电路分析中互易双口和互易定理
4. 5 互易定理
–
网孔方程：
(1)
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 i1 = il1
节点方程： (G1+G2)un1- G2 un2 = is1 (2) -G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1 u1 =un1
R I 0 U k2 U 2
例2
i1
图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接, 测得电流i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 a i2 i’1 a
+
US
+ N N
b (a) 对图(c)应用叠加和互易定理 US
N
-
(b)
b
解 +
US
i”1
a
+
N N
b
(c) US
–
d
2A
(c)
a Req
b
线性 电阻 网络 NR
c
a I 5 5 + 5V – 戴维宁等 效电路
(d)
d
b
(2) 结合a图，知c 图的等效电阻：
u1 10 Req 5 2 2
5 I 0.5A 55
解2
应用特勒根定理：
ˆ ˆ u1i1 u2 i2 u1 i1 u2 i2
B + U –
线性 有源 网络
a A RA b
R
解
B
（1）应用戴维宁定理： （2）应用替代定理：
a + U –
A
RA R RA + Uoc – I
电路分析(第3版)-胡翔骏ch06
7
楚雄师范学院 自兴发
§6－1 双口网络的电压电流关系
线性电阻双口网络的压控表达式的矩阵形式为
i1 i2
其中
g 11 g 21
g 12 u1 u1 G g 22 u 2 u2
( 6 2b )
g 11 G g 21
楚雄师范学院 自兴发
(6 1a)
5
§6－1 双口网络的电压电流关系
线性电阻双口网络的流控表达式的矩阵形式为
u1 u2
其中
r11 r 21
r12 i1 i1 R r22 i 2 i2
( 6 1b )
数，可以在端口外加电源，用网络分析的任何一种方法 计算端口电压电流关系式，然后得到网络参数，下面举 例说明。
例6－1 求图6－2(a)所示双口网络的电压电流关系式
和相应的网络参数矩阵。
图6－2
22
楚雄师范学院 自兴发
§6－2 双口网络参数的计算
图6－2
解: 在端口外加两个电流源得到图6－2(b)所示电路，以电 流i1和i2作为网孔电流，列出网孔方程，得到双口网络的
(6 6a)
15
楚雄师范学院 自兴发
§6－1 双口网络的电压电流关系
线性电阻双口网络的传输2表达式的矩阵形式为
u2 i2
其中
' t 11 ' t 21
' u1 t 12 ' T ' i t 22 1
u1 i19; 11 ' t 21
' t 12 ' t 22
2-8互易定理
互易定理的内容:在单一激励的情况下, 互易定理的内容:在单一激励的情况下,当激励端口和 响应端口互换而电路的几何结构不变时, 响应端口互换而电路的几何结构不变时,同一数值激励 所产生的响应在数值上将不会改变. 所产生的响应在数值上将不会改变.
对于同一电路的两种工作状态(即激励源作用于端口 ′ 对于同一电路的两种工作状态 即激励源作用于端口11′ 即激励源作用于端口 的工作状态和激励源作用于端口22′的工作状态), 的工作状态和激励源作用于端口 ′的工作状态 ,应用 特勒根似功率定理, 特勒根似功率定理,可得
0 = u11′ i s + us i22′
i s = us
u11′ = i22′
满足互易定理的网络称为互易网络(reciprocal network) . 满足互易定理的网络称为互易网络
例
(a)
(b)
图示线性无源网络N,当输入端口施加一个 电流源激励而输出端 图示线性无源网络 ,当输入端口施加一个5 A电流源激励而输出端 口短路时[见图 见图( ) ,输入端口的电压U 口短路时 见图(a)],输入端口的电压 1 = 10 V,输出端口的短路 , 电流I 电压源而输出端口联接一个4 电流 2 = 1 A;当输出端口联接一个 V电压源而输出端口联接一个 ;当输出端口联接一个5 电压源而输出端口联接一个 电阻时[见图 见图( ) ,此电阻上的电压降应为何值?若将图( ) 电阻时 见图(b)],此电阻上的电压降应为何值?若将图(b) 中输出端口的5 电压源换为 电压源换为15 的电压源 则输入端口所接4 的电压源, 中输出端口的 V电压源换为 V的电压源,则输入端口所接 电 阻上的电压降又应为何值? 阻上的电压降又应为何值?
