北师大版数学必修一《函数的表示法》教学课件

m (3)可设 f(x)＝kx，g(x)＝ (k≠0，m≠0)， x m 则 φ(x)＝kx＋ . x 1 由 φ( )＝16，φ(1)＝8， 3 1 k＋3m＝16， 得 3 k＋m＝8，
k＝3， ∴ m＝5.
5 ∴φ(x)＝3x＋ . x
作函数的图象
作出下列函数的图象.
2a＋b＝b＋1， ∴ a＋b＝1，
1 a ＝ 2， 1 b＝2.
1 1 ∴f(x)＝ x2＋ x. 2 2
(1)中解法为直接变换法或称为配凑法，通过观察、分析，
将右端“x2－3x＋2”变为接受对象“x＋1”的表达式，即变为含(x＋1)的表 达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求. (2)中解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象 “
2.2 函数的表示法
1.两个函数相同是指它们的 定义域 相同，且 对应关系
完全一致.
2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的
f(x)与之对应.这可概述为： 存在性
和 唯一性 .
3 3. f ( x) 2x 3 7 x 的定义域为 ,7 2
1 (2)方法一：设 t＝ ， x 1 则 x＝ (t≠0)， t 1 x 代入 f( )＝ ， x 1－x2 1 t t 得 f(t)＝ ＝2 ， 1 t －1 1－( )2 t x 故 f(x)＝ 2 (x≠0). x －1 1 x 方法二：∵f( )＝ ＝ ， x 1－x2 1 2 ( ) －1 x x ∴f(x)＝ 2 (x≠0). x －1 1 x
每个函数都可以用列表法、图象法、解析式法三种形式表示吗？
【提示】 不一定，如函数y＝x，x∈R，就无法用列表法表示.
求函数解析式
求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知f( x ＋1)＝x＋2 x，求f(x)；
(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).
1 (1)y＝ ，(x>1)； x (2)y＝x2－4x＋3，x∈［1,3］ ； 1 (3)y＝x x (0<x<1) (x≥1) ；
【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函 数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找 到一些关键点，便可画出函数的大致图象.
【解析】 (1)此函数图象是直线y＝x的一部分.
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些
点都在直线y＝1－x上.(这样的点叫做整点)
x2－x (3)先求定义域， 在定义域上化简函数式 y＝ ＝x， x∈(－∞， 1)∪(1， x－1 ＋∞).其图象如下：
求分段函数的函数值
1.函数的表示法
列表法 图象法
用 表格 的形式表示两个变量之间 函数 关系的方法 用 图象 把两个变量间的 函数 关系表示出来的方法 一个函数的 对应关系 可以用自变量的 称 解析式 )表示出来的方法
解析表达式
解析法
(简
2.分段函数
在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着 不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.
【思路点拨】 (1)(2)小题可以用换元法或配凑法，求a，b，c，利用条件
【解析】
(1)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1) 2－5x＋1
＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)令 x＋1＝t，则 t≥1.即 x＝(t－1)2. 则 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1). (3)∵f(0)＝c＝0， ∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c ＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b， f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，
1.求下列函数的解析式：
(1)已知 f(2x＋1)＝x2＋1，求 f(x)； 1 x (2)已知 f( )＝ ，求 f(x). x 1－x2 (3)已知函数 φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中 f(x)是 x 的正比例函数，g(x) 是 x 的 1 反比例函数，且 φ( )＝16，φ(1)＝8，求 φ(x)的解析式. 3 t－1 【解析】 (1)设 t＝2x＋1，则 x＝ ， 2 t－1 2 ∴f(t)＝( ) ＋1. 2 x－1 2 从而 f(x)＝( ) ＋1. 2
义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图.当已知式是一次或二次式时， 可借助一次函数或二次函数的图象帮助作图. (2)作图象时，应标出一些关键点.例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的 交点等.要分清这些关键点是实心点，还是空心点.
2.作出下列函数的图象.
(1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； x2－x (3)y＝ . x－1
【解析】 (1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1； (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 且x＝1,3时，y＝0；
当x＝ (3)函数 y＝x x
(0<x<1) (x≥1)
的图象如图 3.
图3
(1)图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定
x＋1 已知 f(x)＝ 0 求 f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1))). (x＞0) (x＝0) ， (x＜0)
【思路点拨】 求f(x)的解析式 → 令x＝－1求f(－1) →
f(f(－1)) → f(f(f(－1)))
【解析】 ∵－1＜0，∴f(－1)＝0， ∴f(f(－1))＝f(0) π ，∴f(f(f(－1)))＝f( π ) π ＋1.
x ＋1“换作另一个
字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函 数关系，此即为所求函数解析式.但在利用这种方法时要注意自变量的取值范 围的变化情况，否则就得不到正确的表达式. (3)中解法称为待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可设 出其函数解析式，只要想法确定其系数即可求出结果.