三角形的内角平分线和外角平分线组成的角
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4.三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
1.如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线,PB,PC交点为P，已知
∠A=80°，求∠CPB的度数。
解：∵ ∠A=80°∴∠ACB+∠ABC=100°， ∵ PB，PC分别是△ABC的角平分线, ∴∠1+∠2=50° ∴∠CPB=130°
1
2
9--3
变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线， 且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠CPB的度 数。
解：∵ ∠A=α，∴∠ACB+∠ABC=180°－α， ∵ PB，PC分别是△ABC的角平分线, ∴∠1+∠2=（180°－ α ）/2， ∴∠CPB=180°－（180°－ α ）/2
=90°＋ α/2
归纳：三角形的两条内角平分线所 夹的钝角等于90°加上第三角的一半。
1
2
9--4
2：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线和外 角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=60°， 求∠CPB的度数。
解：∵ PB，PC分别是△ABC的角 平分线和外角平分线
∴ ∠1=1/2 ∠ABE, ∠2=1/2 ∠ACB
解：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分
线，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°- 1/2 （∠CBD+∠BCE）
=180°- 1/2 （∠A+∠ACB+∠BCE）
=180°- 1/2 （∠A+180°）
=90°- 1/2 ∠A
E
D
归纳：三角形的两条外角平分线所夹的锐角 等于90°减去第三角的一半。
∵ ∠1= ∠2+ ∠P
∴ ∠P=1/2 ∠ABE﹣1/2 ∠ACB
2
=1/2（ ∠ABE﹣ ∠ACB ）
= 1/2 ∠A
=30°
1ABC的角平分线 和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知
∠A=α ，求∠CPB的度数。
解：∵ PB，PC分别是△ABC的角
三角形的内角平分线与外角平分线组成的角
蒋场中学数学教研组 郑芳芳
知识梳理:
1.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个 角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三 角形的角平分线；
2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距 离相等；
3.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
9--8
4.如图，已知△ABC，P是平面内的任意一
点，作出到三边距离相等的点P，这样的点
有几个？
A
可分为两种情况：（1）点P在形内一个， 分别作两个内角的角平分线，交点即为 所求；（2）点P在形外3个，分别作两个 外角的角平分线，交点即为所求。
9--9
平分线和外角平分线
∴ ∠1=1/2 ∠ABE, ∠2=1/2 ∠ACB
∵ ∠1= ∠2+ ∠P
∴ ∠P=1/2 ∠ABE﹣1/2 ∠ACB
=1/2（ ∠ABE﹣ ∠ACB ）
1
= 1/2 ∠A
2
E
归纳：三角形的一条内角平分线和另一个角的外角 平分线所夹的锐角等于第三角的一半。
9--6
3：如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线， 且PB，PC交点为P，已知∠A=60°，求∠CPB 的度数。
解：∵PB和PC是△ABC的两条外 角平分线，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°- 1/2 （∠CBD+∠BCE） =180°- 1/2 （∠A+∠ACB+∠BCE） =180°- 1/2 （∠A+180°） =90°- 1/2 ∠A
=60°
E
D
9--7
变化：如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分 线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α°，求 ∠CPB的度数。
1.如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线,PB,PC交点为P，已知
∠A=80°，求∠CPB的度数。
解：∵ ∠A=80°∴∠ACB+∠ABC=100°， ∵ PB，PC分别是△ABC的角平分线, ∴∠1+∠2=50° ∴∠CPB=130°
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变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线， 且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠CPB的度 数。
解：∵ ∠A=α，∴∠ACB+∠ABC=180°－α， ∵ PB，PC分别是△ABC的角平分线, ∴∠1+∠2=（180°－ α ）/2， ∴∠CPB=180°－（180°－ α ）/2
=90°＋ α/2
归纳：三角形的两条内角平分线所 夹的钝角等于90°加上第三角的一半。
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2：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线和外 角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=60°， 求∠CPB的度数。
解：∵ PB，PC分别是△ABC的角 平分线和外角平分线
∴ ∠1=1/2 ∠ABE, ∠2=1/2 ∠ACB
解：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分
线，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°- 1/2 （∠CBD+∠BCE）
=180°- 1/2 （∠A+∠ACB+∠BCE）
=180°- 1/2 （∠A+180°）
=90°- 1/2 ∠A
E
D
归纳：三角形的两条外角平分线所夹的锐角 等于90°减去第三角的一半。
∵ ∠1= ∠2+ ∠P
∴ ∠P=1/2 ∠ABE﹣1/2 ∠ACB
2
=1/2（ ∠ABE﹣ ∠ACB ）
= 1/2 ∠A
=30°
1ABC的角平分线 和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知
∠A=α ，求∠CPB的度数。
解：∵ PB，PC分别是△ABC的角
三角形的内角平分线与外角平分线组成的角
蒋场中学数学教研组 郑芳芳
知识梳理:
1.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个 角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三 角形的角平分线；
2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距 离相等；
3.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
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4.如图，已知△ABC，P是平面内的任意一
点，作出到三边距离相等的点P，这样的点
有几个？
A
可分为两种情况：（1）点P在形内一个， 分别作两个内角的角平分线，交点即为 所求；（2）点P在形外3个，分别作两个 外角的角平分线，交点即为所求。
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平分线和外角平分线
∴ ∠1=1/2 ∠ABE, ∠2=1/2 ∠ACB
∵ ∠1= ∠2+ ∠P
∴ ∠P=1/2 ∠ABE﹣1/2 ∠ACB
=1/2（ ∠ABE﹣ ∠ACB ）
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= 1/2 ∠A
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E
归纳：三角形的一条内角平分线和另一个角的外角 平分线所夹的锐角等于第三角的一半。
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3：如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线， 且PB，PC交点为P，已知∠A=60°，求∠CPB 的度数。
解：∵PB和PC是△ABC的两条外 角平分线，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°- 1/2 （∠CBD+∠BCE） =180°- 1/2 （∠A+∠ACB+∠BCE） =180°- 1/2 （∠A+180°） =90°- 1/2 ∠A
=60°
E
D
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变化：如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分 线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α°，求 ∠CPB的度数。