福建省泉州实验中学2020-2021学年高一上学期第一阶段考试数学试题
2020-2021学年福建省厦门第一中学高一上学期入学测试数学试题(解析版)
2020-2021学年福建省厦门第一中学高一上学期入学测试数学试题一、单选题1．32263x y x y -分解因式时，应提取的公因式是（ ）A ．3xyB ．23x yC ．233x yD ．223x y【答案】B【解析】根据提公因式的原则可得选项.【详解】 32263x y x y -分解因式时，应提取的公因式是23x y ，故选：B.【点睛】本题考查因式分解的方法之提公因式法，属于基础题.2．下列计算正确的是（ ）A ．()3473=a b a bB ．2(41)82b a ab b --=--C ．()23242a a a a ⨯+=D ．22(1)1a a -=- 【答案】C 【解析】由幂的运算性质逐一判断选项可得答案.【详解】对于A 选项：()43343312a b a b a b ⨯==，故A 错误； 对于B 选项：()2(41)8218+2b a ab b ab b --=--⨯-=-，故B 错误； 对于C 选项：()23244222+a a aa a a ⨯+==⨯，故C 正确； 对于D 选项：22(1)2+1a a a -=-，故D 错误，故选：C.【点睛】本题考查幂的运算性质，属于基础题.3．有两个事件，事件:A 抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件:367B 人中至少有2人生日相同.下列说法正确的是（ ）A．事件A、B都是随机事件B．事件A、B都是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【答案】C【解析】判断事件A、B的类型，由此可得出结论.【详解】对于事件A，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件；对于事件B，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件.故选：C.【点睛】本题考查事件类型的判断，属于基础题.4．如图，ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan A∠的值是（）A．65B．56C．210D．310【答案】A【解析】作出A∠所在直角三角形，根据定义求解. 【详解】如图，根据正切的定义可知，6tan 5BD A AD ==, 故选：A【点睛】本题主要考查了在直角三角形中正切函数的定义，属于容易题.5．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为x ；去掉一个最低分，平均分为y ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z ，则（ ）A ．y z x >>B ．x z y >>C ．y x z >>D ．z y x >> 【答案】A【解析】根据算术平均数的含义求解.【详解】由题意得：若去掉一个最高分，平均分为x ，则此时的x 一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z ，去掉一个最低分，平均分为y ，则此时的y 一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z ，所以y z x >>故选：A【点睛】本题主要考查算术平均数的含义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，5MC MA ==，则ABC 的面积是（ ）A ．24B ．20C ．15D ．不确定【答案】A【解析】由直角三角形的判定得ABC 是直角三角形，再由勾股定理求得两直角边的乘积，从而求得三角形的面积.【详解】由已知得5MC MA MB ===，所以90ACB ∠=，又ABC 的周长是24，10AB =， 所以222+14,10+AC BC AC BC ==，所以()()222222++496110AC BC AC BC AC BC -⨯-===， 所以ABC 的面积1242AC BC ⨯⨯=， 故选：A .【点睛】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的运用，以及三角形的面积的计算，属于基础题. 7．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 中，90ACB ∠=，30A ∠=，可求得B 的度数与AD 的长度，再分别从当012AD ≤≤与当1216x <≤时，去分析求解即可求得y 与x 之间的函数关系式，进一步选出图象.【详解】过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为90ACB ∠=，30A ∠=，16AB =，所以60B ∠=，142BD BC ==，12AD AB BD =-=.如图1，当012AD ≤≤时，AP x =，3tan 303PQ AP x =⋅=， 所以2133236y x x x =⋅=， 如图2：当1216x <≤时，16BP AB AP x =-=-，所以)tan60316PQ BP x =⋅=-，所以()2133168322y x x x x =⋅-=-+， 故选：D【点睛】此题考查了动点问题，注意掌握含30直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.8．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC AC ⊥于点C ，DF EB ⊥于点F ，若26BC DF ==，则O 的半径为（ ）A ．3.5B ．4C ．23D ．3.75【答案】D 【解析】根据图形，连接OD ，作OH BC ⊥于点H ，由AC 切半圆O 于点D ，得到OD AC ⊥，又BC AC ⊥，则//OD BC ，易证DOF OBH ≅，得到3OH DF ==，设OB OD r ==，然后在Rt ABC 中，利用勾股定理求解.【详解】如图所示：连接OD ，作OH BC ⊥于点H ，因为AC 切半圆O 于点D ，所以OD AC ⊥，又BC AC ⊥，所以//OD BC ，所以DOF OBH ∠=∠，又OD OB =，所以DOF OBH ≅，所以3OH DF ==，设OB OD r ==，则6BH r =-，在Rt ABC 中，由勾股定理得()22263r r =-+，解得15 3.754r ==， 故选：D【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，切割线定理，勾股定理等面积法以及平行线段成比例定理，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.9．如图，正三角形ABC 的边长为4，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC 与A B C '''关于直线l 对称，D 为线段BC '上一动点，则AD CD +的最小值是（ ）A ．3B ．62C ．8D ．423+【答案】C 【解析】连接A D '，先根据轴对称性得出A B C '''也是边长为4的等边三角形，再根据等边三角形的性质，三角形全等的判定定理和性质得出CD A D '=，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出AD A D +'取得最小值时点D 的位置，由此可以得出答案.【详解】如图，连接A D '，正ABC 的边长为4，4,60AB BC ABC ∴==∠=，ABC 与A B C '''关于直线l 对称，∴A B C '''也是边长为4的等边三角形，4,60A B A BC '''∴=∠=，18060CBD ABC A BC ∴∠=-'∠'∠-=，在BCD 和BA D '中，4BC BA ='=，60CBD A BD '∠=∠=，BD BD =，()BCD BA D SAS ∴'≅，CD A D '∴=，AD CD A D AD ∴+='+，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D 与点B 重合，即点,,A D A '共线时，AD A D +'取得最小值，最小值为448A AB A B A ''=+=+=.故选：C.【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短等知识点，属于基础题.10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =.下列结论：①0abc <；②30a c +>；③22()0a c b +-<；④()a b m am b +≤+（m 为实数）.其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ，图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <，又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <，所以>0abc ，故①错误；从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -，又12b a-=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-，又+>a c b ，所以()22+0a c b -<，故③正确；对称轴是1x =，当1x =时，有最小值++a b c ，所以2++++m a b c a bm c ≤，所以()a b m am b +≤+，故④正确，综上得结论正确的是②③④，故选：C .【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.二、填空题11．如图，在ABC 中，40A ∠=︒，B C ∠=∠，BP CE =，BD CP =，则DPE ∠=________.【答案】70°【解析】由DBP PCE ≅△△，可得BDP EPC ∠=∠，再结合等腰三角形及内角和为180的条件可得解.【详解】,40AB AC =∠︒,70DBP ECP ∴∠=∠=︒,又BP CE =，BD CP =，DBP PCE ∴≅△△BDP EPC ∴∠=∠,70DBP ∠=︒,110DPB BDP ∴∠+∠=︒,180()70DPE DPB EPC ∴∠=︒-∠+∠=︒,故答案为：70°【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;利用题目中隐含的条件平角解题是解决本题得到关键.12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 在反比例函数()0,0k y k x x=>>的图象上，已知A 、B 的横坐标分别为1、4，且对角线//BD x 轴，若菱形ABCD 的面积为30，则k 的值为_________.【答案】203【解析】利用菱形对角线垂直且互相平分，结合A ，B 点的坐标可求对角线的长，根据面积求解即可.【详解】由题意知A y k =，4B k y =， 在菱形中//BD x 轴，所以AC x ⊥轴， 所以32()2A B AC y y k =-=，2()6B A BD x x =-=, 由菱形ABCD 的面积为30可得，1363022S k =⨯⨯=， 解得203k =， 故答案为：203 【点睛】本题主要考查了菱形对角线互相平分且垂直的性质，考查了菱形的面积公式，属于中档题.13．平面直角坐标系xOy 中，已知点(),a b 在直线222(0)y cx c c =++>上，且满足2222(12)40a b bc c b +-+++=，则c =________.1【解析】将点(),a b 代入222y cx c =++，得222b ac c =++，再代入 2222(12)40a b bc c b +-+++=，利用非负数的性质，求出a 、b 用c 表示，再代入 222b ac c =++解方程即可解决问题.【详解】将点(),a b 代入222y cx c =++得：222b ac c =++①， 将222b ac c =++代入2222(12)40a b bc c b +-+++=得： 22222(12)422a b bc c ac c +-+++++2222=24422a b bc c ac c +--++++2222=24+42+2a ac c b bc c ++--+()()22=+20a c b c +-= ，所以2a c b c =-⎧⎨=⎩②③， 将②③代入222b ac c =++得：22222c c c =-++，即2220c c +-=，解得：1c =或1c =（舍）1【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，属于中考填空题中的压轴题.三、双空题14．已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，则实数A =________B =_________. 【答案】1 2【解析】将方程的右边通分运算后，对照系数建立方程组，求解方程组可得答案.【详解】 因为()()()()2+1+2+12(1)(2)(1)(2)A xB x A B x A B A B x x x x x x ---+==------， 所以+32+4A B A B =⎧⎨=⎩，解得12A B =⎧⎨=⎩， 故答案为：1；2.【点睛】本题考查分式的加减运算和恒等式的思想的运用，属于基础题.四、解答题15．为了解某县建档立卡贫困户对准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A 级：非常满意；B 级：满意；C 级：基本满意；D 级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户户数是_______________；（2）图1中，α∠的度数是______________，并把图2条形图补充完整；（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请你估计满意（B 级）人数约为多少户？（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a ，b ，c ，d ，e ）中随机选取两户，调查它们对扶贫政策的满意度，请用列表或树状图的方法求出选中贫困户e 的概率.【答案】（1）60 ；（2）54°，条形图见解析；（3）3500；（4）25. 【解析】（1）利用图1中B 级占35%，图2中B 级有21户，即可求解.（2）图1中，A 级、B 级共占50%，所以A 级占180的15%，即可求出α∠的度数；计算出C 级户数，即可补全图形；（3）用样本估计总体，按照样本中B 级人数的概率即可求出结果；（4）根据题意列出树状图，再根据概率公式进行计算即可.【详解】（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数为2135%60÷=（户）（2）15%36054α∠=⨯=C 级户数为60921921---=（户），条形图如下：（3）样本中B 级人数的概率为35% ，所以某县建档立卡贫困户有10000户，B 级人数有1000035%3500⨯=，所以有3500人.（4）根据题意画出树状图如下：由树状图可以看出，所有可能的结果共有20种，选中贫困户e 的结果有8种， 所以选中贫困户e 的概率为82205=. 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总计、频数、频率、总数之间的关系，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.属于中档题.16．已知关于x ，y 的方程组325233x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩的解都为正数. （1）当2a =时，解此方程组；（2）求a 的取值范围；（3）已知4a b +=，且0b >，23z a b =-，求z 的取值范围.【答案】（1）14x y =⎧⎨=⎩；（2）1a >；（3）78z -<<. 【解析】(1）利用加减消元法求解即可;(2）先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a 的不等式组解出即可;(3）根据题意得出b =4-a >0，即可得到1<a<4，代入z =2a -3b 得到z =5a -12，根据a 的取值可得结论.【详解】（1）当2a =时，方程组为3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②， ①2⨯+②得77x =，即1x =，把1x =代入①得，31y -=-，即4y =，此方程的解为14x y =⎧⎨=⎩； （2）解这个方程组的解为：12x a y a =-⎧⎨=+⎩， 由题意，得1020a a ->⎧⎨+>⎩， 则原不等式组的解集为1a >；（3）∵4a b +=，0b >，∴40b a =->，∵1a >，∴14a <<，∵2323(4)512,23a b a a a z a b -=--=-=-，故78z -<<.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程.17．已知E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE =，EFB FBC ∠=∠，求tan ABF ∠.【答案】35【解析】延长EF 交BC 的延长线于T ，设FB 的中点为O ，连TO ，则OT BF ⊥，四边形ABCD 是正方形，不妨设其边长为4，由BAF TOB ∽，得到AF BF OB BT = ，变形为22BF AF BT =⋅，设CT k =，再由DEF CET ∽，解得815k =，然后由tan ∠=AF ABF AB 求解. 【详解】如图，延长EF 交BC 的延长线于T ，设FB 的中点为O ，连TO ，则OT BF ⊥，∵四边形ABCD 是正方形，不妨设其边长为4，∴//,90AD BC A BOT ∠=∠=︒，∴AFB OBT ∠=∠，∴BAF TOB ∽，∴AF BF OB BT= ， ∵12OB BF =， ∴22BF AF BT =⋅，设CT k =，易证DEF CET ∽，∴3DF k =，43AF k =-，4BT k =+ ，∴224(43)2(43)(4)k k k ++=⨯-+， 21580k k -=，∴815k =或0（舍去）， ∴433tan 45AF k ABF AB -∠===， 【点睛】本题主要考查三角形相似以及比例性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．如图1，AB 是O 的直径，E 是AB 延长线上一点，EC 切O 于点C ，OP AO ⊥交AC 于点P ，交EC 的延长线于点D .（1）求证：PCD 是等腰三角形；（2）CG AB ⊥于H 点，交O 于G 点，过B 点作//BF EC ，交O 于点F ，交CG于Q 点，连接AF ，如图2，若3sin 5E =，5CQ =，求AF 值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】（1）连接OC ，根据EC 切O 于点C ，得到OC DE ⊥，则1390∠+∠=︒，同理2490∠+∠=︒，再由12∠=∠，34∠=∠，45∠=∠证明.（2）由图2，连接OC 、BC ，根据DE 与O 相切于点E ，得到90OCB BCE ∠+∠=︒，同理有90OBC BCE ∠+∠=︒，90OBC BCG ∠+∠=︒，得到BCE BCG ∠=∠，再由//BF DE ，得到BCE QBC ∠=∠，则5QC QB ==，由//BF DE ，得到ABF E ∠=∠，设O 的半径为r ，在OCH △中，由2228(4)r r =+-，解得r ，再由3sin 5ABF ∠=求解. 【详解】（1）连接OC ，∵EC 切O 于点C ，∴OC DE ⊥，∴1390∠+∠=︒，又∵OP OA ⊥，∴2490∠+∠=︒，∵OA OC =，∴12∠=∠，∴34∠=∠，又∵45∠=∠，∴35∠=∠，∴DP DC =，即PCD 为等腰三角形.（2）如图2，连接OC 、BC ，∴DE 与O 相切于点E ，∴90OCB BCE ∠+∠=︒，∵OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∴90OBC BCE ∠+∠=︒，又∵CG AB ⊥，∴90OBC BCG ∠+∠=︒，∴BCE BCG ∠=∠，∵//BF DE ，∴BCE QBC ∠=∠，∴BCG QBC ∠=∠，∴5QC QB ==，∵//BF DE ，∴ABF E ∠=∠， ∵3sin 5E =， ∴3sin 5ABF ∠=， ∴3OH =、4BH =，设O 的半径为r ，∴在OCH △中，2228(4)r r =+-，解得：10r =，又∵90AFB ∠=︒，3sin 5ABF ∠=， ∴12AF =.【点睛】本题主要考查平面几何的直线与直线，直线与圆的位置关系，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.19．已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点(1,),(2,10)P a Q a .（1）如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC 的面积.【答案】（1）2,15,14a b c ===；（2）1.【解析】（1）由点在二次函数上得出93b a =-，82c a =-，根据已知条件建立不等式组，解之可得答案；（2）设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得到方程()986mn m n -+=-， 由已知可求得m ，n .得到二次函数的解析式.可求得ABC 的面积.【详解】点(1,)P a 、(2,10)Q a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上， 故1b c a +-=，4210b c a +-=，解得93b a =-，82c a =-；（1）由8c b a <<得8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，解得13a <<， 又a 为整数，所以2,9315,8214a b a c a ==-==-=； （2）设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-， 消去a ，得()986mn m n -+=-，两边同时乘以9，得()817254mn m n -+=-，分解因式，得()()989810m n --=. 所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩或982985m n -=⎧⎨-=⎩， 解得12m n =⎧⎨=⎩或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 又∵m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =. 因此，()3,2b m n c mn =-+=-=-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.所以点A 、B 的坐标为()1,0和()2,0，点C 的坐标为()0,2， 所以ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，韦达定理的运用，属于中档题.。
2022-2023学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高一上学期期中联考数学试题
2022-2023学年福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高一上学期期中联考数学试题1.已知全集，集合，则（）A．B．C．D．2.设命题，则命题的否定是（）A．B．C．D．3.若，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．5.设，且，则（）A．B．C．D．6.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．7.下列比较大小正确的是（）A．B．C．D．8.已知函数，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知集合，则下列说法正确的是（）A．集合A的子集个数为16个B．集合C．D．10.设函数，则下列说法正确的是（）A．B．函数C．函数为奇函数D．函数的图像关于点中心对称11.已知，且，则（）A．B．C．D．12.已知函数的定义域为，且，则当时，，则下列说法正确的是（）A．函数是奇函数又为上的增函数B．函数，则C．若函数且，则D．若函数，则13.计算：_________.14.已知命题“”是真命题，则的取值范围是_________.15.设，则当__________时，取得最小值.16.已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．17.设的解集为，的解集为.(1)求集合和集合；(2)设实数集为，求.18.已知幂函数，且在区间上单调递减.(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，利用单调性定义证明：在上单调递减.19.已知集合,.(1)若,求实数的取值范围；(2)若,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.20.2022年8月9日，美国签署《2022年芯片与科学法案》，对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力.某企业原有400名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员最多有多少人？(2)为了激励研发人员的工作热情，企业决定：研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求满足条件的的最大值，并说明理由.21.已知________,且整数.①函数在定义域为上为偶函数;②函数在区间上的值域为.在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.22.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.(1)当时，求函数的不动点；(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；(3)在的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.。
福建省福州市福清市高中联合体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)
福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x >D. 00x ∃≥，00sin x x ≤3. 函数()f x x =是（ ） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减D. 偶函数，且在R 上单调递增4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（ ）A. B. 12-C.12D.25. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,56. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度D. 向右平移24π个单位长度7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（ ） A. 20CB. 20.5CC. 21CD. 21.5C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. 22a -≤≤B. 2a ≥-C. 2a ≤D. 22a -<<11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（ ） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在[],ππ-有2个零点D. ()f x 的最大值为212. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在()2018,2020上单调递增C. 4是函数()f x 的周期D. ()f x 在()2018,2020上单调递减第Ⅱ卷注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．14. 已知22tan 31tan αα=--，且α为锐角，则α=________．15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．16. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值： （1）(0312932224-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知函数()kf x kx x=-，且_______， （1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin cos 222αα-= （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间； （3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 取值范围．福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（解析版）（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B ，再根据交集定义直接得结果.【详解】因为{}()312B x x =-<=+∞，，又{}1,0,1,2,3A =-，所以{}3A B ⋂=， 故选：A.2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x > D. 00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3. 函数()f x x =是（ ） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减 D. 偶函数，且在R 上单调递增【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据函数的解析式判断单调性. 【详解】函数的定义域为R ，关于原点对称，又()(()f x x x f x -=-+=-+=-，所以()f x是奇函数，又,y x y ==R 上的增函数，所以()f x 是R 上的增函数， 故选：B4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义，求出sin α和cos α，再由二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，所以sin 2α==-，1cos 2α==-，因此1sin 22sin cos 22ααα⎛⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：D.5. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的零点存在定理求解.【详解】由函数()38ln f x x x =-+， 因为()()2ln 220,3ln310f f =-<=+>， 所以函数的零点所在区间应是()2,3 故选：B6. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度 D. 向右平移24π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用平移变换求解. 【详解】因为sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需由sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标向右平移24π个单位长度，故选：D 7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为55510log log 4log 514a >==->-=-，15110144b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4441log log 5log 415c ==-<-=-，所以b a c >> 故选：C8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（ ） A. 20C B. 20.5CC. 21CD. 21.5C【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出关于A 、a 的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令10x =可得结果.【详解】由题意可得sin 2923sin 172A a A a A a a A ππ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪+=-=⎪⎩，解得623A a =⎧⎨=⎩，所以，函数解析式为()6sin 3236y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， 在函数解析式中，令10x =，可得716sin236232062y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭. 因此，10月份的月均温为20C . 故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐一判断即可.