一元一次不等式和一元一次不等式组单元知识总结材料(上)

【基本目标要求】

一、经历由具体实例建立不等式模型的过程，了解不等式和一元一次不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质.

二、了解不等式的解和解集的概念，掌握一元一次不等式的解法，会在数轴上表示不等式的解集．

三、初步认识一元一次不等式的应用价值．

四、了解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴表示一元一次不等式组的解集．

五、会用不等式和不等式组解决有关不等关系的简单实际问题，感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，发展学生分析问题、解决问题的能力．

【基础知识导引】

一、不等式及其基本性质

1．定义

凡用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．

2．性质

性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

二、不等式的解集

1．不等式的解集

一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．

2．解不等式

求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如5x≥15的解集为x≥3，即在数轴上(图1-1)用表示3的点及其右边部分来表示，这里的黑点表示包括3这一点．如果不等式的解集为-1≤x＜4(图1-2)，则用数轴上表示-1的点和点4的左边之间的部分来表示，这里的黑点表示包括-1这一点在内，而右边的圆圈表示不包括4这一点在内．

三、一元一次不等式和它的解法

1．一元一次不等式

左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式．叫做一元一次不等式．

2．一元一次不等式标准形式

ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．

3．同解不等式

如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式．

4．不等式的同解原理

原理l 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式；

原理2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式；

原理3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式．

5．一元一次不等式的解法

一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如表1-1所示．

表1-1

四、一元一次不等式组和它的解法

1．一元一次不等式组的解集

一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．

2．解不等式组

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．

3．解一元一次不等式组的两个步骤

(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．

【重点难点点拨】

本章的重点是一元一次不等式的解法．本章的难点是了解不等式的解集和不等式组的解集，以及运用不等式基本性质3，要注意变号．

另外，要特别重视搞清一元一次不等式与一元一次方程、一次函数三者之间的关系．要掌握以上重点、难点，必须注意以下问题．

一、一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的区别与联系

1．一元一次不等式、一元一次方程含有一个未知数，一次函数含有两个未知数，它们的左右两边都是整式．

2．一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等的关系，一次函数不仅表示相等关系，更重要的它表示因变量关于自变量的依存关系．

3．一元一次方程和一次函数的图象都是一条直线，一元一次不等式的图象是直线一侧(有时包含直线，有时不包含直线)的区域．

4．一元一次方程的解是其图象(直线)与x 轴交点的横坐标的值，至于一次函数y=kx+b(k ≠0)的解析式，只须依据两个独立条件确定k 、b ，即可求出一次函数．

二、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用 令一次函数y=kx+b(k ≠0)中的y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式．

【发散思维导练】 ★ 发散思维分析

本章的主要内容是一元一次不等式和它的解法，及一元一次不等式组和它的解法．它们是在有理数大小比较、等式及其性质、解一元一次方程、研究一次函数的基础上引入的、一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其它不等式的基础．正确地解一元一次不等式，关键在于正确地理解不等式的解的集合的意义和准确运用不等式的三个同解原理．学习不等式、一元一次不等式的有关内容可与等式、一元一次方程、一次函数的有关内容对比，找出它们之间的联系和区别，用数轴表示不等式的解集，利用数轴求不等式的解集等，都体现了数形结合的思想方法．本章安排了一定数量的迁移发散题，迁移发散利用数学式、图形在不同的数学分科中的不同含义与等价形式，把一个分科里的公式、定理、原则或方法，巧妙地迁移到另一个分科中，达到化难为易的目的．

★ 发散思维应用 1．不等关系

2．不等式的基本性质 3．不等式的解集 4．一元一次不等式

【典型例题】

1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．

(1)

16

1

44<--+x x ； (2)5.2654

13315.0≥⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-⎪⎭⎫

⎝⎛----x 。. 解 (1)去分母，得

12)1(2)4(3<--+x x ，

去括号，得

1222123<+-+x x ，

合并同类项，得

x<-2；