin 0cos cos cos cos A B A B A B CA B A B-+-==>⋅⋅， 易知sin 0C >，2cos 0A >，2cos 0B > ，()sin 0A B ∴->， 0A π<<Q ，0B π<<，A B ππ∴-<-<，()sin 0A B ->Q ，0A B π∴<-<，A B ∴>.因此，“A B >”是“tan tan A B >”的充要条件，故选：C.【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小.【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<Q ，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆Q 中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<Q ，因此，34A π=，故选：D.【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.三、解答题：共76分.17.设向量(1,1)a =-r ，(3,2)b =r ，(3,5)c =v.（1）若()//a tb c +v v v，求实数t 的值；（2）求c r 在a r方向上的投影.【答案】（1）89t =-；（2）. 【分析】（1）计算出a tb +r r的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数t 的值；（2）求出a c ⋅r r 和a r ，从而可得出c r 在a r方向上的投影为a c a⋅r r r .【详解】（1）()1,1a =-r Q ，()3,2b =r，()31,21a tb t t ∴+=+-r r ，()//a tb c +r r r Q ，()3,5c =r ，()()321531t t ∴⨯-=⨯+，解得89t =-；（2）()13152a c ⋅=⨯+-⨯=-r r Q ，a ==rc ∴r 在a r方向上的投影a c a⋅==r rr 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.18.已知方程20x mx n ++=有两根1x 、2x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.（1）当m =4n =时，求αβ+的值；（2）当sin m θ=-，()cos 0n θθπ=<<时，用θ表示αβ+. 【答案】（1）23π-；（2）22πθ-.【分析】（1）由反三角函数的定义得出1tan x α=，2tan x β=，再由韦达定理结合两角和的正切公式求出()tan αβ+的值，并求出αβ+的取值范围，即可得出αβ+的值；（2）由韦达定理得出12sin x x m θ+=-=，12cos x x θ=，再利用两角和的正切公式得出()tan αβ+的表达式，利用二倍角公式将等式两边化为正切，即可用θ表示αβ+.【详解】（1）由反三角函数的定义得出1tan x α=，2tan x β=，当m =4n =时，由韦达定理可得12x x m +=-=-，124x x n ==， 易知1tan 0x α=<，2tan 0x β=<，02πα∴-<<，02πβ-<<，则0παβ-<+<由两角和的正切公式可得()1212tan tan tan 1tan tan 114x x x x αβαβαβ++-+====---，23παβ∴+=-； （2）由韦达定理得12sin x x m θ+=-=，12cos x x n θ==， 所以，()122122sin cos costan tan sin 222tan 1tan tan 11cos sin112sin 22x x x x θθθαβθαβθθαβθ+++=====---⎛⎫-- ⎪⎝⎭sin 22tan 22cos 22πθπθπθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，0θπ<<Q ，0222πθπ∴<-<，又由0θπ<<得sin 0θ>，则120x x +>，则1x 、2x 至少一个是正数， 不妨设1>0x ，则02πα<<，又22ππβ-<<，2παβπ∴-<+<，易知()tan 0αβ+>，02παβ∴<+<，因此，22πθαβ+=-.【点睛】本题考查反正切的定义，考查两角和的正切公式的应用，同时涉及了二次方程根与系数的关系以及二倍角公式化简，在利用同角三角函数的基本关系解题时，需要对角的范围进行讨论，考查运算求解能力，属于中等题.19.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）已知10PA PB==（米），π4AOP BOP ∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.【答案】（1）5022504S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当38πθ=时，S 取得最大值)25021米.【分析】（1）在PAO ∆中，利用正弦定理将OA 、OP 用θ表示，然后利用三角形的面积公式可求出S 关于θ的表达式，结合实际问题求出θ的取值范围；（2）利用（1）中的S 关于θ的表达式得出S 的最大值，并求出对应的θ的值.【详解】（1）在PAO ∆中，由正弦定理得1023sin sinsin 44OA OP PAππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭所以()32210210210cos sin 422OA πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 102OP θ=，则PAO ∆的面积为()12sin 10cos sin 102244PAO S OA OP πθθθ∆=⋅⋅=⨯+⨯()()211cos 250sin cos sin 50sin 225sin 2cos 2122θθθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭2254πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因此，22504PAO S S πθ∆⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，2504S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，52444πππθ∴-<-<，当242ππθ-=时，即当38πθ=时，四边形OAPB 的面积S 取得最大值)2501米.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质，在利用三角函数进行求解时，要利用三角恒等变换思想将三角函数解+析式化简，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤<的最小正周期为2π，且其图象的一个对称轴为2x π=，将函数()f x 图象上所有点的橫坐标缩小到原来的12倍，再将图象向左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求()f x 的解+析式，并写出其单调递增区间； （2）求函数()()y f x g x =-在区间[]0,2π上的零点； （3）对于任意的实数t ，记函数()f x 在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，求函数()()()h t M t m t =-在区间[]0,π上的最大值. 【答案】（1）()sin f x x =，单调递增区间为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）6x π=、56π、32π；（3.【分析】（1）由函数()y f x =的最小正周期求出ω的值，由图象的对称轴方程得出ϕ的值，从而可求出函数()y f x =的解+析式；（2）先利用图象变换的规律得出函数()y g x =的解+析式，然后在区间[]0,2π上解方程()()f x g x =可得出函数()()y f x g x =-的零点；（3）对t 分三种情况04t π≤<、42t ππ≤<、2t ππ≤≤分类讨论，分析函数()y f x =在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的单调性，得出()M t 和()m t ，可得出()h t 关于t 的表达式，再利用函数()y h t =的单调性得出函数()y h t =的最大值.【详解】（1）由题意可知，212πωπ==，()()sin f x x ϕ=+. 令()2x k k Z πϕπ+=+∈，即()2x k k Z πϕπ=-+∈，即函数()()sin f x x ϕ=+的图象的对称轴方程为()2x k k Z πϕπ=-+∈.由于函数()()sin f x x ϕ=+图象的一条对称轴方程为2x π=，()22k k Z ππϕπ∴=-+∈，()k k Z ϕπ∴=∈，0ϕπ≤<Q ，0k ∴=，则0ϕ=，因此，()sin f x x =.函数()sin f x x =的单调递增区间为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）将函数sin y x =的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的12倍，得到函数sin 2y x =. 再将所得函数的图象向左平移4π个单位长度， 得到函数()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()()0f x g x -=，即sin cos20x x -=，化简得22sin sin 10x x +-=， 得sin 1x =-或1sin 2x =. 由于[]0,2x π∈，当sin 1x =-时，32x π=；当1sin 2x =时，6x π=或56π.因此，函数()()y f x g x =-在[]0,2π上的零点为6x π=、56π、32π；（3）当04t π≤<时，函数()y f x =在,2t π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,22t ππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以，()1M t =，由于()2f t f t π⎛⎫<+⎪⎝⎭，()()sin m t f t t ∴==， 此时，()()()1sin h t M t m t t =-=-；当42t ππ≤<时，函数()y f x =在,2t π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,22t ππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递减，所以，()1M t =，由于()2f t f t π⎛⎫>+⎪⎝⎭，()sin cos 22m t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时，()()()1cos h t M t m t t =-=-；当2t ππ≤≤时，函数()y f x =在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()()sin M t f t t ==，()sin cos 22m t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时，()()()sin cos h t M t m t t t =-=-.所以，()1sin ,041cos ,42sin cos ,2t t h t t t t t t πππππ⎧-≤<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩.当04t π≤<时，函数()y h t =单调递减，()()01h t h ≤=； 当42t ππ≤<时，函数()y h t =单调递增，此时()12h t h π⎛⎫<=⎪⎝⎭； 当2t ππ≤≤时，()sin cos 4h t t t t π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当34t π=时，()max h t =综上所述：()max h t =【点睛】本题考查利用三角函数性质求解+析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.21.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为ABC ∆的外接圆半径. （1）若2R =，2a =，45B =o ，求c ；（2）在ABC ∆中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情兄下，用a 、b 、R 表示c .【答案】（1（2）见解+析；（3）见解+析. 【分析】（1）利用正弦定理求出b 的值，然后利用余弦定理求出c 的值； （2）由余弦定理得出()222222sin 4a b c R C R +<=<可得证；（3）分类讨论判断三角形的形状与两边a 、b 的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可.【详解】（1）由正弦定理得2sin bR B=，所以2sin 4sin 45b R B ===o由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，化简得240c --=.0c >Q ，解得c =（2）由于C 为钝角，则0sin 1C <<，由于222cos 02a b c C ab+-=<，()22222222sin 4sin 4a b c R C R C R ∴+<==<，得证；（3）①当2a R >或2a b R ==时，所求ABC ∆不存在；②当2a R =且2b R <时，90A ∠=o ，所求ABC ∆有且只有一个，此时c ③当2a b R =<时，A B ∠=∠都是锐角，sin sin 2aA B R==，ABC ∆存在且只有一个，2cos c a A ==； ④当2b a R <<时，所求ABC ∆存在两个，B Ð总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此所求ABC ∆存在，当90A <o 时，cos A =cos B =，sin 2a A R =，sin 2bB R=，c ====当90A >o 时，cos A =cos B =，sin 2a A R =，sin 2bB R=，c ====【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断，考查了解三角形、三角形的外接圆等知识，综合性较强，尤其是第三问需要根据a 、b 两边以及直径的大小关系确定三角形的形状，再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强，难度较大.。
上海市曹杨二中高一期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)
曹杨二中高一期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 已知一扇形弧长为43π，所在圆半径为2，则扇形面积为 2. 已知(8,15)P -为角α终边上的一点，则cos α= 3. 化简：tan()cos()3sin()cot()22πααππαα-⋅-=+⋅- 4. 函数tan()3y x π=-的单调递增区间为5. 若当x θ=时，函数sin cos y x x =-（x ∈R ）取最大值，则tan θ=6. 若α是第三象限角，且5sin()cos sin cos()13αβββαβ-+-=-，则tan 2α=7. 已知(0,)απ∈，若1sin cos 5αα+=，则cot tan cos2ααα-= 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若)cos cos c A a C -=， 则cos A =9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知4a =，30A =︒，要使该 三角形有唯一解，则b 的取值范围为10. 函数()tan f x x ω=（0ω>）的图像的相邻两支截直线4y π=所得线段长为4π，则()4f π 的值是11. 若函数()3|sin |sin f x x x =+，[0,2]x π∈的图像与直线y k =至少有三个不同的交点， 则k 的取值范围是12. 若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 在△ABC 中，“sin sin A B ≠”是“A B ≠”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分又不必要14. 在△ABC 中，若cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 形状不确定15. 已知函数22()cos sin f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A. ()cos2f x x = B. 函数()f x 的图像关于直线0x =对称C. ()f x 的最小值正周期为πD. ()f x 的对称中心为(,0)k π，k ∈Z16. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在上[0,]π的图像大致为（ ）A. B. C. D.三. 解答题17.（1）若α是第二象限的角，化简sec α（2）已知4sin 5α=-，3(,2)2παπ∈，求tan()32πα+的值.18. 设△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足a b c <<，2sin b a B =.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，b =，求△ABC 的面积；19. 如图，学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D 处，测得旗杆AB 顶部的仰角为α，俯角最后一排学生C 的俯角为β，最后一排学生C 测得旗杆顶部的仰角为γ，旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.（1）设CD x =米，试用α、β、γ和x 表示旗杆的高度AB （米）；（2）测得x =30α=︒，15β=︒，60γ=︒，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能使国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B 处？20. 已知函数()cos (sin )333xx x f x =⋅. （1）将()f x 化为sin()A x H ωϕ++（0A >，0ω>，(,)22ππϕ∈-）的形式， 并写出其最小正周期和图像对称轴方程，并判断函数的奇偶性（不需证明）；（2）若三角形三边a 、b 、c 满足2b ac =，b 所对角为B ，求B 的范围；（3）在（2）的条件下，求()f B 的取值范围.21. 已知函数()sin(2)13f x x πω=+-，0ω>. （1）当12ω=时，求函数()f x 的单调递减区间； （2）对于(,]x a a π∈+，a 为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；（3）在（2）的条件下，若不等式|()|1f x t +<在[0,]3x π∈内恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 43π 2. 817- 3. 1- 4. 5(,)66k k ππππ-++，k ∈Z5. 1-6. 5-7. 2512-8. 9. (0,4]{8} 10. 0 11. [0,2] 12. [1,3]-二. 选择题13. C 14. C 15. D 16. B三. 解答题17.（1）1-；（2）8-+18.（1）6π；（2）19.（1）sin()sin sin()x αβγγα+-；（2）0.320.（1）2()sin()332x f x π=++；最小正周期3π，对称轴324k x ππ=+，k ∈Z ，既不是奇函数也不是偶函数；（2）(0,]3π；（3） 21.（1）7[2,2]66k k ππππ++，k ∈Z ；（2）1；（3）(0,1)。
2018学年上海市普陀区曹杨二中高一年级期中考卷(含答案)
A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 70A 9A 8曹杨二中高一数学期中考试一、填空题1. 已知角α的终边经过点(4,3)P a a ，0a <,则sin α=2. 已知cos cot 0θθ<，则角θ所在的象限为3.函数2sin cos y x x x =+的最小正周期T =4. 化简cos()cos()cos(2)2tan()cot()ππαβαβπαππβ-+-⋅-++--的结果为5. 若(cos )cos 2sin f x x x =+，[]0,x π∈，则(sin)6f π的值为6. 已知1cot 2θ=，则22sin 2sin cos cos 2θθθθ+-+的值为7. 扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =8. 将函数cos y x =，x R ∈的图像向右平移3π个单位，然后保持每个点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的三倍，得到的函数解析式为9. 如图为第七届国际数学教育大会会徽图案，它由一串直角三角形演化而成，其中11289......1OA A A A A =====，112223889A A OA ⊥A A ，OA ⊥A A ，...OA ⊥，它可以形成近似的等角螺线。