【详解】对于A ，1y x x =+，当0x >时，12y x x =+≥=，当且仅当1x =时取等号；当0x <时，12y x x ⎛⎫=--+≤-=- ⎪-⎝⎭， 当且仅当1x =-时取等号，故A 不正确；对于B ，2y=≥=，当且仅当1x =时取等号. 对于C ，()2223122y x x x =++=++≥，当1x =-时，取最小值；对于D ，e e 2x x y -=+≥=，当且仅当0x =时取等号； 故选：BCD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. 22a -≤≤ B. 2a ≥- C. 2a ≤ D. 22a -<<【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，命题为真可得()240a ∆=--≤，求出a 的取值范围，再根据必要不充分条件即可求解. 【详解】由命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题，可得()240a ∆=--≤，解得22a -≤≤， 对于A ，22a -≤≤是命题为真的充要条件； 对于B ，由2a ≥-不能推出22a -≤≤，反之成立， 所以2a ≥-是命题为真的一个必要不充分条件； 对于C ，2a ≤不能推出22a -≤≤，反之成立， 所以2a ≤也是命题为真的一个必要不充分条件； 对于D ，22a -<<能推出22a -≤≤，反之不成立， 22a -<<是命题为真的一个充分不必要条件.故选：BC11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（ ） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C. ()f x在[],ππ-有2个零点 D. ()f x 的最大值为2【答案】BC 【解析】 【分析】分sin 0x ≥，sin 0x <，将函数转化(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，再逐项求解判断.【详解】当sin 0x ≥，即22k x k πππ≤≤+时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当sin 0x <，即222ππππ+<<+k x k 时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，A.因为函数定义域为R ，关于原点对称，又()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故错误；B.当,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 53,,42422x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故正确； C. 令()04f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则4x k ππ+=，因为[]0,x π∈，解得34x π=，又因为()f x 是偶函数，所以函数()f x 在[],ππ-有2个零点，故正确； D. ()f x，故错误； 故选：BC【点睛】关键点点睛：将函数变形为(),224,2224x k x k f x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭是本题求解的关键.12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在()2018,2020上单调递增 C. 4是函数()f x 的周期 D. ()f x 在()2018,2020上单调递减【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 由()1y f x =-的图象与()y f x =的图象关系判断；C.由()f x 满足()()4f x f x +=判断；BD.由对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，得到()f x 在[]0,2上递增，再结合函数的周期性判断.【详解】因为()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，所以()f x 是偶函数，故A 正确；()f x 满足()()4f x f x +=，所以4是函数()f x 的周期，故C 正确；因为对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在[]0,2上递增，又()()()()20182,20200f f f f == ，所以()f x 在()2018,2020上单调递减，故D 正确B 错误； 故选：ACD第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数每段的定义域求解.【详解】因为函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩所以()01f =， 所以()()()012ff f ==，故答案为：214. 已知22tan 1tan αα=-α为锐角，则α=________． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据二倍角的正切公式，求出tan2α，再由α为锐角，即可求出α.【详解】因为22tan tan 21tan ααα==-α为锐角，所以02απ<<， 因此223πα=， 所以3πα=.故答案为：3π.15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．【答案】2 【解析】 【分析】设出点(),2tA t ，根据题意可知//AB x 轴，从而可得出点B ，进而可得点C ，代入对数函数的解析式即可求解.【详解】设出点(),2tA t ，ABC 是直角三角形，且B ，C 两点关于x 轴对称，∴//AB x 轴，A 和B 纵坐标相同，2t x ∴=4t x ∴=，()4,2t t B ∴，则()4,2t t C -，C 在12log y x =的图象上，则12log 42t t=-，整理可得22t t -=-，()1t >，解得2t =. 故答案为：216. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________． 【答案】113-<<x【解析】 【分析】根据cos y x =和y x =-的单调性，又 cos 1π=-，得到()f x 在 [0,)+∞上递减，再根据()f x 是偶函数，将不等式()()12f x f x +<转化为()()12fx f x +<求解.【详解】当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩当01x ≤<时， 0x ππ≤<，因为 cos y x =在 []0,π上递减，所以 ()f x 在 [0,1)上递减，当1≥x 时，y x =-递减，又 cos 1π=-，所以()f x 在 [0,)+∞上递减， 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 则不等式()()12f x f x +<可化为：()()12f x f x +<，所以12x x +>， 解得113-<<x ， 故答案为：113-<<x四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值： （1）(03129324-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 【答案】（1）3；（2）1. 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式=33=+=（2）原式51lg 25lg 2log (3)15lg 2lg5=⨯+⨯ 152lg5lg 2log 5lg 2lg5-=+⨯ 12=-+ 1=.18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|4x x ；（2）()2,+∞. 【解析】 【分析】（1）由2a =得到{}|1A x x =>-，再利用集合的补集和并集运算求解. （2）化简|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}|14B x x=-，再由B A ⊆求解.【详解】（1）当2a =时，集合{}|1A x x =>-，{}|1UxA x -=,因为()(){}|140B x x x =+-，所以{}|14B x x=-， 所以{}()|4U A B x x=.（2）因为{}|20A x x a =+>， 所以|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 由（1）知，{}|14B x x=-，又因为B A ⊆，所以12a-<-， 解得2a >，所以实数a 的取值范围()2,+∞.19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知函数()kf x kx x=-，且_______，（1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性； （2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】选择①1k =-，可得1()f x x x =-，选择②1k =，可得1()f x x x=-. （1）使函数()f x 有意义，只需0x ≠；再求出()f x -与()f x 的关系即可求解. （2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. 【详解】选择①1k =-，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-. （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以()f x 为奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数． 证明如下： 12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 121212()x x x x x x -=-+12121()1)x x x x =-+（ ()121212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，1210x x +>， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在区间(0,)+∞为增函数； 同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为增函数；所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数． 选择②1k =，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-． （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以()f x 奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数． 证明如下：12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 212112()x x x x x x -=+- 21121()1x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()211212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >，1210x x +>， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数()f x 在区间(0,)+∞为减函数； 同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为减函数； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 【答案】（1）；（2. 【解析】 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sincos222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos 2α==-.（2）由（1）知，1sin ,cos 2αα==， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-，所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯， 【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 【答案】长为14米，宽为14米；196平方米. 【解析】 【分析】先设泳池的长为x 米，宽为y 米，列出式子，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：设游泳池的长为x 米，宽为y 米，则场地长为(4)x +米，宽为(4)y +米，()1000,0xy x y =>>，(4)(4)S x y =++ 4()16xy x y =+++ 100164()x y =+++ 1164()x y =++1168xy ≥+11680=+196=，当且仅当“10x y ==”时取等号．∴当10x y ==时，S 取得最小值为196平方米，此时场地长为14米，宽为14米.22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间；（3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）对称轴方程为()31x k k Z =+∈，递增区间为[]()62,61k k k -+∈Z ；（3）[1,2]．【解析】 【分析】（1）由[]0,6x ∈，计算出36x ππ+的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）解方程()362x k k Z ππππ+=+∈可得出函数()f x 的对称轴方程，解不等式()222362k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈可得函数()f x 的单调递增区间；（3）利用（1）中的图象结合()12f x ≤≤可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,6x ∈时，13,3666x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 列表如下：x0 1 524112636xππ+6π2ππ32π2π136πy 1 2 0 2-0 1作图如下：（2）因为()2sin36f x xππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()362x k k Zππππ+=+∈，解得()31x k k Z=+∈，令()222362k x k k Zππππππ-≤+≤+∈，解得()6261k x k k Z-≤≤+∈，所以()f x的对称轴方程为()31x k k Z=+∈，递增区间为[]()62,61k k k-+∈Z；（3）[]0,x m∈，,36636mxπππππ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，又()12f x≤≤，由（1）的图象可知，12m≤≤，m∴的取值范围是[]1,2．【点睛】方法点睛：函数()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法：（1）五点法：用“五点法”作()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的简图，主要是通过变量代换，设z xωϕ=+，由z取0、2π、π、32π、2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；（2）三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|4}A x x =>，{|2}B x x ，则A B =（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (2,4)D. (,4)-∞【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】{|{|2}4}{|4}x A B x x x x x =>>=>故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.sin(600)-︒的值是（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒= 故选C ．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3.下列各函数的值域与函数y x =的值域相同的是（ ） A. 2yxB. 2xy =C. sin y x =D.2log y x =【答案】D 【解析】 【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断. 【详解】函数y x =的值域为R20y x =≥，20x y =>则A ，B 错误；函数sin y x =的值域为[]1,1-，则C 错误； 函数2log y x =的值域为R ，则D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数42,0,()log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩则((1))f f -=（ ）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】分别计算(1)f -，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得出答案.【详解】121(1)2f --==，241211log log 12222f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以1((1))2f f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题. 5.函数log ||()(1)||a x x f x a x =>图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，取特殊值排除C ，即可得出答案. 【详解】log ||log ||()()||||a a x x x x f x f x x x ---==-=--所以函数()f x 为奇函数，故排除BD.log ||()10||a a a f a a ==>，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置01(,22P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A. sin(),03y t t π=+≥ B. sin(),06y t t π=+≥ C. cos(),03y t t π=+≥D. cos(),06y t t π=+≥【答案】A 【解析】当时间为t 时，点P 所在角的终边对应的角等于3t π+, 所以点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为sin(),03y t t π=+≥.8.已知函数()f x 为定义在(0,)+∞的增函数，且满足()()()1f x f y f xy +=+.若关于x 的不等式(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a >- B. 14a >-C. 1a >D. 2a >【答案】D 【解析】 【分析】将题设不等式转化为2(cos )(cos )f x f a x <+，根据函数()f x 的单调性解不等式得出2cos cos x a x <+，通过换元法，构造函数2()g x t t =-，[]1,1t ∈-求出最大值，即可得到实数a 的取值范围.【详解】(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+(1sin )(1sin )(cos )(1)f x f x f a x f ∴-++<++因为()()()2(1sin )(1sin )1sin 1sin 1(cos)1f x f x fx x f x -++=-++=+，(cos )(1)(cos )1f a x f f a x ++=++所以2(cos )(cos )f x f a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立故2cos cos x a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立，即2cos cos x x a -<在(0,)x ∈+∞恒成立 令[]cos ,1,1x t t =∈-，则22()cos cos g x x x t t =-=-所以函数2()g x t t =-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)2(1)0g g -=>= 所以2a > 故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是（ ）A. 1-B.12C. 1D. 3【答案】CD 【解析】 【分析】求出对应α值函数y x α=的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当α的值为11,2-时，函数y x α=的定义域分别为()(),00,-∞+∞，[)0,+∞当1α=时，函数y x =的定义域为R ，令()f x x =，()()f x x f x -=-=-，则函数y x =为R 上的奇函数当3α=时，函数3y x =的定义域为R ，令3()f x x =，3()()f x x f x -=-=-，则函数3y x=为R 上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题. 10.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动5π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B. 向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可. 【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度，得到函数n 5si y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度，得到25sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数()sin(cos )f x x =，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的一个周期为2πC. ()f x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 在[]0,π单调递增【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A ，B 选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C 选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D 选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称()()()()sin cos sin cos ()f x x x f x -=-==，则函数()f x 偶函数，故A 正确；()()()sin co 22s sin cos ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 的一个周期为2π，故B正确；令[]cos ,1,1t x t =∈-，则()sin f x t =，由于函数sin y t=[]1,1-上单调递增，则()sin 1()sin1sin1()sin1f x f x -≤≤⇒-≤≤，故C 正确；当[]0,x π∈时，函数cos t x =为减函数，由于[]cos 0,1t x =∈，则函数sin y t =在0,1上为增函数，所以函数()f x 在[]0,π单调递减，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数B. 若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C. ()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D. 若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅= 所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题. 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数()1xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________【答案】()0,2 【解析】分析：根据指数函数xy a =过()0,1可得结果.详解：由指数函数的性质可得xy a =过()0,1，所以1xy a =+过()0,2，故答案为()0,2.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 14.已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【答案】6π 【解析】 【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为r 由扇形的面积公式得：216212r ππ=⨯，解得2r该扇形的弧长为2126ππ⨯=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题. 15.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______；【答案】[2] 【解析】 【分析】由x 的范围，确定23x π-的范围，利用换元法以及正弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦令22,333t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2sin g t t =在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减2si ()(n 33)g ππ--==2si 2()2n 2g ππ==， 222sin (3)3g ππ==所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2]故答案为：[2]【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题. 16.已知函数1()f x x=，()2sin g x x =，则函数()f x 图象的对称中心为_____，函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为____. 【答案】 (1). (0,0) (2). 0 【解析】 【分析】判断函数()f x ，()g x 为奇函数，即可得出函数()f x ，()g x 图象的对称中心都为原点； 根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和. 【详解】1()()f x f x x-=-=-，则函数()f x 为奇函数，即函数()f x 图象的对称中心为(0,0) ()()2sin 2sin ()g x x x g x -=-=-=-，则函数()g x 为奇函数，即函数()g x 的对称中心为(0,0)所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点都关于原点对称 即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0 故答案为：(0,0)；0【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知α为锐角，且3cos 5α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos sin(2)2παπα⎛⎫-+-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）-7（2）4425【解析】 【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出tan α，再利用两角和的正切公式求解即可； （2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为α为锐角，且3cos 5α=. 所以24sin 1cos 5αα， 所以sin 4tan cos 3ααα==， 所以41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯. （2）因为cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， sin(2)sin 2παα-=，所以cos sin(2)sin sin 22παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭sin 2sin cos ααα=+4432555=+⨯⨯ 4425= 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题. 18.已知集合{}|2216xA x =<<，{|sin 0,(0,2)}B x x x π=>∈. （1）求AB ；（2）集合{|1}C x x a =<<()a ∈R ，若AC C =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|04}A B x x ⋃=<<（2）4a 【解析】 【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合,A B ，再求并集即可；（2）由题设条件得出C A ⊆，分别讨论集合C =∅和C ≠∅的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意{|14}A x x =<<，{|0}B x x π=<<，所以{|04}A B x x ⋃=<<. （2）因为AC C =，所以C A ⊆.①当C =∅时，1a ，满足题意；②当C ≠∅时，1a >，因为C A ⊆，得4a ≤，所以14a <； 综上，4a .【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）最小正周期为π.（2）单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】 【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调增区间和减区间求()f x 的单调区间，即可得出第二问. 【详解】解：因为2()2sin 2sin cos f x x x x =+⋅22sin sin 2x x =+1cos2sin2x x =-+ sin2cos21x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由222,242k x k k πππππ-+-+∈Z ，得3222,44k x k k ππππ-++∈Z ， 即3,88k xk k ππππ-++∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，同理可得，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题. 20.已知2()1x af x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求a 与b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若[0,2)απ∈时，试比较(sin )f α与(cos )f α的大小.【答案】（1）0a =. 0b =.（2）()f x 在[1,1]-单调递增.见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-，求解方程，即可得出a 与b 的值； （2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论α的取值使得sin cos αα=，sin cos αα<，sin cos αα>，结合函数()f x 的单调性，即可得出(sin )f α与(cos )f α的大小.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，得0a =.又由(1)(1)f f -=-，得到1122b b -=--+，解得0b =. （2）由（1）可知2()1xf x x =+，()f x 在[1,1]-上为增函数.