数学人教版九年级下册作平行线构造A型和X型
新人教版九年级下册数学课件：平行线分线段成比例
一、相似三角形
相似三角形 相似三角形的判定
平行线分线段成比例
∽ △A′B′C′. 1.记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC 2.判定:在△ABC 与△A′B′C′中,如果∠A= ∠A′ ,∠B= ∠B′ ,∠C= ∠C′ ,且
AB AB
=
BC BC
【导学探究】 1.由DE∥BC可得,△ADE∽
2.由△ADE∽△ABC 可得
△ABC
DE
,△ADG∽
△ABH .
AD = AB
AD = AB BCຫໍສະໝຸດ .由△ADG∽△ABH 可得
AG
AH
.
解:因为 DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC,△ADG∽△ABH, 所以 所以
AD DE AD AG = , = , AB BC AB AH DE AG = , BC AH
(A) (C)
AD 1 = AB 2 AD 1 = EC 2
)B
(B) (D)
AE 1 = EC 2 DE 1 = BC 2
2.(2017 临沂)已知 AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 O.若
BO 2 = ,AD=10,则 AO= OC 3
4
.
3.(2017长春)如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.若 6. AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为
OE 2.由 l1∥l2 得 = OD
解:(2)因为 l1∥l2,所以
OB OA
OE OB = , OD OA
.
因为 OD=30,OE=12,OB=10, 所以 OA=
OB OD 10 30 = =25, OE 12
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级数学下册第27章第2节第1课时，主要学习相似三角形的判定——平行线分线段成比例定理。该定理是初中学段几何知识的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
在课程开始之前，学生已经掌握了相似三角形的概念、性质以及判定方法。在此基础上，通过引入平行线分线段成比例定理，使学生能够更深入地理解相似三角形的本质，提高解题技能。
2.问题提出：在此过程中，我会提出问题：“如果给你一个建筑设计图，你如何判断窗户的布局是否合理？”从而引出本节课的主题——相似三角形的判定。
3.情景创设：利用多媒体手段，展示两个相似的三角形，让学生直观地感受相似三角形的特征，为学习平行线分线段成比例定理做好铺垫。
（二）讲授新知
1.平行线分线段成比例定理：我会用生动的语言和形象的比喻，讲解平行线分线段成比例定理的含义，让学生理解并掌握定理。
本节课的内容与实际生活密切相关，便于学生感知数学与生活的紧密联系。同时，通过探讨平行线分线段成比例定理的证明过程，激发学生的探究欲望，培养其创新精神及合作意识。
在教学过程中，我将以生动形象的语言、贴近实际的生活实例，引导学生掌握平行线分线段成比例定理，并能够运用该定理解决实际问题。从而使学生在轻松愉快的氛围中，提高数学素养，感受数学之美。
2.讨论过程：在讨论过程中，我会引导学生关注相似三角形的性质和判定方法，鼓励学生提出自己的观点，培养其批判性思维。
3.成果分享：每个小组选派一名代表，向全班同学分享讨论成果，让大家在交流中共同进步。
（四）总比例定理在判断相似三角形中的重要性，使学生巩固所学知识。
5.教学策略的运用：运用情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高其数学素养。
部审人教版九年级数学下册教学设计27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》
部审人教版九年级数学下册教学设计27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》一. 教材分析人教版九年级数学下册第27.2.1节《平行线分线段成比例》是初中数学的重要内容，主要讲述了在两平行线之间，如果一条直线截取了这两条平行线之间的线段，那么被截得的线段长度之比等于这两条平行线之间的距离之比。
这部分内容是学生学习几何中的重要基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平行线、线段等概念有一定的理解。
但是，对于如何运用这些基础知识来解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线分线段成比例的定理及应用。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线分线段成比例的定理及应用。
2.难点：如何灵活运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究、发现规律，培养学生的逻辑思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和讲解。
2.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或图片，引导学生关注平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。
例如，展示两栋楼之间的道路，让学生观察道路两侧的树木是否按照一定的比例生长。
2.呈现（10分钟）讲解平行线分线段成比例的定理，并通过几何图形进行展示。
引导学生理解定理的含义，并学会如何运用定理。
3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固对平行线分线段成比例定理的理解。
人教版2019-2020年九年级数学下册教案 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例