则1245tan()AOA A OA +=∠∠10. cos cos cos ,A B Ca b c==△ABC,若则△ABC 为 三角形 11. 若函数()sin sin ,044f x a x b x ab ππ⎛⎫⎛⎫=++-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则有序实数对（a,b ）可以是（ ）（写出你认为正确的一组数字即可）12. 已知6sin sin ,cos cos 5αβαβ+=+则取值范围是13. 给出函数()sin |2sin |,f x x x =+有下列四个结论：（1）该函数的值域为[0，3]；（2）当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 时，该函数取得最大值3；（3）函数的单调增区间为,()2k k k πππ⎡⎤+∈Z ⎢⎥⎣⎦；（4）当且仅当1<m<3，方程()2f x m x π=≤≤在0上有两个不同的解；其中正确结论的序号为14. 22cos 30,,,3,,tan 316633cos33x x m x y x y m R x y y y m πππ⎧--=⎪⎡⎤⎛⎫∈-≠∈+-=⎨ ⎪⎢⎥-=⎣⎦⎝⎭⎪⎩且则二、选择题15. “=αβ”是“tan tan αβ= ”成立的何种条件（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 函数sin y x = 与函数tan y x =在[]2,2x ππ∈- 的交点个数为（ ） A. 3个 B.5个 C.7个 D.9个 17. 定义{},a a bMax a b b a b≥⎧=⎨<⎩ ，则下列关于函数{}sin ,cos y Max x x = 的性质描述错误的选项为（ ）A. 周期为2πB. 对称轴为,4x k k ππ=+∈ZC.值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 单调递增区间为52,22,4k k k ππππ⎡⎤++∈Z ⎢⎥⎣⎦ 18. 对于已知函数cos y x =，若存在实数12,,...,n x x x ，满足120...4n x x x π≤<<<≤，且12231()()()()...()()8n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，*2,n n ≥∈N ，则n 的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6三、解答题19.已知()0,απ∈，且1sin cos 3αα+=： （1）求sin cos αα-的值； （2）求cos2α的值20.在三角形ABC 中，a b c 、、是它的三条边，且满足222a cb +-=： （1）求角B 的大小； （2）若2b =，求ABC ∆的面积S 的最大值及去的最大值时角A 的大小；21.如图，在宽为20的草坪内修建两个关于DE 对称的直角三角形花坛，其中∠=BCD θ=10BD ；（1）求两个直角三角形花坛的周长y 关于θ的函数关系式； （2）当θ为多少时，周长y 取得最小值，并求此最小值；22.阅读问题；已知点1(,22A 将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ，求点B 的坐标； 解：如图，点A 在角α的终边上，且11cos =2OA α=，则，sin 2α=，点B 在角+2πα的终边上，且1OB =，于是点B 的坐标满足 ：1cos sin sin cos 222B B x y ππαααα⎛⎫⎛⎫=+=-==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1()22B - ： （1） 将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π并延长至C 使4OC OA =，求点C 的坐标： （2） 将OA 绕坐标原点逆时针旋转θ并延长至ON ，使得(0)ON rOA r => ，求点N 的坐标（用含有r θ、 的数学式子表示）；（3） 定义()()1122,.,P x y Q x y 的中点为1212,.22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭ 将OA 逆时针旋转β角，并延长至OD ，使2OD OA =，且DA 的中点M 也在单位圆上，求cos β的值答案：1.35- 2.三和四 3.π 4.sin()αβ- 6.175 7.23 8.cos()33x y π=- 9. 3，10. 等腰直角三角形 11. （1.-1）12. 88-55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，13. （1）（2）（3）（4）14. 15.D 16.B 17.D 18.C19.(1)3 (2)9- 20.(1)6π (2)S 最大值为14，角A 为512π21（1）1sin cos 20()sin cos y θθθθ++= （2）min =,404y πθ=+22 （1）()（2）()cos(),sin()r r αθαθ++ 或cos(),sin())r r αθαθ--（ （3）1-4。
上海曹杨二中数学高一下期中经典练习题(专题培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥2．(0分)[ID ：12420]若四棱锥的三视图如图，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大值为（ ）A ．3B ．13C ．32D ．333．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥4．(0分)[ID ：12409]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+5．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①③6．(0分)[ID ：12353]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．2B ．32C 322D ．227．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π8．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π9．(0分)[ID ：12343]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为3，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．92π B ．92πC ．18πD ．40π10．(0分)[ID ：12333]已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭11．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．112．(0分)[ID ：12367]如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C ．2aD ．22a 13．(0分)[ID ：12406]圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=14．(0分)[ID ：12338]某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 83315．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．13C ．15D 32二、填空题16．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)17．(0分)[ID ：12460]正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.18．(0分)[ID ：12527]如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____19．(0分)[ID ：12511]在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____． 20．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线； ②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-；③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________ 21．(0分)[ID ：12471]若圆1C ：220x y ax by c 与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.22．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 23．(0分)[ID ：12459]已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______． 24．(0分)[ID ：12520]如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.25．(0分)[ID ：12450]已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12623]如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．27．(0分)[ID ：12583]如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 28．(0分)[ID ：12543]在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小； （2）求三棱锥1B DBE -的体积．29．(0分)[ID ：12533]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．30．(0分)[ID ：12609]在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，2l是中线CM所在的直线，求△ABC 的边BC所在直线的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．C4．B5．B6．B7．C8．C9．C10．D11．A12．D13．A14．B15．C二、填空题16．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故17．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上18．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常19．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结20．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方21．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为22．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α23．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握24．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截三、解答题26．27．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系2．C解析：C 【解析】 【分析】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，可证得,CD PD ⊥CB PB ⊥，分别计算四个侧面三角形的面积，比较即得解. 【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD由于,,CD AD CD PA AD PA A CD ⊥⊥=∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥同理可证：CB PB ⊥1111222,2332222PAB PAD S PA AB S PA AD ∆∆∴=⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯= 1111322222PBC PCD S PB BC S CD PD ∆∆=⨯=⨯==⨯=⨯=故四棱锥的四个侧面的面积中最大值为故选：C 【点睛】本题考查了利用三视图还原几何体，侧面三角形面积的计算，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.3．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.4．B解析：B 【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误； ②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误； ④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确． 故选B ．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -,所以圆心为()0,0.=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值.223416,故m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．C解析：C 【解析】 【分析】的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论 【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为∴三棱锥的外接球体积为343π⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ， 则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得25R =，故球O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积． 【详解】 解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3 则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值， 由于：PA ⊥平面ABC ， 所以：222PA AM PM +=， 解得：1AM =， 所以：3BM =， 则：60BAM ∠=︒， 由于：120BAC ∠=︒， 所以：60MAC ∠=︒ 则：ABC 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324120r sin ==︒，则：2r =，所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．10．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。
上海市普陀区曹杨二中2024届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析
上海市普陀区曹杨二中2024届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知1tan 2α=，则cos2=α（ ） A ．35B ．25C ．35D ．25-2．在ABC ∆中，AB =1AC =，30B ∠=，则A ∠=（ ）A ．60B ．30或90C ．60或120D ．903．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是（ ） A ．两个共底面的圆锥 B ．半圆锥C ．圆锥D ．圆柱4．ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且()cos23cos 20B A C +++=，b =:sinc C 等于（ ）A ．3:1BCD ．2:15．在ABC ∆中，60A ︒∠=，a =b =B 等于（ ）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对6．在ABC 中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）8．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A ．24πB ．6πC ．6πD 6π9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m n B ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥10．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-，则CD 的长为（ ） A ．2B 6C 7D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023年上海曹杨二中高一下期中数学试卷及答案
上海市曹杨二中2022学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知点(2,1)A -在角α的终边上，则sin α=__________.2.函数cos(24y x π=-的最小正周期为____3.若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.4.已知(1,2)A ，(5,1)B -，则AB的单位向量是________.5.已知向量()2,1a =r，()3,4b =，则a 在b方向上的数量投影为______.6.若sin cos 2sin cos αααα+=-，则cot α=______.7.已知()0,πα∈，且π3sin 25α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.8.已知a 、b 均为单位向量，且()()324a b a b +⊥-+ ，则,a b =______.9.已知公式3cos34cos 3cos θθθ=-，R θ∈，借助这个公式，我们可以求函数33()4320,2f x x x x ⎛⎫⎡=--∈ ⎪⎢ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域，则该函数的值域是______.10.若()2sin sin 2ααβ=-，则()tan cot αββ-=______.11.设π6θ>-，若函数2cos 2sin y x x =+在区间π,6θ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为14-，则θ的取值范围是______.12.已知e 是单位向量，向量a 满足2a e ⋅= .若不等式25a a te≤+ 对任意实数t 都成立，则ar 的取值范围是______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13.设12e e 、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）A.12e e + 和12e e -B.122e e + 和212e e +C.1232e e - 和2146e e - D.2e 和21e e + 14.设z C ∈且0z ≠，“z 是纯虚数”是“2z ∈R ”的A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件条件D.即非充分又非必要条件15.设()sin f x x =.若对任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()1221f x f x θ-+=-，则θ可以是（）A.π5 B.2π5 C.3π5D.4π516.在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为A.4π B.3πC.23π D.34π三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.设a ∈R ，()22cos f x x a x =+.（1）若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，求a 的值；（2）若π36f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()y f x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.18.