互易定理的第二种形式
4.6 互易网络和互易定理
(a)
图 4.6-6
(b)
解法1：利用戴维宁定理求解。 因为线性电阻网络是互易网络，可利 用互易定理求戴维宁等效电路。 (1) 把(b)图中5Ω电阻断开得(c)图，利用互易 定理知(c)图的开路电压
(c)
第四章 常用的电路定理 (2) 求(c)图的等效电阻， 断开电流源如(d)图所示，应用外加电源法，结合(a)图， 知(d)图的等效电阻：
（a）网络 N
ˆ （b）网络 N
第四章 常用的电路定理 例：
R1 ＋ uS － R3
R2 ＋ u2 －
R1
R2
ˆ i1
R3
ˆ iS
图(a)
图(b)
R3 u2 = uS R1 + R3
ˆ R3 i1 = ˆ iS R1 + R3
第四章 常用的电路定理 应用互易定理要注意的问题： 1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬 移； 2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么 都关联，要么都非关联)； 3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下， 两个支路电压电流关系。 4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
ˆ ˆ uk = Rk ik , uk = Rk ik (k = 3, 4,5, ⋅⋅⋅b)
于是，
b ⎧b ˆ ∑ uk ik = ∑ Rk ik iˆk ⎪ ⎪ k =3 k =3 ⎨b b ⎪ ui = Rii ∑ ˆk k ∑ k ˆk k ⎪ k =3 k =3 ⎩
故有
ˆ ˆ ˆ ˆ u1i1 + u2i2 = u1i1 + u2i2
第四章 常用的电路定理 互易网络定义：对图4.6-1中由一个二端口N0组成的两 ˆ 个网络N和N ，支路1、支路2具有不同的伏安关系。根据 特勒根定理，有 b ⎧b ˆ ∑ uk ik = 0 或 u1iˆ1 + u2iˆ2 + ∑ uk iˆk = 0 ⎪ ⎪ k =1 k =3 ⎨b b ⎪ u i = 0 或 u i +u i + u i = 0 ˆ1 1 ˆ2 2 ∑ ˆk k ∑ ˆk k ⎪ k =1 k =3 ⎩ 若网络N0满足
单片机原理 互易定理
单片机原理互易定理
单片机原理中的互易定理是指在电路中，两个端口之间的电压和电流可以互相替换，即电压可以视作电流，电流也可以视作电压。
这个定理在单片机设计中起着非常重要的作用，可以帮助工程师更好地理解和分析电路。
在单片机设计中，我们经常需要对电路进行建模和分析，以确保电路能够正常工作。
而互易定理提供了一个简单而有效的方法来简化电路的分析过程。
通过将电压源替换为电流源，或者将电流源替换为电压源，我们可以更容易地对电路进行分析和计算。
以电压源和电流源的互相替换为例，当我们需要计算电路中的电流时，可以将电压源替换为等效的电流源，然后根据电流源的特性来计算电路中的电流。
同样地，当我们需要计算电路中的电压时，可以将电流源替换为等效的电压源，然后根据电压源的特性来计算电路中的电压。
通过互易定理，我们可以更灵活地应用不同的电路分析方法，从而更好地理解和优化单片机电路的设计。
在实际的单片机设计中，工程师经常会根据具体的需求和情况选择合适的电压源或电流源来进行分析，以确保电路能够正常工作并满足设计要求。
除了在电路分析中的应用，互易定理还可以帮助工程师更好地理解电路中的能量转换和传递过程。
通过将电压和电流互相替换，我们
可以更清晰地看到电路中能量的流动路径，从而更好地优化电路设计，提高电路的效率和性能。
总的来说，单片机原理中的互易定理是一个非常重要且实用的概念，可以帮助工程师更好地理解和分析电路，在单片机设计中发挥重要作用。
通过灵活运用互易定理，工程师可以更好地优化电路设计，提高电路的性能和可靠性，从而实现更好的单片机应用。
15-4互易定理
例 求图示两端口的Y 参数。
解
I1
+ U1
3 3
6
I2
+ 15 U 2
为互易对 称两端口
1 I Y11 1 U
I Y21 2 U 1
2 0 U
1 0.2S 3 // 6 3
1 I1 3 0.0667 S U 1
0 U 2
u
k 1
b
k
ˆk ik 0 i k 0 和 u
k 1
b
u
k 1
b
k