27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．了解相似比的定义；(重点)2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)一、情境导入如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求：(1)△OAC 和△OBD 的相似比；(2)BD 的长．解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题探究点二：平行线分线段成比例定理【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l1、l2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.(1)求CB AB的值； (2)求AB 的长．解析：(1)根据l 1∥l 2∥l 3推出CB AB ＝EF DE ；(2)根据l 1∥l 2∥l 3，推出EF DF ＝BC AC ＝58，代入AC ＝24求出BC 即可求出AB .解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴CB AB ＝EF DE .又∵DF ∶DF ＝5∶8，∴EF ∶DE ＝5∶3，∴CB AB ＝53； (2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24，∴EF DF ＝BC AC ＝58，∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9. 方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题【类型二】 平行线分线段成比例的基本事实的推论如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．解析：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE AC，然后根据比例的性质可计算出AE 的长． 解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即22＋5＝AE 5，∴AE ＝107. 方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点三：相似三角形的引理【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O .(1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB .又∵EF ∥CD ，∴FO FD＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8； (2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD.又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5. 方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念；2．平行线分线段成比例定理及推论；3．相似三角形的引理．本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》一. 教材分析《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学下册第27.2.1节的内容，本节课主要介绍了平行线分线段成比例的定理及其应用。
教材通过生活中的实例引入平行线分线段成比例的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
紧接着，教材引导学生通过观察、思考、探索，发现平行线分线段成比例的规律，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
最后，教材提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平行线、线段等概念有一定的了解。
但是，对于平行线分线段成比例的定理及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生建立知识间的联系，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握平行线分线段成比例的定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能运用定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平行线分线段成比例的定理及其应用。
2.教学难点：平行线分线段成比例定理的发现和证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，帮助学生形象直观地理解平行线分线段成比例的定理。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：学生进行观察、思考、探索，引导学生发现平行线分线段成比例的规律，进而得出定理。
3.讲解与演示：对平行线分线段成比例的定理进行详细讲解，利用多媒体课件和实物模型进行演示，帮助学生理解定理。
人教版数学九年级下册平行线分线段成比例课件
例4 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF， 并延长BF交AD的延长线于点E.求证：D E D F .
AE DC
E
D
C
F
A
B
解析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥
连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15， 10
则EF＝____3 ____．
归纳新知
1 知识小结
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的 功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线 得线 段成比例的基本思路是： (1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形： “ 型”或“ 型”，得到相应的比例式； (2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助 线，
石看纹理山看脉，人看志气树看材。
强行者有志。
三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。
治天下者必先立其志。
母鸡的理想不过是一把糠。
贫穷是一切艺术职业的母亲。
志不立，如无舵这舟，无衔之马，漂荡奔逸，终亦何所底乎。
合作探究
知识点 1 相似三角形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫相似多边形
2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三 角形叫相似三角形
人教版数学九年级下册
本题是证明等积式的典型题.
一般从分点或中点出发作平行线．
间的关系，即平行线分线段成比例．
【中考·扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．
第二十七章 若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________.
