停留时间分布与反应器的流动类型

5 停留时间分布与反应器设F(θ)及E(θ)分别为闭式流动反应器的停留时间分布函数及停留时间分布密度函数，θ为对比时间。

（1） （1）?? 若该反应器为活塞流反应器，试求（a ） （a ）?? F(1)(b)E(1)(c)F(d)E(e)E (2)若该反应器为全混流反应器，试求（a ）F(1)(b)E(1)(c)F(d)E(e)E(3) 若该反应器为一个非理想流动反应器，试求（a ）F(∞)(b)F(0)(c)E(∞)(d)E(0)(e)0∞⎰()E d θϑ(f)0∞⎰()E d θθϑ解：（1）因是活塞流反应器，故符合理想活塞流模型的停留时间分布，由（）式可得： (a)F(1)=(b)E(1)=∝(c)F=0(d)E=0(e)E=0（2） （2）?? 因是全混流反应器，故符合理想全混流模型的停留时间分布，由（）式可得：（a ）F(1)=1-e -1= (b)E(1)=e -1= (c)F=1- = (d)E= = (e)=E= （3） （3）?? 因是一个非理想流动反应器，故可得： （a ）F(∞)=1 (b)F(0)=0 (c)E(∞)=0 (d)E(0)>1 (e)0∞⎰()E d θϑ=1 (f)∞⎰()E d θθϑ=1?用阶跃法测定一闭式流动反应器的停留时间分布，得到离开反应器的示踪剂与时间的关系如下：0222313≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪≥⎩()t c t t t t试求：（1） （1）?? 该反应器的停留时间分布函数F(θ)及分布密度函数E(θ)。

（2） （2）?? 数学期望θ及方差2θσ。

（3） （3）?? 若用多釜串联模型来模拟该反应器，则模型参数是多少？ （4） （4）?? 若用轴相扩散模型来模拟该反应器，则模型参数是多少？（5）若在此反应器内进行一级不可逆反应，反应速率常数k=1min -1，且无副反应，试求反应器出口转化率。

解：（1）由图可知C 0=C(∝)=，而F(θ)=F(t)=C(t)/ C(∝)，所以：020822308121312≤≤⎧⎪==-≤≤≤≤⎨⎪≥≥⎩,.()(),..,.t F F t t t t ϑθθθ如下图所示：?由（）式可得平均停留时间：[]11225∞===+=⎰⎰⎰()()()().mint tE t dt tdF t F t dF t即为上图中阴影面积。

由（）式得：212303⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩()()p f t dF t E t t dt t所以：008250812012⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩.()()....p f E tE t ϑθθθ如右图所示： ?（2）由于是闭式系统，故==/r t V Q τ，所以1=θ 由式（）可得方差：122222008251001333∞=-=-=⎰⎰..()..E d d θσθθθθθθ（3）由（）式可得模型参数N 为：21100133375===//.N θσ （4） （4）?? 由于返混很小，故可用22≈/Pe θσ，所以：222001333150≈==//.Pe θσ（5）用多釜串联模型来模拟，前已求得N=75，应用式（）即可计算转化率：751251111110914575⨯=-+=-+=./()/().N A X kNτ同理，亦可用扩散模型即（）式得X A =。

两种方法计算结果相当吻合。

?用阶跃法测定一闭式流动反应器的停留时间分布，得到离开反应器的示踪剂与时间的关系如下：（1） （1）?? （2）若在该反应器内的物料为微观流体，且进行一级不可逆反应，反应速率常数k=,预计反应器出口处的转化率。

（3）若反应器内的物料为宏观流体，其它条件均不变，试问反应器出口处的转化率又是多少？解：（1）由式（）计算出反应器的停留时间分布，即： F(t)=C(t)/ C(∝)=C(t)/根据11==⨯⎰()t tdF t t由右图可知，可用试差法得到t ，使两块阴影面积相等。

由图试差得46=t s 。

（2）因进行的是一级反应，故可采用离析流模型预计反应器出口转化率。

由式（）可得间歇反应器中进行一级不可逆反应时转化率与反应时间的关系：11005=--=-exp(exp(.)A X kt t ）代入离析流模型可得反应器出口处平均转化率：[]111005∞===--⎰⎰⎰()()exp(.)()A A A X X E t dt X dF t t dF t （A ）采用图解积分法对（A ）式进行积分，其中不同时间t 下的F(t)如上表所示， []1005--exp(.)t 的值列于下表中：以F(t)845=.%A X（3） （3）?? 由于是一级反应，所以混合态对反应速率无影响，故反应器出口转化率#与微观流体时相同，即845=='.%A A X X 。

?为了测定一闭式流动反应器的停留时间分布，采用脉冲示踪法，测得反应器出口物料中示踪剂浓度如下：试计算：（1） （1）?? 反应物料在该反应器中的平均停留时间t 和方差2θσ。

