第五讲 平面几何中的重要命题

平面几何中的重要命题

在初等几何的平面部分，所涉及到的证明题分为两大类：证度量关系和证位置关系.证明位置关系中有一类问题比较棘手，即点共线、线共点和四点共圆的证明.常用的证明方法是利用梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、西姆松定理和托勒密定理来证.这是一种表达形式简洁又非常实用的方法.特别是在点、线处于位置任意,无法确定具体度量或角度的情况下,使用如上定理证明问题时,往往能得心应手,起到事半功倍的作用.一般地，把梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、西姆松定理和托勒密定理称为平面几何四大定理。

定理1（梅涅劳斯定理） 设A '、B '、C '是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 所在直线上的点，则A '、B '、C '共线的充要条件是

1AC BA CB C B A C B A

'''

⋅⋅='''. 证明：（必要性）

AC A BC A S AC C B S ''

∆''

∆'=' BA C A CC S BA A C S ''∆''∆'=

' A C C

A C A

S CB B A S ''∆''∆'=

'由上面三式相乘即得 1AC BA CB C B A C B A '''⋅⋅='''. （充分性）延长A B ''交AB 于点P ，下证P 与C '重合。

∵1AC BA CB C B A C B A '''⋅⋅=''' 及 1A P B

A C

B P B A

C B A ''⋅⋅='' 故AC AP

C B PB

'='，由点内分线段AB 成定比的点的惟一性知，P C '≡，故A '、B '、C '共线。■

例1 如图，AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，求FE

FB

的值。

解：直线AEC 截BDF ∆，则

1BC DA FE

CD AF EB

⋅⋅=，因为 2BC DC =，2DA AF =，所以 14FE EB =，于是1

3

FE FB =。

例2 如图，在ABC ∆中，//DE BC ，BE 、CD 交于O ，AO 交DE 于N ，交BC 于M 。 求证：BM CM =。

证明：直线BOE 截AMC ∆的三边，则

1AO MB CE

OM BC EA ⋅⋅=， 直线COD 截ABM ∆的三边，则

1MO AD BC

OA DB CM

⋅⋅=， 上两式相乘得

1BM CE AD

CM EA DB

⋅⋅= 又由 //DE BC ，知 AD AE

DB EC

=， 从而

1MB

CM

=，即 BM CM =。

定理2（笛沙格Desargues 定理）两三角形对应顶点的连线共点，则对应边的交点共线。 （笛沙格定理的逆定理）两三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点或平行。

笛沙格定理的证明：设AA '、BB '、CC '交于点O ，BC 交B C ''于L ，CA 交C A ''于M ，AB 交A B ''于N 。OBC ∆被直线LB C ''所截，OCA ∆和OAB ∆被直线MA C ''及NB A ''所截，有等式

1BL CC OB LC C O B B ''⋅⋅=''， 1CM AA OC MA A O C C ''⋅⋅=''， 1AN BB OA NB B O A A

''⋅⋅=''

上三式相乘得

1BL CM AN LC MA NB

⋅⋅=，故L 、M 、N 共线。 ■ 笛沙格定理的逆定理的证明：设O 为AA '与CC '的交点，下面证明BB '也通过点O 。 在LCC '∆和NAA '∆中，对应顶点的连线共点于M ，由笛沙格定理知对边交点B 、O 、B '必共线，即BB '通过点O. 若//AA CC ''，则//AA BB ''，否则由上面的证明知CC '应通过它

们的交点，与假设矛盾。 ■

定理3（塞瓦Ceva 定理）设P 、Q 、R 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，则AP 、BQ 、CR 相交于一点M 的充要条件是1BP CQ AR

PC QA RB

⋅⋅=。

证明：（1）必要性

CMA CMB S AR RB S ∆∆=， AMB AMC S BP PC S ∆∆=， BMC

BMA

S CQ QA S ∆∆=

由上三式相乘即得

1BP CQ AR

PC QA RB

⋅⋅=。 （2）充分性 设AP 与BQ 相交于M ，边CM 交AB 于R '， 因为

1BP CQ AR PC QA R B '⋅⋅=' 及 1B P C Q

A R P C Q A A B

⋅

⋅= 知

AR AR

R B AB

'='，由点内分AB 成定比的点的惟一性知R R '≡，得证。 ■

例3 以ABC ∆各边为底向形外作相似的等腰三角形BCE 、CAF 、ABG 。 求证：AE 、BF 、CG 交于一点。

证明：设相似等腰三角形的底角为θ，ABC ∆的三个内角记为A 、B 、C 。

(1/2)sin()

(1/2)sin()

ABE ACE S BL AB BE B LC S AC CE C θθ∆∆⋅⋅+==

⋅⋅+ 由CE BE = 知

sin()

sin()

BL AB B LC AC C θθ⋅+=

⋅+ 同理

sin()sin()CM BC C MA AB A θθ⋅+=⋅+，sin()

sin()

AN AC A NB BC B θθ⋅+=

⋅+， 上三式相乘得，

1BL CM AN LC MA NB

⋅⋅=， 由Ceva 定理有AE 、BF 、CG 交于一点。

定理4（西姆松Simson 定理） 三角形外一点在三角形外接圆上的充要条件是该点在三角形三边所在直线上的射影（垂足）共线。

证明：设△ABC 外一点P ，P 在三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是L 、M 、N 。由P 、B 、L 、N 及P 、N 、A 、M 共圆知12,34∠=∠∠=∠。

P 、B 、C 、A 共圆⇔2413PBC PAM ∠=∠⇔∠=∠⇔∠=∠⇔L 、N 、M 共线。■

注：西姆松定理把四点共圆及三点共线联系在一起，直线LNM 叫△ABC 关于点P 的西姆松线。

例4 设ABC ∆的三条高为AD 、BE 、CF ，过D 作直线AB 、BE 、CF 、CA 的垂线，垂足

分别为P 、Q 、R 、S ，则P 、Q 、R 、S 共线。