九年级数学下册《第二十七章-平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，在ABCD 中AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在CD 上取一点F ，使CBF ∽ABE △，则DF 的长是（ ）A ．8.2 B．6.4 C ．5 D ．1.82．如图，在ABC 中DE ∥BC ，57AD AB 记ADE 的面积为s 1，四边形DBCE 的面积为s 2，则12s s 的值是（ ）A ．57B ．2549C ．2425D ．25243．如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OD =2OA ，△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．904．如图，在ABC 中D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且∥DE BC ，连接CD ，过点E 作EF CD ∥，交AB 于点F ，则下列比例式不成立的是（ ）A ．AF AD AD AB = B ．EF DE CD BC = C ．AF AD FD BD = D ．AF EF FD BC= 5．如图，直线123l l l ∥∥，直线a ，b 与1l ，2l 和3l 分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若:2:3AB BC =和10DF = 则DE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 并延长交AC 于点F ，则AF ：FC ＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：57．如图，两条直线被第三条平行所截，则DE 的长为（ ）A ．4.2B ．3.2C ．4D ．3.68．如图，四边形ABCD 中P 为对角线BD 上一点，过点P 作//PE AB ，交AD 于点E ，过点P 作//PF CD 交BC 于点F ，则下列所给的结论中不一定正确的是（ ）．A ．PE PF AB CD = B ．AE BF DE CF =C ．1CF AE BC AD += D ．1PE PF AB CD+= 9．如图，在菱形ABCD 中点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2CF ，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则S 四边形EHFG ÷S 菱形ABCD 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．29二、填空题10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：AF =3：5，BC =6，则CE 的长为______．11．已知ABC ∽A B C '''，分别为ABC 与A B C '''的中线，下列结论中：①:4:3AD A D ''=；②ABD △∽A B D '''△；③ABD △∽A B C '''；④ABC 与A B C ''''对应边上的高之比为4:3．其中结论正确的序号是______．12．如图，△ABC中DE∥BC，G为BC上一点，连结AG交DE于点F，若AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝________．13．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．三、解答题14．如图在△ABC中D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．(1)求∠ADC度数；(2)如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．15．如图，在△ABC中点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．(1)求证：△BDF ∽△FEC ．(2)设12AE EC =． ①若BC ＝15，求线段BF 的长；②若△FEC 的面积是16，求△ABC 的面积．16．(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC 中90ACB ∠=︒，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为______；(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC 中将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； (3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC 中将ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B '处，折痕为CM ．求线段AC 的长； 参考答案与解析1．A【分析】E 是AD 的中点可求得AE ，根据三角形相似的性质可得CF BC AE BA=，可得CF 的长即可求解． 【详解】解：∵E 是AD 的中点，6AD =∴132AE AD == 又∵CBF ∽ABE △CF BC AE BA ∴=，即6310CF =解得 1.8CF =10 1.88.2DF DC CF ∴=-=-=故选：A ．【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．2．D【分析】根据ADE ABC ∆∆∽，通过相似三角形的面积等于相似比的平方，求出ABC ∆与ADE ∆的面积比，再根据21ABC S S S =-得到12s s 的值． 【详解】解：∵DE ∥BC∴ADE ABC ∆∆∽ ∴22549ADE ABC AD A S S B ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴14925ABC S S ∆= ∵21ABC S S S =- ∴212425S S = ∴122524S S =故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积等于相似比的平方．3．A【分析】利用位似的性质得△ABC ∽△DEF ，OD =2OA ，然后根据相似三角形的性质解决问题【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．