（2） （2）?? 停留时间小于的物料所占的分率。

解：（1）根据题给数据用（）式即可求出E(t)，其中m 可由（）式求得。

本题可用差分法。

3566453213566453211305305305==+++++++=+++++++⨯⨯====∑()(.)(.).()()()()..m QC t t Q t Q Q QC t QC t C t E t m Q ∆∆然后按照（）和（）式算出平均停留时间和方差。

此处用差分法，即：=∑∑()()tE t t t E t t ∆∆ （A ） 222=-∑()tt E t t tσ∆ (B)为了计算t 和2θσ，将不同时间下的几个函数值列与下表中： ?将上述数据代入（A 222222485209998848532692485333723372485301432===-====./..min...min /./..t tt t θσσσ（2）以E(t)～t 作图（略），用图解积分法的：40400362==⎰.(.)().F E t dt所以，停留时间小于的物料占的分率为%。

?已知一等温闭式液相反应器的停留时间分布密度函数E(t)=16texp(-4t),min -1，试求： （1） （1）?? 平均停留时间; （2） （2）?? 空时； （3） （3）?? 空速；（4） （4）?? 停留时间小于1min 的物料所占的分率； （5） （5）?? 停留时间大于1min 的物料所占的分率；（6）若用多釜串联模型拟合，该反应器相当于几个等体积的全混釜串联？ （7）若用轴向扩散模型拟合，则模型参数Pe 为多少？（8）若反应物料为微观流体，且进行一级不可逆反应，其反应速率常数为6min -1,C A0=1mol/l,试分别采用轴向扩散模型和多釜串联模型计算反应器出口转化率，并加以比较；（9）若反应物料为宏观流体，其它条件与上述相同，试估计反应器出口转化率，并与微观流体的结果加以比较？解：（1）由（）式得：401605∞∞-===⎰⎰().mint t tE t dt t te dt（2）因是闭式系统，所以：05==.min t τ（3） （3）?? 空速为空时的倒数，所以：111205-===min .S ντ（4）11144400111644090840---===-+=⎰⎰⎰()().ttt F E t dt te dt tee dt所以，停留时间小于1min 的物料所占的分率为%。

（5）1110908400916-=-=()..F 。

停留时间大于1min 的物料占%。

（6）先计算方差：2222220241310520∞∞∞--=-=-=-∞ =--=⎰⎰⎰()()().E d E d e d e θθθσϑθθθϑθθθθθθ根据多釜串联模型参数与方差的关系得：211205===.N θσ(7)因205=.θσ，所以返混程度较大，故扩散模型参数Pe 与方差关系应用：22221-=--()Pe e Pe Pe θσ采用试差法得：Pe=。

（8）因是一级不可逆反应，所以估计反应器出口转化率既可用扩散模型，也可用多釜串联模型或离析流模型，其结果应近似。

采用多釜串联模型，由（）式得：20111016116052-====++⨯.(/)(./)A Af N A C X C k N τ 所以有：1016084=-=..AfX采用扩散模型，前已得到Pe=,所以： 050514146052562385=+=+⨯⨯=..(/)(./.).k Pe ατ代入（）式得：22022114112225612385256123854238512385123852201415⎧⎫-+⎡⎤⎡⎤=+----⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫-+⎡⎤⎡⎤=⨯+----⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭=()()/()exp ()exp .(.).(.)./(.)exp (.)exp .A A C Pe Pe C ααααα所以有：0110141508585=-=-=..AAf A C X C（9）用离析流模型，因一级不可逆反应，故间歇反应器的60-=()tA A C t C e ，所以：6410000001616016∞∞∞---==•==⎰⎰⎰()().t t t A AA A C C t E t dt e e dt te dt C C反应器出口转化率为X A =，计算结果同前题用多釜串联模型与扩散模型结果相近。

?微观流体在全长为10m 的等温管式非理想流动反应器中进行二级不可逆液相反应，其反应速率常数k 为0.266l/，进料浓度C A0为l,物料在反应器内的线速度为0.25m/s,实验测定反应器出口转化率为80%，为了减小返混的影响，现将反应器长度改为40m ，其它条件不变，试估计延长后的反应器出口转化率将为多少？解：当反应器长度L=10m 时，其空时为010400250266160401702=====⨯⨯=....r A V L sQ U kC ττ已知有X A = 所以：1- X A =。

由上述0A kC τ与1- X A 值，利用图可查得：Da/UL=4。

所以轴向有效扩散系数：2440251010==⨯⨯=./Da UL m s当反应器长度改为40m ，其空时应为40160025===''.L sU τ所以，002661601606810=⨯⨯='...A kC τ而反应器长度改变，轴向有效扩散系数Da 值不变，所以：10025401==/'/./Da UL再利用图，由0'A kC τ与/'Da UL 值查得：1-X A =。

所以反应器出口转化率应为：X A ==。

显然是由于反应器长度加大后，轴向返混减小，致使出口转化率提高。