一元一次不等式和一元一次不等式组单元知识总结材料(上)

【基本目标要求】一、经历由具体实例建立不等式模型的过程，了解不等式和一元一次不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质.二、了解不等式的解和解集的概念，掌握一元一次不等式的解法，会在数轴上表示不等式的解集．三、初步认识一元一次不等式的应用价值．四、了解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴表示一元一次不等式组的解集．五、会用不等式和不等式组解决有关不等关系的简单实际问题，感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，发展学生分析问题、解决问题的能力．【基础知识导引】一、不等式及其基本性质1．定义凡用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．2．性质性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．二、不等式的解集1．不等式的解集一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．2．解不等式求不等式的解集的过程，叫做解不等式．不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如5x≥15的解集为x≥3，即在数轴上(图1-1)用表示3的点及其右边部分来表示，这里的黑点表示包括3这一点．如果不等式的解集为-1≤x＜4(图1-2)，则用数轴上表示-1的点和点4的左边之间的部分来表示，这里的黑点表示包括-1这一点在内，而右边的圆圈表示不包括4这一点在内．三、一元一次不等式和它的解法1．一元一次不等式左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式．叫做一元一次不等式．2．一元一次不等式标准形式ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．3．同解不等式如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式．4．不等式的同解原理原理l 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式；原理2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式；原理3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式．5．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如表1-1所示．表1-1四、一元一次不等式组和它的解法1．一元一次不等式组的解集一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．2．解不等式组求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．3．解一元一次不等式组的两个步骤(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．【重点难点点拨】本章的重点是一元一次不等式的解法．本章的难点是了解不等式的解集和不等式组的解集，以及运用不等式基本性质3，要注意变号．另外，要特别重视搞清一元一次不等式与一元一次方程、一次函数三者之间的关系．要掌握以上重点、难点，必须注意以下问题．一、一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的区别与联系1．一元一次不等式、一元一次方程含有一个未知数，一次函数含有两个未知数，它们的左右两边都是整式．2．一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等的关系，一次函数不仅表示相等关系，更重要的它表示因变量关于自变量的依存关系．3．一元一次方程和一次函数的图象都是一条直线，一元一次不等式的图象是直线一侧(有时包含直线，有时不包含直线)的区域．4．一元一次方程的解是其图象(直线)与x 轴交点的横坐标的值，至于一次函数y=kx+b(k ≠0)的解析式，只须依据两个独立条件确定k 、b ，即可求出一次函数．二、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用 令一次函数y=kx+b(k ≠0)中的y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式．【发散思维导练】 ★ 发散思维分析本章的主要内容是一元一次不等式和它的解法，及一元一次不等式组和它的解法．