∴△ABC ∽△DEF ，OD =2OA∴△ABC 与△DEF 的周长比是：1：2．∴△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是20故选：A ．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．4．D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可求解．∴成立的是ABC ，不成立的是D故选：D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．5．C【分析】根据平行线分线段定理得到::AB BC DE EF =，设2DE x =，根据10DF =，列方程求解即可．【详解】解：∵123l l l ∥∥∴::2:3AB BC DE EF ==设2DE x =，则3EF x =∵10DF =∴2310x x +=，解得2x =∴4DE =故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段定理，熟练掌握平行线分线段定理是解答本题的关键．6．A【分析】作DH ∥AC 交BF 于H ，如图，先证明△EDH ≌△EAF 得到DH ＝AF ，然后判断DH 为△BCF 的中位线，从而得到CF ＝2DH ．【详解】解：作DH ∥AC 交BF 于H ，如图∵DH ∥AF∴∠EDH ＝∠EAF ，∠EHD ＝∠EFA∵DE ＝AE∴△EDH ≌△EAF （AAS ）∴DH ＝AF∵点D 为BC 的中点，DH ∥CF∴DH 为△BCF 的中位线∴CF ＝2DH ＝2AF∴AF ：FC ＝1：2故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．7．D 【分析】根据平行线分线段成比例得到AB DE AC DF =，将数据代入即可求出答案． 【详解】解：////AD BE CF ∴AB DE AC DF= 4AB =，6BC =和9DF =∴4610AC AB BC =+=+= ∴4109DE = ∴ 3.6DE =．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．8．A【分析】根据//PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，即可判断A ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP ED PD = BF BP FC PD =可判断B ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP AD BD =，FC PD BC BD= 可判断C ，由 //PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，可判定D ．【详解】解：A ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB = ∵DPBPDB DB ≠ ∴PEPFAB CD ≠故选项A 不正确；B ．∵//PE AB //PF CD ∴AEBP ED PD = BFBPFC PD = ∴AE BFDE CF =故选项B 正确；C ．∵//PE AB //PF CD ∴AE BP AD BD = FCPDBC BD = ∴1AEFCBPPDAD BC BD BD +=+=故选项C 正确1CFAEBC AD +=D ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB =∴ 1EP PF DP PB DP PB AB CD DB BD BD ++=+==故选项D 正确．故选择A ．【点睛】本题考查平行线截线段比例，和三角形相似判定与性质，掌握平行线截线段长比例，和三角形相似判定与性质是解题关键．9．A【分析】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【详解】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ∴12AE BC = 12CF DF = ∵G 、H 分别是AC 的三等分点 ∴12AG GC =12CH AH = ∴AE AG BE GC = ∴EG ∥BC ∴13EG AE BC AB == 同理可得HF ∥AD ，13HF AD = ∴111339EHFGABCD S S =⨯=四边形菱形故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．10．4【分析】由AB CD EF ∥∥，推出AD BC AF BE =，推出365BE=，可得结论． 【详解】∵AB CD EF ∥∥ ∴AD BC AF BE = ∴365BE = ∴BE =10∴CE =BE -BD =10-6=4故答案为：4．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．11．①②④【分析】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵ABC ∽A B C '''，AD 、A D ''分别为ABC 与A B C '''的中线 ∴4''''3AB AD A B A D ==，故①正确； ∵'B B ∠=∠ 121''''''''2BC BD BC AB B D B C A B B C === ∴ABD △∽A B D '''△，故②正确；∴ABC 与A B C '''对应边上的高之比为4:3，故④正确；而ABD △与A B C '''不相似，故③错误；∴正确的结论有：①②④；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比.12．7.5【分析】由DE ∥BC ，得AF AE AG AC=，代入已知量即可求得答案． 【详解】解：∵DE ∥BC ∴AF AE AG AC = ∵AE ＝AC －EC ＝AC －5，AF ＝2，AG ＝6 ∴256AC AC -= 解得AC ＝7.5故答案为：7.5【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例列出比例式是解题的关键． 13．7.5【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线AB ∥CD ∥EF ，AC ＝2，CE ＝5，BD ＝3∴AC BDCE DF=，即235DF=，解得DF＝7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．