新人教A版选修2-2《2.1.2演绎推理》同步练习及答案

选修2-2 2.1.2 演绎推理
一、选择题
1．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A ．正方形都是对角线相等的四边形
B ．矩形都是对角线相等的四边形
C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )
A ．大前提错
B ．小前提错
C ．结论错
D ．正确的 [答案] D
[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.
3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A ．类比推理
B ．归纳推理
C ．演绎推理
D ．一次三段论 [答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
4．“因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 1
3x 是对数函数(小前提)，
所以y ＝log 1
3
x 是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )
A ．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
[答案] A
[解析] 对数函数y＝log a x不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．③
D．①②
[答案] B
[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．①②
D．③
[答案] B
[解析] 易知应为②.故应选B.
7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )
A．大前提错
B．小前提错
C．推论过程错
D．正确
[答案] C
[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )
A．正确
B．推理形式正确
C．两个自然数概念不一致
D．两个整数概念不一致
[答案] A
[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A.
9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )
[答案] A
[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可
表示为；
如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为
．故应选A.
10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
二、填空题
11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．
[答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.
12．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a 2＋b 2
≥2ab ，
∴2(a 2
＋b 2
)≥a 2
＋b 2
＋2ab . [答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2
＋b 2
，故大前提为：若
a ≥
b ，则a ＋
c ≥b ＋c .
13．(2010·重庆理，15)已知函数f (x )满足：f (1)＝1
4
，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，
y ∈R )，则f (2010)＝________.
[答案] 1
2
[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①
令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ② 由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (x ＋2)
∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6) ∴f (x )＝f (x ＋6) 即f (x )周期为6，
∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)
对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12即f (2010)＝1
2
.
14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等 [解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝1
3
S △AOB ·h ，
又S △AOB ＝1
2
|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．
因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．
三、解答题
15．用三段论形式证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，则∠B ＝∠C . [证明] 如下图延长AB ，DC 交于点M .
①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD 中AD ∥BC 小前提 ③
MB BA ＝MC
CD
结论 ①等量代换大前提 ②AB ＝CD 小前提 ③MB ＝MC 结论
在三角形中等边对等角大前提
MB ＝MC 小前提
∠1＝∠MBC ＝∠MCB ＝∠2结论 等量代换大前提
∠B ＝π－∠1 ∠C ＝π－∠2小前提 ∠B ＝∠C 结论
16．用三段论形式证明：f (x )＝x 3
＋x (x ∈R )为奇函数． [证明] 若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数 大前提 ∵f (－x )＝(－x )3
＋(－x )＝－x 3
－x ＝－(x 3
＋x )＝－f (x )小前提 ∴f (x )＝x 3
＋x 是奇函数结论
17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．
若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a 的值． [解析] 推理的第一个关键环节：
大前提：如果不等式f (x )＜0的解集为(m ，n )，且f (m )、f (n )有意义，则m 、n 是方程
f (x )＝0的实数根，
小前提：不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x ＝－1与x ＝2都使表达式|ax ＋2|－6有意义，
结论：－1和2是方程|ax ＋2|－6＝0的根． ∴|－a ＋2|－6＝0与|2a ＋2|－6＝0同时成立． 推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x |＝a ，a ＞0，那么x ＝±a ， 小前提：|－a ＋2|＝6且|2a ＋2|＝6， 结论：－a ＋2＝±6且2a ＋2＝±6. 以下可得出结论a ＝－4.
18．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2
上，l 是AB 的垂直平分线． (1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； (2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．
[解析] (1)F ∈l ⇔|FA |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意，y 1，y 2不同时为0. ∴上述条件等价于
y 1＝y 2⇔x 21＝x 2
2⇔(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.
∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于x 1＋x 2＝0，即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点
F .
(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ；过点A 、B 的直线方程为y ＝－12x ＋m ，所以x 1，x 2满足方程2x 2
＋12x －m ＝0，得x 1＋x 2＝－14
.
A 、
B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝1
4＋8m >0，即m >－132
.设AB 的
中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则
x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18
， y 0＝－12
x 0＋m ＝116
＋m .
由N ∈l ，得116＋m ＝－1
4
＋b ，于是
b ＝516＋m >516－132＝932
.
即得l 在y 轴上截距的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪
⎫932，＋∞.。