点到直线的距离公式PPT课件

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小结： （1） 点M(x0,y0) 到直线l:ax+by+c=0的距离等于向 量 PM 在l的单位向量n0上射影的长度,； （2）利用直线的法向量,用两向量垂直的充要条件 可求直线方程.
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7.1 点到直线的距离公式
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1
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C| A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
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证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
设n=(A,B),因为
n·v=(A,B) · (B,-Aa)
=AB-BA=0
l百度文库
n
M(x0y0)
所以n⊥ v,故称n为直线l的法向量.
O
与n同向的单位向量
n0|n n|(
A, A2B2
B) A2B2
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P(x,y) x
3
所以,点M(x0y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离等于向量PM 在n0
方向上射影的长度.
uuur Q AP ∥a
(x 1 )3 (y2 )0
即 x3y70
所求直线的方程为 x3y70
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练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程.
u u ur 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则P Q =(x-1,y+1).
uuur QPQn
uuur PQ•n0
即 4(x 1 )3 (y 1 )0 所求直线的方程为 4x3y70
d | Ax0 By0 c|
A2 B2
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例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
21121
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5 .
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例2
若向量
uuur AB
u u ur =(2,3), A C =(1,k), k∈ R，ΔABC为
B
u A uB uru A uC ur时 ,2+3k=0,k=-3 2.
A
x
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例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
uuur 分析：在所求直线上任取一点P,则 A P ∥a ,利用向量平行的条件
写出方程.
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则
uuur AP
=(x+1,y-2).
uuuur d | PM • n |
| (x0 x, y0 y) • (
A, A2 B2
B )| A2 B2
| A(x0 x) B( y0 y) | A2 B2
| Ax0 By0 ( Ax By) |
A2 B2
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又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(Ax+By)
故
直角三角形，求k的值.
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.
A
x
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uuu r
uuu r
uuu r
解 :向 量 AB(2,3),AC(1,k),BC(1,k3)
u A u B u ru B u C u r时 ,-2+3(k-3)=0,k=1 3 1,
C
u B u C u ru A u C u r时 ,-1+k(k-3)=0,k=3313, y