14．(1)∠ADC＝90°(2)CD＝【分析】（1））由相似三角形的性质及邻补角可进行求解；（2）先证明△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可得ACAB＝ADAC，然后代入数值问题可求解．（1）解：∵△CBD∽△ACD ∴∠CDB＝∠ADC∵∠CDB+∠ADC＝180°∴∠ADC＝90°；（2）如图∵△CBD∽△ACD∴∠ACD＝∠B∵∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴ACAB＝ADAC，即ACAD BD+＝ADAC∴46AD+＝4AD∴AD＝2（负根已经舍弃）∴CD【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．(1)证明见详解(2)①BF＝5；②S△ABC＝16×94＝36【分析】（1）由平行线的性质得出∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出12BF AEFC EC==，即可得出结果；②先求出2,3ECAC=易证△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．（1）证明：∵DF∥AC∴∠BFD＝∠C∵EF∥AB∴∠B＝∠EFC∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC ∴△BDF∽△FEC；（2）解：①∵EF∥AB∴12 BF AEFC EC==∴12 BFBC BF=-∵BC＝15∴1 152 BFBF=-∴BF＝5；②∵12 AE EC=∴2EC AE=∴2223 EC EC AEAC AE EC AE AE===++∵EF∥AB∴∠CEF＝∠B∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B∴△EFC∽△ABC∴249 EFCABCS ECS AC∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭∵S△EFC＝16∴S△ABC＝94×16＝36．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．(1)AM＝BM(2)16 9(3)152 AC=【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可；（3）证明△BCM∽△BAC，推出BC BM CMAB BC AC==，由此即可解决问题．（1）解：如图①中∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN ∴MN垂直平分线段BC∴CN＝BN∵∠MNB＝∠ACB＝90°∴MN∥AC∵CN＝BN∴AM＝BM．故答案为AM＝BM．（2）如图②中∵CA＝CB＝6∴∠A＝∠B由题意MN垂直平分线段BC ∴BM＝CM∴∠B＝∠MCB∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM BA BC=∴6106BM=∴185 BM=∴18321055 AM AB BM=-=-=∴321651895AMBM==．（3）如图③中由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM ∵∠ACB＝2∠A∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM CM AB BC AC ==∴696BM =∴BM＝4∴AM＝CM＝5∴65 9AC =∴152 AC=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
无刻度直尺网格作图(教师版)
无刻度直尺网格作图一、基本作图：1.平行→平移→横纵不变（1）过C 作CD 平行且等于AB （2）过E 作AB 的平行线交BC 于点F总结：作平行线的常用方法①利用平移（ 方向相同、距离相等）②构造A 型、X 型相似三角形（利用相似得平行）2.垂直→旋转（90°）→横纵交换（1）将AB 绕A 逆时针旋转90° （2）过C 作CD ⊥AB 于D （3）过E 作AB 垂线总结：作垂线的常用方法①构全等直角三角形，利用三垂直构垂线（直角边横纵交换，斜边方向相反） ②旋转90°（绕线段的端点旋转）+ 平移3.分点→相似→改“斜”归正（1）如图1，在线段AB 上找一点P ，使AP ＝BP ；（2）如图2，在线段AB 上找一点P ，使AP ∶BP ＝4∶3； （3）如图3，在线段AB 上找一点P ，使AP ∶AB ＝4∶9； （4）如图4，在线段AB 上找一点P ，使AP ∶PB ＝11∶6.图1 图2 图3 图4 总结：分割线段的常用方法①构造X 型相似三角形（方向相反，按比找格点） ②构造A 型相似三角形（方向相同，按比找格点）BABABA BAE AB二、基本组合作图1. 作线段AB 的中垂线总结：作线段中垂线的常用方法①先取AB 中点，再过中点作垂线（沿与AB 垂直方向平移AB ，再取对应线段的中点） ②以AB 为边构造正方形，利用正方形对角线交点与线段中点作中垂线2. 作∠ABC 的角平分线总结：作角平分线的常用方法①利用等腰三角形三线合一，作底边的高或中线 ②等腰+平行③构造菱形，利用菱形对角线平分对角的性质 ④构造全等三角形3.作点A 关于MN 的对称点总结：作对称点的常用方法先过点A 作对称轴的垂线，垂足是格点则直接倍长垂足不是格点，则在对称轴上任取一格点B ，先将AB 倍长至点C ，再过C 作对称轴平行线交对称轴的垂线于一点即为所求.4.作角等于已知角（1）作∠ABC =45° （2）作∠ABC ，使tan ∠ABC =23总结：作角等于已知角的常用方法①作45°角，利用等腰直角三角形（绕一端点旋转90°） ②作三角函数已知的角，先绕一端点旋转90°，再作分点三、近几年中（调）考试题赏析 （2021武汉中考20题）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB 上画点E ，使AE ＝2BE ，再过点E 画直线EF ，使EF 平分矩形ABCD 的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD 的高CG ，再在边AB 上画点H ，使BH ＝DH ．