i k u1 i 1 u2 i 2 uk i k
k 3
b
u1 i 1 u2 i 2 Rk ik i k 0
b
u
k 1
b
k k
i u1 i1 u 2 i2 u k ik
§2-2 互易定理 特勒根定理
1. 特勒根定理1
任何时刻，一个具有n个结点和b条支路的集总 电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒
表明 任何一个电路的全部支路吸收的功率之
和恒等于零。
定理证明： 1 2 3
b
应用KCL:
2
i1 i2 i4 0 i4 i5 i6 0 i2 i3 i6 0
激励 线性 电阻 网络 NR (a) c i2 d
电压源 a i1 b
响应 线性 电阻 网络 NR (b) c
电流 + uS2 – d
实验九 双口网络参数的测定
实验九双口网络参数的测定一、实验目的1. 加深理解双口网络的基本理论。
2. 掌握直流双口网络传输参数和混合参数的测量方法。
3. 验证互易双口的互易条件和对称互易双口的对称条件。
二、原理说明1. 双口网络的基本理论根据需要将其拆分为两个单口网络和一个双口网络。
对双口网络来说它的每一个口端都只有一个电流变量和一个电压变量。
在电路参数未知的情况下，我们可以通过实验测定方法，求取一个极其简单的等值双口电路来替代原双口网络，此即“墨盒理论”的基本内容。
2.双口网络参数方程9-1所示的无源双口网络，四个电压电流变量之间的关系，可以用多种形式的参数方程来表示。
本实验只研究传输参数方程和混合参数方程。
①传输(T)参数方程以输出口变量U2、I2为自变量，输入口变量U1、I1为应变量，采用关联参考方向，可以列出传输型参数方程：U1＝AU2-BI2I1＝CU2-DI2式中A、B、C、D为双口网络的T参数。
②混合(H)参数方程以入口电流I1和出口电压U2为自变量，入口电压U1和出口电流I2为应变量的混合型参数方程为：U1=H11I1+H12U2I2=H21I1+H22U2式中H11、H12、H21和H22为双口网络的H参数。
3.双口网络参数的测试(1)同时测量法传输方程中四个T 参数0I 221==U U A 0 U I 221==U B 0I I 221==U C 0 U I I 221==D 故可在输出端(I 2=0)或短路(U 2=0)的情况下，在输入口加上电压，在两个端口同时测量其电压、电流值，即可求出四个T 参数，这种方法称之为同时测量法。
(2)混合测量法混合型参数方程中的四个H 参数0 U I U H 21111==0I U U H 12112== 0 U I I H 21221==I U I H 12222==因此四个H 参数可以先在输入口加上电压，将输出端短路(U 2=0)，测出U 1、I 1和I 2；再在输出口加电压，将输入端开路(I 1=0)，测出U 2、I 2和U 1，再计算得出，这种方法称之为混合测量法。
王琪辉《电路原理》2-8互易定理
激励和响应在性质上的三种达配关系。 用动画说明
5． 激励和响应互换位置后要使响应数值不变， 激励和响应的方向不能错。
1 is
1
2
1
N互
数值 +
i22
uˆ11 uˆ11
0
-iS
-iS
0
u22is u11is
所以
u22 u11
互易定理的第三种形式
=iS
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
00
-iS uS
0 u11is usi22
所以
u11 i22
数值
五、应用举例
§28 互易定理
一、适用范围：
不含受控源的无源线性二端口网络——互易网络
（不含独立源）
(reciprocal network)
二、内容：教材P61
归纳为三种形式，用图形说明。
1 、第一种形式
1
+ us
-
1
2
N互
i22
iˆ11
2
1
2+N互 Nhomakorabeaus
-
1
2
§28 互易定理
2、第二种形式
1 is
uˆ11 u22 15is
R1
uˆ11 iˆ1
15is 0.3is
50
例2 求电流I
4 8V a +–
1
2 2 bc
2 I
d
4 I1 a
1 I2 I
I'
电路分析之互易定理
R1 = R2 = 2Ω时，us = 8V，i1 = 2A，u2 = 2V； R1’ = 1.4Ω，R2’ = 0.8Ω时，us’ = 9V，i1’ = 3A， 求：u2’ = ?