证明如下：任取12,[1,1]x x ∈-且设12x x <， 所以()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++ ()()()()122112221211x x x x x x x x -+-=++()()()()21122212111x x x x xx --=++由于12x x <且12,[1,1]x x ∈-，所以210x x ->，且2110x x -<，又2110x +>，2210x +>，所以()()()()211222121011x x x x xx --<++，所以()()12f x f x <，从而()f x 在[1,1]-单调递增. （3）当4πα=或54πα=时，sin cos αα=，所以(sin )(cos )f f αα=；当04πα<或524παπ<<时，sin cos αα<， 又因为sin [1,1]α∈-，cos [1,1]α∈-，且()f x 在[1,1]-上为增函数，所以(sin )(cos )f f αα<当544ππα<<时，sin cos αα>，同理可得(sin )(cos )f f αα>； 综上，当4πα=或54πα=时，(sin )(cos )f f αα=；当50,,244ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα<；当5,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα>.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： .（1）设港口在x 时刻的水深为y 米，现给出两个函数模型：sin()(0,0,)y A x h A ωϕωπϕπ=++>>-<<和2(0)y ax bx c a =++≠.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出7x =时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【解析】 【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合，由表格数据得出,,,A h ωϕ的值，将7x =代入解析式求解即可； （2）由题意 5.5y 时，船可以进港，解不等式2.5sin4.255.56x π+，得出x 的范围，由x的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间. 【详解】解：（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 4.25h =6.75 1.752.52A -==因为12T =，所以22126T πππω===， 所以 2.5sin 4.256y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为0x =时， 4.25y =，代入上式得sin 0ϕ=，因为πϕπ-<<，所以0ϕ=， 所以 2.5sin4.256y x π=+.当7x =时，712.5sin4.25 2.5 4.25362y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以在7x =时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是4 1.5 5.5+=米， 所以 5.5y 时，船可以进港， 令2.5sin4.255.56x π+，则1sin62xπ， 因为024x <，解得15x 或1317x ，所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为(51)(173)8-+-=，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题. 22.已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞. （ⅰ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 取值范围.【答案】（1）2()log f x x =（2）（ⅰ）[0,)+∞.（ⅱ）1k = 【解析】 【分析】（1）利用换元法以及(2)1f =，即可求解()f x 的解析式；（2）（ⅰ）解不等式412x +≥，即可得出()41xf +的定义域；（ⅱ）根据()41xf +，()2x f k k ⋅+的定义域得出1k ，结合函数()f x 的解析式将方程化为()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，利用换元法得出2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k 的取值范围.【详解】解：（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =， 因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==， 所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯= （2）（ⅰ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞， 所以412x +≥，解得0x ， 所以()41xf +的定义域为[0,)+∞.（ⅱ）因为0,22,x x k k ⎧⎨⋅+⎩，所以221xk +在[0,)+∞恒成立， 因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+最大值为1，所以1k .又因为()()412xxf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2xxk k x +-⋅+=， 化简得()2(1)2210xx k k -⋅+⋅-=，令2(1)xt t =，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根， 令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x =，得0x =符合题意，所以1k =； 当1k >时，2440k k ∆=+->，所以只需(1)220g k =-，解得1k ，因为1k >，所以此时无解； 综上，1k =.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.。
福建省连城县第一中学2020-2021学年高一上学期月考(一)数学试题
福建省连城县第一中学2020-2021学年高一上学期月考（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2|20P x x x =-≥ ，{}|12Q x x =<≤ ，则()RP Q 等于（ ）A ．[)0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．[]1,22．函数()0f x =的定义域是（ ）A ．333,,222⎛⎫⎛⎤-∞-⋃- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B ．333,,222⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+B ．0y x =和()1y x R =∈C ．2yx 和()21y x =+D ．y=y =4．已知函数()f x 在R 上单调递减，若()()4f a f a +≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ B ．(],2-∞- C ．()2,-+∞ D ．(),2-∞-5．若0,0x y >>，且281x y+=，则xy 有（ ） A ．最大值64 B ．最小值164C ．最小值64D ．最小值126．设m 为给定的一个实常数，命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥，则“3m ≥”是“命题p为真命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．关于x 的不等式0ax b -<的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式()()30ax b x +->的解集是( )A ．()(),13,-∞-+∞B ．()1,3C ．()1,3-D ．()(),13,-∞⋃+∞8．已知函数()()()()()()()()()2,32,2,,,g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ⎧≥⎪=-=-=⎨≥⎪⎩则（ ） A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x 的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为1- 9．下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的 充 分不 必 要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件10．已知集合()(){}221110A x a x a x =-+++=中有且仅有一个元素，那么a 的可能取值为（ ） A ．1-B ．1C ．53D ．011．（多选题）下列表达式的最小值为2的有（ ） A ．当1ab =时，+a b B ．当1ab =时，b a a b+ C ．223a a -+D12．已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为R B ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．若()3f x =，则xD ．()1f x <的解集为(1,1)-13．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________14．已知()224,f x x x +=-则()f x ＝________．15．若对任意x >0，231xx x ++≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 16．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数()()1,221,x x A x x Bf x ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩. （1）56f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______；（2）若()f f t A ∈⎡⎤⎣⎦，则t 的取值范围是______. 17．设全集U =R ，集合302x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x =≥，{}23C x a x a =≤≤+.（1）求U C A 和AB ；（2）若A C A ⋃=，求实数a 的取值范围. 18．设函数()230y axbx a =++≠（1）若不等式230ax bx ++>的解集为()1,3-，求,a b 的值； （2）若1,0,0a b a b +=>>，求14a b+的最小值 19．已知二次函数()f x 满足()()02,1()2 1.f f x f x x =+-=- （1）求函数()f x 的解析式及单调区间；（2）当[]1,2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值20．某市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x (单位：百万元)的函数()M x 单位：百万元)：()50050;10M x x=-+处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x (单位：百万元)的函数()N x (单位：百万元)：()0.2N x x = （1）设分配给植绿护绿项目的资金为x (百万元)，则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y ，写出y 关于x 的函数解析式和定义域；（2）求出y 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 21．已知函数()()211f x ax a x =+--(a ∈R )．（1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若函数()f x 在[)2,+∞是单调函数，求实数a 的取值范围．22．已知函数ky x x=+有如下性质：如果常数0k >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（1）用定义法证明：函数(0)ky x k x=+>在(上是减函数； （2）若函数()24123,21x x f x x --=+()2g x x a =--，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12g x f x <成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【解析】 【分析】先解不等式，化简集合P ，求出RP ，再和Q 求交集，即可得出结果.【详解】由220x x -≥得2x ≥或0x ≤，则{2P x x =≥或}0x ≤，因此{}02RP x x =<<；又{}|12Q x x =<≤，则(){}12RP Q x x ⋂=<<.故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2．B 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零、分式分母不为零、0y x =中{}0x x ≠，求解出x 的取值范围即可得到函数定义域. 【详解】由条件可知：320230x x ->⎧⎨+≠⎩，所以3232x x ⎧<⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩，所以定义域为333,,222⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查具体函数的定义域求解，难度较易.求解具体函数的定义域时需要注意：偶次根式被开方数大于等于零、分式分母不为零、0y x =中{}0x x ≠、对数的真数大于零、tan y x=中,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭等.3．D 【解析】 【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断. 【详解】A. 1y x =-的定义域为R ，211x y x -=+的定义域为{}|1x x ≠-，故错误；B. 0y x =和定义域为{}|0x x ≠，y =1定义域为R ,故错误；C. 2yx 和()21y x =+解析式不同，故错误；D.2()1f xx==，定义域为{}0x x >，()1g x ==，定义域为{}0x x >，故正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查相等函数的判断，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】由已知条件中函数的单调性列出不等式，可得选项. 【详解】因为函数()f x 在R 上单调递减，()()4f a f a +≥-，所以4a a +≤-，解得2a ≤-， 故选：B. 【点睛】本题考查运用函数的单调性求解抽象不等式的问题，属于基础题. 5．C 【解析】因为0,0x y >>，所以28 164xy x y +=≥=⇒≥，当且仅当4x =，16y =时取等号，故选C.6．A 【解析】 【分析】由2:,420p x R x x m ∀∈-+≥为真命题，可得0∆≤，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥，若命题p 为真命题，则0∆≤，即1680m -≤，解得2m ≥，32m m ≥⇒≥，反之不成立，所以“3m ≥”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件、一元二次不等式恒成立，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 7．C 【解析】关于x 的不等式0ax b -<,即ax b <的解集是()1,,0a b +∞∴=<，∴不等式()()30ax b x +->,可化为()()130x x +-<，解得13x ，∴所求不等式的解集是()1,3-,故选C.8．C 【解析】 【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值，所以由232||2x x x -=-得2x =+2x =-结合函数图象可知当2x =-()F x 有最大值7-，无最小值． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力，这是一道创新性较强的试题，属于中档题． 9．ABD 【解析】 【分析】选项A:先判断由1a >,能不能推出11a <,再判断由11a<,能不能推出1a >,最后判断本选项是否正确；选项B: 根据命题的否定的定义进行判断即可.选项C:先判断由2x ≥且2y ≥能不能推出224x y +≥,然后再判断由224x y +≥能不能推出2x ≥且2y ≥,最后判断本选项是否正确；选项D:先判断由0a ≠能不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确. 【详解】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由11a<,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的； 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的； 选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.故选ABD 【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题. 10．BC 【解析】 【分析】讨论二次项系数210a -=或210a -≠，当210a -≠时，0∆=即可求解. 【详解】()()221110ax a x -+++=当210a -=时，即21a =，解得1a =±， 当1a =时，代入方程解得12x =，满足题意； 当1a =-时，方程无解，不满足题意；当210a -≠时，即1a ≠±，0∆=，即()()221410a a +--=，整理可得()()3510a a -+=，解得53a =，满足题意； 故选：BC 【点睛】本题考查了由集合元素个数求参数值，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 11．BC 【解析】【分析】根据基本不等式及二次函数性质判断． 【详解】解：①对选项A ，当,a b 均为负值时，0a b +<，故最小值不为2; ②对选项B ，因为1ab =，所以,a b 同号，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅b a a b =，即1a b ==±时取等号，故最小值为2;③对选项C ，2223(1)2a a a -+=-+，当1a =时，取最小值2;④对选项D2≥=，=，即221a +=时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2. 故选：BC ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等需同时满足才能确定最值． 12．BC 【解析】 【分析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A 、 B 的正误，再分段求C 、D 中对应的方程的解和不等式的解后可判断C 、D 的正误． 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(,2)-∞，故A 错误； 当1x ≤-时，()f x 的取值范围是(,1]-∞ 当12x -<<时，()f x 的取值范围是[0,4)， 因此()f x 的值域为(,4)-∞，故B 正确；当1x ≤-时，23x +=，解得1x =（舍去)，当12x -<<时，23x =，解得x x =，故C 正确；当1x ≤-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得-11x -<<， 因此()1f x <的解集为(,1)(1,1)-∞--，故D 错误.故选：BC ． 【点睛】本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题． 13．1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解． 14．x 2－8x ＋12 【解析】 【分析】利用换元法，令2t x =+，代入即可得到()f x 解析式.【详解】 令2t x =+，则2x t =-，()()()22242812f t t t t t ∴=---=-+，()2812f x x x ∴=-+.故答案为：2812x x -+. 【点睛】本题主要考查了复合函数解析式的求法，采取的方法一般是利用换元法来解决，属于基础题． 15．[15，＋∞）. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：因为x >0，所以21113153x x x x x =≤=++++， 当且仅当1(0)x x x =>即1x =时等号成立，故a 的取值范围是15a ≤， 即1,5a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭考点：不等式的恒成立． 16．56 15,48⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得5()6f 的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，按t 的取值范围分情况讨论，分析()f t 的取值范围，求出[()]f f t 的解析式，据此分析[()]f f t A ∈的解集，即可得答案．【详解】（1）根据题意，1,()22(1),x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，即11,022()12(1),12x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩， 则551()2(1)663f =-=，则51115[()]()63326f f f ==+=；（2）根据题意，分2种情况讨论：①、当t A ∈时，1()2f t t =+，则有1()12f t <，此时1[()]2(1())22()122f f t f t t t =-=-+=-， 若[()]f f t A ∈，即10122t -<，解可得：1142t <， 此时t 的取值范围为1(4，1]2；②、当t B ∈时，()2(1)f t t =-，则有0()2(1)1f t t =-， 其中当314t 时，10()2f t ，此时15[()]()222f f t f t t =+=-，若[()]f f t A ∈，即510222t -，解可得：514t ，舍去 当1324t <时，1()12f t <，此时[()]222(1)42f f t t t =-⨯-=-，若[()]f f t A ∈，即10422t -<，解可得：1528t <， 此时t 的取值为1[2，5)8；综合可得：t 的取值范围为1(4，5)8．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，分类讨论是解决本题的关键.17．(1) {}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< (2) >3a 或10a -<< 【解析】 【分析】（1）先解出A ，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据题意可得C ⊆A 可讨论C 是否为空集，从而可求出实数a 的取值范围． 【详解】（1）{}23A x x =-<<，{}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< （2）由A C A ⋃=知C A ⊆当23a a >+时，即>3a 时，=C ∅，满足条件；当23a a ≤+时，即3a ≤时，22a >-且33a +<，10a ∴-<< 综上，>3a 或10a -<< 【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义．考查了分类讨论的数学思想，属于中档题. 18．（1）1,2a b =-⎧⎨=⎩；（2）9．【解析】 【分析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由1a b +=，将所求变形为1(4)()a ba b ++展开，整理为基本不等式的形式求最小值． 【详解】解析：（1）∵不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为(－1，3)，∴－1和3是方程ax 2＋bx ＋3＝0的两个实根， 从而有309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,2a b =-⎧⎨=⎩．（2）∵a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴1a ＋4b ＝14a b ⎛+⎫ ⎪⎝⎭ (a ＋b )= 5＋b a＋4a b ≥5＋＝9，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立， ∴14a b+的最小值为9． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，运用基本不等式求最值，属于中档题．19．（1）f （x ）＝x 2－2x ＋2；f （x ）单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)；（2）最大值5，最小值1． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）结合()f x 的单调性可得出答案. 【详解】（1）设函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 由f （0）＝2，得c ＝2， 又f (x ＋1)－f （x ）＝2x －1， 得2ax ＋a ＋b ＝2x －1 故221a ab =⎧⎨+=-⎩解得：a ＝1，b ＝－2．所以f （x ）＝x 2－2x ＋2．f （x ）＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1函数f （x ）图象的对称轴为x ＝1，且开口向上， 所以f （x ）单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． （2）f （x ）＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 对称轴为x ＝1∈[－1，2]， 故()()min 11f x f ==， 又f (－1)＝5，f （2）＝2， 所以()()max 15f x f =-= 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式和二次函数的最值问题，考查了学生对基本知识的掌握情况，较简单. 20．（1）50070105x y x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭，[]0,100x ∈；（2）y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为()100x -百万元，由此可得()N x ，再将()N x 与()M x 相加可得y ，再写出定义域即可. （2）将50070105x y x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭变形后利用基本不等式可得最大值以及取得最大值的条件.【详解】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为()100x -百万元， 所以()()0.2100N x x =-， 所以()500500.210010y x x=-+-+，()0,100x ∈．（2）由（1）可得，()500500500.21007010105x y x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭72722052≤-=-=， 当且仅当50010x +＝105x+，即40x =时等号成立， 此时1001004060x -=-=，所以y 的最大值为52百万元，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40百万元，60百万元．【点睛】本题主要考查了函数的应用，基本不等式求最值，属于中档题. 21．（1）分类讨论，答案见解析；（2）(]1,0,5⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】 【分析】（1）将二次不等式因式分解，讨论a 的范围可得到解集；（2）分0a =和0a ≠两种情况，根据一次函数和二次函数的单调性可得答案. 【详解】（1）由已知得()()+110x ax ->，①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1． ②当a >0时，不等式可化为1x a ⎛⎫-⎪⎝⎭(x ＋1)>0，解得x <－1或x >1a ． ③当a <0时，不等式可化为1x a ⎛⎫-⎪⎝⎭(x ＋1)<0．若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1； 若1a＝－1，即a ＝－1，则不等式的解集为空集； 若1a >－1，即a <－1，则－1<x <1a． 综上所述，当a <－1时，不等式的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当a ＝－1时，不等式解集为∅； 当－1<a <0时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)； 当a >0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当0a =时，()1f x x =--是单调递减的函数，满足题意， 当0a ≠，若函数()f x 在[)2,+∞是单调函数，则需122a a --≤，解得0a <或15a ≥ ， 综上所述：a 的取值范围：(]1,0,5⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集. 属于中档题. 22．（1）证明见解析；（2）a>32． 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义可证明结论；（2）由已知得当[]0,1x ∈时，()()max max f x g x <，由()2412342182121x x x x x f x --=++-++=2412321x x x --+，设21u x =+，利用（1）可得函数的单调性，求得答案.【详解】（1）证明：设(12,,x x ∀∈，且12x x <有121212()()k k y y x x x x -=+-+()1212()k kx x x x =-+-()211212()k x x x x x x -=-+()12121k x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()121212x x k x x x x -=-, (12,x x ∀∈,12x x k ∴<,120x x k ∴-<，12x x <，120x x ∴-<，()1212120x x kx x x x -∴->，12y y ∴> ∴函数(0)ky x k x=+>在(上是减函数， （2）由题意得，当[]0,1x ∈时，()max max ()g x f x ∴< ，又()2412342182121x x x x x f x --=++-++=，设[]21,0,1u x x =+∈，则13u ≤≤， 则[]48,1,3y u u u=+-∈． 由已知性质得，当12u ≤≤，即102x ≤≤时，()f x 单调递减； 当23u ≤≤，即112x ≤≤时，()f x 单调递增， 由()()11103,4,123f f f ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，max ()3f x ∴=-，()[]2,0,1g x x a x =--∈为减函数，故()[]12,2g x a a ∈---，23a ∴-<- ，所以32a >. 【点睛】本题考查运用函数的单调性的定义证明函数的单调性，利用函数的单调性求得函数的最值，解决任意和存在的问题，属于较难题.。
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题(含答案解析)
集合 A 是由小于 3 的自然数组成，0 A ， 1 A，只有 C 正确，
故选：C．
2．D
【分析】
利用特称命题的否定可得出结论.
【详解】
命题 p 为特称命题，该命题的否定为： x 0， x ex .
故选：D.