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .设向量()2,m b c a =+-，()cos ,cos n C A = ，且m n∥.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，ABC 的面积为ABC 的周长.19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示.已知2π3ABC ∠=，π3ACD ∠=，路宽24AD =米，设ππ64BCA θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭.（1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值，才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米）20.如图，已知ABC 是边长为2的正三角形，点1P 、2P 、3P 是BC 边的四等分点.（1）求11AB AP AP AC⋅+⋅的值；（2）若Q 为线段1AP 上一点，且112AQ mAB AC =+，求实数m 的值；（3）若P 为线段3AP 上的动点，求PA PC ⋅ 的最小值，并指出当PA PC ⋅取最小值时点P 的位置.21.已知(]0,πω∈，[)0,2πϕ∈.设()()sin f x x ωϕ=+，并记(){},S y y f n n ==∈N .（1）若2π3ω=，0ϕ=，求集合S ；（2）若2ϕπ=，试求ω的值，使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，且()()f n T f n +=对于任意的n ∈N 都成立，其中T 为不大于7的正整数，求T 的所有可能值.上海市曹杨二中2022学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知点(2,1)A -在角α的终边上，则sin α=__________.【答案】55-【解析】【分析】根据三角函数的定义直接求解.【详解】已知点(2,1)A -在角α的终边上，所以5sin 5α==-故答案为：5-【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.函数cos(24y x π=-的最小正周期为____【答案】π【解析】【分析】根据余弦型函数的性质求最小正周期即可.【详解】由余弦函数的性质知：最小正周期22T ππ==.故答案为：π3.若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】23i -【解析】【分析】由已知求得z ，再由共轭复数的概念求得z ．【详解】由2136i z -=+，得246i z =+，∴23i z =+，则23i z =-．故答案为：23i -．4.已知(1,2)A ，(5,1)B -，则AB的单位向量是________.【答案】43(,)55-【解析】【分析】写出AB 的坐标，求出AB 的模长，利用||AB AB 即可求出AB的单位向量.【详解】(1,2)(5,1)A B - ，(4,3)AB ∴=-即||5AB ==143(4,3),555||AB AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故答案为43(,)55-【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查学生对模长和数量积的坐标表示，属于基础题.5.已知向量()2,1a =r ，()3,4b = ，则a 在b方向上的数量投影为______.【答案】2【解析】【分析】求出两向量的数量积，根据数量投影的意义即可求得答案.【详解】由题意向量()2,1a =r，()3,4b = ，得向量()()3,42314102,1a b ⋅=⋅=⨯+⨯=r r，||5b ==，故a 在b 方向上的数量投影为1025||a b b ==⋅，故答案为：26.若sin cos 2sin cos αααα+=-，则cot α=______.【答案】13【解析】【分析】分子、分母同除以sin α解方程即可.【详解】因为sin cos sin cos 1cot sin 2sin cos sin cos 1cot sin αααααααααααα+++===---，所以1cot 3α=.故答案为：13.7.已知()0,πα∈，且π3sin 25α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】17-【解析】【分析】根据诱导公式结合同角的三角函数关系求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求得答案.【详解】由π3sin 25α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得3cos 5α=-，而()0,πα∈，故4sin 5α=，故sin tan s 43co ααα==-，则πtan 11tan 41tan 7411343ααα+⎛⎫+===- ⎪-⎝+-+⎭，故答案为：17-8.已知a 、b均为单位向量，且()()324a b a b +⊥-+ ，则,a b = ______.【答案】2π3【解析】【分析】根据向量垂直时数量积等于0，可求得a b ⋅，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由已知a 、b均为单位向量，且()()324a b a b +⊥-+ ，可得()()3240a b a b +⋅-+= ，即2238100a b a b -++⋅=，即15100,2a b a b +⋅=∴⋅=- ，故1cos ,2||||b b b a a a ==⋅-⋅，由于,[0,π]a b ∈ ，故2π,3a b = ，故答案为：2π39.已知公式3cos34cos 3cos θθθ=-，R θ∈，借助这个公式，我们可以求函数33()4320,2f x x x x ⎛⎫⎡=--∈ ⎪⎢ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域，则该函数的值域是______.【答案】[]3,2--【解析】【分析】根据题意，可令cos 62x ππθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，，结合3cos34cos 3cos θθθ=-，再进行整体代换即可求解【详解】令cos 62x ππθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，，则30,2x ⎡∈⎢⎣⎦，()33()432cos 4cos 3cos 2cos32f x x x f θθθθ=--⇔=--=-，62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则3322ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，[]cos31,0θ∈-，[]cos323,2θ-∈--，则函数值域为[]3,2--故答案为：[]3,2--【点睛】本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题10.若()2sin sin 2ααβ=-，则()tan cot αββ-=______.【答案】3-【解析】【分析】将()2sin sin 2ααβ=-，转化为()()2sin sin αββαββ-+=--，再利用两角和与差的正弦函数求解.【详解】解：因为()2sin sin 2ααβ=-，所以()()2sin sin αββαββ-+=--，展开整理得()()sin cos 3cos sin αββαββ-=--，两边同除以()cos cos αββ-，得()tan cot 3αββ-=-，故答案为：-311.设π6θ>-，若函数2cos 2sin y x x =+在区间π,6θ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为14-，则θ的取值范围是______.【答案】π7π(,]66-【解析】【分析】恒等变形，使原式变成2(sin 1)2y x =--+，根据题目条件，求得sin x 的最小值为12-，结合sin y x =的函数图象，即可求得θ的取值范围.【详解】解：222cos 2sin 1sin 2sin (sin 1)2y x x x x x =+=-+=--+，因为函数2cos 2sin y x x =+在区间π[,]6θ-上的最小值为14-，所以2(sin 1)x --的最小值为94-，即2(sin 1)x -的最大值为94，则sin x 的最小值为12-，因为π[,]6x θ∈-，所以π7π(,]66θ∈-.故答案为：π7π(,]66-12.已知e 是单位向量，向量a满足2a e ⋅= .若不等式25a a te ≤+ 对任意实数t 都成立，则a r的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】结合题目条件，设(1,0)e =，(2,)a s = ，则不等式25a a te ≤+ 对任意实数t 都成立，可转化为245s s +≤，由此求出2[1,16]s ∈，即可得到a r的取值范围.【详解】不妨设(1,0)e =，由2a e ⋅= ，可设(2,)a s =，则对任意实数t ，有2245s a a te +=≤+=等价于245s s +≤,解得[1,4]s ∈，所以2[1,16]s ∈，于是a = .故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）13.设12e e、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）A.12e e + 和12e e -B.122e e + 和212e e + C.1232e e - 和2146e e - D.2e 和21e e + 【答案】C 【解析】【分析】根据基底的知识确定正确答案.【详解】依题意，12e e、不共线，A 选项，不存在R λ∈使()1212e e e e λ+=-，所以12e e + 和12e e -可以组成基底.B 选项，不存在R λ∈使()122122e e e e λ=++，所以122e e + 和212e e +可以组成基底.C 选项，()211246223e e e e =--- ，所以1232e e - 和2146e e -不能构成基底.D 选项，不存在R λ∈使()221e e e λ+=，所以2e 和21e e +可以组成基底.故选：C14.设z C ∈且0z ≠，“z 是纯虚数”是“2z ∈R ”的A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件条件D.即非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义，结合“z 是纯虚数”“2z ∈R ”二者关系，即可求解.【详解】z 是纯虚数,则2z ∈R 成立，当z R ∈时，2z ∈R ，即2z ∈R ，z 不一定是纯虚数，“z 是纯虚数”是“2z ∈R ”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查纯虚数的特征，属于基础题.15.设()sin f x x =.若对任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()1221f x f x θ-+=-，则θ可以是（）A.π5B.2π5 C.3π5D.4π5【答案】B 【解析】【分析】由题意可知，()()21112f x f x θ⎡⎤+=+⎣⎦，若对任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()1221f x f x θ-+=-成立，得()21,1sin 2x θ⎡⎤⊆+⎢⎥⎣⎦，只需()2min 1sin 2x θ+≤，()2max sin 1x θ+≥即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解.【详解】因为对任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()1221f x f x θ-+=-成立，所以()()2121f x f x θ+=+，即()()21112f x f x θ⎡⎤+=+⎣⎦，因为()sin f x x =，1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]10,1f x ∈，若对任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()1221f x f x θ-+=-成立，得()21,12f x θ⎡⎤⊆+⎢⎥⎣⎦，只需()2min 1sin 2x θ+≤，()2max sin 1x θ+≥即可，因为2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2π,2x θθθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，对于A ：当π5θ=时，2π7π,510x θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()2πsin sin ,15x θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因为ππ1sin sin 562>=，所以()2sin x θ+的取值不符合条件，故A 错误；对于B ：当2π5θ=时，22π9π,510x θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()29πsin sin ,110x θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因为9π5π1sin sin 1062<=，()2sin x θ+的取值符合条件，故B 正确；对于C ：当3π5θ=时，23π11π,510x θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()211π3πsin sin ,sin 105x θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因为3πsin 15<，()2sin x θ+的取值不符合条件，故C 错误；对于D ：当4π5θ=时，24π13π,510x θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()213π4πsin sin ,sin 105x θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因为4πsin15<，()2sin x θ+的取值不符合条件，故D 错误；故选：B 16.在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为A.4π B.3π C.23π D.34π【答案】D【解析】【分析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小.【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A A B C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6A A A A ==--，0A π<< ，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±，ABC ∆ 中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<< ，因此，34A π=，故选D.【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.设a ∈R ，()22cos f x x a x =+.（1）若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，求a 的值；（2）若π36f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】（1）0（2）[]0,3【解析】【分析】（1）由奇函数的定义，列出等式，即可解出a 的值；（2）由π36f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得a 的取值，然后对()222cos f x x x =+恒等变形得π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件得π26x +的取值范围是π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由此即可求得()y f x =的取值范围.【小问1详解】由题意知，对于任意给定的实数x ，有()()f x f x -=-，()()222cos 2cos x a x x a x -+-=-，移项整理得22cos 0a x =，因此0a =.【小问2详解】由题意知π333624f a ⎛⎫=+⋅=⎪⎝⎭，解得2a =.故()2π22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π26x +的取值范围是π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦，πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因此函数()y f x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[]0,3.18.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .设向量()2,m b c a =+- ，()cos ,cos n C A = ，且m n ∥.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，ABC 的面积为ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）6+【解析】【分析】（1）由题，得()2cos cos b c A a C +=-，利用正弦定理以及和差公式，诱导公式，逐步化简，即可求解；（2）由题目条件，结合余弦定理和面积公式，得2236b c bc ++=，12bc =，然后两式相加即可求得本题答案.【小问1详解】由于m n ∥，故()2cos cos b c A a C +=-，利用正弦定理，有()2sin cos sin cos sin cos sin B A A C C A A C -=+=+，又πA B C ++=，故2sin cos sin B A B -=，由于B 为三角形内角，故sin 0B >，因此1cos 2A =-，进而2π3A =；【小问2详解】由（1）知2π3A =，由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，即2236b c bc ++=.由1sin 2ABC S bc A = 知4bc =12bc =.将上面两式相加得()248b c +=，故b c +=ABC 的周长为6+.19.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示.已知2π3ABC ∠=，π3ACD ∠=，路宽24AD =米，设ππ64BCA θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭.（1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值，才能使制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米）【答案】（1）32cos sin h θθ=,ππ64θ≤≤（2）当π4θ=时，AB BC +取得最小值21.86米【解析】【分析】（1）在ACD 中先用正弦定理表示出AC ，然后在ABC 中利用正弦定理表示出AB ；（2）在ABC 中利用正弦定理表示出BC ，从而得到AB BC +的表达式，再利用三角函数的性质求解最小值即可.【小问1详解】由题意知，在ACD 中，π2CDA θ∠=-，由正弦定理，得sin sin AD AC CDA ACDθ=⋅∠=∠.在ABC 中，由正弦定理，得sin 32cos sin sin AC AB h ACB ABC θθ==⋅∠=∠，ππ64θ≤≤.【小问2详解】在ABC 中，由正弦定理，得πsin 32cos sin sin 3AC BC BAC ABC θθ⎛⎫=⋅∠=- ⎪∠⎝⎭，故ππ32cos sin 32cos sin 16cos 236AB BC θθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ππ64θ≤≤，故πππ2663θ≤-≤，所以当π4θ=时，AB BC +取得最小值821.86+≈米.20.如图，已知ABC 是边长为2的正三角形，点1P 、2P 、3P 是BC 边的四等分点.（1）求11AB AP AP AC ⋅+⋅ 的值；（2）若Q 为线段1AP 上一点，且112AQ mAB AC =+ ，求实数m 的值；（3）若P 为线段3AP 上的动点，求PA PC ⋅ 的最小值，并指出当PA PC ⋅ 取最小值时点P 的位置.