AB AB EFDCB AHGDCB A（2020武汉中考20题）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （3，4），B （8，4），C （5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90°，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使∠BCE ＝45°（保留画图过程的痕迹）； （3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．（2019武汉中考20题）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的顶点在格点上，点E 是边DC 与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由 (1) 如图1，过点A 画线段AF ，使AF ∶DC ，且AF ＝DC (2) 如图1，在边AB 上画一点G ，使∶AGD ＝∶BGC(3) 如图2，过点E 画线段EM ，使EM ∶AB ，且EM ＝AB1234512345678 O CBAxy MECD BAG FEC D BA(2021四调)在如图的网格中建立平而直角坐标系，∶ABC 的顶点坐标分别为A （3，5），B （0，1），C （5，1），D 是AB 与网格线的交点，AE 是∶ABC 的高，仅用无刻度的直只在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题： （1）直接写出∶ABC 的形状； (等腰三角形) （2）画出点D 关于AE 的对称点F ； （3）在AC 上画点G ，使EG ＝EC ；（4）线段AB 和线段BC 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标． （0,1）或（52，94）（2020五调）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．∶ABC 的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1) 将边BC 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CD (2) 画边AC 的中点E(3) 连接DE 并延长交BC 于点F ，直接写出BFCF的值 (4) 在AB 上画点G ，连接FG ，使FG ∶CDE GF GDEF DBCABCA四、综合应用例1 如图，∶ABC 是边长为1的正方形网格中的格点三角形，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图.（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.）(1) 在图1中，∶画BD∥AC 且BD=AC ；∶将BC 绕B 逆时针旋转90°得BE ；∶连接DE 交AB 于F ，直接写出AFBF 的值为_________；(2)在图2中， 在AB 上画点G ，BC 上画点H ，使得S ∶ACG = S ∶CGH = S ∶BGH ．图1 图2例2. 如图，∶ABC 是边长为1正方形网格中的格点三角形，D 是BC 边与横网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图.(1)在图1中，在边AC 上画一点M ，使得∶CBM 与∶ABC 互余； (2)在图2中，画□CDEF ，其中E 点在AB 边上，F 点在AC 边上．图1 图2B AC B AC CB A CBA DHGCBA例3.如图，∶ABC 是边长为1正方形网格中的格点三角形.(1)在图1中，∶画∶ABC 的高AD ，并直接写出CDBD的值为______；∶在AB 上画点E ，使得∶DEB =45°；(2)在图2中，∶在AC 上画点F ，使得∶CBF ∶△CAB ；∶在BC 上画点G ，使得FG =BG ．图1 图2五、巩固提升1.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．∶ABC 的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）画出BC 关于AC 对称的线段CD ； （2）画出AC 的中点E ；（3）连接DE 并延长交AB 于点F ，直接写出AFBF 的值为 ； （4）在BC 上画点G ，连接FG ，使FG //AC .CB A CBA MC BAED CBAGF BAC2.如图，∶ABC 是边长为1正方形网格中的格点三角形. (1)在图1中，∶画AM ∶BC ，且AM =BC ；∶画BN ∶AC ，且BN =AC ；(2) 在图2中，∶画点A 关于BC 的对称点D ；∶连接AD 交BC 于E 点，画点E 关于AC 的对称点F .图1 图23.在如图的网格中完成下列画图：（1）在图1中，△ABC 的内部画一点D ，使得DA=DB=DC ；（2）在图2中，N 是边BC 的中点，连接AN ，在边AN 上画一点G ，使得AG =2GN ，并简要说明画法；（3）在图3中边CB 的延长线上画一点E ，使得AC 2=CB▪CE .C B A CB AC BA C BA .N C B ABACFEDC BANCBAM图1 图2 图34.如图，∶ABC 是边长为1正方形网格中的格点三角形.(1)在图1中，∶画∶ABC 的角平分线AD ；∶画DE ∶AB ，交AC 于E ； (2)在图2中，∶画∶ABC 的角平分线BF ；∶画点A 关于BF 的对称点G .图1 图25.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，A ，B ，E ，F 在格点上，C ，D 是EF 与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，①在线段AB 上画点P ，使得∠DP A ＝∠CPB ； ②作PQ ⊥CD 于Q ； （2）如图2，在线段AB 上画点P ，使得△APD 与△BPC 相似；（3）如图3，①在线段AB 上画点P ，使得tan ∠PFE =34；②画点E 关于FP 的对称点Q ； （4）如图4，在线段BC 上画点Q ，使得QE 平分四边形ABCD 的面积．CA B CBA DECBAG FCAB图1 图2 图3 图4。
新人教版九年级下册数学 第一课时 平行线成线段成比例及平行相似法课件
对应边的比例式为 A＝D AB
A＝E —A—C
DE —BC—．
4. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm， BE=6cm，BC=4cm，EF的长为_____1_c_m．
第十一页，共十七页。
5. 如图，在□ABCD中，EF∥AB， DE∶EA=2∶3，EF=4，求CD的长．
解：CD的长为10.