3．A
【分析】
利用对数函数的单调性得出 c 0 ，利用指数函数单调性可得出 a 、b 、 0 的大小关系，综合
绝密★启用前
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合 A x N x 3 ，则（ ）
A． 0 A
B． 1 A
C．0 A
D．1 A
2．设命题 p ： x 0 ， x ex ，则 p 的否定为（ ）
主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比
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商
9．ABD
【分析】
由诱导公式和商数关系可得．
【详解】
∵ tan 3sin ，∴ sin 3sin ，
cos 若 sin 0 ，则 cos 1或 1， 若 sin 0 ，则 cos 1 ．
p2
2 p1 p2 p1 p2
p1 p2 2 4 p1 p2 2 p1 p2
p1 p2 2 2 p1 p2
0 ，所以，
p1 2
p2
2 p1 p2 p1 p2
.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的
福建省福州市第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 答案和解析
福建省福州市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎛ ⎝⎭，则sin cos αα-=（ ）A ．BC ．5D ． 2．一钟表的秒针长12cm ，经过25s ，秒针的端点所走的路线长为（ ） A ．10cmB ．14cmC ．10cm πD ．14cm π3．函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()27,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 4．已知平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为()4,6A 、()2,1B -、()4,1C -，G 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()13AG AB AC =+，则G 点的坐标为（ ） A ．()2,2B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,45．sin4，4cos ，tan4的大小关系是（ ） A ．sin4tan4cos4<< B ．tan4sin4cos4<< C ．cos4sin4tan4<<D ．sin4cos4tan4<<6．将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数22sin y x =-的图象，那么ϕ可以取的值为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()0f x f x π++=，且当()0,x π∈时，()sin f x x =，则233f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ． D二、多选题8．下列关于函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的相关性质的命题，正确的有（ ） A ．()f x 的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭ D ．()f x 的对称中心是(),028k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ 9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC C ．a b⊥D ．()6a b BC +⊥10．以下函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调增函数的有（ ）A ．sin cos y x x =+B ．sin cos y x x =-C ．sin cos y x x =D ．sin cos xy x=11．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形三、填空题12．已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1sin cos αα=________.13．已知tan 2α=，()tan αβ+=tan β=_________. 14．已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______.四、双空题15．已知O 为ABC ∆的外心，6AB =，10AC =，AO x AB y AC =+，且263x y +=；当0x =时，cos BAC ∠=______；当0x ≠时，cos BAC ∠=_______.五、解答题16．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.17．已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（Ⅰ）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）请描述如何由函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 18．某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()16cos1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于17C ，则在哪个时间段实验室需要降温？ 19．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()f x 图象上两相邻对称轴之间的距离为2π；_______________； （Ⅰ）在①()f x 的一条对称轴3x π=-；②()f x 的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭；③()f x 的图象经过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（Ⅱ）若动直线[]()0,x t t π=∈与()f x 和()cos g x x x =的图象分别交于P 、Q 两点，求线段PQ 长度的最大值及此时t 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，4AB =，2BC =，60ABC ∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上（含端点），且BE mBC =，DF nDC =且（m 、n 为常数），设AB a =，BC b =.（Ⅰ）试用a 、b 表示AE 和AF ； （Ⅱ）若1m n +=，求AE AF ⋅的最小值. 21．已知函数()()()()22f x x m x m R =-+∈.（Ⅰ）对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数m 取最小值时，讨论函数()()2cos 15F x f x a =+-在[)0,2x π∈时的零点个数.参考答案1．A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义得出sin α和cos α的值，由此可计算出sin cos αα-的值. 【详解】由三角函数的定义得cos α=，sin α=，因此，sin cos αα-=故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案. 【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2552606ππ⨯=， 因此，秒针的端点所走的路线长()512106cm ππ⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【分析】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得出函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间. 【详解】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：D. 【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题. 4．A 【分析】设点G 的坐标为(),x y ，根据向量的坐标运算得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数，可得出点G 的坐标. 【详解】设点G 的坐标为(),x y ，()6,5AB =--，()0,7AC =-，()4,6AG x y =--，()()()1160,572,433AG AB AC =+=-+--=--，即4264x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，因此，点G 的坐标为()2,2. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【分析】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出sin4、4cos 、tan4的大小关系. 【详解】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则sin MP α=，cos OM α=，tan AT α=，其中虚线表示的是角54π的终边， 544π>，则0MP OM AT <<<，即sin4cos4tan4<<. 故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 6．B 【分析】写出平移变换后的函数解析式，将函数22sin y x =-的解析式利用二倍角公式降幂，化为正弦型函数，进而可得出ϕ的表达式，利用赋特殊值可得出结果. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为()sin 221y x ϕ=+-，22sin cos 21sin 212y x x x π⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，()222k k Z πϕπ∴=+∈，解得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求参数，解题的关键就是结合图象变换求出变换后所得函数的解析式，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】先推导出函数()y f x =的周期为2π，可得出2333f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用函数()y f x =的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，且()()0f x f x π++=，()()f x f x π∴+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以，函数()y f x =的周期为2π，则23sin 33332f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题. 8．AC 【分析】分别求出函数()y f x =的定义域、最小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误. 【详解】对于A 选项，令()242x k k Z πππ+≠+∈，解得()28k x k Z ππ≠+∈， 则函数()y f x =的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A 选项正确； 对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为2π，B 选项错误； 对于C 选项，令()2242k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得()32828k k x k Z ππππ-<<+∈， 则函数()y f x =的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，令()242k x k Z ππ+=∈，解得()48k x k Z ππ=-∈， 则函数()y f x =的对称中心为(),048k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题. 9．ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．BD 【分析】先利用辅助角、二倍角以及同角三角函数的商数关系化简各选项中的函数解析式，然后利用正弦函数和正切函数的单调性判断各选项中函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以，函数sin cos y x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调；对于B 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，函数sin cos y x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 对于C 选项，1sin cos sin 22y x x x ==，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈， 所以，函数sin cos y x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 对于D 选项，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan cos x y x x ==，所以，函数sin cos x y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BD. 【点睛】本题考查三角函数单调性的判断，解题的关键就是将三角函数解析式化简，并利用正弦、余弦和正切函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题. 11．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 12．52【分析】利用诱导公式化简等式()()sin 2cos 0παπα-++=，可求出tan α的值，将所求分式变形为221sin cos sin cos sin cos αααααα+=，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，将所求分式转化为只含tan α的代数式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2cos 0παπα-++=，sin 2cos 0αα∴-=，tan 2α∴=，因此，22221sin cos tan 1215sin cos sin cos tan 22αααααααα+++====.故答案为：52. 【点睛】本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出tan α的值，考查计算能力，属于基础题. 13．4【分析】利用两角差的正切公式可计算出()tan tan βαβα=+-⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】由两角差的正切公式得()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα+-=+-==⎡⎤⎣⎦++=. 【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14．18 【分析】利用向量数量积的几何意义得出2a b ⋅=，在等式24a b -=两边平方可求出b 的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出()2b a b ⋅+的值. 【详解】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=. 故答案为：18. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题. 15．35 59【分析】（1）由0x =可得出O 为AC 的中点，可知AC 为ABC ∆外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出cos BAC ∠；（2）推导出外心的数量积性质212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由题意得出关于x 、y 和AB AC ⋅的方程组，求出AB AC ⋅的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出cos BAC ∠的值. 【详解】当0x =时，由263x y +=可得12y =，12AO xAB y AC AC ∴=+=， 所以，AC 为ABC ∆外接圆的直径，则2ABC π∠=，此时3cos 5AB BAC AC ∠==； 如下图所示：取AB 的中点D ，连接OD ，则⊥OD AB ，所0DO AB ⋅=，()212AO AB AD DO AB AD AB AB ∴⋅=+⋅=⋅=，同理可得212AO AC AC ⋅=. 所以，()()221212263AO AB xAB y AC AB AB AO AC xAB y AC AC AC x y ⎧⋅=+⋅=⎪⎪⎪⋅=+⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，整理得361810050263x y AB AC xAB AC y x y ⎧+⋅=⎪⋅+=⎨⎪+=⎩，解得356x =，2756y =，1003AB AC ⋅=，因此，5cos 9AB AC BAC AB AC ⋅∠==⋅. 故答案为：35；59. 【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.16．（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-.【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】 （Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17．（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）答案不唯一，见解析. 【分析】 （Ⅰ）分别令23x π+取0、2π、π、32π、2π，列表、描点、连线可作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）根据三角函数图象的变换原则可得出函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的变换过程.【详解】（Ⅰ）列表如下：函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图如下图所示：（Ⅱ）总共有6种变换方式，如下所示： 方法一：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法二：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法三：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象向左平移6π个单位，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法四：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法五：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法六：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象向左平移3π个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【点睛】本题考查利用五点作图法作出正弦型函数在一个周期内的简图，同时也考查了三角函数图象变换，考查推理能力，属于基础题.18．（Ⅰ）4C ；（Ⅱ）从中午12点到晚上20点. 【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简函数()y f t =的解析式为()162sin 126f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由此可得出实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）由[)0,24t ∈，得出13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，令()17f t >，得到1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，解此不等式即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）()16cos162sin 1261212f t t t t ππππ⎛⎫+ ⎪-=-⎝=-⎭，[)0,24t ∈. 因此，实验室这一天的最大温差为4C ； （Ⅱ）当[)0,24t ∈时，13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 令()162sin 17126f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，所以71161266t ππππ<+<，解得1220t <<，因此，实验室从中午12点到晚上20点需要降温. 【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．（Ⅰ）选①或②或③，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【分析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数()y f x =的最小正周期，进而得出2ω=. 选①，根据题意得出()232k k Z ππϕπ-+=+∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式； 选②，根据题意得出()56k k Z πϕπ+=∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式； 选③，根据题意得出51sin 32πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，利用三角恒等变换思想化简函数()y h x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出()h t 在[]0,t π∈上的最大值和最小值，由此可求得线段PQ 长度的最大值及此时t 的值. 【详解】（Ⅰ）由于函数()y f x =图象上两相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，222T ππωπ∴===，此时()()2sin 21f x x ϕ=++. 若选①，则函数()y f x =的一条对称轴3x π=-，则()232k k Z ππϕπ-+=+∈，得()76k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，当1k =-时，6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； 若选②，则函数()y f x =的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，则()56k k Z πϕπ+=∈， 得()56k k Z πϕπ=-∈，22ππϕ-<<，当1k =时，6π=ϕ， 此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；若选③，则函数()y f x =的图象过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则552sin 1063f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得51sin 32πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，7513636πππϕ∴<+<， 51136ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.综上所述，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）令()()()2sin 21cos 6h x f x g x x x x π⎛⎫=-=++- ⎪⎝⎭122cos 212cos 21022x x x x ⎛⎫=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，()cos21PQ h t t ∴==+， []0,t π∈，[]20,2t π∴∈，当20t =或22t π=时，即当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 20．（Ⅰ）AE a mb =+，12n AF a b +=+；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，证明出2AM BM CD ===，从而得出2AB CD =，然后利用向量加法的三角形法则可将AE 和AF 用a 、b 表示；（Ⅱ）计算出2a 、a b ⋅和2b 的值，由1m n +=得出1n m =-，且有01m ≤≤，然后利用向量数量积的运算律将AE AF ⋅表示为以m 为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出AE AF ⋅的最小值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，由于ABCD 为等腰梯形，则2AD BC ==，且60BAD ABC ∠=∠=，//AB DC ，即//CD BM ，又//DM BC ，所以，四边形BCDM 为平行四边形，则2DM BC AD ===，所以，ADM ∆为等边三角形，且2AM =，2CD BM AB AM ∴==-=，2AB CD ∴=， AE AB BE AB mBC a mb =+=+=+，()()111122n AF AB BC CF AB BC n CD a b n a a b +=++=++-=+--=+； （Ⅱ）2216a AB ==，1cos1204242a b AB BC ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，224b BC ==， 由题意可知，01m ≤≤，由1m n +=得出1n m =-， 所以，1112222n m mAF a b a b a b +-+-=+=+=+， ()()22222222m m m m AE AF a mb a b a a b a b mb---⎛⎫∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭()222812224m m m =-+=-+，令()()2224f m m =-+，则函数()y f m =在区间[]0,1上单调递减，所以，()()min 16f m f ==，因此，AE AF ⋅的最小值为6. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．（Ⅰ）[)0,+∞；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由[]sin 12,0α-∈-可知，区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，由此可得出实数m 的不等式，解出即可；（Ⅱ）由题意可知，0m =，则()224f x x x =+，令()0F x =，可得出()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，对实数a 的取值范围进行分类讨论，先讨论方程()15a f t -=的根的个数及根的范围，进而得出方程2cos t x =的根个数，由此可得出结论.【详解】（Ⅰ）1sin 1α-≤≤，2sin 10α∴-≤-≤，对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，则区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，02m ∴≥，解得0m ≥， 因此，实数m 的取值范围是[)0,+∞；（Ⅱ）0m ≥，由题意可知，0m =，()()22224f x x x x x =+=+， 令()0F x =，得()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，则()15a f t -=，作出函数15y a =-和函数()y f t =在[]2,2t ∈-时的图象如下图所示：作出函数2cos t x =在[)0,2x π∈时的图象如下图所示：①当152a -<-或1516a ->时，即当1a <-或17a >时，方程()15a f t -=无实根， 此时，函数()y F x =无零点；②当152a -=-时，即当17a =时，方程()15a f t -=的根为1t =-，而方程2cos 1x =-在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ③当2150a -<-<时，即当1517a <<时，方程()15a f t -=有两根1t 、2t ，且()12,1t ∈--，()21,0t ∈-，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，方程22cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有四个零点；④当150a -=时，即当15a =时，方程()15a f t -=有两根分别为2-、0，方程2cos 2x =-在区间[)0,2π上只有一个实根，方程2cos 0x =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有三个零点；⑤当01516a <-<时，即当115a -<<时，方程()15a f t -=只有一个实根1t ，且()10,2t ∈，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ⑥当1516a -=时，即当1a =-时，方程()15a f t -=只有一个实根2，方程2cos 2x =在区间[)0,2π上只有一个实根，此时，函数()y F x =只有一个零点. 综上所述，当1a <-或17a >时，函数()y F x =无零点；当1a =-时，函数()y F x =只有一个零点；当115a -<<或17a =时，函数()y F x =有两个零点；当15a =时，函数()y F x =有三个零点；当1517a <<时，函数()y F x =有四个零点.【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.。
【精准解析】山东省实验中学2020-2021学年上学期期中考试高一数学试卷