【答案】（1）6（2）14（3）3713AP AP = 时，PA PC ⋅ 取最小值4952-【解析】【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可；（2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可；（3）记AB a =，AC b = ，设3AP t AP = ，其中01t ≤≤，表示出向量PA ，PC ，然后表示出PA PC ⋅的结果，转化为二次函数求最值即可.【小问1详解】由于2P 为BC 边的中点，所以22AB AC AP += ，故()111122AB AP AP AC AP AB AC AP AP ⋅+⋅=⋅+=⋅ .由于2AP BC ⊥，故()212221222226AP AP AP P P AP AP ⋅=+⋅== .因此116AB AP AP AC ⋅+⋅= .【小问2详解】由于114BP BC = ，故13144AP AB AC =+ .由于Q 为线段1AP 上一点，设()101AQ t AP t =≤≤ ，有314412t t AQ AB AC mAB AC =+=+ .由向量基本定理得341412t m t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1314t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此14m =.【小问3详解】记AB a =，AC b = ，由334BP BC = 得31344AP a b =+ .设3AP t AP = ，其中01t ≤≤，则344t t PA a =-- ，3144t t PC a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ .进而有3314444t t t t PA PC a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()()2221643341314164t ta t a b t b t t ⎡⎤=+-⋅+-=-⎢⎥⎣⎦ ，[]0,1t ∈.当且仅当713t =即3713AP AP = 时，PA PC ⋅ 取最小值4952-.21.已知(]0,πω∈，[)0,2πϕ∈.设()()sin f x x ωϕ=+，并记(){},S y y f n n ==∈N .（1）若2π3ω=，0ϕ=，求集合S ；（2）若2ϕπ=，试求ω的值，使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，且()()f n T f n +=对于任意的n ∈N 都成立，其中T 为不大于7的正整数，求T 的所有可能值.【答案】（1）33,0,22⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭（2）π或2π3（3）3、4、5、6【解析】【分析】（1）当2π3ω=，0ϕ=时，()2πsin 3x f x =找出周期计算即可；（2）若2ϕπ=，则()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，然后根据已知所给条件进行分析讨论即可；（3）根据定义以及结合所给条件进行计算，然后讨论分析即可；【小问1详解】当2π3ω=，0ϕ=时，()2πsin 3x f x =.函数()y f x =是以2π32π3T ==为周期的周期函数，故()()()3f n f n n +=∈N .由于()00f =，()12f =，()22f =-，得3322S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭.【小问2详解】若2ϕπ=，则()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.由题意知()01f S =∈，又(]0,πω∈，得()1cos 1f ω=≠，知cos S ω∈.由于S 恰有两个元素，故()()20f f =或()()21f f =，即cos 21ω=或cos2cos ωω=.若cos 21ω=，由于(]0,πω∈，解得πω=.此时{}1,1S =-，满足题目要求.若cos2cos ωω=，即22cos cos 10ωω--=，所以cos 1ω=或1cos 2ω=-由于(]0,πω∈，解得2π3ω=.此时1,12S ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，满足题目要求.综上可知，πω=或2π3ω=.【小问3详解】由于S 中恰有3个元素，显见3T ≥.首先说明3T =、4、5、6都是可能的.当3T =时，取2π3ω=，0ϕ=，由（1）知22S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭，满足要求.当4T =时，取π2=ω，0ϕ=，()πsin 2x f x =，此时周期为2π4π2T ==，且有：()0sin 00f ==，()π1sin12f ==，()sin π02f ==，()3πsin 123f ==-，所以{}1,0,1S =-，满足要求.当5T =时，取2π5ω=，2ϕπ=，()2π2c πs πos 55in 2f x x x ⎛⎫= ⎝⎭=+⎪，此时周期为2π52π5T ==，()0cos 01f ==，()2πcos51f =，()4πcos 52f =，()6π4πcoscos 553f ==，()8π2πcos cos 554f ==，()cos 2π15f ==，所以2π4π1,cos ,cos 55S ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足要求.当6T =时，取π3ω=，0ϕ=，()πsin 3f x x =，此时周期为2π6π3T ==，所以()00f =，()π31sin 32f ==，()22π2sin 3f ==，()3sin π0f ==，()24π4sin3f ==-，()25π5sin 3f ==-，所以3322S ⎧⎪=-⎨⎪⎪⎩⎭，满足要求.下面证明7T =不成立.假设存在ω、ϕ，使得()()()7f n f n n +=∈N ，且S 恰有3个元素.注意(){}0,1,2,,6S f n n == ，故()0f ，()1f ，()2f ，…，()6f 这7个数恰好取3个不同的值，知其中至少有3个数相等.不妨设()()()f i f j f k ==，其中06i j k ≤<<≤，即()()()sin sin i j k ωϕωϕωϕ+=+=+，知i ωϕ+、j ωϕ+、k ωϕ+中必有两个角的终边重合.不妨设()()()2π,1j i m m m ωϕωϕ+-+=∈≥N ，则2πm j i ω=-，进而有()()()()f n j i f n n +-=∈N ，结合()()()7f n f n n +=∈N 知()()()1f n f n n +=∈N ，与S 恰有3个元素矛盾.综上可知，T 的所有可能值为3、4、5、6.【点睛】方法点睛：对于此类题型属于新题型难度很大，解决问题是需要注意：①注意所给的条件，尤其是定义②注意分类讨论分析的思想③对所有可能性的值都不能漏掉.。
第1讲正弦、余弦、正切、余切 (专题测试)解析版
第1讲 正弦、余弦、正切、余切 （专题测试）【基础题】 一、单选题1．（2019·上海市第二中学高一期中）“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案. 【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.二、填空题2．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________．【答案】45【分析】分子、分母同除以cos θ，将tan 2θ=代入化简即可. 【详解】因为tan 2θ=，所以3sin 2cos 3tan 23224sin 3cos tan 3235θθθθθθ--⨯-===+++,故答案为45.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.3．（2019·上海华师大二附中高一期中）函数y =______． 【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【分析】根据函数y =cos 0x ≥，再结合余弦函数的图象，求得x 的范围．【详解】根据函数y =cos 0x ≥，可得2222k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，故函数的定义域为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 故答案为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．4．（2020·上海市金山中学高一期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，1()22P -为其终边上一点，则sin()2πα+=________【答案】 【分析】由三角函数的定义可求出cos α的值，然后由诱导公式可得sin()cos 2παα+=得到答案.【详解】点1()2P 在角α的终边上，则1r OP ==.由三角函数的定义可得：cos x r α==又sin()cos 22παα+==-故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题. 5．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 【答案】2π【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =，此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.6．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z 可判断3α终边所在象限，即可得答案.【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈， 所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()k m mZ 时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m m Z 时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限； 当32,()k mmZ 时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二7．（2020·上海浦东新区·高一期中）计算：15︒=________rad 【答案】12π【分析】根据1180π︒=rad 求解. 【详解】因为1180π︒=rad ， 所以151518012ππ︒=⨯=rad ，故答案为：12π【点睛】本题主要考查弧度制与角度制的互化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题8．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小.【答案】2α=时,扇形面积最大为2a 16.【分析】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,,1(2)2S a r r =-,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.【详解】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,所以221(2)2416a a S a r r r ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭. 故当4a r =且2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题. 9．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.【答案】335cot ,cos ,csc 454ααα=-==-. 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为4tan 3α=-，且α是第四象限角， 所以41cot tan 3αα==-，因为22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因为α是第四象限角，所以3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以15csc sin 4αα==- 【提升题】 一、单选题1．（2020·浙江高一期末）设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 2．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin 25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin 2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值.【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin 025α=>，2α是第一象限的角， 所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.3．（2020·常熟市中学高一月考）已知sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，则2sin cos cos θθθ-=（ ）A ．12B ．12-C D 【答案】C【分析】先根据诱导公式化简已知得: tan θ=进而再根据齐次式求值即可.【详解】解:根据诱导公式化简整理sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭得:sin θθ=,所以tan θ=所以22222sin cos cos tan 11sin cos cos sin cos tan 14θθθθθθθθθθ---===++ 故选:C【点睛】本题考查诱导公式化简，同角三角函数齐次式求值，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于2222sin cos cos sin cos cos sin cos θθθθθθθθ--=+，进而求解.二、填空题4．（2020·河北巨鹿中学高一月考）已知1cos 5α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得．【详解】∵1cos 5α=，且02πα-<<，∴sin α==，∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：-【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．5．（2020·常熟市中学高一月考）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是______．【答案】725-【分析】由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，可得1cos sin 5θθ-=，由此可求出7cos sin 5θθ+=，即可求出22sin cos θθ-. 【详解】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ， 所以小正方形的边长为cos sin θθ-，小正方形的面积是125，()21cos sin 25θθ∴-=，1cos sin 5θθ∴-=， ()21cos sin 12sin cos 25θθθθ-=-=，则12sin cos 25θθ=，()249cos sin 12sin cos 25θθθθ∴+=+=，则7cos sin 5θθ+=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525θθθθθθ∴-=-+=-⨯=-.故答案为：725-. 【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是根据图形得出1cos sin 5θθ-=，从而根据三角函数关系求出7cos sin 5θθ+=. 6．（2020·湖北武汉市·武汉二中高一期末）已知tan 2α=，则442cos 2cos sin sin 2cos 1ααααα+-=+________． 【答案】17【分析】先进行弦化切，然后把tan 2α=代入求值.【详解】()()42422242422222222cos 2cos sin sin 2cos 1cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin 2cos sin 3cos sin 1tan 2tan =3tan αααααααααααααααααααααααααα+-+-+=+-++=+-+=+-++ ∵tan 2α=，∴原式221tan 2tan 1441===3tan 347ααα-+-+++ 故答案为：17【点睛】对于正余弦的齐次式，可以先进行弦化切，然后代入求值.三、解答题7．（2020·江西省宜春中学高一月考）如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转3π得11,OP OP 逆时针旋转得21,,n OP OP -⋅⋅⋅，逆时针旋转3π得n OP .（1）若点2020P 的横坐标为45，求点1P 的横坐标； （2）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求()()()c sin ta os n 2sin 3ααπαπαππ+⎛⎫-- ⎪⎝-⎭的值.【答案】（1）45-；（2）53【分析】（1）根据得2020P 的横坐标为45，即：4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即为点1P 的横坐标； （2）根据题意得344cos ,sin ,tan 553ααα===，再根据诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）根据题意得：2020OP 终边对应的角为20203πα+⨯，因为点2020P 的横坐标为45， 所以4cos 202035πα⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，即4cos 673cos 335ππαπα⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 另一方面，1OP 的终边对应的角为π3α+， 所以点1P 的横坐标为π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （2）因为0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，所以344cos ,sin ,tan 553ααα===，所以()()()()()sin sin tan cos cos tan 152cos sin cos 3sin cos sin cos cos 3παααπαααααππαααααα⎛⎫--⋅ ⎪⋅⎝⎭====+--⋅-⋅ 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，是基础题．本题解题的关键在于根据规律得n OP 的终边对应的角*,3n n N πα+∈，进而根据三角函数定义求解.8．（2020·沭阳县修远中学高一月考）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）16433π-；（2）2α=. 【分析】（1）令圆弧的半径为R ，由定义知cos 22AOBR R ∠-=求R ，进而由弧田面积OACB AOB S S S =-，即可求其面积；（2）由题意得2r r c α+=，扇形面积22r S α=，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可.【详解】（1）由题意，如下图示2CD =，令圆弧的半径为R ，23AOB π∠=，∴cos32R OD R π==，即22RCD OC OD R =-=-=，得4R =， ∴弧田面积21132OACB AOBS S SR OD AB π=-=-⋅⋅，而3AB R =， ∴16433S π=-（2）由题意知：弧长AOB 为r α，即该扇形周长2r r c α+=，而扇形面积22r S α=，∴2222242(2)162()8c c c S αααα==≤=+++当且仅当2α=时等号成立. ∴当2α=时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.9．（2020·沭阳县修远中学高一月考）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第一象限且3sin 5α=，若角β是将角α的终边逆时针旋转2π得到. （1）求sin β的值；（2）求tan β和221sin sin cos 2cos ββββ--的值. 【答案】（1）4sin 5β=；（2）22415tan ,3sin sin cos 2cos 2βββββ=-=--. 【分析】（1）由诱导公式求得sin β；（2）由同角关系求得cos β后可得tan β，直接代入sin ,cos ββ的值计算．【详解】（1）因为α是第一象限角，所以4cos 5α==，又2πβα=+， 所以4sin sin()cos 25πβαα=+==； （2）α是第一象限角，则2πβα=+是第二象限角，所以3cos 5β===-， 所以4sin 45tan 3cos 35βββ===--， 2222115sin sin cos 2cos 2443325555ββββ==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角间的三角函数关系．解题关键是掌握三角函数的定义确定三角函数值的正负，从而正确求解．由三角函数的定义得出cosα为正，cosβ为负．然后由商数关系求得tanβ，代入已求值可得分式的值．10．（2020·安徽省定远中学高一月考）若α为第二象限角，4 sin25πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求sinα的值.（2）若7sin(5)cos tan()2()tan(19)sin()fπαπαπααπαα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----，求()fα的值.【答案】（1）35；（2）35.【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cosα的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinα的值；（2）利用诱导公式即可化简求值得解．【详解】（1）α为第二象限角，4 sin()cos25παα+==-，3sin5α∴；（2）7sin(5)cos()tan()sin(sin)tan2()sintan(19)sin()tan(sin)fπαπαπααααααπαααα---+-===-----，3()5fα∴=．【点睛】方法点睛：诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成,2kk Zπα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2kπα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面）。