R1 i1
i2
R1’ i1’
i2’
uS
N
R2 u2 uS’
N R2’ u2’
2009-10-13
(a)
(b)
解： ∵R1、R2已变，∴不能直接对us两端用互易定理。
Q u22' = 0，uˆ11'＝0，uS1 = u11'，uˆ S 2 = uˆ22'
其它形式的推导类似
5
3、注意事项
§2－10互易定理
只适用于线性电阻网络； 使用互易定理时要注意电流、电压的关联方
向；
互易定理对简单支路也成立； 当网络只有单一源时，才能直接使用互易定理。
当有多个电源时，可先用叠加定理化为单电源
网络，再使用互易定理。
4、例子
例1、下图(a)中，已知u2 = 6V，求图(b)中u1’ = ?
4A
R1
N R2
u2 u1’ R1
N R2
2A
(a)
(b)
2009-10-13
6
1
§2－10互易定理
§2－10互易定理
§2－10互易定理
4A
R1
N R2
u2 u1’ R1
N R2
2A
(a)
(b)
解：首先R1和R2可并入N构成N’仍为无源线性电阻网络
i11adi1n4520vi2ei1n45i220v将图a和b电路的网络n及左端用戴维南等效电路的代替即将a和b分别化简为fg3用戴维南定理求i220091013210互易定理12fr05uoc1agi2r0uoc2a1uocr052uocr0r0是图a和b电路从右端看进去的戴维南等效电路的r0则图e可简化为h
互易双口和互易定理
z11 = z22， y11 = y22；
A = D，
A’ = D’；
Δh = |H| = h11 h22 – h12 h21 = 1，Δh’ = |H’| = h’11 h’22 – h’12 h’21 = 1。
对称双口网络的描述：对于含独立源的对称双口网络，需要用 4 个独立参量来描述；对于不含独立源的对称双口网络，只需 要 2 个独立参量来描述。
= 5t + 10 – 4t – 1 = t + 9
注意：本题解法与书上不同，希望大家好好地去体会一下，对 巩固双口网络 VAR 的理解有好处。
电路分析基础——第三部分：第15章 目录
第15章 双 口 网 络
1 双口网络的流控型和 5 各组参数之间的关系 压控型伏安关系
2 双口网络的混合型伏 6 具有端接的双口网络 安关系
3 双口网络的传输型伏 7 双口网络的互联* 安关系
4 互易双口和互易定理
电路分析基础——第三部分：15-4
1/5
15-4 互易双口和互易定理
解 根据双口网络 y 参数的定义，有 i1
i2
i1 = y11 u1 +y12 u2 + isc1
1 u1 +y22 u2 + isc2 将已知条件代入得
5t = 30y11t + isc1 isc1 = 5t – 30y11t
–u
1
Nr
u2 –
–2t = 30y21t + isc2 isc2 = –2t – 30y21t
而根据互易双口网络的定义，显然，本网络是互易的，即
y12 = y21 =
–
1 15
i1 = u1 / 6 – u2 /15
电路分析 第5章 双口网络(new)
⎧ ⎨
i1
⎩i2
= =
g11 u1 + g 21 u1 +
g12 u 2 g 22 u2
i1
i2
+
+
u1
N
u2
−
−
g11
=
i1 u1
u2 =0
g11是输出端口短路时 输入端的驱动点电导
g12
=
i1 u2
u1 =0
g12是输入端口短路 时的反向转移电导
g21
=
i2 u1
u2 =0
电导参数又称为 短路电导参数
g22
=
i2 u2
u1 =0
g21是输出端口短路 时的正向转移电导
g 22是输入端口短路时 输出端的驱动点电导
例
i1
+
u1 =u01
−
G3
G1
G2
i2 +
u_22 =0
求G参数矩阵
( ) g11
=
i1 u1
u2 =0
=
G1 + G3 u1
u1 = G1 + G3
g21
=
i2 u1
u2 =0
=
− G3u1 u1
端口物理量4个
u1 u2 i1 i2
端口电压电流有六种不同的方程来表示，即可用六 套参数描述二端口网络。
u1 ⇔ i1 u2 i2
u1 ⇔ u2 i1 i2
u1 ⇔ i1 i2 u2
1
1. R参数矩阵