山东省实验中学2020~2021学年第一学期期中高一数学试题2020.11第Ⅰ卷一、单项选择题1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5A =，{}1,3,6B =，则()UA B =（ ）A. {}4B. ∅C. {}1,2,4,5,6D.{}1,2,3,5,6【答案】C 【解析】 【分析】先利用交集的运算求得AB ，再利用补集运算求解.【详解】因为{}2,3,5A =，{}1,3,6B =， 所以{}3A B ⋂=， 又全集{}1,2,3,4,5,6U =， 所以()UA B ={}1,2,4,5,6,故选：C2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ()2f x x =，()22x g x x =B. ()f x x =，()g x =C. ()211x f x x -=-，()1g x x =+D. ()f x =()g x =【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()22x g x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，定义域不同，不是同一函数； B 选项，()f x x =和()2g x x =的定义域都为R ，且()2g x x x ==，对应关系一致，所以是同一函数；C 选项，()211x f x x -=-的定义域为()(),11,-∞+∞，()1g x x =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一函数； D 选项，()11f x x x =+⋅-的定义域为[)1,+∞，()21g x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞，定义域不同，不是同一函数.故选：B.3. 命题：“30,0x x x ∀≥+≥”的否定是（ ） A. 30,0x x x ∀<+< B. 30,0x x x ∀<+≥ C. 30,0x x x ∃≥+< D. 30,0x x x ∃≥+≥【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结果.【详解】命题“30,0x x x ∀≥+≥”为全称命题，该命题的否定为“30,0x x x ∃≥+<”. 故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定改写，注意量词与结论的变化，属于基础题. 4. 在同一坐标系中，函数()1f x ax a=+与()2g x ax =的图像可能是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】分0a >和0a <两种情况，根据一次函数和二次函数的图象和性质判断. 【详解】因为当0a >时，()1f x ax a=+是增函数，与y 轴的交点在正半轴上，()2g x ax =的开口向上；当0a <时，()1f x ax a=+是减函数，与y 轴的交点在负半轴上，()2g x ax =的开口向下； 所以只有A 中的图象符合， 故选：A5. 已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元.设1枝郁金香的价格为A 元，1枝丁香的价格为B 元，则A ，B 的大小关系为（ ） A. A B > B. A B =C. A B <D. 不确定【答案】A 【解析】 【分析】本题先根据题意建立不等式组，再解不等式组判断A ，B 的大小关系即可.【详解】解：由题意：45226324A B A B +<⎧⎨+>⎩，解得10B A -<-<，则A B >故选：A【点睛】本题考查不等关系的大小比较、不等式的性质，是基础题.6. 若函数()y f x =为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，又()30f =，则不等式()()02f x f x x+-<的解集为（ ）A. ()3,3-B. ()(),33,-∞-+∞C. ()(),30,3-∞-D. ()()3,03,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，将所求不等式化为()0f x x<；再由函数单调性，以及(3)0f =，即可求出结果.【详解】∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴()()02f x f x x+-<可转化为()0f x x <．而()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(3)0f =， 故当3x >时，()0f x <； 当30x -<<时，()0f x >． 故()0f x x<的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞． 故选：D7. 若正实数a ，b 满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ）A.193B. C. 5D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据1a b +=，将33b a b +，变形为33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，利用基本不等式求解.【详解】因为正实数a ，b 满足1a b +=， 所以3333335333b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=，当且仅当334b a ==时，取等号， 所以33b a b+的最小值为5 故选：C8. 定义域是R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，当(]0,2x ∈时，()(](]2,0,1,1,1,2,x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩若[)2,0x ∈-时，()142t f x t ≥-有解，则实数t 的取值范围是（ ）A. (),22⎡-∞-⋃-+∞⎣B. ((,20,2-∞-⋃+C. ((,20,2-∞-⋃-+D. ((,-∞⋃【答案】B 【解析】 【分析】先由(]0,2x ∈时的解析式，求出对应的最小值，根据函数奇偶性，得到()f x 在[)2,0x ∈-时的最大值，由()max 142t f x t≥-求解，即可得出结果. 【详解】因为(]0,2x ∈时，()(](]2,0,11,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩， 当(]0,1x ∈时，由二次函数的性质，易得()22111,0244f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当(]1,2x ∈时，()[)11,0f x x =-+∈-， 所以(]0,2x ∈时，()[]1,0f x ∈-；又定义域是R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，即函数()f x 是奇函数，关于原点对称， 所以[)2,0x ∈-时，()[]0,1f x ∈， 因为[)2,0x ∈-时，()142t f x t≥-有解，所以只需()max 142t f x t ≥-，即1142t t ≥-，整理得24204t t t --≤，所以24200t t t ⎧--≤⎨>⎩或24200t t t ⎧--≥⎨<⎩，解得02t <≤+2t ≤故选：B.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据已知区间的分段函数求出对应的值域，结合函数奇偶性，得出()f x 在[)2,0x ∈-时的最大值，即可求解.二、多项选择题9. 满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,M a a a a a =的集合M 可能是（ ）A. {}12,a aB. {}123,,a a aC. {}124,,a a aD.{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】 【分析】由交集的结果知集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，由此可判断． 【详解】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =． 故选：AC ．【点睛】本题考查由集合的交集求参数，掌握交集的定义是解题基础． 10. 设函数()f x 定义域()1,1-，且满足：①()1,0x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(),1,1x y ∈-则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. ()f x 在定义域上是减函数D. ()f x 在定义域上是增函数【答案】AC 【解析】 【分析】由条件②，令0x y ==，可得(0)0f =，再令y x =-，即可得到()()0f x f x +-=，从而可得函数的奇偶性，判断选项A ，B ；利用函数单调性的定义，结合条件①可得函数()f x 的单调性，从而判断选项C ，D ． 【详解】()()()1x yf x f y f xy++=+， 令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=， 所以(0)0f =，令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==， 又因为(1,1)x ∈-，所以()f x 为奇函数，故A 对，B 错； 任取1210x x -<<<，所以12121212()()()()()1x x f x f x f x f x f x x --=+-=-，因为1210x x -<<<，所以120x x -<，1201x x <<，所以1210x x ->，所以121201x x x x -<-，因为12121212(1)(1)1011x x x x x x x x -+++=>--，所以121211x xx x ->--，所以1212101x x x x --<<-，由条件①得1212()01x x f x x ->-，所以12())0(f x f x ->， 所以()f x 在(1,0)-上单调递减，所以()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 对，D 错． 故选：AC【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.11. 若a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若0a b <<，则22a ab b >>C. “关于x 的不等式20ax bx c ++≥恒成立”的充要条件是“0a >，240b ac -≤”D. “1a <”是“关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】 若0c，则A 选项不成立；根据不等式的性质，可判断B 正确；根据充要条件的概念，可判断C 错；根据充分条件和必要条件的概念，结合方程根的个数，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a b >，0c，则22ac bc =，A 错；B 选项，若0a b <<，则2a ab >，2ab b >，即22a ab b >>，B 正确；C 选项，不等式20ax bx c ++≥不一定是一元二次不等式，所以不能推出0a >；由0a >，240b ac -≤，可得出不等式20ax bx c ++≥恒成立，所以“关于x的不等式20ax bx c ++≥恒成立”的充要条件不是“0a >，240b ac -≤”，C 错；D 选项，若关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根，则0140a a <⎧⎨=->⎩，即0a <， 因此“1a <”是“关于x 的方程20x x a ++=有两个异号的实根”的必要不充分条件，D 正确. 故选：BD.12. 对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（ ） A. 若()f x 是奇函数，则()1f x -的图象关于点（1，0）对称B. 若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图象关于直线1x =对称C. 若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D. 若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图象关于点（1，1）对称 【答案】AC【解析】 【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，故错误.； 对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +-=+=，()()()()312,422f f f f +=+=，()f x 的图象不关于（1，1）对称，错误.故选：AC.【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，是易错题.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13. 幂函数()2312235m m y m m x --=+-的图像分布在第一、二象限，则实数m 的值为______．【答案】3 【解析】 【分析】先根据函数是幂函数，由251m m +-=，求得m ，再根据其图像分布在第一、二象限确定m 的值；【详解】因为函数是幂函数， 所以251m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，23y x =，其图像分布在第一、二象限； 当3m =-时，796y x =，其图像分布在第一象限； 所以2m = 故答案为：214. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）． 【答案】148.4 【解析】 【分析】本题首先可以结合表中数据计算出高峰时间段的电费，然后计算出低谷时间段的电费，最后两者相加，即可得出结果.【详解】高峰时间段的电费：500.5681500.598118.1⨯+⨯=（元）， 低谷时间段的电费：500.288500.31830.3⨯+⨯=（元），所以该家庭本月应付的电费为118.130.3148.4+=（元）， 故答案为：148.4.【点睛】本题考查从材料中提取信息解决实际问题，能否从材料中准确的找出关系式是解决本题的关键，考查学生处理信息的能力，是简单题.15. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．若{|[][2][3],01}A y y x x x x ==++≤≤，则A 中所有元素的和为_______．【答案】12 【解析】 【分析】 分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，并求元素的和. 【详解】①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)30,1x ∈，∴ [][][]230x x x ===，[][][]230x x x ++= ；②当1132x ≤<时，22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ， [][]20,x x ∴==[]31x =， [][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时，[)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ， [][][]232x x x ∴++=；④213x ≤<时，42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈ []0x ∴=，[]21x =，[]32x =，[][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++= {}0,1,2,3,6A ∴=，则A 中所有元素的和为0123612++++=. 故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况四、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知关于x 的不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若3a =，求解集M ； （2）若122M xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，解关于x 的不等式22510ax x a -+->． 【答案】（1）123M x x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭或；（2）132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求得结果；（2）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系，利用韦达定理可构造方程求得a ，根据一元二次不等式的解法可直接求得结果. 【详解】（1）3a =，∴不等式为：23520x x +->，即()()3120x x -+>，解得：2x <-或13x >，123M x x x ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭或.（2）122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，12∴和2是方程2520ax x +-=的两个根，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得：2a =-，∴不等式22510ax x a -+->即为22530x x --+>，即22530x x +-<，即()()2130x x -+<，解得：132x -<<. ∴不等式的解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．17. 已知函数f (x )＝1－2x. （1）若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；（2）试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）1；（2）为增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由函数()g x 是奇函数，得g (－x )＝－g (x )，代入可求得a .（2）由函数的单调的定义进行证明，设0<x 1<x 2，作差f (x 1)－f (x 2)，判断符号，可得证. 【详解】（1）由已知g (x )＝f (x )－a ，得g (x )＝1－a －2x， 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即1－a －2()x -＝－21a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得a ＝1.（2）函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数.证明如下：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－12x －221x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝()12122x x x x -，.因为0<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>0，从而()12122x x x x -<0，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性和函数的单调性的定义，属于基础题.18. 已知函数()()()()5,133,125,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩．（1）解不等式()1f x >；（2）若()0f x t +<对任意实数x 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）4,43⎛⎫⎪⎝⎭；（2）3t <-． 【解析】 【分析】（1）根据1x <-，12x -≤≤，2x >进行分类讨论，将求解出的结果取并集即可得到不等式解集；（2）将问题转化为“()t f x <-对任意实数x 都成立”，根据已知条件先求解出()f x 的取值范围，然后可求解出()f x -的取值范围，则t 的取值范围可求.【详解】（1）由题意()5,133,125,2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩，①1x <-时，()51f x x =->，不等式无解；②12x -≤≤时，331x ->，解得423x <≤； ③2x >时，51x -+>，解得24x <<；综上不等式的解集为4,43⎛⎫⎪⎝⎭． （2）①1x <-时，()56f x x =-<-；②12x -≤≤时，6333x -≤-≤，所以()63f x -≤≤； ③2x >时，()53f x x =-+<； 所以()3f x ≤所以()3f x -≥-，因为()t f x <-对任意实数x 都成立 所以3t <-．【点睛】思路点睛：已知()f x 为分段函数，求解形如()f x a >的不等式解集的思路： （1）分别考虑每一段定义域下()f x a >的解集，同时注意前提条件；（2）将每一段定义域下()f x a >的解集取并集即可得到不等式()f x a >的解集. 19. 已知函数()()2210f x ax ax b a =-++>．（1）若1a b ==，求()f x 在[],1t t +上的最大值；（2）若()f x 在区间[]2,4上的最大值为9，且最小值为1，求实数a ，b 的值．【答案】（1）12t ≤时，最大值为222t t -+；12t >时，最大值为21t +；（2）10a b =⎧⎨=⎩．【解析】 【分析】（1）根据题中条件，分别讨论112t +≤，112t +>两种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）根据二次函数的性质，由函数在给定区间的最值，得到()()2114819f b f a b ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】（1）()222f x x x =-+，[],1x t t ∈+因为对称轴1x =，而1122t t t ++=+，所以 ①112t +≤即12t ≤时，最大值()222f t t t =-+；②112t +>即12t >时，最大值()211f t t +=+；综上，12t ≤时，最大值为222t t -+；12t >时，最大值为21t +；（2）因为函数()f x 图像的开口方向向上，且对称轴方程为1x =， 所以，函数()y f x =在区间[]2,4上为增函数，又因为函数()y f x =在区间[]2,4上的最大值为9，最小值为1， 可得()()2114819f b f a b ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．【点睛】思路点睛：求解二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要根据二次函数的性质（开口方向、对称轴、单调性），由分类讨论的方法进行求解.20. 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产．某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到x 元．公司拟投入()216006x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【答案】（1）40；（2）10.2，30元． 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于t 的一元二次不等式，求解出解集即可确定出定价最多时对应的数值； （2）明年的销售收入等于销量a 乘以单价x ，原收入和总投入之和为()2112585060065x x ⨯++-+，由此列出不等式，根据不等式有解结合基本不等式求解出a 的最小值，同时计算出x 的值. 【详解】（1）设每件定价为t 元，依题意得2580.22581t t -⎛⎫-⨯≥⨯⎪⎝⎭，整理得26510000t t -+≤，解得2540t ≤≤所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （2）依题意知当25x >时，不等式()2112585060065ax x x ≥⨯++-+成立 等价于25x >时，1501165a x x ≥++有解， 由于1501150121066x x x x +≥⨯=， 当且仅当1506xx =，即30x =时等号成立， 所以10.2a ≥当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【点睛】关键点点睛：本题中的第二问，解答的关键有两点：（1）根据条件列出满足的不等式并对不等式进行参变分离；（2）使用基本不等式求解出最值. 21. 已知函数2()43()52f x x x a g x mx m =-++=+-， （1）当时，求方程()()0f x g x -=的解；（2）若方程()0f x =在[]11-，上有实数根，求实数a 的取值范围；（3）当0a =时，若对任意的[]114x ∈，，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）15x x =-=或；（2） [－8，0]；（3）(,3][6,)-∞-+∞． 【解析】 【详解】（1）当时，方程为2()()450f x g x x x -=--=，解得15x x =-=或（2）因为函数()f x ＝x 2－4x ＋a ＋3的对称轴是x ＝2， 所以()f x 在区间[－1，1]上是减函数， 因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：(1)0{(1)0f f ≤-≥即0{80a a ≤+≥，解得80a ≤≤－，故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．（3）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f （x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．()f x＝x2－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，下求g（x）＝mx＋5－2m的值域．①当m＝0时，g（x）＝5－2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3]⊆[5－m，5＋2m]，需51{523mm-≤-+≥，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3]⊆[5＋2m，5－m]，需521{53mm+≤--≥，解得m≤－3；综上，m的取值范围为(,3][6,)-∞-+∞．。
福建省福州第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷
福州一中2020 - 2021学年第二学期第三学段期中考试高一数学第二册期中考试卷（完卷120分钟满分150分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足z （1 - i ） = 3 - i （i 是虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A .4B .5C .2D .12.已知向量a ⃗ = （9，6），b ⃗ = （3，x ），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则b ·（a ⃗ -b⃗ ） = （ ） A . - 26 B . - 25 C .25 D .263.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ | =6，|b ⃗ | = 2，（a ⃗ -b ⃗ ）·b ⃗ = 1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角等于（ ） A .30° B .45° C .60° D .120°4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满是 bcosA cosB + a = 2c ，则角B = （ ）A . π 6B . π 4C . π 3D . 2π 35.如图，已知等腰△ABC 中，AB = AC = 3，BC = 4，点P 是边BC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）（ ）A .为定值6B .为定值10C .最大值为18D .与P 的位置有关6.某天象馆的主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体.小明同学为了估算该天象馆的高度，在天象馆的正东方向找到一座建筑物AB ；高为（123 - 12）m .在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 以及天象馆顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得天象馆顶C 的仰角为30°，则小明估算该天象馆的高度为（ ）A .16 mB .24 mC .163mD .243m7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A . 13 25 a ⃗ + 16 25b ⃗ B . 16 25 a ⃗ + 12 25 b ⃗ C . 2 5 a ⃗ + 4 5 b ⃗D . 1 5 a ⃗ + 3 5 b ⃗ 8.已知点O 是△ABC 的内心，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 9 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 9 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos ∠BAC = （ ）A . 1 5B . 1 6C . 1 8D . 1 9 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求..全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）A .若复数z = 1+i 1−i （i 是虚数单位），则 z 30 = - 1B .若复数z 满足z 2ϵR ，则z ϵRC .若复数z = a + bi （a ，b ϵR ），则复数z 为纯虚数的充要条件是a = 0D .若复数z 满足|z | = 1，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆10.设a ⃗ ，b⃗ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A .若|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | - |b ⃗ |，则a ⃗ ，b⃗ 的方向相同 B .若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ + b ⃗ |=|a ⃗ - b⃗ | C .若|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | + |b ⃗ |，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影向量为a ⃗D .若存在实数λ使得a ⃗ =λb ⃗ ，则|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | - |b⃗ | 11.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b - 2a + 4a sin 2 A+B 2 = 0，则下列结论正确的是（ ）A .角C 一定为锐角B .a 2 + 2b 2 - c 2 = 0C .3tan A + tan C = 0D .tan B 的最大值为 √3 312.在同一平面内，设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 - BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = c （c 为常数），则下列正确的是（ ）A .若c = 1 3 ，则存在满足条件的点M 使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .∀c ϵR ，点M 构成的集合是垂直于线段AB 的一条直线C .若c = 1，则点M 、A 、B 可构成一个直角三角形D .若c = 3，则|MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min = 1 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数z = ii 2021+2 ，则复数z 在复平面内对应的点在第 _________ 象限.14.已知平面向量a ⃗ =（2， - 1），b ⃗ =（m ，2），且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ | = _________ .15.为了测量A 、B 两岛屿之间的距离，一艘测量船在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向。
