13-14II期中考试试题答案与评分标准

2013-2014II 概率论与数理统计期中考试试题答案与评分标准

1. （12分）在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。 问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？

答：设1A 表示“螺丝钉由甲台机器生产”，2A 表示“螺丝钉由乙台机器生产”， 3A 表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B 表示“螺丝钉不合格”。 ………（2分） （1）由全概率公式)()()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=……（3分） =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； ………（2分） （2）由贝叶斯公式11()()

()()

P A P B A P A B P B =

………（3分）

0.250.05

0.3623190.0345

⨯=

= ………（2分）

2．（12分）随机变量X 的概率密度为

1,02,

()0,

.ax x f x +≤≤⎧=⎨

⎩其它 求（1）常数a ； （2）X 的分布函数)(x F ； （3）)31(<

答：（1）因为

122)1()(2

=+=+=⎰⎰

∞∞

-a dx ax dx x f ， ………（3分）

所以2/1-=a . ………（1分）

（2）因为⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>≤<-≤=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+-≤==

⎰⎰

∞

-.

2,1,20,4,0,0.2,120,)121(,

0,0)()(20x x x x x x x dt t x dt t f x F x x …

（5分） （3）因为X 为连续型随机变量，4

1

)4

1

1(1)1()3(}31{=

--=-=<

答：X 的概率密度函数为 ……（3分）

设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”, 即 A ={ X >3 }. ………（2分）

设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则

………（2分） 1,25,

()3

0,.x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (){3}P A P X =>由于5312

d ,

33

x ==⎰

2~3,.3Y b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

因而有2

30

33222220

{2}11.23333327

P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-+-= ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ………（3分） 4．（20分）（1）设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨

⎧<<=其它

,

040,

8)(x x x f X ，求Y=2X+8的概率

密度。 （2）设随机变量)1,0(~U X ，求X

e

Y 2=的密度函数)(y f Y 。

解：（1） ⎰-∞-=-≤=≤+=≤=28

)()2

8

()82()()(y X Y dx x f y X P y X P y Y P y F …（5分）

⎪⎩⎪

⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<-<

-='--=.0168,328

0428

0,2

1

)28(

81)28)(28()(其它，

，其它，

，

，y y y y y y f y f X Y

…（5分）

（2）因)1,0(~U X ，故⎩

⎨⎧<<=其他；,0,

10,1)(x x f X ……………（1分）

1

ln 22202

0,1,

1(){}{ln }(),1,

21,.y X

Y X y F y P e y P X y f x dx y e y e <⎧⎪⎪

=≤=≤=≤<⎨⎪

⎪≥⎩⎰

……（5分） 21,1,2()'()0,.Y Y y e y f y F y others ⎧<<⎪⎪⎪

==⎨⎪⎪

⎪⎩

……………（4分）

5．(12分) 二维随机变量),(Y X 的联合分布律为

1

.03.02.01

2.01.01.001

01-Y X （1）求Y X ,的边缘分布律；（2）求)1(=+Y X P ；（3）Y X ,是否相互独立。

解：（1）3.02.01.0)1(=+=-=X P ，4.01.03.0}0{=+==X P ，……（2分）

3.01.02.0}1{=+==X P ，

4

.02.01.01.0}0{=++==Y P ，

6.01.03.02.0}1{=++==Y P ………………………（3分）

（2）5.0}0,1{}1,0{)1(===+====+Y X P Y X P Y X

P ………………（4分）

（3）因为}0{}0{1.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ，Y X ,不相互独立………（3分）

6.(22分)设(X ,Y )的概率密度是(1),01,0(,)0,Ay x x y x

f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩

其它 ,

求 (1) A 的值;(2) 两个边缘密度; (3) X 与Y 是否相互独立?(4)条件概率密度()

|Y X f y x . 解：(1)()()2

112

30

1,1()242R x

f x y A dx Ay x dy x x dx A dxdy =-=-==

⎰⎰

⎰⎰⎰……（3分）

所以 A =24. ……（1分） （2）()()()2121,01,

,0,

X x x x f x f x y dy +∞-∞

⎧-≤≤=

=⎨

⎩⎰

其它. ……（5分） ()()()2

241,01,

,0,

Y y y y f y f x y dx +∞-∞

⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰

其它. ……（5分）

（3）因为()()(),X Y f x y f x f y ≠⋅所以不独立. ……（3分）

(4)因为24(1),01,0(,)0,y x x y x

f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它,()2121,01()0,X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它

所以对0

0,

0,

,Y X X y x y x f x y f y x f x =

⎧<<=⎨⎩其它.

……（5分） 7．（12分）设系统L 由两个相互独立的子系统1L 和2L 连接而成，其寿命分别为X 和Y ，

已知它们的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(x x e x f x X 和⎩⎨⎧≤>=-.

0,0,0,2)(2y y e y f y Y 分别求:

（1）子系统1L 和2L 串联时；（2）子系统1L 和2L 并联时系统L 的寿命Z 的概率密度。

解：X 和Y 的分布函数分别为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x X 和⎩⎨⎧≤>-=-.

0,0,

0,1)(2y y e y F y Y ……（4分）