线性电阻双口网络的流控表达式(即以电流为自变
量的表达式)为:
i1
i2
⎧ ⎨
u1
⎩u2
电路分析基础-15双口网络
相应的 Z 参数方程为：
用求阻抗矩阵逆矩阵的方法，求导纳矩阵
相应的Y参数方程为:
由式 (2) 和 (3) 可求得 H参数表达式
由此得到H参数矩阵
由式 (4) 和 (1) 可求得T参数表达式
本 章 小 结
1. 理解双口网络的概念； 2. 熟悉双口网络的四种方程（Z、Y、H、T） 参数定义、物理意义及求取； 方法：①用定义；②列方程对照求解。 3. 掌握互易定理； 4. 掌握具有端接的双口网络的分析方法； 5. 了解双口网络的连接。
19
1（求Z,Y,H,T）参数
习题十五
一、方程
+ –
二、参数的定义
端口2的短路输入阻抗
端口1开路反向转移电压比
端口2短路正向转移电流比
端口1的开路输出导纳
三、H 参数的求取
例：
1
–j2
3
解：通过列写网络方程
+ –
1
3
–j2
求 h 参数
应用叠加定理：
特点：h12 = – h21
15-4 双口网络的 T 参数和方程
+ –
一、方程
= 5000 0.0526
= 263V
= 13.83W
500I2
+ –
+ –
1000I1
15-8 双口网络的互联
双口网络的连接方式有五种：
级联、串联、并联、串并联、并串联
级联连接宜采用T参数进行分析
串联连接宜采用Z参数
并联连接宜采用Y参数
Z = Z1+ Z2 + Z3 + … + Zn
3-4 互易定理
3.4 互易定理1. 互易定理的内容互易定理：对于一个线性电阻网络而言，如果只有一个激励和一个响应，那么当激励与响应互换位置后，激励与响应的比值保持不变。
这里的激励指电压源或电流源，响应指电压或电流。
互易定理的示意图如图1所示。
u 1i 2u 2i 1212u u i i =图1 互易定理示意图根据互易定理和图1，1212(u u i i =激励）（互换位置后的激励）（响应）（互换位置后的响应） （1）由式（1）可以看出，如果激励（电压源电压）相同，则互换位置后的响应（电流）也相同。
这是互易定理的一种特殊情况。
由互易定理的内容可以看出，互易定理是很难自己想象出来的。
由于互易定理很难想象，要证明互易定理自然也是一件非常困难的事情。
不过，为了令人信服，下面我们来证明一下互易定理。
2. 互易定理的证明在证明互易定理之前，需要先证明两个定理和一个定理推论，即特勒根定理1、特勒根定理2和特勒根定理2推论。
特勒根定理1的内容是，任意一个电路，如果每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向的正极流入，则所有支路的电压电流乘积加起来一定等于零。
电压电流乘积就是功率，可见特勒根定理1的物理含义就是任何一个电路总的功率为零，也就是发出功率等于吸收功率，即功率守恒。
下面我们来证明特勒根定理1。
假设任意一个电路总计有b 条支路，n 个结点，第p 、q 个结点之间的电压记为pq u ，电流记为pq i ，则1111111111111()02222bn n n n n n nnk kpq pq p q pq p pq q pq k p q p q p q q p u i u i u u i u i u i ===========−=−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）由式（2）即证明了特勒根定理1。
式（2）乍一看很难理解，下面对其中的细节进行解释。
式（2）中第一个等号是将支路电压电流乘积之和转化为结点与结点之间电压与电流乘积之和。
4-5互易定理
简单形式 互易定理
有哪些简单形式 的端口变量方程呢？
3/24/2019
2.互易定理的内涵
互易定理1
us1iˆ1 0iˆ2 0i1 us2i2
电路1
支路方向
电路2
互易定理2
u10 u2 (is2 ) uˆ1(is1) uˆ2 0
互易定理3
us1iˆ1 u2 (is2 ) 0i1 uˆ2 0
3/24/2019
4
2.互易定理的内涵
互易定理1
i2 iˆ1 us1 us2
激励 1
+
us1
－
1
互易定理2