福建省泉州市泉州实验中学2019-2020学年七(下)期中数学试题(原卷版)
①（1.493）＝1；
②（2x）＝2（x）；
③若（ ﹣1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）；
20.如图是一个运算程序：
例如：根据所给的运算程序可知，当 时， ，再把 代入，得 ，则输出的结果为 ．
（1）当 时，输出 结果为________；当 时，输出结果为_________；
（2）若需要经过两次运算才能输出结果， 的取值范围．
21.阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”．例如，在△ABC中，如果AB＝AC，依据“等边对等角”可得∠B＝∠C．请运用上述知识，解决问题：
(2) (加减法).
18.解不等式组 ，并把它们的解集表示在数轴上．
19.如图1，每个小正方形边长均为1的网格内有一个△ABC，数轴x⊥数轴y，垂足为原点O．
（1）画出△ABC向下平移5个单位后 △A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）连结BA2、BB2，在图中存在格点P（不同于B点），且△PA2B2与△BA2B2面积相等，请在图2中标出所有符合条件的格点P．
（1）空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）由于国家大力推行家电下乡政策，每台空调可以比采购价下调15%，每台电风扇可以比采购价打七折．该业主计划用29930元购进两种电器共20台，其中空调不少于13台，该业主能否实现购买计划？如能实现，请帮他列出购买计划；如不能，请说明理由．
泉州市安溪一中,惠安一中,养正中学,实验中学2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题
安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年秋季高三年期中联考考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知复数z 满足，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，且，则（ ）C.1D.24.甲、乙两校各有3名教师报名支教，现从这6名教师中随机派2名教师，则被派出的2名教师来自间一所学校的概率为（ ）A.B.C.D.5.已知，且，则（ ）A. B. C.D.6.已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D.8.双曲线的左、右焦点分别为，，右支上一点满足{}29200A x x x =-+≤{}2log (3)1B x x =-<A B = (,5)-∞[4,5)(,5]-∞(3,5]2(1i)1i z -=+z =1i-1i --1i +1i-+a b ||2a =|2|2a b -= ()a b a -⊥ ||b = 15251235()sin 404cos50cos 40cos θθ︒-=︒⋅︒⋅ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭θ=π3-π6-π6π3()f x R 0x ≥25,0216()11,22xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩()y f x m =-m 51,4⎛⎫⎪⎝⎭50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭33()e e x x f x x --=-+(22)(1)6f m f m -+->m 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭(3,)+∞222:1(0)5x y C a a-=>1F 2F P，直线平分，过点，作直线的垂线，垂足分别为A ，B ，设O 为坐标原点，则的面积为（ ）.A. B. C.10D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，且，则下列关系式中一定成立的题（ ）A.B.C. D.10.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）A.若，则对任意的都有B.若的图象关于直线对称，则C.若在上单调递增，则的取值范围是D.若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是11.已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A.若，则的图象在处的切线方程为B.若在上单调递増，则的取值范围是C.若当时，，则的取值范围是D.若，有唯一管点，且满足，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为_________.13.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，，当取得最小值时，则最大内角的余弦值是_________.12PF PF ⊥l 12F PF ∠1F 2F l OAB △11122ab⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R c ∈11a b>33a b >()()22ln 1ln 1a b +>+22c a c b<π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭2ω=()f x x (π)()f x f x +=()f x π6x =13(N)k k ω=+∈()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦()1f x =[0,π]ω115,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭()ln 1f x ax x x =++R a ∈1a =()f x 1x =2y x =()f x (1,)+∞a [1,)-+∞1x >()2()e xf x x-≤a (,2]-∞-0a >()f x 1x 2x 222sin e x x a -=+210x x >>733(1)x x-ABC △2b =cos 2cos 1cos()B B A C +=--2a c +ABC △14.已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是_________.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，是的延长线与CB 的延长线的交点.（1）求证：平面；（2）若点在线段AP 上，且点E 为靠近点A 的三等分点，求直线与平面所成的角的正弦值.16.（15分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且_________.（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，，求的周长.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）17.（15分）已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围.18.（17分）已知椭圆，A ，F 分别为椭圆C 的左顶点和右焦点，过F 作斜率不为0的直线l 交椭圆C 于点P ，Q 两点，且，当直线轴时，.()f x =||1xy x =+()00,x y ()()00f f y y =a 111ABC A B C -90ACB ∠=︒13CA CB CC ===D 1BB P 1C D //AP 1A CD E 1A E 1A CD 22cos a b B -=2222sin sin a A B a b c =+-cos cos a B b Ac +=ABC △ABC △ABC △21()ln (1)2f x ax x a x =+-+R a ∈0a >()f x 0a >()()f x g x x=()g x a 2222:1(0)x y C a b a b+=>>||3AF =l x ⊥||3PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 的斜率分别为，，且，求直线l 的方程；（3）设直线AP 交y 轴于点E ，若过O 点作直线AP 的平行线OM 交椭圆C 于点M，求的最小值.19.（17分）若存在常数，使得数列满足，则称数列为“数列”.（1）判断数列：1，3，5，10，152是否为“数列”，并说明理由；（2）若数列是首项为2的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，，证明：.1k 2k 121k k +=||||||AP AE OM +t {}n a 1123(1,N)n n a a a a a t n n +-=≥∈ {}n a ()H t (2)H {}n a ()H t {}n b {}n a {}n b 212321log nin n i aa a a ab ==+∑ t {}n b {}n a ()H t n S {}n a n 11a >0t >1e n S n n n t S S -+>--安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年秋季高三年期中联考参考答案一、单选题BCDBAADC 二、多选题（9）AC（10）ACD（11）ACD三、填空题（12）105（13）（14）8.【详解】由双曲线，解得，令直线交的延长线交于，直线交于，则，，由PA 平分，且，得，则，，，显然A ，B 分别为线段，的中点，而O是的中点，于是，，，即，，所以的面积.故选：C 11.【详解】对于A 选项，，，，切线方程为，即，A 选项正确.对于B 选项，若在上单调递增，则对一切都有.[1,e)222:1(0)5x y C a a -=>=220a =1F A 2PF 2PF Q 2F B 1PF N 1PA FQ ⊥2PB F N ⊥12F PF ∠1290F PF ∠=︒112245PFQ PQF PF N PNF ∠=∠=∠=∠=︒1PA PF =2PB PF =2AB PA PB a =-==1FQ 2F N 12F F //OA PQ 1//OB PF 145OAB APQ APF OBA ︒∠=∠==∠=∠90AOB ∠=︒||||||OA OB AB a ===OAB △2211||1022S OA a ===()ln 2f x x ='+(1)2f '=(1)2f =22(1)y x -=-2y x =()f x (1,)+∞(1,)x ∈+∞()(ln 1)10f x a x '=++≥当时，由知满足条件：当时，，，不满足条件.因此的取值范围是，B 选项错误.对于C 选项，当时，等价于.而（用到不等式（））.证明如下：记，则，时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增，因此对一切有，即，等号成立当且仅当，结合知因此的取值范围是，C 选项正确.对于D 选项，由知在上单调递增，令得，且在上单调递减，在上单调递增，结合条件知，是的唯一零点，故，则.于是，由在上单调递增，结合，知.这样，由结合在上单调递增（因为，等号成立当且仅当）及知.由在上单调递增，结合知，，即，又在R 上单调递增，故，D 选项正确.14.【详解】由题意可知：，0a ≥ln 0x >0a <11ae >10af e a ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭a [0,)+∞1x >()2()e xf x x -≤()2e 1ln xx x a x x---≤()22ln e 101(2ln 1)12ln ln ln xx x x x x x x x x x x xx x x x-------+--=≥=-e 1x x ≥+x ∈R ()e 1xh x x =--()e 1xh x '=-0x <()0h x '<0x >()0h x '>()h x (,0)-∞(0,)+∞x ∈R ()(0)0h x h ≥=e 1xx ≥+2ln 0x x x -=1x >x =a (,2]-∞-0a >()(ln 1)1f x a x '=++(0,)+∞()10f x ''=11ln 1x a -'=--()f x ()10,x '()1,x '+∞()min 1()0f x f x '==1x '()f x 11x x '=()()11111110111f x ax a x ax a x --==--++=-+⇒=11ln 10x x ++=()ln 1m x x x =++(0,)+∞()22e e 10m --=-<()11e e 0m --=>()211e ,e x --∈222sin e 0x x a --=>()sin x x x ϕ=-R ()1cos 0x x ϕ'=-≥2π()x k k =∈Z (0)0ϕ=20x >()()()12e x x xφϕ-=-(0,)+∞()211e ,e x --∈()()()()()1121111211121e e sine e sin 0e x x x x x φϕϕ------=-<--=<=-()()12x x ϕϕ<()x ϕ210x x >>000(1,1)1x y x =∈-+因为曲线上存在点，使得，所以存在，使得成立，且下面证明：成立，假设，则，所以不满足，假设不成立，假设，则，所以不满足，假设不成立，由上可知，；则原问题等价于“在上有解”，即“在上有解”，设，，所以，令，则，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以的值域为，即为，所以，四、解答题15.（1）连接交于点，连接MD ，如下所示：因为是直三棱柱，故可得是矩形，故为的中点，又是的中点，所以，又，，，||1xy x =+()00,x y ()()00f f y y =0[0,1)y ∈()00f y y =()f x =()00f y y =()00f y c y =>()()()0()f f y f c f y c y =>=>()()0f f y y =()00f y c y =<()()()0()f f y f c f y c y=<=<()()0ff y y =()00f y y =()f x x =[0,1]2x a e x x =+-[0,1)2()e xg x x x =+-[0,1)x ∈()e 12x g x x '=+-()()s x g x '=()e 2xs x '=-()0s x '=ln 2x =[0,ln 2)x ∈()0s x '<()g x '(ln 2,1)x ∈()0s x '>()g x 'm 2()(ln 2)12ln 232ln 20g x g e ''≥=+-=->()g x [0,1)()g x ()())0,1g g ⎡⎣[1,)e [1,)a e ∈1AC 1AC M 111ABC A B C -11AC CA M 1AC D 1B B 1B D BD =11B DC BDP ∠=∠ 1190C B D PBD ∠=∠=︒11B P DC D B ∴≌△△，即是的中点，故在中，M ，D 分别为，的中点，故可得，又平面，平面，故面.（2）因为是直三棱柱，故可得平面，又，平面，则，，又，故，综上可得，，两两垂直，故以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系；则，，，，，，,由（1）知，故，则；则，，，.设平面的一个法向量为，故可得，即，不妨取，则.又，则点的坐标为，则，又设直线与平面所成的角为，故可得，所以直线与平面.1C D PD ∴=D 1C P 1C AP △1C A 1C P //MD AP MD ⊂1ACD AP ⊂1ACD //AP 1ACD 111ABC A B C -1C C ⊥ABC CA CB ⊂ABC 1CC CA ⊥1CC CB ⊥90ACB ∠=︒CA CB ⊥1CC CA CB C (0,0,0)C 1(0,0,3)C (3,0,0)A 1(3,0,3)A (0,3,0)B 1(0,3,3)B 30,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭11BP C B =6CP =(0,6,0)P 1(3,0,3)CA = 30,3,2CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11(3,0,0)AC =- 130,3,2C D ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1ACD (,,)m x y z =100m CA m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0102x z y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩2z =-(2,1,2)m =- 1(1,2,0)3AE AP ==- E (2,2,0)1(1,2,3)A E =--1A E 1ACD θ111sin cos ,A E m A E m A E mθ⋅====1A E 1ACD（公式没加绝对值扣1分，结论没写不扣分）16.【详解】（1）选①，因为，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，则，可得，即，且，所以.选②，在中，由正弦定理得.因为，所以，化简得.在中，由余弦定理得.又因为，所以.选③由及，有，又由正弦定理，有，有，有，又由，可得.22cos a b c B -=22cos a b c B -=2sin sin 2sin cos A B C B -=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-=2cos sin sin 0C B B -=(0,π)B ∈sin 0B ≠2cos 10C -=1cos 2C =(0,π)C ∈3C π=2222sin sin a Aa b c B=+-ABC △sin sin A aB b=2222sin sin a A a b c B =+-2222a a abc b =+-222a b c ab +-=ABC △2221cos 22a b c C ab +-==0πC <<π3C =222cos 2a b cC ab+-=cos cos a B b A c +=cos cos a B b A c +=sin cos sin cos sin A B B A C +=sin()sin A B C +=sin sin C C =tan C =(0,π)C ∈π3C =（2）因为AB 边上的高为1，，得由（1）知，所以，得，由余弦定理得，即，得，所以，即，所以，所以，即的周长为17.【详解】（1）当时，的定义域为，，当时，恒成立，在上为增函数；当时，，，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，,单调递减区间为，当时，，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，，单调递堿区间为.综上所述，当时，在上为增函数；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，ABC △112c ⨯=c =π3C =11sin 22ab C ab ==43ab =2222cos c a b ab C =+-22241232a b =+-⨯⨯2283a b +=2288162333a b ab ++=+=216()3a b +=a b +=a b c ++==ABC △0a >()f x (0,)+∞()1(1)(1)(1)ax x f x ax a x x--'=+-+=1a =()2(1)0x f x x-'=≥()f x (0,)+∞1a >101a <<()1(1)a x x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=10x a <<1x >()0f x '>11x a<<()0f x '<()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭01a <<11a >01x <<1x a >()0f x '>11x a<<()0f x '<()f x (0,1)1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭11,a ⎛⎫⎪⎝⎭1a =()f x (0,)+∞1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，（2）因为，所以，若既有极大值又有极小值，则至少存在两个变号零点，即至少有两个不同实数根，记，则，当时，，当时，，所以在时，取得极大值，又趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0，所以，的图象如图所示，由图可知，当，即时，有两个变号零点，且分别为极大值点和极小值点，所以的取值范围为.18.【详解】（1）设椭圆右焦点，，则①，由，得②，直线轴时，P ，Q 两点横坐标为，将代入椭圆方程中，解得，所以③， 联立①②③解得，，，椭圆的标准方程为.01a <<()f x (0,1)1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1ln ()(1)2f x x g x ax a x x ==+-+()211ln 2xg x a x-'=+()g x ()g x '2ln 112x a x -=2ln 1()x h x x-=332ln ()xh x x -'=320e x <<()0h x '>32e x >()0h x '<()h x 32e x =333i12(e)e 2eh -==x ()h x -∞x +∞()h x ()h x 31022ea <<30e a -<<()g x '()g x a ()30,e -(,0)F c 0c >222a b c =+||3AF =3a c +=l x ⊥c x c =22221x y a b +=2b y a =±22||3b PQ a ==24a =23b =21c =C 22143x y +=（2）①，显然，直线PQ不与轴垂直，可设PQ的方程为，联立椭圆方程，消去并整理得，又设，，显然，所以由韦达定理得，所以，即，所以直线方程为.（3）依题意直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为：，则直线OM的方程为.联立直线AP与椭圆C的方程可得：，由，可得，联立直线OM与椭圆C的方程可得：，即，即即的最小值为.19.【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故，因为成立，成立，不成立，(1,0)F y1x my=+22143x y+=x()2234690m y my++-=()11,P x y()22,Q x y0∆>122122634934my ymy ym⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()1212121212212121212231223339my y y yy y y yk kx x my my m y y m y y+++=+=+==+++++++1m=-l1y x=-+(2)y k x=+y kx=()2222341616120k x k x k+++-=2Ax=-226834Pkxk-=+()2234120k x+-=221234Mxk=+202P A E A PM MAP AE x x x x xOM x x+-+-+++====+≥==k=||||||AP AEOM+()H t2t=11232n na a a a a+-=212a a-=3212a a a-=43211013552a a a a-=-⨯⨯=-≠所以1，3，5，10，152不是“数列”.（2）由是首项为2的“数列”，则，，由是等比数列，设公比为，由，则，两式作差可得，即，由是“数列”，则，对于，恒成立，所以，即对于，恒成立，则，即，解得，，，又由，，则，即，故所求的，数列的通项公式.（3）设函数，则，令，解得，当时，，则在区间单调递减，且，又由是“数列”，即，对于，恒成立，因为，，则，再结合，，，反复利用，可得对于任意的，，， 则，即，则，即，，…，，(2)H {}n a ()H t 22a t =+334a t =+{}n b q 212321log nl n ni a a a a a b ==+∑ 121231211log n i n n n i a a a a a a b +++==+∑ ()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=-+- ()21123121log n n n a a a a a a q ++=-+ {}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1n ≥n ∈N ()()211121log n n n a a t a q +++=--+1212(1)log log n n n t a t b b +++=+-1n ≥n ∈N 2232(1)log (1)log t a t q t a t q +-=⎧⎨+-=⎩22(1)(2)log (1)(34)log t t t q t t t q ++-=⎧⎨++-=⎩1t =-2q =12a =21121log a a b =+14b =12n n b +=1t =-{}n b 12n n b +=()ln 1f x x x =-+()11f x x'=-()0f x '=1x =1x >()0f x '<()ln 1f x x x =-+(1,)+∞(1)ln1110f =-+={}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1n ≥n ∈N 11a >0t >211a a t =+>11a >0t >21a >1123n n a a a a a t +=+ 1n ≥N n ∈1n a >()(1)0n f a f <=ln 10n n a a -+<ln 1n n a a <-11ln 1a a <-22ln 1a a <-ln 1n n a a <-相加可得，则，又因为在上单调递增，所以，又，所以，即，故.1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ()12ln n n a a a S n <- ln y x =(0,)x ∈+∞12e n S nn a a a -< 1123n n a a a a a t +-= 1e n S nn a t -+-<1en S nn n S S t -+--<1en S nn n t S S -+>--。
福建省南平市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题(含答案解析)
g(
x)
在区间
6
,
3
上单调递增
试卷第 2 页，共 4 页
第 II 卷（非选择题）
三、填空题 13．已知角 的终边经过点 P(4,3) ，则 sin +cos 的值为__________．
14．计算
1 4
1
2
2
(2)3 3
log 2
4
__________．
15．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：1 毫升血液中酒精含量达到 0.20—0.79 毫克的驾驶员即为酒后驾车，0.8mg 及以上认定为 醉酒驾车、假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了 1 毫克每毫 升．如果在停止喝酒后他血液中酒精含量会以每小时 25%的速度减少，那么他至少经过 ___________（结果取整数）小时后才能驾驶．（已知 lg 2 0.3 ， lg 3 0.48 ）
x
4
f
x
4
成
立．现将函数
f
(x)
2
sin
x
6
的图象向右平移
6
个单位长度，再把所有点的横坐
标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 g(x) 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
g
6
x
g
x
6
0
C．函数
g
x
2 3
是偶函数
B．函数 g(x) 相邻的对称轴距离为
D．函数
对于选项 A： y x2 1是偶函数，且在 0, 单调递增，故选项 A 正确； 对于选项 B： y 2 是奇函数，在 0, 单调递增，故选项 B 正确；
x
福建省泉州市实验中学2023-2024学年高一上学期1月考试数学试题
(1)求 A B ；
(2)若 C x a 4 x a 4 ，且“ x C ”是“ x A B ”的必要不充分条件，求 a 的取值
试卷第 3页，共 4页
范围．
18．已知一次函数 f x 过定点 0,1 ． (1)若 f 1 3 ，求不等式 f x 4 解集．
x
(2)已知不等式 f x x 4 的解集是 a, b ，求 a 2b 的最小值．
19．已知函数 f x xm 9 （其中 m R ），且 f 3 0 .
x
(1)判断函数 f x 在 0, 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)解不等式： f a2 1 f a 1 0.
A．5
B．11
C．18
D．21
6．若函数 f (x) 是在 R 上的奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A． f (x) f (x) 0
B． f (0) 0
C． f (x) f (x) 0
D．
f (x) f (x)
1
7．设 a log2 π ， b log0.5 π ， c π2 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系是（ ）
福建省泉州市实验中学 2023-2024 学年高一上学期 1 月考试 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集U {x x 1}，集合 A x x 2 ，则 ðU A （ ）
A．{x 1 x 2}
B．{x x 2}
C．{x 1 x 2}
D．x x 1
2．若 x1, x2 R ，则“ x13 x23 x12 0 ”是“ x1 x2 ”的（ ）