先证明两个三角形的对应角相等． 在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C
再证明两个三角形的对应边的比相等．
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F．
A
D
2E
1
在 BFED中，DE＝BF，DB＝EF
∵AD＝BD＝
1 AB
2
∴AD＝EF
B
F
C
又∠A＝∠1，∠2＝∠C
边的平行线，那么你应该联想到什么？
【反思小结】过点D作与AC平行的直线与BC相交， 仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷 同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用 相似三角形的性质，可列出比例式．
第十页，共十七页。
【针对训练二】
3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，则△___A_∽DE△____，ABC
第五页，共十七页。
【针对训练一】
1. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶5，且∠A=60°， ∠B=36°，则△A′B′C′与△ABC的相似比为______3，：5 ∠C′=___8_4__°． 2. 如图，△ABC∽△CDE，B，C，D三点在一条直线上， AB=6，BC=2，DE=4，求BD的长．
第十二页，共十七页。
总结梳理 内化目标
概念、 性质
1. 相似比为1的两是三角形__全等__． 2. 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___相 等___． 3. 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延 长线），所得的对应线段的比___相等___． 4. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成 的三角形与三角形___相似___．
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学设计
在讲授新知环节，教师应注重知识的逻辑性和系统性，让学生逐步掌握相似三角形的判定方法。
1.讲解平行线分线段成比例定理：从定义、性质、应用等方面进行详细讲解，让学生理解并掌握该定理。
2.演示相似三角形的判定方法：结合具体实例，通过画图、计算等方式，向学生展示如何运用比例关系判断相似三角形。
1.基础练习：针对本节课的基本概念和定理，设计一些简单题目，让学生迅速巩固知识。
2.提高练习：设计一些综合性较强的题目，让学生在解决问题的过程中，提高自己的思维能力和解题技巧。
3.个性化练习：针对学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在练习中得到提升。
4.反馈评价：教师对学生的练习情况进行及时反馈，鼓励学生优点，指出不足，并提出改进建议。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已具备了一定的数学基础和思维能力。在本节课之前，学生已经学习了三角形的性质、全等三角形的判定以及平行线的性质等内容，这为学习相似三角形的判定奠定了基础。然而，由于相似三角形的判定涉及抽象的逻辑推理和空间想象能力，部分学生对这部分内容的理解和掌握可能会存在困难。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课是九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时，通过本节课的学习，学生应当掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握平行线分线段成比例定理，能够准确运用该定理分析解决实际问题。
2.学会运用比例关系证明相似三角形，掌握相似三角形的判定方法。
3.能够运用相似三角形的性质，解决与相似三角形有关的问题。
（二）过程与方法
在本节课的教学过程中，学生将通过以下方法培养数学思维能力：
27.2.1相似三角形的判定(第1课时)课件九年级数学人教版下册
10．(2019·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上， DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N， 则( C ) A.AADN＝AANE B.MBDN＝MCEN
C.BDMN＝MNEC D.MDNC＝BNME
11．(2019·凉山州)如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2， O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝( B) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3
些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段
是否仍然成比例？
A1 B1
a
B1 A1
A2 ( ) A3
B2 b B3 c
A2(B2)
A3
B3
m
n
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪
些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段
是否仍然成比例？
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
B
C
B
“A ”型
D
E
A
C
“X ” 型
巩固新知
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图
中的相似三角形共有( C ) A.3对 B.5对
D
C
E
GF
C.6对 D.8对
A
B
解析：△AEG ∽△ADC ∽△CFG ∽△CBA.