u2 uˆ1 is1 is2
互易定理3
u2 iˆ1 us1 is2
1
is1
1
1
+
us1
－ 1
2 响应
NR
i2
电路1
NR NR
2
2
+
u2
-
开 路
2
2
+
u2
-
开 路
2
3/24/2019
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10
1
u 6 0.110 0.1 0.4V
3/24/2019
应用互易定理3： i u 2A 2V
i 0.4A
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
端接支路方向
1
2
i1 iˆ1
iˆ2 i2
1
2
本讲小结
当线性电阻二端口网络的端口接 电压源、电流源、开路、短路的 特殊支路时，端口变量方程简化为互易定理的三种情况。
06互易定理
由克莱姆法则得
R11 uS R13 R21 0 R23 2 R31 0 R33 i2 = = = uS × R21 R23 R31 R33 0 R12 R13 uS R22 R23 ′ 1 0 i1 = = R32 R33 = uS × R12 R13 R32 R33
Q
R21 R23 R31 R33
2 – 2 互易定理
互易性是一类特殊的线性网络的性质。 互易性是一类特殊的线性网络的性质。一个具有 互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应） 互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互 响应不改变。 换位置后 同一激励所产生的响应不改变 换位置后，同一激励所产生的响应不改变。具有互易 性的网络叫互易网络， 性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质 所进行的概括。电阻电路是互易网络。 所进行的概括。电阻电路是互易网络。 激励：电路电源的电压或电流，是电路的输入信号 输入信号。 激励：电路电源的电压或电流，是电路的输入信号。 响应：由激励在电路各部分产生的电压或电流， 产生的电压或电流 响应：由激励在电路各部分产生的电压或电流，是电 输出信号。 路的输出信号 路的输出信号。
R11 i1 + R12 i 2 + R13 i3 = u S R 21 i1 + R 22 i 2 + R 23 i3 = 0 R i + R i + R i = 0 32 2 33 3 31 1
R i ′ + R i ′ + R i ′ = 0 12 2 13 3 11 1 ′ ′ ′ R 21 i1 + R 22 i 2 + R 23 i 3 = u S ′ ′ ′ R 31 i1 + R 32 i 2 + R 33 i 3 = 0
电路分析基础--互易定理
j行 k行
图a 图b
j列
k列
R11I1 R1 j I j R1k Ik R1l Il 0
0
R j1I1 R jj I j R jk Ik R jl Il u j
0
Rk1I1 RkjI j Rkk Ik RklIl 0
uk
Rl1I1 Rlj I j Rlk Ik Rll Il 0
当含有受控源时，系数矩阵不对称
Δ jk Δ kj 互易定理不成立。
第二种形式: 激励电流源，响应电压
jk
+
+
jk
ij
ukj
ujk
ik
j' k'
–
–
j' k'
(a)
(b)
当 ik = ij 时，ukj = ujk
课后思考
例1
+ 2 10V
– 2
I 3 8
4
求电流I 。 回路法，节点法，戴维南
解 利用互易定理
c
线性
–
电阻 网络
ikj
ijk
电阻 网络
uk
N
N
+
d
b
d
(a)
(b)
当 uk = uj 时，ikj = ijk 。
j支路
a
u+ – b
j支路
a
i A b
k支路
线性电 阻网络
N
c Ai
d (a)
k支路
线性电 阻网络
N
c u
+ –
d (b)
证明 选定回路电流，使支路j和支路k都只有一个回路电流
流过，且取回路电流的方向和电压升高的方向一致。
电路的互易定理
电路的互易定理
什幺是互易定理