上海市曹杨二中2018-2019学年高一下学期期中数学试题
曹杨二中2018-2019学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、填空题1.已知一扇形弧长43π，所在圆半径为2,则扇形面积为________. 2.已知()815P -，为角α终边上的一点,则cos α=_______. 3.化简:()()tan cos 3sin cot 22πααππαα-⋅-=⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 4.函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为________. 5.若当x θ=时,函数()sin cos y x x x R =-∈取最大值,则tan θ=______.6.若α是第三象限角,且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ-+-=-，则tan 2α=_______. 7.已知()0απ∈，，若1sin cos 5αα+=，则cot tan cos 2ααα-=______. 8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，)cos cos c A a C -=，则cos A =____ 9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，已知430a B ==︒，，要使该三角形有唯一解，则b 的取值范围为________.10.函数()tan (0)f x x ωω=>的相邻两支截直线4y π=所得线段长4π，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值________. 11.函数()[]3sin sin 02f x x x x π=+∈，，的图象与直线y k =至少有三个不同的交点，则k 的取值范围是__________. 12.若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是______.二、选择题13.在ABC ∆中，“sin sin A B ≠”是“A B ≠”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 14.在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定15.已知函数()22cos sin f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A. ()cos 2f x x =B. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称C. ()f x 的最小值正周期为πD. ()f x 的对称中心为()0k k Z π∈，， 16.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A.B. C .D. 三、解答题17.(1)若α是第二象限的角,化简2sec 1sin αα-；(2)已知43sin 252πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，，求tan 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 18.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =.（1）求A 的大小；（2）若2,23a b ==ABC ∆的面积.19.如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D 处，测得旗杆AB 顶部的仰角为α，俯角最后一排学生C 的俯角为β，最后一排学生C 测得旗杆顶部的仰角为γ，旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.(1)设CD x =米,试用αβγ、、和x 表示旗杆的高度AB (米)；(2)测得56x =301560αβγ=︒=︒=︒，，，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B 处?20.已知函数()cos sin 3.333x x x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(1)将()f x 化为()sin 0022A x H A ππωφωφ⎛⎫⎛⎫++∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，＞，，的形式,并写出其最小正周期和图象对称轴方程,并判断函数的奇偶性(不需证明)；(2)若三角形三边a b c 、、满足2b ac b =，所对为B ，求B 的范围；(3)在(2)的条件下，求()f B 的取值范围.21.已知函数()sin 210.3f x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，＞ (1)当12ω=时,求函数()f x 的单调递减区间； (2)对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；(3)在(2)的条件下,若不等式()1f x t +＜在03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，内恒成立，求实数t 的取值范围.。
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cos sin
（2） 2sin 2 sin cos cos2 。
3
16、已知 cos
x
，
4
5
（1）求 sin 2 x 的值；
17
（2）若
12
7
sin 2x 2sin 2 x
x
，求
的值。
4
1 tan x
17、如图，某船在 A 处望见北偏东 30°有两个灯塔 P、Q 与它在同一直线上。当船向西北方
4(a 3) 2 1 1
2
因此 K [1, )
2
19、解：∵
2
，∴
，
3
2
3
∴ 3 tan 2
tan tan
2
，
1 tan tan 2
28 。 75
又∵ tan tan 2 3 ， 2
∴ tan tan 3 3 ， 2
∴ tan 、 tan 是一元二次方程 x2 3 2
3x 2
3 0 的两个实根，
∵0
，∴ 0
， 0 tan 1 ，
2
24
2
解得， tan 2 3 ， tan 1， 2
∵0
，∴
，
2
4
2
又∵ 2
，∴
，
3
6
所以存在
，
6
满足条件。 精品推荐 强力推荐 值得拥有
4
2 sin x
7、若
3 ,
，化简
1 1 1 1 cos2
2
2 22 2
_____________ 。
8、函数 y cos
2 x 的单调增区间是 __________。
2020-2021下海曹杨中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题(带答案)
2020-2021下海曹杨中学高中必修二数学下期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π2．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．326．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭7．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y +的最小值为（ ） A 5B 10C ．25D ．2108．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A．34aB．33aC．32aD．3a3a9．如图所示，在棱长为a的正方体1111ABCD A B C D-中，E是棱1DD的中点，F是侧面11CDD C上的动点，且1//B F面1A BE，则F在侧面11CDD C上的轨迹的长度是()A．a B．2aC．2a D．2a10．如图，正四面体ABCD中，,E F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是线段BD的动点，则( )A．存在点G，使PG EF⊥成立B．存在点G，使FG EP⊥成立C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立11．若圆的参数方程为12cos,32sinxyθθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x ty t=-⎧⎨=-⎩（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交且过圆心B．相交但不过圆心C．相切D．相离12．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，ABCV是等腰三角形，BA BC=，123AC CC==，，D是AC的中点，点F在侧棱1A上，若要使1C F⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A．1B．12或2C．22或2D．13或3二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sinθ=______. 14．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.15．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .16．已知圆O：224x y+=, 则圆O在点(1,3)A处的切线的方程是___________. 17．直线10ax y++=与连接A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则a的取值范围是___．18．已知B与点()1,2,3A关于点()0,1,2M-对称，则点B的坐标是______．19．三棱锥A BCD-中，E是AC的中点，F在AD上，且2AF FD=，若三棱锥A BEF-的体积是2，则四棱锥B ECDF-的体积为_______________．20．如图，在体积为1V的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V，则21VV=__________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy中，已知两直线1:330l x y--=和2:10l x y++=，定点(1,2)A.（1）若1l与2l相交于点P，求直线AP的方程；（2）若1l恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，2l是中线CM所在的直线，求△ABC 的边BC所在直线的方程.22．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：.23．在直角坐标系中，射线OA: x－y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.（1）当AB中点为P时，求直线AB的方程；（2）当AB中点在直线12y x=上时，求直线AB的方程.24．如图所示，已知四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60,,ABC E F∠=o分别是,BC PB的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C--的正切值．25．已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.26．已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=． （1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线，即2R ==246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.2．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故2222000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．3．B解析：B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =，直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.5．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．D解析：D 【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m rm n n r⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。
上海市曹杨第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市曹杨第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．集合{0,1},{1,2}A B ==,则A B =.2．已知a ∈R ，若关于x 的不等式2ax x <+的解集为R ，则a =.3．已知0,0a b >>，化简221113634a b a b-⎛⎫ ⎪=.4．不等式2102x x -≥+的解集为.5．在对数式中()()1log 3x x --，实数x 的取值范围是．6．已知()2,5mm y m m x ∈=+-R 是幂函数，其图象经过第一、三象限，则m =.7．已知,:01,:21m x m x m αβ∈≤≤-≤≤+R .若α是β的充分条件，则m 的取值范围是.8．已知12,,,p q x x ∈R 是关于x 的方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则pq =.9．通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为1E ，2E ，则12E E =10．已知0,0a b >>，若命题：“存在x ∈R ，使得()(21)0x a x b -+-<”为假命题，则21a b+的最小值为.11．已知二次函数()()1y ax x a =--，甲同学：0y >的解集为()1,,a a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；乙同学：0y <的解集为()1,,a a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；丙同学：此二次函数的对称轴在y 轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a 的取值范围是.12．已知02k <<，定义[x ]为不超过x 的最大整数，区间[,]a b （或(,),[,)a b a b ，(,])a b 的长度记为b a -.若关于x 的不等式[]2[]6k x x >-的解集对应区间的长度为2，则k 的取值范围是.二、单选题13．下列函数是幂函数且在(0,)+∞上是减函数的是（）A ．2y x =B ．13y x =C ．12y x -=D ．23y x -=14．已知0,0m n >>，若3927log log log (98)k m n m n ===+，则k =（）A ．−2B ．2C ．12-D ．1215．已知全集U 为无理数集，将U 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足,M N U M N ⋃=⋂=∅，若M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为优分割.对于任一优分割(,)M N ，下列选项中一定不成立的是（）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素16．设集合A 为非空实数集，集合{,B xy x y A =∈且}x y ≠，称集合B 为集合A 的积集，则下列结论正确的是（）A ．当{}1,2,3,4A =时，集合A 的积集{}2,3,4,8,12B =B ．若A 是由5个正实数构成的集合，其积集B 中元素个数最多为8个C ．若A 是由5个正实数构成的集合，其积集B 中元素个数最少为7个D ．存在4个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =三、解答题17．解关于x 的不等式|21||1|1x x --+<.18．已知,,a b c ∈R ，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为-1和2，且该二次函数图像过点(3,4).(1)求二次函数2y ax bx c =++的表达式;(2)已知m ∈R ，解关于x 的不等式22ax bx c mx m ++<--.19．已知22,()3x aa f x x -∈=+R .(1)若2,1a x =>，证明：1()3f x ≤，并指出等号成立的条件;(2)已知,[1,1],[2,2]m t a ∈∈-∈-R ，设关于x 的方程1()f x x=的两个非零实数根为12x x 、，问是否存在m ，使得2122m tm x x ++≥-对任意[2,2]a ∈-以及[1,1]t ∈-恒成立，若存在请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．已知非空实数集,S T 满足：若x S ∈，则11x S x -∈+;若y T ∈，则1y T y -∈.(1)若3S ∈，直接写出S 中一定包含的元素；(2)若T 由三个元素组成，且所有元素之和为32，求T ；(3)若S T 由2024个元素组成，求S T 的元素个数的最大值.。
2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一下册期中数学模拟试题(含解析)