它们是在有理数大小比较、等式及其性质、解一元一次方程、研究一次函数的基础上引入的、一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其它不等式的基础．正确地解一元一次不等式，关键在于正确地理解不等式的解的集合的意义和准确运用不等式的三个同解原理．学习不等式、一元一次不等式的有关内容可与等式、一元一次方程、一次函数的有关内容对比，找出它们之间的联系和区别，用数轴表示不等式的解集，利用数轴求不等式的解集等，都体现了数形结合的思想方法．本章安排了一定数量的迁移发散题，迁移发散利用数学式、图形在不同的数学分科中的不同含义与等价形式，把一个分科里的公式、定理、原则或方法，巧妙地迁移到另一个分科中，达到化难为易的目的．★ 发散思维应用 1．不等关系2．不等式的基本性质 3．不等式的解集 4．一元一次不等式【典型例题】1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)16144<--+x x ； (2)5.265413315.0≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛----x 。

. 解 (1)去分母，得12)1(2)4(3<--+x x ，去括号，得1222123<+-+x x ，合并同类项，得x<-2；原不等式的解集在数轴上表示如下(图1-3)(2)56541331-≤-⎪⎭⎫⎝⎛---x ， 1541331≤⎪⎭⎫ ⎝⎛---x ， 35413-≥--x ， 2413≥-x ， ∴ 3≥x .原不等式的解集在数轴上表示为(图1-4)2．解不等式1)1(22<---x x ，并把它的解集在数轴上表示出来． 解 原不等式化为2)1(22<---x x ，2222<+--x x ，∴x>-2.它在数轴上表示为(图1-5)3．求使方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x,y 都是正数的m 的取值范围．解 解方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 得⎩⎨⎧-=+-=.527m y m x ∵ 它的解为正数，∴ ⎩⎨⎧>->+-.052,07m m∴⎪⎩⎪⎨⎧><.25,7m m∴725<<m . 故当725<<m 时，原方程的解都是正数．【题型发散】发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内． (1)下面列出的不等式中，正确的是 ( ) (A)a 不是负数，可表示成a ＞0 (B)x 不大于3，可表示成x ＜3(C)m 与4的差是负数，可表示成m-4＜0 (D)x 与2的和是非负数，可表示成x+2＞0 (2)下列不等式中一定成立的是 ( ) (A)4a ＞3a (B)3-x ＜4-x (C)-a ＞-2a (D)aa 23> (3)不等式5(x+1)-3x ＞2x+3的解集为 ( ) (A)x ＞-1 (B)x ＞1 (C)无解 (D)一切实数(4)如果关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，那么 (A)m=6 (B)m 等于5，6，7 (C)无解 (D)5≤m ≤7(5)不等式14x-7(3x+8)＜4(2x-5)的负整数解是 ( ) (A)-3，-2，-1，0 (B)-4，-3，-2，-1 (C)-2，-1 (D)以上答案都不对(6)已知0|32|)2(2=--+-n b a a 中，b 为正数，则n 的取值范围是( )(A)n ＜2 (B)n ＜3 (C)n ＜4 (D)n ＜5 解 (1)用直接法.∵ a 不是负数，可表示成a ≥0； x 不大于3，应表示成x ≤3；x 与2的和是非负数应表示成x+2≥0， ∴ 只有(C)正确． 故本题应选(C)． (2)用排除法．由不等式的性质，若a ＜0，则(A)，(C)，(D)三个选项都不正确，可排除(A)，(C)，(D)． 故本题应选(B)． (3)用直接法．解不等式，经移项、合并同类项，得 O ＞-2．上面不等式与x 无关，它的解集为一切实数． 故本题应选(D)． (4)用直接法． ∵ x+2m-3=3x+7 解得 x=m-5．依据题意得0≤x ≤2，即 0≤m-5≤2，∴ 5≤m ≤7． 故本题应选(D)． (5)用排除法．14x-7(3x 十8)＜4(2x-5)， 14x-21x-56＜8x-20， 14x-21x-8x ＜-20+56， -15x ＜36，522->x ,所以，(A)，(B)，(D)均可排除． 故本题应选(C)． (6)用直接法．∵ 0|32|)2(2=--+-n b a a . 得 a-2=0，则 a=2．2a-3b-n=0，以a=2代入，得 34nb -=， ∴ b 为正数，∴ 4-n ＞0， ∴ n ＜4．故本题应选(C)．发散2 填空题(1)若方程kx+1=2x-1的解是正数，则k 的取值范围是_________． (2)若｜2a+3｜＞2a+3，则实数a 的取值范围是_____________． (3)在下面横线上填上等号或不等号． 设m ＞n ，那么m-5________n-5；-5m__________-5n ；10m _____________10n ；mp____________np 。