在只含一个电压源（或电流源），不含受控源的线性电阻电路中，电压源（或电流源）与电流表（电压表）互换位置，电流表（电压表）读数不变。
这种性质称为互易定理。
在电磁学上，互易定理为洛仑兹互易定理（Lorentz Reciprocity Theorem），由卡森（J.R. Carson）导出而被称为卡森形式的互易定理。
互易定理即论述某些网络具有的互易性质的定理。
互易性质表现为：将网络的输入和特定输出互换位置后，输出不因这种换位而有所改变。
具有互易性质的网络称为互易网络。
互易性不仅一些电网络有，某些声学系统、力学系统等也有。
互易定理是一个较有普遍意义的定理。
互易定理的性质
从图中可以得出结论，图（a）的电压u2=R21/S与图（b）的电压
u1=R12/S相同。
也就是说，在互易网络中电流源与电压表互换位置，电压表读数不变。
互易双口和互易定理
24 io = A = 3A 6 × 12 3 × 6 2+ + 6 + 12 3 + 6 12 3 i= io − i o = 1A 6 + 12 3+5
二、互易双口的等效电路
由互易定理知道，互易双口只有三个独立参数， 由互易定理知道，互易双口只有三个独立参数，这就 可以用图5－ 所示由三个电阻构成的 形或Π形网络等效 所示由三个电阻构成的Τ形或 形网络等效。 可以用图 －38所示由三个电阻构成的 形或 形网络等效。
图5－36 电压源与电流表互换 －
用互易定理求图5－ 中电流i。 例5－15 用互易定理求图 －37(a)中电流 。 － 中电流
图5－37 互易定理的应用 －
中电流i相同 解：根据互易定理，图5－37(a)和(b)中电流 相同。 根据互易定理， － 和 中电流 相同。 从图5－ 中易于求得： 从图 －37(b)中易于求得： 中易于求得
图5－35 电流源与电压表互换 －
由式(5－ 可以断言 可以断言： 的电流i 由式 －50)可以断言：图5－36(a)的电流 2=G21uS与图 － 的电流 5－36(b)的电流 1=G12uS相同。也就是说互易网络中电压源 － 的电流i 相同。 的电流 与电流表互换位置，电流表读数不变。 与电流表互换位置，电流表读数不变。
R11 = R1 + R3 R 22 = R 2 + R3 R12 = R 21 = R3
图5－38 互易双口的等效电路 －
由此求得Τ形网络的等效条件为 由此求得 形网络的等效条件为
R1 = R11 − R12 R 2 = R 22 − R 21 R3 = R12 = R 21
得到Π形等效电路如图 － 所示。 得到 形等效电路如图5－40(b)所示。此题也可以用星 形等效电路如图 所示 形与三角形联接的等效变换公式求解。 形与三角形联接的等效变换公式求解。
电路-第8章 二端口网络
在工程实际中，研究信号及能量的传输和信号变换时，经常碰到如下形式的电路(或网络)：放大器A滤波器R C C三极管传输线n:1变压器3. 研究二端口网络的意义①两端口的分析方法易推广应用于n端口网络；②大网络可以分割成许多子网络（两端口）进行分析；③仅研究端口特性时，可以用二端口网络的电路模型进行研究。
4. 分析方法①分析前提：讨论初始条件为零的线性无源二端口网络；②找出两个端口的电压、电流关系的独立网络方程，这些方程通过一些参数来表示。
约定端口物理量4个i 1u 1i 2u 2端口电压电流有六种不同的方程来表示，即可用六套参数描述二端口网络。
线性RLCM 受控源i 1i 2i 2i 1u 1+–u 2+–注意1. Z参数和方程将两个端口各施加一电流源，则端口电压可视为电流源单独作用时产生的电压之和。
即：Z 参数方程①Z 参数方程+-+-N其矩阵形式为：Z参数矩阵+-2∙I +-1∙I N②Z 参数的物理意义及计算和测定Z →开路阻抗参数转移阻抗输入阻抗输入阻抗转移阻抗1）互易双口和互易定理互易双口：满足互易定理的双口网络根据互易定理：互易双口满足：1221Z Z ③互易性和对称性互易二端口四个参数中只有三个是独立的。
特点：只含线性非时变二端元件（R 、L 、C ）耦合电感和理想变压器的双口网络注意2）对称双口对称双口：无独立源双口网络，若其两个端口可以互换而不改变外部电路的工作状况，则称该网络为（电气）对称双口网络。