2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一下册期中数学模拟试题（含解析）一、填空题1．函数sin 3y x =的最小正周期为_____．【答案】2π3【分析】直接利用三角函数的周期公式，即可求解.【详解】解：由正弦函数的周期公式得2π3T =，所以函数sin 3y x =的最小正周期为2π3，故答案为：2π32．复数23i z =-（其中i 为虚数单位）的虚部为____．【答案】3-【分析】由复数的概念可直接得到虚部.【详解】由复数的概念可知复数23i z =-的虚部为3-.故答案为:3-.3．函数tan 2y x =的定义域为___________________【答案】2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭.【分析】由正切函数tan y x =的定义域得出()22x k k Z ππ≠+∈，解出不等式可得出所求函数的定义域．【详解】由于正切函数tan y x =为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，得()24k x k Z ππ+≠∈，因此，函数tan 2y x =的定义域为2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭，故答案为2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题．4．已知tan 3α=-，则cos cos(2)23sin()2sin 2παπαππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭____．【答案】25##0.4【分析】先通过诱导公式化简，然后弦化切即可得到答案.【详解】原式sin cos tan 1312sin 2cos tan 2325αααααα++-+====----．故答案为：25.5．若,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，则cos()αβ+=_____．【答案】1385【分析】通过平方关系求出cos α和sin β的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，所以154cos ,sin 175αβ==，所以1538413cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=．故答案为：1385.6cos x x +[]0,2π上的解集为__．【答案】π7π,1212⎧⎫⎨⎩⎭【分析】首先利用辅助角公式化简，然后利用特殊角的三角函数值确定解集，最后根据题干中给定角的取值范围即可确定满足条件的角的集合.cos x x +π2sin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以ππ2π64x k +=+或π3π2π64x k +=+，所以π2π12x k =+或7π2π12x k =+，因为[]0,2πx ∈，所以π12x =或7π12x =，故答案为：π7π,1212⎧⎫⎨⎬⎩⎭．7．已知向量a 在向量b 方向上的投影为2b - ，且||3b = ，则⋅=a b __．(结果用数值表示)【答案】18-【分析】首先根据投影公式求得||cos 6a a b 〈⋅〉=-，再代入数量积公式，即可求解.【详解】因为向量a在向量b 方向上的投影为2b - ，且||3b = ，所以||cos 2||b a a b b b 〈⋅〉⋅=-，所以||cos 6a a b 〈⋅〉=-，则||||cos ,6318a b a b a b ⋅=⋅⋅〈〉=-⨯=-．故答案为：18-8．函数22sin cos 2sin 1,[0,π]y x x x x =-+∈的单调递减区间为_____．【答案】π,85π8⎡⎤⎢⎣⎦【分析】先将函数解析式化简，再利用整体代入法即可求得函数单调递减区间【详解】22sin cos 2sin 1sin 2cos2si4πn 2y x x x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，得π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z 又[0,π]x ∈，则π5π88x ≤≤则函数22sin cos 2sin 1y x x x =-+，[0,π]x ∈单调递减区间为π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：π,85π8⎡⎤⎢⎣⎦9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B ∠=__________．【答案】4π【详解】试题分析：∵222cos 2b c a A bc+-=，∴22211sin ()24S bc A b c a ==+-，∴11sin 2cos 24bc A bc A =⨯，∴tan 1A =，4A π=．∵cos cos sin a B b A c C +=，∴2sin()sin A B C +=，∴sin 1C =，∴2C π=，∴4B π=．【解析】解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得tan 1A =，可得4A π=，再用正弦定理把cos cos sin a B b A c C +=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得90C =︒，最后根据三角形内角和，进而求得B ．10．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()f x 在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且5,041212f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x =_____．【答案】2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据条件，运用三角函数的性质逐步推理，求出ω和ϕ.【详解】由于5412f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，存在两种情况：（1）周期为51246T πππ=-=，则有212Tπω==，又012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()12k k Z πωϕπ+=∈，2πϕ＜，0ϕ∴=，即()2sin12f x x =，又4126πππ-= =T ，则()f x 在区间,124ππ⎡⎤⎢⎣⎦上不具有单调性，不符合题意；（2）3x π=为函数的对称轴，则()1132k k Z ππωϕπ+=+∈…①，因为012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()2212k k Z πωϕπ+=∈…②，①-②得()1242k k ππωπ=+-，所以()1224k k ω=+-，因为()f x 在区间,124ππ⎡⎤⎢⎣⎦上具有单调性，所以41262T πππ-=≤，即3T π≥，所以2,06T πωω=∴≤＜，2ω=或6，若2ω=，则21k k =，由①得16k πϕπ=-+，因为||2ϕπ<，所以6πϕ=-，210k k ==，代入①也成立，符合题意；若6ω=，由①得122k πϕππ=+-，不可能满足2πϕ＜；所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；故答案为：()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.11．已知函数()21()sin in 0,222xf x x x R ωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是__.【答案】1170,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U【分析】由三角恒等变换得()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据题意得()()2020f f T ππππωω⎧≥⎪⎪=≥⎨⎪>⎪⎩，再分别解不等式即可得答案.【详解】解：函数211()sin sin sin cos sin 222226x f x x x x x ωπωωωω⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭∵()f x 在区间(),2ππ内没有零点，∴()()2020f f T ππππωω⎧≥⎪⎪=≥⎨⎪>⎪⎩，即sin sin 206601πππωπωω⎧⎛⎫⎛⎫--≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<≤⎩∴sin 06sin 206ππωππω⎧⎛⎫-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩①或sin 06sin 206ππωππω⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎝⎭⎩②，解①得()2262226k k k Z k k ππωπππππωπππ⎧≤-≤+⎪⎪∈⎨⎪≤-≤+⎪⎩，即()172266171212k k k Z k kωω⎧+≤≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤≤+⎪⎩，由于01ω<≤，故0k =，即17612ω≤≤解②得()2262226k k k Z k k πππωπππππωππ⎧-+≤-≤⎪⎪∈⎨⎪-+≤-≤⎪⎩，即()512266511212k k k Z k kωω⎧-+≤≤+⎪⎪∈⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，由于01ω<≤，故0k =，即1012ω<≤，综上可得ω的取值范围是1170,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U故答案为：1170,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U 12．如图，圆O 是半径为1的圆，12OA =，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC BC →→⋅的取值范围是___________.【答案】1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC ⊥.设θ为OA →和BC →的夹角.求出211cos 22AC BC BC BC θ→→→→⋅=-,利用二次函数即得解.【详解】解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC ⊥.设θ为OA →和BC →的夹角.则AC BC OC OA BC OC BC OA BC →→→→→→→→→⎛⎫⋅=-⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭cos cos OC BC BCO OA BC θ→→→→=⋅⋅∠-⋅⋅211cos 22BC BC θ→→=-，221111cos 2222BC BC BC BC θ→→→→-≥-2111228BC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，（当cos 1θ=即0θ=时取等）因为[]0,2BC →∈，所以当12BC →=时，AC BC →→⋅有最小值18-.221111cos +2222BC BC BC BC θ→→→→-≤2111228BC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，（当cos 1θ=-即θπ=时取等）当2BC →=时，211+22BC BC →→有最大值为3，即AC BC →→⋅有最大值3，所以AC BC →→⋅的取值范围是1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型211cos 22AC BC BC BC θ→→→→⋅=-，再利用二次函数的图象和性质求解.二、单选题13．已知,,a b c 是平面上的非零向量，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b = ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】充分性用数量积的几何意义验证，必要性直接证明.【详解】根据向量乘积的几何意义则a c ⋅ 表示c r 与a 在c上投影数量的乘积，同理b c ⋅ 表示c r 与b 在c 上投影数量的乘积，画图为：,a b 在c 的投影都为OD ，但是a b≠ 所以充分性不成立.若a b =，则a c b c ⋅=⋅ 成立,即必要性成立，所以B 正确.故选：B ．14．设函数()sin cos f x a x b x =+，其中0a >，0b >，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的R x ∈恒成立，则下列结论正确的是（）A ．26f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()f x 的图像关于直线34x π=对称C ．()f x 在5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．过点(),a b 的直线与函数()f x 的图像必有公共点【答案】D【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在4x π=处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案.【详解】由题意，()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，tan ba ϕ=，而函数在4x π=处取得最大值，所以()()2Z 2Z 424k k k k πππϕπϕπ+=+∈⇒=+∈，所以()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，tan 1b a b a ϕ==⇒=，则()()sin 04f x x a π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.对A ，因为31sin sin sin 24426422224πππππ⎛⎫⎛⎫+==+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即26f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；对B ，因为3sin sin 044πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以B 错误；对C ，因为3,242x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以C 错误；对D ，因为()f x ，而b a =，所以过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象必有公共点，D 正确.故选：D.15．函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移π6个单位长度后与函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则||ϕ的最小值为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π6【答案】C【分析】利用三角函数图像平移规则和三角函数诱导公式即可取得||ϕ的最小值【详解】函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移π6个单位长度后为πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又因为πππππcos 2sin 2sin 266233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则||ϕ的最小值为π3，故选：C ．16．如果对一切正实数x ，y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[3,)+∞C ．[-D ．[3,3]-【答案】D 【分析】将不等式4y-cos 2x ≥a sin x 9y -恒成立转化为94y y +≥a sin x +1﹣sin 2x 恒成立，构造函数f （y ）94y y=+，利用基本不等式可求得f （y ）min ＝3，于是问题转化为a sin x ﹣sin 2x ≤2恒成立．通过对sin x ＞0、sin x ＜0、sin x ＝0三类讨论，可求得对应情况下的实数a 的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【详解】解：∀实数x 、y ，不等式4y-cos 2x ≥a sin x 9y -恒成立⇔94y y +≥a sin x +1﹣sin 2x 恒成立，令f （y ）94y y=+，则a sin x +1﹣sin 2x ≤f （y ）min ，∵y ＞0，f （y ）94y y =+≥=3（当且仅当y ＝6时取“＝”），f （y ）min ＝3；所以，a sin x +1﹣sin 2x ≤3，即a sin x ﹣sin 2x ≤2恒成立．①若sin x ＞0，a ≤sin x 2sinx+恒成立，令sin x ＝t ，则0＜t ≤1，再令g （t ）＝t 2t +（0＜t ≤1），则a ≤g（t ）min ．由于g ′（t ）＝122t -0，所以，g （t ）＝t 2t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g （t ）min ＝g （1）＝3，所以a ≤3；②若sin x ＜0，则a ≥sin x 2sinx+恒成立，同理可得a ≥﹣3；③若sin x ＝0，0≤2恒成立，故a ∈R ；综合①②③，﹣3≤a ≤3．故选：D ．【点睛】本题考查恒成立问题，将不等式4y-cos 2x ≥a sin x 9y -恒成立转化为94y y +≥a sin x +1﹣sin 2x 恒成立是基础，令f （y ）94y y=+，求得f （y ）min ＝3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题17．已知||3a =，||4b = ，||a b -(1)求,a b 〈〉 ；(2)求|2|+a b 的值．【答案】(1)π,3a b 〈〉=【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解.（2）用公式|2|a b += ，展开即可求解.【详解】（1）因为||3a = ，||4b = ，||a b -所以222||=2cos ,a b a a b a b b --⋅+，即924cos ,1613a b -+= ，即1cos ,2a b=，又,[0,]a b π∈ ，所以π,3a b =（2）|2|a b += 18．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos sin c B C a =．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，3AC CB ⋅=-uuu r uur，求a b +的值．【答案】（1）6C π=；（2）a b +=【分析】（1）由正弦定理和三角函数的诱导公式、两角和的正弦公式、同角的商数关系，可得所求值；（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，可得所求值．【详解】解：（1）由正弦定理可得sin cos sin sin sin()sin cos cos sin C B B C A B C B C B C +==+=+，sin sin cos B C B C =，因为sin 0B >，所以si ta s n n co C C C ==又()0C π∈，，所以6C π=；（2）因为cos 3CA CB ab C ⋅==，cos cos 6C π==所以=ab 所以22222cos ()22cos 6c a b ab C a b ab ab π=+-=+--，则2()2246410a b ab ab +=++=++=+所以a b +=．19．如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5公里，与小岛D 相距为A 为钝角，且3sin 5A =．(1)求小岛A 与小岛D 之间的距离；(2)记CDB ∠为α，CBD ∠为β，求sin(2)αβ+的值．【答案】(1)2(2)25【分析】(1)在ABD △中，利用余弦定理即可求解；(2)在BCD △中，先利用正弦定理求出sin α=.【详解】（1）由题意可知：5AB BC ==，BD =因为角A 为钝角，3sin 5A =，所以4cos 5A =-，在ABD △中，由余弦定理得，2222cos AD AB AD AB A BD +-⋅⋅=，所以28200AD AD +-=，解得2AD =或10AD =-（舍），所以小岛A 与小岛D 之间的距离为2．（2）在BCD △中，由正弦定理sin sin BC BD C α=，因为πA C +=，所以3sin sin(π)sin 5C A A =-==，则sin α，因为BC BD <，所以α为锐角，所以cos 5α=，因为3sin()sin(π)sin 5C C αβ+=-==，4cos()cos(π)cos 5C C αβ+=-=-=-，所以sin(2)sin[()]αβααβ+=++sin cos()cos sin()25ααβααβ=+++=．20．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题.试解答下列问题.(1)在直角坐标系中，将点(2,1)A 绕坐标原点O 逆时针旋转π4到点B ，求点B 的坐标；(2)如图，设向量(,)AB a b = ，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得到向量AC ，求向量AC 的坐标；(3)设(,)(,)A a a B m n ，为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由.【答案】(1),22B ⎝⎭(2)()cos sin ,cos sin AC a b b a θθθθ=-+ (3)能，答案见解析【分析】（1）设OA r =，以OA 为终边的角为α，则利用两角和的正弦和余弦公式求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而求得点B 坐标；（2）先把(,)AB a b = 平移到起点在原点得到(),OB a b '= ，与（1）同理求得OC ' 即得AC ；（3）与（1）同理求得点C ，把点C 坐标代入直线y x =，分情况讨论求解即可．【详解】（1）设()cos 2,,sin 1r OA r B x y r αα=⎧==⇒⎨=⎩，则πππcos()cos cos sin sin 4442x r r r ααα=+=-=，πππsin()sin cos cos sin 444y r r r ααα=+=+，所以,22B ⎪⎝⎭；（2）把向量AB 的起点平移到原点O ，如图，(,),OB AB a b AC OC ''=== ，设以OB ' 为终边的角为α，则以OC ' 为终边的角为+αθ，记=(,)r OC OB C x y '''= ，，则cos sin a r b r αα=⎧⎨=⎩，()()cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin x r r r a b y r r r b a αθαθαθθθαθαθαθθθ⎧=+=-=-⎪⎨=+=+=+⎪⎩，所以()cos sin ,cos sin AC a b b a θθθθ=-+ ；（3）欲求C 点坐标，只需要求向量OC 坐标.显然.OC OA AC =+ 因为向量(,)AB m a n a =-- ，由（2）得()()cos ()sin ,()cos ()sin AC m a n a n a m a θθθθ=----+- ()(,)()cos ()sin ,()cos ()sin OC OA AC a a m a n a n a m a θθθθ=+=+----+- 即C 点坐标为()()cos ()sin ,()cos ()sin a m a n a a n a m a θθθθ+---+-+-，“点C 落在直线y x =上”⇔“()cos ()sin ()cos ()sin a m a n a a n a m a θθθθ+---=+-+-”⇔“()cos +2)sin m n m n a θθ-=-（”①当2m n m n a=⎧⎨+=⎩时，点A B 、重合，不合题意；②当2m n m n a =⎧⎨+≠⎩时，点C 能落在直线y x =上，此时需π(Z)k k θ=∈；③当2m n m n a≠⎧⎨+=⎩时，点C 能落在直线y x =上，此时需π(Z)2k k θπ=+∈；④当+2m n m n a ≠⎧⎨≠⎩时，点C 能落在直线y x =上，由tan +2m n m n a θ-=-，此时需πarctan (Z)2m n k k m n aθ-=+∈+-.注：情形②可以并入情形④.综上所述：当+2m n m n a ≠⎧⎨=⎩时，ππ(Z)2k k θ=+∈；当+2m n a ≠时，πarctan (Z)2m n k k m n a θ-=+∈+-。