(4)有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20而小于40，则这个两位数为______________．(5)已知0≤a ≤15，且a ≤x ≤15，则当x_________时，式子｜x-a ｜+｜x-15｜+｜x-a-15｜的值最小．解 (1)∵ kx+1=2x-1， ∴ (k-2)x=-2，当k ≠2时，22--=k x ． 由题意得022>--k ． ∴ k-2＜0，∴ k ＜2．当k=2时，方程变为1=-1，不成立． ∴ k ≠2．(2)依据绝对值的概念，如果2a+3≥0时，｜2a+3｜=2a+3，只有2a+3＜0时，才有｜2a+3｜＞2a+3， 解不等式2a+3＜0得23-<a .(3)设m ＞n ，那么m-5＞n-5(根据不等式性质1)； -5m ＜-5n(根据不等式性质3)；1010nm >(根据不等式性质2)： 当p ＞0时，mp ＞np ， 当p=0时，mp=np ， 当p ＜0时，mp ＜np ． (4)设十位数为x ，由题意，可得20＜10x+(x+2)＜40， 得 20＜llx+2＜40，即18＜11x ＜38， ∴11381118<<x ． ∵ x 为整数，∴ x=2或x=3， ∴ 所求的两位数为24，35． (5)∵ 0≤a ≤15，且a ≤x ≤15， ∴ a+15≥15， x-(a+15)≤0，又 a ≤x ≤15，∴ x-a ≥0， x-15≤0，∴ ｜x-a ｜+｜x-15｜+｜x-a-15｜ =(x-a)+(15-x)+(a+15-x) =x-a+15-x+a+15-x =30-x ．∴ 要使上式值最小，只需x 最大，而a ≤x ≤15． ∴ 当x=15时，上式取最小值为15． 发散3 解答题(1)解不等式3(2x-5)-5(1-x)＞x-2(x-6)；(2)解不等式13)2(2413+-≥-x x ； (3)解不等式025.161)53(5.0312>++----x x x ． 解 (1)3(2x-5)-5(1-x)＞x-2(x-6)，去括号，得 6x-15-5+5x ＞x-2x+12， 移项，得 6x+5x+2x-x ＞15+5+12， 合并同类项，得 12x ＞32， 系数化为1，得 38>x ； (2)13)2(2413+-≥-x x ， 去分母，得 3(3x-1)≥4×2(x-2)+12， 去括号，得 9x-3≥8x-16+12， 移项，得 9x-8x ≥-16+12+3， 合并同类项，得 x ≥-1 (3)025.161)53(5.0312>++----x x x ， 将小数全部变为分数，得04561253312>++----x x x ， 去分母，得 4(2x-1)-6(3x-5)-2(x+1)+3×5＞0， 去括号，得 8x-4-18x+30-2x-2+15＞0， 合并同类项，得 -12x+39＞0， 移项，得 -12x ＞-39， 系数化为1，得 413<x ． 解法指导 既含有分母又含有小数的不等式，可将小数化为分数，也可将分数化为小数，但后者有可能出现无限小数，会使运算答案不准确，故常将小数全部化成分数后再解．纵横发散发散1 已知6≤m ≤12，m n m33<≤．求m+n 的取值范围． 分析 由已知得出3m和3m 的取值范围，再确定m+n 的范围． 解 ∵ 6≤m ≤12， ∴ 432≤≤m，18≤3m ≤36， 又∵m n m33<≤， ∴ 2≤n ＜36， 故 8≤m+n ＜48．发散2 p 为何值时，方程)6(213)72(21)3(51p x p x p x x --=+++-有负数解． 分析 先解方程，求出x 的值．在本题中，这是关于字母p 的表达式，然后再由x ＜0的条件，解关于p 的不等式，确定p 的取值范围．解 解方程，得 19x=30-3p ，19330px -=．∵ 方程有负数解，即 x ＜O ， 即019330<-p， 解此不等式，得 p ＞10． 发散3 当y 取什么值时，代数式412-y 的值满足下面条件： (1)大于y 231+的值； (2)不大于123-y 的值；(3)是非负数． 解 (1)根据题意，得 y y 231412+>-， 2y-1＞4+6y ，-5＞4y ，45-<y ，∴ 当45-<y 时，代数式412-y 的值大于y 231+的值．(2)根据题意，得 123412-≤-y y ，2y-1≤6y-4，3≤4y ，43≥y ， ∴ 当43≥y 时，412-y 的值不大于123-y 的值．(3)根据题意，得 0412≥-y ，2y-1≥o ，21≥y ，∴当21≥y 时，412-y 的值是非负数．