特点：▪对称双口网络的每组参数中只有2个是独立。
▪结构对称的双口网络一定是电气对称的，反之却不一定。
2211Z Z 对称二端口满足:④Z 参数的求解方法1：由定义求得；21U U 、方法2：假定已知，对原电路求解，求出，即得Z 方程。
21I I 、解法1Z bZ aZ c+-+-求图示两端口的Z 参数。
【例8.2.1】解法2列KVL 方程：Z bZ aZ c+-+-求图示两端口的Z参数。
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(6 23)
图6－14 互易双口的等效电路
用类似方法，可求得Π形网络[图6-14(b)]的等效条件为：
G1 G11 G12
G2 G22 G21 G3 G12 G21
电路代替双口，以便简化电路分析。
(6 24)
已知互易双口的R参数或G参数，可用Τ形或Π形等效
名
1 3 5 7
称
时间
2:57 3:13 2:58 3:22 2 4 6
名
称
双口电阻参数测量 双口混合参数测量 双口传输参数测量 互易定理实验
双口电导参数测量 双口混合2参数测量 双口传输2参数测量
郁金香
§6－3 互易双口和互易定理
一、互易定理
仅含线性时不变二端电阻和理想变压器的双口网络，
称为互易双口。
互易定理：对于互易双口，存在以下关系。
R12 R21 G12 G21 H 12 H '21 T T11T22 T12T21 1
(6 19) (6 20) (6 21) (6 22)
由式(6－24)求得：
G1 G11 G1 1S
得到Π形等效电路如图6－16(b)所示。此题也可以用星
形与三角形联接的等效变换公式求解。
根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。
时间
2:54 3:02 3:00
与电流表互换位置，电流表读数不变。
图6－12 电压源与电流表互换
例6－7 用互易定理求图6－13(a)中电流i。
图6－13 互易定理的应用
解：根据互易定理，图6－13(a)和(b)中电流i相同。 从图6－13(b)中易于求得： 24 io A 3A 6 12 3 6 2 6 12 3 6 12 3 i io io 1A 6 12 36
由式(6－19)可以断言：图6－11(a)的电压u2=R21iS与图
5－11(b)的电压u1=R12iS 相同。也就是说，在互易网络中电
流源与电压表互换位置，电压表读数不变。
图6－11 电流源与电压表互换
由式(6－20)可以断言：图6－12(a)的电流i2=G21uS与图 6－12(b)的电流i1=G12uS相同。也就是说互易网络中电压源
与双口流控表达式(6－1)对比，令其对应系数相等可 以得到：
R11 R1 R3 R22 R2 R3 R12 R21 R3
图6－14 互易双口的等效电路
由此求得Τ形网络的等效条件为
R1 R11 R12 R2 R22 R21 R3 R12 R21
例6－9 求图6－16(a)所示双口网络的Π形等效电路。
图6－16 例6－9
解：先求出图6－16(a)双口网络的R参数矩阵
0.8 0.6 R 0.6 1.2
用矩阵求逆方法得到电导参数矩阵
G R 1
图6－16 例6－9
2 1 4 S 1 3
在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。
二、互易双口的等效电路
由互易定理知道，互易双口只有三个独立参数，这就 可以用图6－14所示由三个电阻构成的Τ形或Π形网络等效。
图6－14 互易双口的等效电路
图6－14 互易双口的等效电路
图 (a)电路的网孔方程为：
u1 ( R1 R3 )i1 R3 i2 u2 R3 i1 ( R2 R3 )i2
例6－8 已知图6－15(a)电路中互易双口的R参数为： R11=5, R22=7, R12=3, R21=3，试求i1和u2。
图6－15 例6－8
图6－15 例6－8
解：用Τ形等效电路代替互易双口，得到图6-15(b)电路，由 此求得
18 i1 A 3A 3(4 2) 2 2 34 2 3 u2 ( 2 ) i1 2V 36