上海曹杨第二中学附属学校数学高一下期中经典题(培优提高)
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==2==AC BD ，AD BC == ）A ．32π B ．24πCD ．6π2．(0分)[ID ：12423]已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,AB BC AC ===D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732B C D3．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+4．(0分)[ID ：12400]若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．3D ．65．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在7．(0分)[ID ：12349]已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π8．(0分)[ID ：12331]矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ） A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 9．(0分)[ID ：12366]已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．153B ．53C ．64D ．10410．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1011．(0分)[ID ：12418]如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立12．(0分)[ID ：12419]陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073πB ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+13．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行14．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离15．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ）A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题16．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.17．(0分)[ID ：12524]已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.18．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．19．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .20．(0分)[ID ：12455]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.21．(0分)[ID ：12454]如图，在ABC 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.22．(0分)[ID ：12447]在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 23．(0分)[ID ：12456]已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.24．(0分)[ID ：12459]已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12559]如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．27．(0分)[ID ：12551]已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．28．(0分)[ID ：12621]在平面直角坐标系xOy 中，直线2210x y +--=与圆C 相切，圆心C 的坐标为()2,1- （1）求圆C 的方程；（2）设直线y =x +m 与圆C 交于M 、N 两点. ①若22MN ≥，求m 的取值范围； ②若OM ⊥ON ，求m 的值.29．(0分)[ID ：12534]如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且2PA AB BC ===,2 2.AC =（1）证明：三棱锥P ABC -为鳖臑；（2）若D 为棱PB 的中点，求二面角D AC P --的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.30．(0分)[ID ：12579]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M ､N 分别是1A B ､11B C 的中点.（1）求证：MN ⊥平面1A BC ；（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成角的大小.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．D4．B5．B6．A7．C8．C9．D10．D11．C12．D13．D14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与17．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α19．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因20．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角21．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本22．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD且低于平面AFC而当平面EHD平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状23．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O为CD的中点且OA＝OB＝OC＝OD进而在△A0B中利用余弦定理求得cos∠AOB的值则∠AOB可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心24．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为346632ππ⎛⨯= ⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值. 【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形， 故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=， 设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+= 所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为(1132216644264232+⨯⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．3．D解析：D 【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ， ∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1，∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1， 故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．B解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.5．B解析：B 【解析】 【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QOOPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故2222000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围．6．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ，则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得R =O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即1522r AC ===，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角， 设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===， 设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．D解析：D 【解析】 【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．C解析：C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误； 在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确； 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．12．D解析：D 【解析】 【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D . 【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.13．D解析：D 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.14．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)22102519d -⨯--==<+，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.15．D解析：D 【解析】 【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案． 【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题16．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】 【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围. 【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.17．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【解析】 【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl ⊥m 所以l ⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl ⊥α解析：②④ 【解析】 【分析】对每一个选项分析判断得解. 【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确． 故答案为②④ 【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以23AC =.设AD x =，则023t <<，23DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=设t ==0x ≤≤12t ≤≤.则x -=（1）当0x ≤≤时，有x x ==故x =此时，16V t =21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2x <≤x x =-=故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 20．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】 【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，151,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得55BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.21．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本解析：60° 【解析】 【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小. 【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则2SB BC ==，所以2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=，所以60EDC ∠=. 故答案为：60 【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法23．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π【解析】 【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案． 【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯，则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力．24．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握 解析：()2224x y -+=【解析】 【分析】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，代入方程利用点差法计算得到答案. 【详解】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，则221136x y +=，222236x y +=，两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=，即220x ky +=. 故2204y x y x +=-，整理得到：()2224x y -+=. 故答案为：()2224x y -+=. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存解析：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由直线系方程求出直线所过定点，再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率，数形结合求得实数m 的取值范围． 【详解】解：由直线:0l x my m ++=可知直线过定点()0,1P -， 又()1,1A -，()2,2B ，如图∵()11201PA K --==---，123022PB K --==-，∴由图可知，直线与线段相交，直线l 的斜率(]3,2,2k ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或斜率不存在，∴(]13,2,2m ⎡⎫-∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，或0m =， 即203m -≤<或102m <≤，或0m =， ∴21,32m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 故答案为：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查直线系方程的应用，考查了直线的斜率计算公式，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题 26．（1）证明见解析；（2）2CM =. 【解析】 【分析】（1）由已知可得1CC BC ⊥，结合AC BC ⊥，可得BC ⊥平面11AAC C ，即可证明结论； （2）取1AB 中点D ，连,MD ND ，则//ND CM ，由//CN 平面1AB M ，可证//CN MD ，得到四边形CMDN 为平行四边形，即可求CM 的长.【详解】。
高中上海市普陀区曹杨二中高一下学期期中数学试题
【分析】
依题意可知 和 分别是函数 的最小值点和最大值点，又函数 的最小正周期为 ，则由正弦函数的图像特征可得 ，由此即可得到结果.
【详解】
依题意， ， ，即 和 分别是函数 的最小值点和最大值点，又函数 的最小正周期为 ，
由正弦函数的图像特征可得， ，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查正弦函数的周期和图像特征，也考查学生的逻辑推理能力，不等式恒成立问题一般跟函数最值相关，属中档题.
9．③⑤
【分析】
通过函数的图象，求出T，求出 ，然后求出A，判断①②的正误，利用 ，判断③的正误，利用函数的单调性判断④的正误；通过特殊点求出 ，判断⑤的正误即可.
【详解】
由图象可知，函数 的最小正周期为 ，故①不正确；
函数 的振幅为 ，故②不正确；
函数 的一条对称轴方程为 ，故③正确；
④不全面，函数 的单调递增区间应为 ；
14．在 中， ， ，其中 是常数，满足 ，那么 的值（）
A．可能不存在B．有且只有一个C．至少一个D．至少两个
15．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 的图象都经过点 ，则 的值可以是（）
A． B． C． D．
16．函数 在区间 上是增函数，且 ， ，则函数 在区间 上（）
A．是增函数B．是减函数
4．把 化为 的形式_____________________.
5．已知 ，角 的对边分别为 ，且 ，则 的值是________________.
6．函数 图像上一个最高点为 ，相邻的一个最低点为 ，则 ____________
7．函数 的单调递增区间是___________.
