线性代数高斯消元法 ppt课件

b)221
1 1 8
1 2 6
621,
则对方程组的变换完全可以化为对矩阵 A~的变换。
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 四 章
引例(续1)
2xx11
x2 x3 2 ① x2 2x3 1 ②
2x1 8x2 6x3 6 ③
线
性 方 程 组
① ② ③ 0.5
2xx11
x2 2x3 1 x2 x3 2
启示 在用消元法求解的过程中，很自然地出现了线性方程组 解的三种可能情况: 无解；惟一解；无穷多解。
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论 补
四 章
对于给定的线性方程组 A X = b，
利用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵：
线
性
c11 c12 c1r c1n d1
方
0 c22 c2r c2n d2
程 组
A~
(A
b)
0
0
0 0
crr crn dr
0
0
dr
1
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四 章
对于给定的线性方程组 A X = b，
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 二、高斯(Gauss)消元法
四 章 1. 高斯消元法
线
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形,
性 方
(2) 通过回代求出相应的解。
程
组 2. 高斯-若当消元法
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形, (2) 再进一步化为行标准形， (3) 直接写出相应的解。
7 2 0
相应地，线性方程组变为
x1 2x2 7, x3 2.
进一步，线性方程组变为
x1 2x2 7, x3 2.
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
x1 2x2 3x3 1，
四 章
例
解线性方程组 2x1 4x2 5x3 4， 3x1 6x2 8x3 5.
线 性
x 3 3 .
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
x1 2x2 3x3 1，
四 章
例
解线性方程组 2x1 4x2 5x3 4， 3x1 6x2 8x3 5.
线
性 方 程 组
解
(1) A~(Ab)12
2 4
3 5
1初等行变换 4
1 0
3 6 8 5
0
2 0 0
0 1 0
x1
x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
继续“消元”得：
x1
x2
2 1
x3 1
3
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 启示 四 章
线 性 方 程 组
事实上，从上述对线性方程组的求解过程中可知： 真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项， 而未知量并不需要参与运算。
令
A ~(A
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 四 章
引例(续2)
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
① ②
3x2 x3 2 ③
线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
性 方 程 组
③ ①
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
① ② ③
x1
x2
2 1
x3 1
1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2 1 1 2 1 0 3 3 0 0 0 2 2 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1
相应地，线性方程组变为
线
性 方 程 组
c11
x1
cc1211x 2 c022 x 2
c12 c22
c1r xcr1r c1cn1xnn d 1 c 2 r xcr2r c 2cn2xnn d 2
d1 d2
A~ (A
b)
0 0
0 0
x1 4x2 3x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1
x2 3x2
3x2
2x3 3x3
x3
1 0 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
线
2x1 8x2 6x3 6 ③
性
方 程 组
② 2①
③ ①
x1
x2 3x2
3x2
2x3 3x3
x3
1 0 2
① ② ③
“回代”求解得：
x1 2, x2 1, x3 1.
① ② ③ 0.5
③ ①
2xx11
x2 2x3 1 ① x2 x3 2 ②
x1 4x2 3x3 3 ③
解
(2) 可知方程组有无穷多解， 即对任意的 x2，有
方
x1 2 x2 7，
程 组
x
2
x2，
x 3 2 .
其中 x2 为自由未知量。
x1 2 7 即 x2 k1 0 , ( k 任意)
x3 0 2
注意体会求解“结果”的写法及表达方式。
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
线
P114 定义
对线性方程组进行等价(或同解)变形：
性 4.2 方
(1) 交换两个方程；
程
(2) 将某个方程 k 倍 (k0)；
组
(3) 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上。
称之为线性方程组的初等变换 .
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 引例 求解线性方程组
四 章
2xx11
x2 x3 2 ① x2 2x3 1 ②
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
2x1 2x2 3x3 1
四 章
例
求解线性方程组
x1
x2
2
x1 2x2 x3 2
线
性
方 程
解
A ~(Ab)
2 1
23 1 0
1 初等行变换
2
1 0
0 1
0 0
1 3
组
1 2 1 2
0 0 1 3
x1 1，
故方程组有惟一解
x
2
3，
第 四
例
解线性方程组
2xx11
2x2 4x2
3x3 5x3
1， 4，
章
3x1 6x2 8x3 4.
线 性 方 程
解
A ~(Ab)12
2 4
3 5
14 初等行变换
10
3 6 8 4
0
2 0 0
0 1 0
72 1
组
相应地，线性方程组的最后一个方程变为 0 = 1 ,
这是一个矛盾方程，因此原方程组无解。
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 四
§4.2 高斯(Gauss)消元法
章
一、线性方程组的初等变换
线
性 二、高斯(Gauss)消元法
方 程
三、线性方程组求解结果的一般性讨论
组
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 一、线性方程组的初等变换
四 章 定义 在线性方程组的求解过程中, 可使用如下三种变换手段