专题01 集合 高一数学上学期期中考试好题汇编(人教A版2019)
专题01 集合知识点一：相等集合一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A ＝B.显然若两个集合相等，则它们的元素完全相同1.（安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高一上学期期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{4,5}M =，{5,4}N =C ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{1,2}M =，{(1,2)}N =【答案】B 【分析】根据集合的元素是否相同判断即可． 【详解】解：A 两个集合的元素不相同，点的坐标不同， B 两个集合的元素相同，C 中M 的元素为点，N 的元素为数，D 中M 的元素为点，N 的元素为数， 故A ，C ，D 都不对． 故选：B ． 2.（多选题）（广东省佛山市南海区第一中学2020-2021学年高一上学期）下列各组中的两个集合相等的有__________.A 、{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈；B 、{}21,P x x n n N *==-∈，{}21,Q x x n n N *==+∈；C 、{}20P x x x =-=，()11,2nQ x x n Z ⎧⎫+-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【答案】AC 【分析】判断出A 选项中两个集合均为偶数集，可得出结论；分析出B 选项中的集合P 为正奇数集，集合Q 是从3开始的正奇数构成的集合，可得出结论；求出C 选项中的两个集合，可得出结论.【详解】对于A ，集合{}2,P x x n n Z ==∈为偶数集，集合(){}21,Q x x n n Z ==-∈也为偶数集，则P Q =；对于B ，集合{}21,P x x n n N *==-∈为正奇数集，集合{}21,Q x x n n N *==+∈是从3开始的正奇数构成的集合，则P Q ≠；对于C ，{}{}200,1P x x x =-==，对于()()112nx n Z +-=∈，若n 为奇数，则0x =；若n 为偶数，则1x =，即{}0,1Q =.P Q ∴=.故答案为：AC.3.（福建省龙岩市高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试）已知集合{}20,1,A a =，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于 A ．1-或3 B ．0或1- C ．3 D ．1- 【答案】C 【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得a 的值. 【详解】 由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合. 故选：C4.．(多选题)（广东省广州市（广附、广外、铁一）三校2020年高一上学期期中）下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ） A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R} 【答案】ABD 【分析】选项A 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ； 选项C 中，解出集合M 和P .选项D 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合. 【详解】选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合． 故选ABD ．5.（山西省太原市2018-2019学年高一上学期期中）已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =，若A B =，求实数a ，b 的值.【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a ，b 的值． 【详解】解：由已知A B =，得22a ab b =⎧⎨=⎩（1）或22a b b a ⎧=⎨=⎩.（2） 解（1）得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩，解（2）得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由集合中元素的互异性 得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.知识点二：元素与集合关系1、集合中元素的三个特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性2、(1)“属于”：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A.(2)“不属于”：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A.1、（福建省莆田第一中学2020-2021学年高一上学期期中）设集合{}22,,A x x =，若1A ∈,则x 的值为 A ．1- B ．±1 C ．1 D ．0 【答案】A 【详解】2111A x orx ∈∴== ，若211x x =⇒= ，不满足集合元素的互异性， 故21x =， 1.x =- 故结果选A .2.（内蒙古集宁一中2018-2019学年高一上学期期中）已知集合 {}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且，则集合C 中的元素个数为A ．15B ．13C ．11D ．12 【答案】C 【分析】根据题意，确定,x y 的可能取值；再确定z xy =能取的所有值，即可得出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且， 所以x 能取的值为1,2,3,4,5；y 能取的值为1,2,3，因此z xy =能取的值为1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15，共11个， 所以集合C 中的元素个数为11. 故选C3.（河南省开封市2020-2021学年高一上学期五县联考期中）已知集合{}230A x x ax a =-+≤，若1A -∉，则实数a 的取值范围为______.【答案】14a >-【分析】利用元素与集合的关系知1x =-满足不等式230x ax a -+>，代入计算即得结果. 【详解】若1A -∉，则1x =-不满足不等式230x ax a -+≤，即1x =-满足不等式230x ax a -+>，故代入1x =-，有130++>a a ，得14a >-．故答案为：14a >-．4.（湖北省武汉市问津联盟2020-2021学年高一上学期期中联考）设集合2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=.（1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.【答案】（1）B 是A 的真子集；（2）11{0,,}35.【分析】（1）算出A 、B 后可判断B 是A 真子集. （2）就B φ=、B φ≠分类讨论即可.（1）{}{}3,5,5A B ==，∴B 是A 真子集 （2）当B φ=时，满足B A ⊆，此时0a =；当B φ≠时，集合1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，得13a =或5，解得13a =或15综上，实数a 的取值集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭.知识点三：空集的特殊应用(1)空集：只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何非空集合的真子集． ∅{0}∅{∅}或 ∅∈{∅}1.（ ）A ．{}0B ．{8xx >∣，且}5x < C ．{}210x x ∈-=N∣ D ．{}4x x >【答案】B【分析】根据空集的定义判断． 【详解】A 中有元素0，B 中集合没有任何元素，为空集，C 中有元素1，D 中集合，大于4的实数都是其中的元素． 故选：B ．2.（河北省张家口市崇礼区第一中学2020-2021学年高一上学期期中）下列五个写法：①{0}{1,2,3}∈；②{0}∅⊆；③{0,1,2}{1,2,0}⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅，其中错误写法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案. 【详解】对①：{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误. 对②：∅是空集，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：{0,1,2}是集合，{1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④错误.对⑤：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.3.（青海省西宁市大通县第一中学2019-2020学年高一上学期期中）关于以下集合关系表示不正确的是（ ） A ．∅∈{∅} B ．∅∈{∅} C ．∅∈N* D ．∅∈N* 【答案】C 【分析】空集是任何集合的子集.根据元素与集合的关系、集合与集合的关系对选项逐一进行判断，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，集合中含有一个元素空集，故空集是这个集合的元素，故A 选项正确. 空集是任何集合的子集，故B,D 两个选项正确.对于C 选项，空集不是正整数集合的元素，C 选项错误.故选C.4.（青海省西宁市海湖中学2020-2021学年高一上学期）下列关系正确的是 A ．{0}∅⊆ B ．{0}∅∈ C ．0∈∅ D ．{0}⊆∅ 【答案】A 【分析】根据空集是任何集合的子集即可判断出选项A 正确． 【详解】空集是任何集合的子集； {}0∴∅⊆正确 本题正确选项：A知识点四：子集的应用子集有下列两个性质：①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A ；②传递性：对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C.1.（吉林省长春市十一高中2020-2021学年高一上学期）已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{1,1}-D ．{【答案】C 【分析】根据子集关系列式可求得结果. 【详解】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C2.（江苏省淮安市淮安区2020-2021学年高一上学期期中）满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．16 【答案】A 【分析】根据已知条件可知集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，写出集合A 的所有情况即可求解. 【详解】因为集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，满足条件的集合A 有：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共有8个，故选：A.3.（湖北省孝感市汉川市第二中学2020-2021学年高一上学期期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是 A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋃=C ．M M N ⊆⋂（）D ．()M N N ⋃⊆【答案】ABCD 【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆. 故选ABCD.4.（湖南省怀化市洪江市黔阳二中2020-2021学年高一上学期期中）已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ∈P ∈N ，则下列结论正确的是 （ ）A ．U N ∈U PB ．N P ∈N MC ．(U P )∩M =∈D ．(U M )∩N =∈ 【答案】ABC 【分析】由已知条件画出Venn 图，如图所示，然后根据图形逐个分析判断即可 【详解】因为集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ∈P ∈N ，所以作出Venn 图，如图所示，由Venn 图，得U N ∈U P ，故A 正确； N P ∈N M ，故B 正确； (U P )∩M =∈，故C 正确； (U M )∩N ≠∈，故D 错误. 故选：ABC知识点五：交集、并集、补集的运算（1）交集的运算性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩B ⊆A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . （2）并集的运算性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ⊆A ∪B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .（3）全集与补集的性质∁U A ⊆U ，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A .1.（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高一上学期期中）设集合{}{}{}1,0,3,3,21,3A B a a A B =-=++=，则实数a 的值为________. 【答案】0或1 【分析】由于{}3A B ⋂=，所以可得33a +=或213a +=，从而可出a 的值【详解】解：因为{}{}{}1,0,3,3,21,3A B a a A B =-=++=所以33a +=或213a +=，所以0a =或经检验，0a =或1a =都满足题目要求，所以0a =或1a =，故答案为：0或1， 2.（浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 【答案】C 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．3.（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =-. 故选：A.4.（江西省南昌大学附中2020-2021年高一上学期期中）设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U = B ．()()U U U C A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅ D ．()()U U C A C B U = 【答案】D 【分析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆， ()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.5.（黑龙江省齐齐哈尔市克东一中、克山一中等五校2019-2020学年高一上学期期中联考）已知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--＞ （1）若A B =∅，求实数a 的取值范围； （2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,3-；（2）{5|a a -＜或6}a ＞．（1）求出集合{}32|{|A x a x a B x x =≤≤+=<-，或6}x >，由A B =∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．（2）由A B B ⋃=，得到A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】 解：（1）∈集合{}|3A x a x a =≤≤+，24120{|}2{|B x x x x x =-->=<-或6}x >，A B =∅，∈236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤∈实数a 的取值范围是[]2,3-（2）A B B A B =∴⊆，32a ∴+-＜或6a ＞，解得5a -＜或6a ＞． ∈实数a 的取值范围是{5|a a <-或6}a >6.（广东省华南师范大学附属中学南海实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合{}{}121215{}A xx B x x C x x m =-≤≤=≤-≤=>∣，∣，∣ （1）求(),R A B A B ⋃⋂；（2）若()A B C ⋃⋂≠∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤，(){}11R A B x x ⋂=-≤<，（2）(,3)-∞ 【分析】（1）先求出集合B ，再求B R ，然后求(),R A B A B ⋃⋂， （2）由()A B C ⋃⋂≠∅，可得答案 【详解】 解：（1）由1215x ≤-≤，得13x ≤≤，所以{}13B x x =≤≤， 所以{1R B x x =<或}3x >，因为{}12A x x =-≤≤，所以{}13A B x x ⋃=-≤≤，(){}11R A B x x ⋂=-≤< （2）因为()A B C ⋃⋂≠∅，{}C x x m =>，{}13A B x x ⋃=-≤≤， 所以3m <，所以实数m 的取值范围为(,3)-∞，1.（江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高二下学期期中）设集合M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ≠⊂N B ．N ≠⊂M C ．M ∈N D ．N ∈M 【答案】A 【分析】根据集合,M N 元素的特征确定正确选项. 【详解】对于集合N ，当n ＝2k 时，x ＝4k ＋1（k ∈Z ）；当n ＝2k －1时，x ＝4k －1（k ∈Z ）.所以N ＝{x |x＝4k ＋1或x ＝4k －1，k ∈Z }，所以M ≠⊂N . 故选：A2、（重庆市涪陵高级中学2019-2020学年高一上学期）已知集合{}260A x x x =+-≤，{}212B x m x m =-≤≤+，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．(][),10,-∞-+∞B ．[]()1,03,-+∞ C ．()3,+∞D ．[)1,3-【答案】B 【分析】求出集合A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合条件B A ⊆得出关于实数m 的不等式组，解出即可. 【详解】{}{}26032A x x x x x =+-≤=-≤≤.当B =∅时，则212m m ->+，得3m >，此时B A ⊆成立；当B ≠∅时，则212m m -≤+，得3m ≤，由B A ⊆，得21322m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得10m -≤≤，此时10m -≤≤.综上所述，实数m 的取值范围是[]()1,03,-+∞.故选：B.3.（广东省佛山市第三中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题）已知集合{}21,A x y x y Z==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ）A ．AB = B ．A BC ．BAD ．A B =∅【答案】C 【分析】由题意得出Z A ⊆，而集合B Z ，由此可得出A 、B 的包含关系.【详解】由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则BZ ，因此，BA .故选：C.4.（四川省成都市双流区棠湖中学2019-2020学年高一上学期期中）已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞- B ．[2,)-+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞ 【答案】D 【分析】先根据A B B ⋃=得到A B 、之间的关系，然后利用不等式确定a 的范围. 【详解】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，又因为{}{|20}|2A x x x x =-<=<，{|}B x x a =<，所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞，故选：D.5.（上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017年高一上学期）已知集合{}2263A x k x k =-+<<-，{}B x k x k =-<<，若AB ，则实数k 的取值范围为________.【答案】10,2⎛+ ⎝⎦【分析】由题意知B ≠∅，可得出0k >，分A =∅和A ≠∅，结合条件A B ，列出关于实数k 的不等式组，解出即可. 【详解】AB ，B ∴≠∅，则k k -<，解得0k >.当A =∅时，2326k k -≤-+，即2290k k +-≤，解得11k -≤≤-+，此时01k <≤；当A ≠∅时，2326k k ->-+，即2290k k +->，解得1k <-或1k >-此时1k >.AB ，则2263k k k k -+≥-⎧⎨-≤⎩，即2630k k k ≤⎧⎨--≤⎩，解得1122k +≤≤，1k <≤经检验，当12k +=时，A B ≠.综上所述，实数k 的取值范围是10,2⎛ ⎝⎦.故答案为：⎛ ⎝⎦.6.（重庆市第八中学2018-2019学年度高一上学期期中考试）已知集合A={x|x 2-（a -1）x -a＜0，a∈R}，集合B={x|2x 12x+-＜0}．（1）当a=3时，求A∩B ；（2）若A∈B=R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A ∩B ={x |-1＜x 12-＜或2＜x ＜3}；（2）()2,+∞.【分析】（1）结合不等式的解法，求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．（2）结合A∈B=R ，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】 解：（1）当a =3时，A ={x |x 2-2x -3＜0}={x |-1＜x ＜3}， B ={x |212x x+-＜0}={x |x ＞2或x ＜-12}． 则A ∩B ={x |-1＜x 12-＜或2＜x ＜3}．（2）A ={x |x 2-（a -1）x -a ＜0}={x |（x +1）（x -a ）＜0}，B ={x |x ＞2或x ＜-12}． 若A ∈B =R ，则2a >，即实数a 的取值范围是()2,+∞．7.（北京市第十三中学2019-2020学年高一上学期期中）已知函数()f x 的定义城为A ,集合{}11B x a x a =-<<+(1)求集合A ;(2)若全集{}5U x x =≤,2a =,求u A B ;(3)若x B ∈是x A ∈的充分条件,求a 的取值范围． 【答案】(1)|34x xA;(2){}|3134UAB x x x =-<≤-≤≤或;(3)|3a a .11 【分析】(1)分母不能为0,偶次方根式的被开方数不能负值.(2)一个集合的补集是在全集而不在这个集合中的元素组成的集合,两个集合的交集是两个集合的公共元素组成的集合;(3)依题意得B 是A 的子集,即集合B 的元素都在集合A 中,由此确定a 的范围.【详解】解: (1)要使函数()f x 有意义,则4030x x -≥⎧⎨+>⎩,即34x 所以函数的定义域为|34x x .所以集合|34x x A(2)因为全集{}5U x x =≤,2a =, ,{}{}1113B x a x a x x ∴=-<<+=-<<{}|135U B x x x ∴=≤-≤≤或,{}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)由(1)得|34x x A ,若x B ∈是x A ∈的充分条件,即B A ⊆,①当B =∅时, B A ⊆,即11,a a -≥+0a ∴≤②当B ≠∅时, B A ⊆,11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩, 综上所述: a 的取值范围为{}|3a a ≤.8.（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一上学期期中）已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）方程ax 2﹣3x +2＝0无解，则0a ≠，根据判别式即可求解；（2）分a ＝0和a ≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.【详解】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98= ∈a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。
福建省四校2020-2021学年高一上学期期中联考历史试题
安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2020年秋季高一年期中联考考试科目：历史满分：100分考试时间：90分钟第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分。
在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
把所选取答案一律填涂到答题卡上。
）1．商朝信仰天帝的权威，《礼记》则有“君天下曰天子”的记载，唐代经学家孔颖达对此的注释“是上天之子，又为天所命子养下民”。
由此可见周朝“礼”的文化（）A．使神权、王权的结合更为密切 B．有效维护了分封制和宗法制C．为周取代商提供了社会基础 D．为强化王权提供了理论依据2．山东素有“齐鲁之邦”之称，这与西周的分封制有关，但山东的简称是鲁，而不是齐。
关于是鲁不是齐的原因，下列解释最合理的是（）A．因孔子受到历代推崇 B．鲁国的历史更为悠久C．受宗法制正统观念影响D．由分封制等级体系决定3.观察下表，在西周时期周王离世后，最有资格继承王位的是（）A．① B．②C．③D．④4．《左传》记载桓公五年：“（周）王夺郑伯（郑庄公）政，郑伯不朝。
秋，王以诸侯伐郑，郑伯御之……王卒大败，祝聃（郑庄公的部将）射王中肩。
”这一事件反映了（）A．武王克商 B．王室衰微 C．平王东迁 D．诸侯争霸5.《韩非子·五蠹》中记载来这样一则故事：宋人有耕田者，田中有株，兔走触株，折颈而死。
因释其耒而守株，冀复得兔。
兔不可复得，而身为宋国笑。
今欲以先王之政，治当世之民，皆守株之类也。
这则故事表明，韩非子主张（）A．加强君主专制 B．勤劳耕作，不要好高骛远C．重农抑商 D．“不期修古，不法常可”6.据下表可以得出的正确认识是（）A. 变法重视人才选拔与使用B. 变法侧重重建伦理和政治C. 变法旨在改变当时的社会性质D. 变法以实行土地私有制为中心7．商至秦汉，现有文献记录到的大瘟疫如下：商代仅记录到河南2次；周代记录到陕西5次，山东、河北各1次；秦汉记录到浙江、河南、湖北各3次，安徽2次，山东、江苏、江西、山西、湖南、贵州、广东、内蒙各1次。
贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案贵溪市实验中学高中部2020—2021学年第一学期第一次月考高二(理科)数学试卷考试时间:120分钟 总分：150 命题人：一、 选择题:本大题共12小题。
每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的。
1、设等差数列｛}的前n 项和为n S ，若515S =,则3a =（ ） A. 3 B 。
4 C. 5 D 。
6 2．若a b c >>，且0a b c ++=,则（ ） A ．ab bc > B ．ac bc >C ．ab ac >D ．a b c b >3．若a 和b 是异面直线，a 和c 是平行直线，则b 和c 的位置关系是（ ）A ．平行B ．异面C ．异面或相交D ．相交、平行或异面4、在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等差数列，sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形5、从平面α外一点P 引直线与α相交，使P 点与交点的距离等于1,这样的直线（ ）A ．仅可作2条B ．可作无数条C ．仅可作1条D ．可作1条或无数条或不存在6、已知圆锥的母线长是10,侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）。
A ．B ． 100πC ．D ． 50π7．已知数列{}n a 为各项均不相等的等比数列，其前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则 ）A ．3B．1 D8、关于空间中直线与平面之间的关系描述不正确的是（ ) A ．b a a //,α⊥⇒α⊥b B ．αα⊥⊥b a ,⇒b a // C ．α⊂b b a ,//⇒α//a D ．αβα⊂a ,//⇒β//a9、在ABC 中，角A , B ， C 的对边分别为a , b ， c ，且75A =︒， 60B =︒，则b =（)．A.B 。
福建省厦门市同安实验中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷及解析