8．函数 ，对于任意的 ，都有 ，则 的最小值为____________________;
2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一下学期数学期中考试试卷含详解
上海市曹杨第二中学2021-2022年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.函数sin3y x =的最小正周期为 ．2.复数23i z =-（其中i 为虚数单位）的虚部为 ．3.函数tan2y x =的定义域为 ．4.已知tan 3α=-，则cos cos(2)23sin()2sin 2παπαππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 5.若,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，则cos()αβ+= ． 6.3sin cos 2x x +=[0,2]π上的解集为 ．7.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2b -，且||3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 8.函数22sin cos 2sin 1,[0,]y x x x x π=-+∈的单调递减区间为 ．9.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若S 表示∆ABC 的面积，若cos cos sin +=a B b A c C ，2221()4=+-S b c a ，则B = ．10.已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()f x 在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且5,041212f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x = ． 11.已知函数231()sin (0)222xf x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 ． 12.如图，圆O 是半径为1的圆，12=OA ，设B 、C 为圆上的任意2个点，则⋅AC BC 的取值范围为 ．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知,,a b c 是平面上的非零向量，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14.设函数()sin cos f x a x b x =+，其中0a >，0b >，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x R ∈恒成立，则下列结论正确的是( )A ．()()26ππ>f B ．()f x 的图像关于直线34π=x 对称 C ．()f x 在5[,]44ππ上单调递增 D ．过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像必有公共点15.函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移6π个单位长度后与函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则||ϕ的最小值为( ) A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 16.如果对一切正实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3,3]- B ．[3,)+∞C ．[22,22]-D ．4(,]3-∞三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题） 17.已知||3,||4,||13a b a b ==-=． （1）求,a b 〈〉； （2）求|2|a b +的值．18.已知ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 3sin =c B b C a ．（1）求角C 的大小；（2）若2=c ，3⋅=-AC CB ，求+a b 的值．19.如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5公里，与小岛D 相距为35A 为钝角，且3sin 5=A ． （1）求小岛A 与小岛D 之间的距离；（2）记∠CDB 为α，∠CBD 为β，求sin(2)αβ+的值．20.借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题.试解答下列问题. （1）在直角坐标系中，将点(2,1)A 绕坐标原点O 逆时针旋转4π到点B ，求点B 的坐标； （2）如图，设向量(,)AB a b =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得到向量AC ，求向量AC 的坐标；（3）设(,)(,)A a a B m n ，为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由.yxCBOAθ上海市曹杨第二中学2021-2022年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.函数sin3y x =的最小正周期为 ． 【答案】23π 2.复数23z i =-（其中i 为虚数单位）的虚部为 ． 【答案】3-3.函数tan2y x =的定义域为 ． 【答案】|,42k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭4.已知tan 3α=-，则cos cos(2)23sin()2sin 2παπαππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 【解析】原式sin cos tan 1312sin 2cos tan 2325αααααα++-+====----．5.若,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，则cos()αβ+= ． 【解析】因为,αβ为锐角，且83sin ,cos 175αβ==，所以154cos ,sin 175αβ==， 所以1538413cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=． 6.3sin cos 2x x +=[0,2]π上的解集为 ．3sin cos 2x x +=2sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以264x k πππ+=+或3264x k πππ+=+，所以212x k ππ=+或7212x k ππ=+， 因为[0,2]x π∈，所以12x π=或712x π=，故解集为7,1212ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．7.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2b -，且||3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【解析】因为向量a 在向量b 方向上的投影为2b -，且||3b =，所以||cos 2||ba ab b b 〈⋅〉⋅=-，所以||cos 6a a b 〈⋅〉=-， 则||||cos ,6318a b a b a b ⋅=⋅⋅〈〉=-⨯=-．8.函数22sin cos 2sin 1,[0,]y x x x x π=-+∈的单调递减区间为 ． 【解析】22sin cos 2sin 1sin 2cos2224y x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭， 令3222242k x k πππππ+≤+≤+得单调递减区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 9.在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若S 表示∆ABC 的面积，若cos cos sin +=a B b A c C ，2221()4=+-S b c a ，则B = ．【解析】由正弦定理及已知得sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，即2sin()sin +=A B C ，因为A B C π+=-，所以2sin()sin sin A B C C +==，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以sin 1C =，所以90C =︒， 所以2221()24ab S b c a ==+-，因为222b a c +=， 所以222211()422+-==abb c a b ，所以a b =，所以ABC ∆为等腰直角三角形， 所以45B =︒．10.已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()f x 在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且5,041212f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x = ． 【解析】因为012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12k πωϕπ+=， 因为5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3x π=为函数的对称轴，则32k ππωϕπ+=+， 所以42k ππωπ=+，所以24k ω=+，因为()f x 在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，所以2ω=， 因为||2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．11.已知函数231()sin (0)222xf x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 ． 【解析】函数2313cos ()sin sin()222226xx f x x x x ωωπωωω=+-=-=-， 由()0f x =得sin()06x πω-=，解得6(,2)k x ππππω+=∉，因为()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，所以12Tπω≥⇒≤， 因为0ω>，分别取0,1,2,3,k =所以11771313117(,)(,)(,)(,)(,)12612612612612ω∉=+∞， 因为()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，所以117(0,][,]12612ω∈． 12.如图，圆O 是半径为1的圆，12=OA ，设B 、C 为圆上的任意2个点，则⋅AC BC 的取值范围为 ．【解析】如图，设D 是线段BC 的中点，则⊥OD BC ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，设θ为OA 和BC 的夹角，则()AC BC OC OA BC OC BC OA BC ⋅=-⋅=⋅-⋅||||||||cos OC BC BCO OA BC θ=⋅⋅∠-⋅⋅211||||cos 22BC BC θ=-⋅2211111||||(||)22228BC BC BC ≥-=--，因为||[0,2]BC ∈，所以当1||2=BC 时，⋅AC BC 有最小值为18-，当||2=BC 且cos 1θ=-时，211||||cos 22θ-⋅BC BC 有最大值为3， 即⋅AC BC 有最大值为3，故⋅AC BC 的取值范围为1[,3]8-． 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知,,a b c 是平面上的非零向量，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若a b =，则a c b c ⋅=⋅成立，当0c =时，满足a c b c ⋅=⋅，但a b =不成立， 故选B ．14.设函数()sin cos f x a x b x =+，其中0a >，0b >，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的x R ∈恒成立，则下列结论正确的是( )A ．()()26ππ>f B ．()f x 的图像关于直线34π=x 对称 C ．()f x 在5[,]44ππ上单调递增 D ．过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像必有公共点【解析】因为()sin cos ,0,0,()4f x a x b x a b f x f π⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭恒成立， 所以2222422f a b π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，所以a b =，从而()2sin 4f x a x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于A ，1326f a f ππ+⎛⎫⎛⎫=>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然错误； 对于B ，因为3()2sin 04f a ππ==，所以()f x 的图像不关于直线34x π=对称； 对于C ，当5,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3,242x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递减，错误； 对于D ，点(,)a b 在函数图像内部，故过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像 必有公共点，正确； 故选D .15.函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移6π个单位长度后与函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则||ϕ的最小值为( ) A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 【解析】函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移6π个单位长度后为sin 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为cos 2sin 2sin 266233y x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则||ϕ的最小值为3π，故选C ． 16.如果对一切正实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3,3]- B ．[3,)+∞C ．[22,22]-D ．4(,]3-∞【解析】不等式29cos sin 4y x a x y -≥-恒成立⇔29sin 1sin 4y a x x y+≥+-恒成立， 令9()4=+y f y y，则2sin 1sin ()min a x x f y +-≤， 当0>y 时，99()2344y y f y y y=+≥⋅=，当且仅当6=y 时取等号，()3=min f y ； 所以2sin 1sin 3a x x +-≤，即2sin sin 2a x x -≤恒成立． ①若sin 0>x ，2sin sin a x x≤+恒成立，令sin =x t ，则01t <≤， 再令2()(01)g t t t t=+<≤，则()3min a g t =≤． ②若sin 0<x ，则2sin sin a x x≥+恒成立，同理可得3a ≥-； ③若sin 0=x ，02≤恒成立，故∈a R ； 综上，33a -≤≤，故选A ．三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）17.已知||3,||4,||13a b a b ==-=． （1）求,a b 〈〉； （2）求|2|a b +的值．【解析】（1）因为||3,||4,||13a b a b ==-=，所以22||2||13a a b b -⋅+=， 所以223234cos ,413a b -⨯⨯⨯〈〉+=，所以1cos ,2a b 〈〉=，所以,3a b π〈〉=；（2）2221|2||2|||494341672a b a b a a b b+=+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=．18.已知ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 3sin =c B b C a ． （1）求角C 的大小；（2）若2=c ，3⋅=-AC CB ，求+a b 的值．【解析】（1）由正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin()C B B C A B C +==+sin cos cos sin B C B C =+3sin sin sin cos =B C B C ，因为sin 0>B ，所以sin 3tan cos 3==C C C ，得锐角6π=C ； （2）因为cos 3⋅==CA CB ab C ，3cos cos6π==C ，所以23=ab ， 所以22222cos ()22cos6π=+-=+--c a b ab C a b ab ab ，则23()22443641043+=++=+=+a b ab ab ， 所以1043+=+a b ．19.如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5公里，与小岛D 相距为35A 为钝角，且3sin 5=A ． （1）求小岛A 与小岛D 之间的距离；（2）记∠CDB 为α，∠CBD 为β，求sin(2)αβ+的值．【解析】（1）因为角A 为钝角，3sin 5=A ，所以4cos 5A =-， 在∆ABD 中，由余弦定理得，2222cos +-⋅⋅=AD AB AD AB A BD ， 所以28200AD AD +-=，解得2AD =或10AD =-（舍）， 所以小岛A 与小岛D 之间的距离为2． （2）在∆BCD 中，由正弦定理sin sin α=BC BDC，得5sin α=， 因为BC BD <，所以α为锐角，所以25cos 5α=， 因为3sin()sin()sin 5αβπ+=-==C C ， 4cos()cos()cos 5αβπ+=-=-=-C C ，所以sin(2)sin[()]αβααβ+=++25sin cos()cos sin()ααβααβ=+++=． 20.借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题.试解答下列问题. （1）在直角坐标系中，将点(2,1)A 绕坐标原点O 逆时针旋转4π到点B ，求点B 的坐标； （2）如图，设向量(,)AB a b =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得到向量AC ，求向量AC 的坐标；（3）设(,)(,)A a a B m n ，为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由.【解析】（1）设cos 25,(,)sin 1r OA r B x y r αα=⎧==⇒⎨=⎩， 则2cos()cos cos sin sin 444x r r r πππααα=+=-=， 32sin()sin cos cos sin 444y r r r πππααα=+=+=， 所以232B ⎝⎭；（2）把向量AB 的起点平移到原点O ，如图，(,),OB AB a b AC OC ''===，设以'OB 为终边的角为α，则以'OC 为终边的角为+αθ， 记'=''(,)r OC OB C x y =，，则cos sin h r k r αα=⎧⎨=⎩， ()()cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin x r r r a b y r r r b a αθαθαθθθαθαθαθθθ⎧=+=-=-⎪⎨=+=+=+⎪⎩， 所以()cos sin ,cos sin AC a b b a θθθθ=-+；（3）欲求C 点坐标，只需要求位置向量OC 坐标。
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一. 填空题
1. 已知一扇形弧长为
π3
4，所在圆半径为2，则扇形面积为 2. 已知-P (8,15)为角α终边上的一点，则=αcos 3. 化简：+⋅-=-⋅-ααπππαα22
sin()cot()3tan()cos() 4. 函数=-π
y x 3tan()的单调递增区间为
5. 若当=θx 时，函数=-y x x sin cos （R ∈x ）取最大值，则=θtan
6. 若α是第三象限角，且-+-=-
αβββαβ13sin()cos sin cos()5，则=α2tan 7. 已知∈απ(0,)，若+=αα5sin cos 1，则=-α
ααcos2cot tan 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
，若-=c A a C )cos cos ， 则=A cos
9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知=a 4，=︒A 30，要使该 三角形有唯一解，则b 的取值范围为
10. 函数=ωf x x ()tan （>ω0）的图像的相邻两支截直线=
πy 4所得线段长为π4
，则πf 4() 的值是
11. 若函数=+f x x x ()3|sin |sin ，∈πx [0,2]的图像与直线=y k 至少有三个不同的交点， 则k 的取值范围是
12. 若对任意实数x ，不等式-≤+x a x a sin 2cos 32恒成立，则实数a 的取值范围是
二. 选择题
13. 在△ABC 中，“≠A B sin sin ”是“≠A B ”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既不充分又不必要
14. 在△ABC 中，若>A B A B cos cos sin sin ，则△ABC 的形状为（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 形状不确定
曹杨二中高一下学期期中数学试卷及答案
15. 已知函数，下列说法错误的是（ ）
A. ()cos2f x x =
B. 函数()f x 的图像关于直线0x =对称
C. ()f x 的最小值正周期为π
D. ()f x 的对称中心为(,0)k π，k ∈Z
16. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，
角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂
线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，
则()y f x =在上[0,]π的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题
17.（1）若α是第二象限的角，化简sec α
（2）已知4sin 5α=-，3(
,2)2
παπ∈，求tan()32πα+的值.
18. 设△中，角、、的对边分别为、、，且满足a b c <<，2sin b a B =. （1）求角A 的大小；
（2）若2a =，b =的面积；
俯角最后一排学生C 的俯角为β，最后一排学生C 测得旗杆顶部的仰角为γ，旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.
（1）设CD x =米，试用α、β、γ和x 表示旗杆的高度AB （米）；
（2）测得x =30α=︒，15β=︒，60γ=︒，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能使国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B 处？
20. 已知函数()cos (sin )333
x
x x f x =⋅+. （1）将()f x 化为sin()A x H ωϕ++（0A >，0ω>，(,)22
ππϕ∈-）的形式， 并写出其最小正周期和图像对称轴方程，并判断函数的奇偶性（不需证明）；
（2）若三角形三边、、满足2b ac =，b 所对角为B ，求B 的范围；
（3）在（2）的条件下，求()f B 的取值范围.
21. 已知函数()sin(2)13f x x ω=+
-，0ω>. （1）当12
ω=时，求函数()f x 的单调递减区间； （2）对于(,]x a a π∈+，a 为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；
（3）在（2）的条件下，若不等式|()|1f x t +<在[0,]3
x π
∈内恒成立，求实数t 的取值范围.
参考答案
一. 填空题 1. 43π 2. 817
- 3. 1- 4. 5(,)66k k ππππ-++，k ∈Z
5. 1-
6. 5-
7. 2512
- 8. 9. (0,4]{8} 10. 0 11. [0,2] 12. [1,3]-
二. 选择题
13. C 14. C 15. D 16. B
三. 解答题
17.（1）1-；（2）8-+
18.（1）
6
π；（2）19.（1）sin()sin sin()x αβγγα+-；（2）0.3
20.（1）2()sin(
)33x f x π=+；最小正周期3π，对称轴324
k x ππ=+，k ∈Z ，既不
是奇函数也不是偶函数；（2）(0,]3π；（3） 21.（1）7[2,2]66k k ππππ++，k ∈Z ；（2）1；（3）(0,1)。