【变形发散】发散题 a 取什么值时，关于x 的方程122124+-=+-ax a x 的解大于1． 分析 本题将原方程变形，以含a 的代数式来表示x ，从而利用x ＞1的条件解关于a的不等式．解 ∵ 122124+-=+-ax a x ， ∴ 176>-=a x ，故 67-<a ．【转化发散】发散1 当x 分别为何值时，代数式)3(21x -的值， (1)不小于1； (2)为正数．解 (1)根据题意，有1)3(21≥-x ，解这个不等式，得 x ≤1． ∴ 当x 取小于或等于1的值时，代数式)3(21x -不小于1；(2)根据题意，有 0)3(21>-x ，解这个不等式，得 x ＜3．∴ 当x 取小于3的值时，代数式)3(21x -的值为正数．发散2 当x 取何值时，代数式34x-的值，(1)小于612+x 的值；(2)不小于612+x 的值．分析 依题意，将比较2个代数式之值大小的问题转化为解不等式问题． 解 (1)根据题意，要求不等式61234+<-x x 的解集． 解这个不等式，得 24-2x ＜2x+1，23＜4x 得 423>x ． 所以当x 取大于423的值时，34x -的值小于612+x 的值；(2)根据题意，要求不等式61234+≥-x x 的解集，解这个不等式，得 423≤x ．所以当x 取不大于423的值时，34x -的值不小于612+x 的值．【逆向发散】发散1 已知0)3(|2|2=+-+-m y x x ． (1)当m 为何值时，y ≥0；(2)当m 为何值时，y ＜-2．解 ∵｜x-2｜≥0，0)3(2≥+-m y x ，∴ 只有在｜x-2｜=0且032=+-)m y x (时，它们的和才能等于0， 因此，x=2，3x-y+m=0， ① 将x=2代入①，得 -y+m=-6． ② 即 y=m+6．(1)要使y ≥0，即m+6≥0，得 m ≥-6．∴ 当m ≥-6时，y ≥0；(2)要使y ＜-2，即m+6＜-2，得 m ＜-8．∴ 当m ＜-8时，y ＜-2．发散2 若0)5(|123|2=--+-m y x x ．(1)当y ＞0时，求m 的范围；(2)当y ＜O 时，求m 的范围；(3)当y=0时，求m 的值．解 ∵ 0)5(|123|2=--+-m y x x ，∴ 3x-12=0，5x-y-m=0，∴ x=4，y=5x-m=20-m ．(1)∵ y=20-m ＞0 ∴ m ＜20．即当y ＞O 时，m ＜20；(2)∵ y=20-m ＜O ∴ m ＞20．即当y ＜O 时，m ＞20；(3)∵ y=20-m=0 ∴ m=20．即当y=0时，m=20．【变更命题发散】发散1 当k 取何值时，方程1)(5332+-=-k x k x 的解是正数． 分析 先解方程，求x ．解 1)(5332+-=-k x k x ， 2x-9k=15(x-k)+3，2x-9k=15x-15k+3，13x=6k-3，1336-=k x ． 令01336>-k ，∴ 6k-3＞0， ∴ 21>k ． 即当21>k 时，原方程的解为正数． 发散2 当k 取何值时，方程1)(5332+-=-k x k x 的解是负数． 分析 先解方程，求x ．解 1)(5332+-=-k x k x ， 2x-9k=15(x-k)+3，2x-9k=15x-15k+3，13x=6k-3，∴ 1336-=x x ． 令01336<-x ，∴6k-3＜0． ∴ 21<k ． 即当21<k 时，原方程的解为负数．【构造发散】发散1 求同时满足不等式6x-2≥3x-4和2214x x -<-的整数x ． 分析 本题构造数轴分别将2个不等式的解集在其上表示出来，然后观察其公共解集的范围内有哪些整数．不等式6x-2≥3x-4的解集是32-≥x ； 不等式2214x x -<-的解集是x ＜4． 所以，同时满足不等式6x-2≥3x-4和2214x x -<-的x 的取值范围是432<≤-x (如图1-6)，故满足条件的整数x 为0，1，2，3．发散2 求不等式21429323-≤---x x x 的非负整数解． 解 去分母得 4(3x-2)-3(9-2x)≤6(x-1)，化简整理得 12x ≤29，∴ 1229≤x ． ∴ 不等式的非负整数解为0，1，2． 发散3 求不等式6122343->--+x x x 的正整数解． 解 去分母得2(3x+4)-3(x-2)＞6x-1， 6x+8-3x+6＞6x-1，∴ x ＜5，∴ 不等式的正整数解为1，2，3，4．发散4 求不等式0)5(31)34(21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---x x 的正整数解． 解 原不等式两边都乘以-2，得0)5(31)34(<+--x x ． 314311<x ． ∴ 1114<x ． ∵ 小于1114的正整数只有1， ∴ 原不等式的正整数解为x=1 题组点评求正整数解的思路是先求不等式的解集，然后在解集中寻找符合条件的正整数．。