第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1

第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式
一、求根公式法：
1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；
（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；
（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；
（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。

二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：
1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。

2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。

3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。

4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。

（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）
三、一元二次方程根的判别式：
1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表
示，即△=
2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：
△>0 <＝>
△=0 <＝>
△<0 <＝>
△≥0 <＝>
例1.用公式法解方程：
变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0
变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0
例2.选择适当的方法解下列方程：
（1）7(=28 (2)-2y-399=0
(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0
变式1：解方程：-y=-
例3.不解方程，判断下列方程根的情况:
(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)
变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？
例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。

变式1：若关于x的方程（-1）-2(m+2)x+1=0有实数根，求m的取值范围。

变式2：若a,b,c为实数，关于x的方程2+2(a-c)x++=0有两个相等的实数根，求证：a+c=2b.
例5.解关于x的方程：（a-1）-2ax+a=0
课堂练习：
1.求出下列方程中△的值。

（1）-3x-4=0 (2)+(2-)x-=0
(3)x(x-1)=0 (4)(x+2)(x-3)=6
2.用公式法解下列方程：
（1）4-4-1=0 （2）（x+1）(x-1)= 2x (3)0.09-0.21x+0.1=0 (4)-2ax-=0
3.用适当的方法解下列方程：
（1）=32 (2)3=(
(3)+=x (4)=a(-) (a≠0)
4.已知一元二次方程a-5x+a=0(a≠0)有两个相等的实数根，求此方程的解。

5.已知K为非负数，方程-（k+1）x+k=0和-（k+2）x+3k=0.
(1)第一个方程是否一定有两个非负实数根？如果是，请说明理由。

（2）当K取何值时，这两个方程有一个相同的实数根？
6.证明：无论实数m、n取何值时，方程m-(m-n)-n=0都有实数根。

7.已知a、b、c是△ABC的三边，请你判断方程c+2(a-b)x+c=0的根的情况。

8.已知关于X的方程k-2(k+1)x+k-1=0,当k取何值时，方程有实数根？
课后练习：
1.如果分式的值为0，那么X=
2.关于X的一元二次方程+4x-m=0的一个根是，则m= ,方程的另一个根是
3.一元二次方程a+bx+c=0(a≠)一定有解的条件可以是（）
A.a>0，b>0，c>0 A.a<0，b>0，c<0
C.ac<0
D.b=0
4.若a是方程+x+=0的根，则-4a-=
5.当X为何值时，7+x+4的值与3（3-2x）的值相等。

6.分别用公式法和配方法解该方程：23x=2
7.先阅读，再填空解题：
（1）方程-x-12=0的根是=-3，=4，则=1，=-12；
（2）方程2-7x+3=0的根是=，=3，则=，=；
（3）方程-3x+1=0的根是= ，= ，则， = 。

8.关于X的方程（1-2k）-2=0有两个不相等的实数根，求K的取值范围。