福建省厦门市同安实验中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知命题，20x e x --≤”，则p 的否定为（ ） A.x R ∃∈，20x e x --≥ B.x R ∃∈，20x e x --> C.x R ∀∈，20x e x --> D.x R ∀∈，20x e x --≥2.下列各组函数表示同一函数的是 A.()()2f x g x ==B.f （x ）=x ，g （x ）C.f （x ）=1，g （x ）=x 0D.()()2111x f x x g x x -=+=-， 3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<4.已知不等式20x ax b ++<的解集是{}12x x -<<，则a b +=( ) A. 3-B. 1C. 1-D. 35.已知函数2-231()2x x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭则()f x 值域为（ ）A.(0,4]B.[4,)+∞C.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6.函数12||xx y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=的图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.7.函数()212()log 23f x x x =--的单调递减区间是（ ）A.(,1)-∞B.(1,)+∞C.(,1)-∞-D.(3,)+∞8.已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(0a >且1a ≠)在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭第II 卷（非选择题）二、填空题9.已知U =R ，}3A x x =≤，{}0,1,2,3,4,5B =，则图中阴影部分所表示的集合为______.10.函数()log 14a y x =-+的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()f x 的图象上，则()3f =________.11.已知集合261|()13x x A x --⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，3{|log ()}1B x x a ≥＝＋，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．12.已知函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，给出下列三个结论： ①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-.恰有3个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =-．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（1）1223021272(2020) 1.548⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）2log7323log 125147log 3log 4g g ++++⨯. 14.已知集合{}25140A xx x =--<∣，{3-2}B x a x a =≤≤∣. （1）若4a =，求A B ，()R A B ⋂；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.15.已知函数2()1xf x x =+的定义域为(1,1)-， （1）利用函数的单调性定义探讨()f x 在(1,1)-上单调性； （2）解不等式(-1)()0f t f t +<.16.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，（1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）若函数()()21g x f x ax =-+[]()1,2x ∈，求函数()g x 的最小值()h a .17.南宁地铁项目正在如火如茶地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利.已知地铁2号线通车后，列车的发车时间间隔t (单位：分钟)满足220t ，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t 相关，当1020t 时，地铁为满载状态，载客量为500人；当210t <时，载量会减少，减少的人数与2(10)t -成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为()s t .（1）求()s t 的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为8()265660s t Q t-=-(元)问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 18.已知函数f(x)=2x (x ∈R).（1）解不等式f(x)−f(2x)>16−9×2x ；（2）若函数f(x)=g(x)+ℎ(x),其中g(x)为奇函数,ℎ(x)为偶函数,若不等式2ag(x)+ℎ(2x)≥0对任意x ∈[1,2]恒成立,求实数a 的取值范围.四、新添加的题型19.已知集合，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为（ ） A.2B.2-C.3-D.120.记函数2()23f x x ax =+-在区间(-,3]∞-上单调递减时实数a 的取值集合为A ，不等式1(2)2x a x x +>-恒成立时实数a 的取值集合为B ，则（ ）A.{3}A aa =∣ B.B A ⊆C.{4}B aa =∣ D."x B ∈"是"x A ∈"的必要不充分条件21.已知0,1a b a b <<+=,则下列不等式中,正确的是( ) A.2log 0a < B.122a b-<C.24b a a b+<D.22log log 2a b +<-22.下列几个说法，其中正确的有（ ）A.已知函数()f x 的定义域是1,82⎛⎤ ⎥⎝⎦，则()2xf 的定义域是(1,3]-B.若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是02b << C.函数2x y =与2yx 的图象交点个数是2个D.若函数21()4ln1x f x x x +=+-在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值分别为M 和m ，则8M m +=参考答案1.C【解析】1.特称命题的否定为全称命题，从而得到结果. ∵特称命题的否定为全称命题，∴命题 :p “x R ∃∈，20x e x --≤”，的否定:,20x p x R e x ⌝∀∈-->. 故选:C . 2.B【解析】2.通过求函数的定义域可以判断出A ，C ，D 中的函数都不是同一函数，而对于B 显然为同一函数．A.() f x =的定义域为R ,()2g x =的定义域为[0+∞，），定义域不同，不是同一函数；B ．f （x ）=x 和g （x ）,C ．f （x ）=1的定义域为R ，g （x ）=x 0的定义域为{|0}x x ≠，不是同一函数；D ．()1f x x =+定义域为R ，()211x g x x -=-的定义域为{|1}x x ≠，定义域不同，不是同一函数． 故选B ． 3.B【解析】3.运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ． 4.A【解析】4.2=0x ax b ++的两个解为-1和2.1=0134202a b a a b a b b -+=-⎧⎧⇒⇒+=-⎨⎨++==-⎩⎩ 5.C【解析】5.先求223t x x =-+的范围，再求12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域. 令2-23t x x =+，则2(-1)2[2,)t x =+∈+∞，则110,24ty ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故选：C 6.D【解析】6.将函数化为分段函数后，根据指数函数的单调性可得结果.因为12||xx y x ⎛⎫⎪⎝⎭=1,021,02xxx x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增， 所以只有D 选项正确. 故选：D 7.D【解析】7.先求函数定义域，再分析内层函数2()23g x x x =--的单调性，结合12()log f x x =的单调性，根据同增异减的原则可得解.令2()23g x x x =--，由2(2)30x g x x -->=，可得1x <-或3x >， 所以2()23g x x x =--在(,1)-∞-单调递减，在(3,)+∞单调递增， 又12()log f x x =单调递减.由复合函数“同增异减”可得：()212()log 23f x x x =--在(,1)-∞-单调递增，在(3,)+∞单调递减， 故选：D. 8.D【解析】8.根据()f x 是R 上的单调递减函数，可得1334a ，根据函数|()|y f x =和23x y =-的图象有两个交点可得23<a ，综合可得1233a <. ()f x 是R 上的单调递减函数，2(43)3y x a x a ∴=+-+在(),0∞-上单调递减，log (1)1a y x =++在(0,)+∞上单调递减，且()f x 在(),0∞-上的最小值大于或等于(0)f .∴34020131aa a -⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪⎩，解得1334a. 作出函数|()|y f x =和23xy =-的草图如图所示：|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，32a ∴<，即23<a ， 综上，1233a <. 故选：D. 9.{4,5}【解析】9.由韦恩图知阴影部分为U C A B ⋂，根据已知集合，应用集合的交补运算求集合即可. 由图知：阴影部分为U C A B ⋂，而{|3}U C A xx =>，∴{4,5}U C A B ⋂=， 故答案为：{4,5}. 10.9【解析】10.令真数为1,可得定点P 的坐标,用待定系数法设出幂函数解析式,代入P 的坐标,可得幂函数解析式,从而可得(3)f .令11x -=,得2x =此时4y =,故(2,4P ),设幂函数解析式()f x x α=,依题意有(2)4f =,即24α=,解得2α=,所以2()f x x =,所以2(3)39f ==. 故答案为:9 11.(－∞，0]【解析】11.由集合A 、B 得到元素的范围，根据“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件知B A ，即可求得a 的范围 由261|()13x x A x --⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，得x 2－x －6 ≥ 0 即x ≤－2或x ≥ 3 ∴ A ＝{x |x ≤－2或x ≥ 3}由31log ()x a ≥＋，得x ＋a ≥ 3，即x ≥ 3－a ， 则B ＝{x |x ≥ 3－a } 由题意知：BA∴ 3－a ≥ 3，得a ≤ 0. 故答案为：(－∞，0] 12.②③【解析】12.由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，进而可得11b x a-=，2b x e -=，3bx e =，令111b x a-==-验证后即可判断③；即可得解. 对于①，当2a =-时，由201e -<<，22(0)1()ln 2f f e e --=<==，所以函数()f x 在区间(,1)-∞不单调递减，故①错误；对于②，函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩可转化为1,0()ln ,01ln ,1ax x f x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞，故②正确；对于③，令()0y f x b =-=即()f x b =，结合函数图象不妨设12301x x x <<<<， 则1231ln ln ax x x b +=-==， 所以11b x a-=，2b x e -=，3bx e =，所以231b b x x e e -⋅=⋅=， 令111b x a-==-即1b a =-+， 当0a <时，11b a =-+>，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 当01a <<时，011b a <=-+<，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意； 故③正确. 故答案为：②③. 13.（1）12；（2）234.【解析】13.（1）根据指数幂的运算性质计算可得结果； （2）根据对数的运算性质计算可得结果. （1）原式=399112442--+=， （2）原式=14321log 3lg(254)2log 44-+⨯++=-232224+++=.14.（1）A B {}|210x x =-<≤,()R A B ⋂{}|710x x =≤≤（2）3a <【解析】14.（1）化简集合A ，求出A R，再根据并集的概念求出A B ，根据交集的概念求出()RA B ⋂；（2）由AB B =得B A ⊆，再按照B =∅和B ≠∅两种情况讨论可求得结果.（1）{}25140A xx x =--<∣{}|27x x =-<<，{|2RA x x =≤-或}7x ≥，{}|410B x x =≤≤， A B {}|210x x =-<≤，()RA B ⋂={|2x x ≤-或}7x≥{}|410x x ≤≤{}|710x x =≤≤.（2）因为A B B =，所以B A ⊆，当B =∅时，32a a >-，即1a <时，满足 B A ⊆；当B ≠∅，即1a ≥时，由B A ⊆得12732a a a ≥⎧⎪-<⎨⎪>-⎩，解得13a ≤<，综上所述：3a <.15.（1）答案见解析；（2）102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣.【解析】15.（1）按照取值、作差、变形、判号、下结论这五个步骤可得解. （2）根据奇偶性将不等式化为(1)()f t f t -<-，根据单调性可解得结果.（1）设1211x x -<<<，12122212()()11x x f x f x x x -=-++2212212212(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+=++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++， 因为1211x x -<<<，所以120x x -<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以2()1x f x x =+在(1,1)-上为单调递增函数. （2）2()1x f x x =+的定义域为(1,1)-， 22()()11x x f x x x --==--++()f x =-，所以()f x 为(1,1)-上的奇函数， 由(1)()0f t f t -+<得(1)()()f tf t f t. ()f x 在(-1,1)上是增函数，111t t ∴-<-<-<，102t ∴<<， ∴不等式的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣. 16.（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩；（2）()22,02,0114,1a a h a a a a a a -⎧⎪=--<<⎨⎪-⎩【解析】16.（1）根据偶函数的性质进行转化求解即可．（2）求出()g x 的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．解：（1）()f x 是偶函数，∴若0x >，则0x -<，则当0x -<时，2()2()f x x x f x -=-=，即当0x >时，2()2f x x x =-． 即222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩． （2）当[]1,2x ∈时，22()()21221(22)1g x f x ax x x ax x a x =-+=--+=-++，对称轴为1x a =+，若11a +，即0a 时，()g x 在[]1,2上为增函数，则()g x 的最小值为()()12h a g a ==-，若12a +，即1a 时，()g x 在[]1,2上为减函数，则()g x 的最小值为()()114h a g a ==-，若112a <+<，即01a <<时，()g x 的最小值为()()212h a g a a a =+=--，即()22,02,0114,1a a h a a a a a a -⎧⎪=--<<⎨⎪-⎩．17.（1）25002(10),210()500,1020t t s t t ⎧--<=⎨⎩，发车时间间隔为5分钟时列车的载客量450人；（2）当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元.【解析】17.（1）根据(2)372s =求出2k =，则可得()s t 的表达式；（2）分两段求出最大值，比较两段的最大值可得结果.（1）当1020t 时，()500s t =.当210t <时，2()500(10)s t k t =--，(2)372s =，372∴2500(102)k =-⨯-解得2k =，2()5002(10)s t t ∴=--. 25002(10),210()500,1020t t s t t ⎧--<∴=⎨⎩，2(5)500-25450s ∴=⨯=人.（2）当1020t 时，()500s t =.8500265613446060Q t t ⨯-∴=-=-可得Q 13446074.410-=，所以max 74.4Q =. 当210t <时，2()5002(10)s t t =--，2400016(10)265660t Q t---∴=-=1616260t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≤16260132-⨯=，当且仅当4t =时，max 132Q =. 答：当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元. 18.（1）（1，3）；（2）a≥−1712 .【解析】18.（1）设t ＝2x ，利用f （x ）＞16﹣9×2x ，转化不等式为二次不等式，求解即可； （2）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合对勾函数的图象与性质求解函数的最值，推出结果．解：（1）设t=2x ，由f （x ）＞16﹣9×2x 得：t ﹣t 2＞16﹣9t ， 即t 2﹣10t+16＜0∴2＜t ＜8，即2＜2x ＜8，∴1＜x ＜3∴不等式的解集为（1，3）．（2） 由题意得解得.2ag （x ）+h （2x ）≥0，即，对任意x ∈[1，2]恒成立，又x ∈[1，2]时，令，在上单调递增， 当时，有最大值，所以. 19.AC【解析】19. 根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+-或224x x =+-，解出后根据元素的互异性进行验证即可．解：由题意得，22334x x =+-或224x x =+-，若22334x x =+-，即220x x +-=，2x ∴=-或1x =，检验：当2x =-时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去；当1x =时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去．若224x x =+-，即260x x +-=，2x ∴=或3x =-，经验证2x =或3x =-为满足条件的实数x ．故选：AC ．20.ACD【解析】20.根据二次函数的单调性求出{3}A aa =∣，根据不等式恒成立求出集合{4}B a a =∣，根据A B 可得答案.因为函数2()23f x x ax =+-在区间(,3]-∞-上单调递减， 所以232a--，解得3a ，即{3}A aa =∣. 不等式1(2)2x a x x +>-恒成立等价于min 1(2)2x a x x ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭， 当2x >时，20x ->，所以112222x x x x +=-++--24=，当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立，所以min 14-2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4a ，即{4}B a a =∣.因为A B ，所以“x B ∈"是"x A ∈"的必要不充分条件.故选：ACD.21.AD【解析】21.根据不等式性质可求得01a b <<<，10a b -<-<，利用基本不等式可求得2b a a b +>，104ab <<，结合对数函数和指数函数的单调性可依次判断出各个选项. 0a b <<且1a b += 01a b ∴<<<，10a b -<-< 2log 0a ∴<，A 正确；11222a b -->=，B 错误；2b a a b +≥=（当且仅当b a a b =，即a b =时取等号），又0a b << 2b a a b∴+> 2224b a a b +∴>=，C 错误；2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取等号），又0a b << 104ab ∴<< 22221log log log log 24a b ab ∴+=<=-，D 正确. 故选：AD22.ABD【解析】22.对于A ，由1282x <≤解得13x -<≤，可知A 正确； 对于B ，根据|22|x y =-与y b =的图象可得02b <<，故B 正确；对于C ，根据函数2x y =与2yx 的图象可知C 不正确； 对于D ，令21()ln 1x g x x x +=-，x ∈11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知()g x 为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的奇函数，由max min ()()0g x g x +=可得8M m +=，故D 正确.对于A ，因为函数()f x 的定义域是1,82⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以182x <≤，由()2x f 有意义得1282x <≤，解得13x -<≤，即()2x f 的定义域是(1,3]-，故A 正确； 对于B ，因为函数()22xf x b =--有两个零点，|22|x b -=有两个实根，所以函数|22|x y =-与y b =的图象有两个交点，由图可知02b <<，故B 正确； 对于C ，函数2x y =与2y x 的图象如图：由图可知函数2x y =与2y x 的图象有3个交点，故C 不正确； 对于D ，令21()ln 1x g x x x +=-，x ∈11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则21()()ln 1x g x x x --=-+121ln 1x x x -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭()g x =-，所以()g x 为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min 4()4()8M m g x g x +=+++=，故D 正确. 故选：ABD。
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【解析】
【分析】
先由基本不等式判断 在 处取得最小值，且最小值为3，再根据已知条件建立方程组 ，解得 ，最后求函数 在 上的最大值.
【详解】
解：因为 ，所以 、 ，则 ，
当且仅当 即 时，取等号，
所以 在 处取得最小值，且最小值为3.
因为 与 在 上同一点取得相同的最小值，
所以 在 处取得最小值，且最小值为3，
当 时，因为集合 中仅有一个元素，所以 ，所以 ，此时 或 ，满足要求，
故选：BCD.
【点睛】
本题考查根据集合中元素个数求解参数值，其中涉及到根据集合的子集个数确定集合中元素个数，难度一般.集合中元素个数与集合的子集个数的关系：集合中有 个元素，则集合有 个子集.
12．CD
【解析】
【分析】
先由基本不等式求得 ，再结合 ，求解 ， 的值即可.
【分析】
根据逆否命题同真假，则由 “不攻破楼兰”则“不还家”，其逆否命题为“攻破楼兰”则“返回家乡”，即可得解.
【详解】
根据“不破楼兰终不还”，
可得： “不攻破楼兰”则“不还家”，
其逆否命题为“攻破楼兰”则“返回家乡”，
所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的充分条件，
故选：A.
【点睛】
本题考查了命题充要条件的判断，考查了逆否命题同真假，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
A． B．4C．8D．
7．不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（）
A． B． 或
C． D． 或
二、多选题
9．给出下列四个结论，其中结论错误的有（）
A． 是空集B．若 ，则
C．“ ，2x为偶数”是假命题D．集合 是有限集
10．下列式子中，能使 成立的充分条件有（）
A． B． C． D．
11．已知集合 ，若集合A有且仅有2个子集，则 的取值有（）
A． B． C．0D．1
12．已知正常数 ， 和正变数 ， 满足 ， ， 的最小值为18，求 ， 的值是（）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若 ，则集合 中所有元素之和为________.
所以 ，解得 ，所以
因为 ，所以 在 处取得最大值.
所以 在 上的最大值为： .
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求函数的最小值、根据二次函数的最值求函数的解析式、求二次函数在指定区间的最大值，是中档题.
7．C
【解析】
【分析】
讨论两种情况， 时合题意，当 时，利用判别式小于零且 可得结果.
【详解】
（1）若一次喷洒 个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒 个单位的去污剂， 天后再唢洒 个单位的去污剂，要使接来的 天中能够持续有效去污，试求 的最小值（精确到 ，参考数据: 取 ）.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据集合的元素特征，逐个判断即可得解.
【详解】
根据集合元素的确定性，
易知：B答案中的小河流，是不确定的，故不能构成集合，
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了充分条件的判断，考查了不等式的性质，属于基础题.
11．BCD
【解析】
【分析】
根据条件可知集合 中仅有一个元素，由此分析方程 为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出 的值.
【详解】
因为集合 仅有 个子集，所以集合 中仅有一个元素，
当 时， ，所以 ，所以 ，满足要求；
14．如果集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为_____.
15． 的最小值为__________.
16．函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是______________.
四、解答题
17．设全集为 ，集合 ， .
（1）分别求 ， ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围构成的集合.
19．
【解析】
【分析】
先由已知得到 ，接着整理得 ，再根据 的最大值大于 建立不等式 ，最后求实数 的取值范围.
【详解】
解：因为不等式 的解集为 ，
所以 ，整理得 ，
因为 ，
所以 的最大值为： ，
因为 的最大值大于 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 或
所以实数 的取值范围： .
【点睛】
本题考查根据一元二次不等式的解集确定参数范围、根据二次函数的最值求参数范围，是基础题.
15．
【解析】
【分析】
由 ，化简 ，再根据基本不等式，即可得解.
【详解】
由 ，
可得： ，
当且仅当 ，即 ，时取等号，
故 的最小值为 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，考查了化简计算能力，属于基础题.
16．
【解析】
【分析】
先根据图像判断对应的二次方程的根，得到系数的关系，再代入求解分式不等式即可.
所以元素之和为2.
故答案为：2
【点睛】
本题考查根据元素与集合的关系确定参数，属于基础题.
14．M=P
【解析】
试题分析：利用不等式的性质可得：x+y＜0，xy＞0，⇔x＜0，y＜0．进而判断出集合M与P的关系．
解：由x+y＜0，xy＞0，⇔x＜0，y＜0．
∴M=P．
故答案为M=P．
点评：熟练掌握不等式的性质和集合间的关系是解题的关键．
【详解】
以图象可知 ，方程 的根为1和2，故 ， ，
即 ， ，所以不等式 即 ，即 ，等价于 ，故解集为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了二次函数图像与对应二次方程的根之间的关系，考查了分式不等式的解法，属于基础题.
17．（1） ， 或 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据交集、补集和并集的知识求得正确结果；
（2）根据子集的知识列不等式组，解不等式组求得 点的取值范围.
【详解】
（1）依题意 ， ，
所以 ， 或 ，
所以 或 或 .
（2）由题意集合 ， ，
∴ ，∴ ，∴ .
【点睛】
本小题主要考查交集、补集和并集的概念和运算，考查根据子集求参数的取值范围，属于中档题.
18．不存在实数 使
【解析】
【分析】
根据 得到 ，由此计算出 的可能取值，针对 的每一个取值，分析集合 的合理性，由此判断 是否存在.
【分析】
A．根据空集定义作出判断；B．考虑特殊元素 ；C．举例说明；D．根据条件分析 的取值情况.
【详解】
A． 中包含一个元素 ，所以不是空集，说法错误；
B．当 时， ， ，说法错误；
C．当 时， 且 是偶数，说法错误；
D． ， ，比如 ，此时 满足，由此可知 是无限集，说法错误；
故选：ABCD.
【点睛】
21．已知不等式 .
（1）解这个关于 的不等式，最后结果用集合形式表示；
（2）若当 时不等式成立，求 的取值范围.
22．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒 个单位的去污剂，空气中释放的浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间 单位：天）变化的函数关系式，近似为
,若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于 （毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.
18．己知 ， ，问是否存在实数 ，使 ？
19．已知二次函数 的二次项系数为 ，且不等式 的解集为 ，若 的最大值大于 ，求 的取值范围.
20．设命题 对任意 ，不等式 恒成立；命题q：存在 ，使得不等式 成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
先根据条件求解出 ，然后根据不等式有解得到 ，由此求解出 的取值范围.
【详解】
因为 ，
取等号时 ，所以 ，
因为不等式 有解，所以 ，
所以 或 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解不等式有解问题，对学生的转化与计算能力要求较高，难度一般.运用基本不等式时注意说明取等号的条件.
9．ABCD
【解析】
所以p为真时，实数m的取值范围是 ；
（2）命题q：存在 ，使得不等式 成立，
只需 ，而 ， ， ， ，
即命题q为真时，实数m的取值范围是 ，
依题意命题 一真一假，
若p为假命题，q为真命题，则 ，得 ；
若q为假命题，p为真命题，则 ，得 ，
综上， 或 .
【点睛】
本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.
本题考查集合和常用逻辑用语有关命题的真假判断，主要考查学生对命题真假的判断能力，难度较易.
10．ABD
【解析】
【分析】
根据不等式性质，逐个判断即可得解.
【详解】
对A，因为 ，所以 ，故A正确，
对B， ，根据不等式的性质可得： ，故B正确
对C，由于 ，所ห้องสมุดไป่ตู้ ，故C错误，
对D，由于 ，根据不等式的性质可得： ，根D正确，
5．C
【解析】
【分析】
根据条件作出 图，根据 图分析喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.
【详解】
根据条件作出 图如下：
根据条件可知：喜欢运动的人有 人，喜欢篮球和乒乓球的人一共有 人，
所以既喜欢篮球也喜欢乒乓球的人数为 人，
所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 人，