(1)求证：△DBE是等腰三角形；
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
理解相似三角形的概念。
人教版九年级数学下册专题讲解：专训2 巧作平行线构造相似三角形
专训2 巧作平行线构造相似三角形 名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．(第2题)过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC.(第3题)过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.(第4题)答案1．解：如图，连接DF ，∵E，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线．∴DF∥AE，且DF ＝12AE.∴DF∥PE. ∴△BEP∽△BFD.∴BE BF ＝PE DF ＝BP BD. ∵BF＝2BE ，∴DF＝2PE ，BD ＝2BP.∴BP＝PD.∵DF∥AE，∴△APQ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP DF. 设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQ QD ＝AP DF ＝32. ∴BP PQ QD ＝53 2.(第1题) (第2题)2．解：如图，过点C 作C G∥AB 交AE 的延长线于点G.∴△GCD∽△AFD.∴CG FA ＝CD FD. 又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝FD.∴AF＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB∥CG，∴△ABE∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52. 3．证明：如图，过点C 作CF∥AB 交DP 于点F ，∴△PCF∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF. ∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.(第3题)∵AD＝AE ，∴∠ADE＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CE P.∴EC＝CF.∴BP CP ＝BD EC.4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF∥AB，交DE 于点F ，(第4题①) ∴△CDF∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD . ∵点M 为AC 边的中点， ∴AM＝CM. 易证△AME≌△CMF.∴AE＝C F.∵AE＝14AB ，∴BE＝3AE. ∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD ， ∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝3CD.∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF∥DE，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM AC. 又∵点M 为AC 边的中点，∴AC＝2AM.∴2AE＝AF.∴AE＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2. 又∵CF∥DE，∴BF FE ＝BC CD＝2. ∴BC＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF∥BC，交AC 于点F ，∴△AEF∽△ABC.∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AF AC ＝AE AB ＝14， ∴EF＝14BC ，AF ＝14AC. 由E F∥CD，得△EFM∽△DCM，∴EF CD ＝MF MC .又∵AM＝MC ，∴MF＝12MC. ∴EF＝12CD.∴BC＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF∥BD，交DE 的延长线于点F ，∴△AEF∽△BED.∴AE BE ＝AF BD. ∵AE＝14AB ， ∴AE＝13BE.∴AF＝13BD. 由AF∥CD，AM ＝MC ，易证得△AFM≌△CDM.∴AF＝CD.∴CD＝13BD.∴BC＝2CD. 点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB=3cm，AC=32cm，则∠BAC的度数为（）A．15°B．75°或15°C．105°或15°D．75°或105°【答案】C【解析】解：如图1．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABD中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=105°；如图2，．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ABC=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABC中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=15°．故选C．点睛：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．2．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11910813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）B．108 91311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩C．91181013x yx y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D．91110813 x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）【答案】D【解析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得：91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（）， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=1．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）A ．（﹣91255，）B ．（﹣12955，）C ．（﹣161255，）D ．（﹣121655，） 【答案】A 【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC 1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【详解】过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，过点A 1作A 1M ⊥x 轴于点M ，由题意可得：∠C 1NO=∠A 1MO=90°，∠1=∠2=∠1，则△A 1OM ∽△OC 1N ，∵OA=5，OC=1，∴OA 1=5，A 1M=1，∴OM=4，∴设NO=1x ，则NC 1=4x ，OC 1=1，则（1x ）2+（4x ）2=9，解得：x=±35（负数舍去），则NO=95，NC 1=125， 故点C 的对应点C 1的坐标为：（-95，125）． 故选A ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A 1OM ∽△OC 1N 是解题关键．4．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（4，2）【答案】A 【解析】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴AD BG =13， ∵BG=6，∴AD=BC=2， ∵AD ∥BG ，∴△OAD ∽△OBG ， ∴OA OB =13， ∴2OA OA +=13， 解得：OA=1，∴OB=3，∴C 点坐标为：（3，2），故选A ．5．下列各式计算正确的是( )A 633=B ．1236=C ．3535+=D 1025=【答案】B【解析】A 63、B 123=36=6，∴本选项正确；C 选项中，∵35=353+5D选项中，∵10102=52÷≠，∴本选项错误；故选B.6．已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（）A．3﹣5B．12（5+1）C．5﹣1 D．12（5﹣1）【答案】C【解析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC=512-AB，代入数据即可得出BC的值．【详解】解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC=2×512-=5-1．故答案为：5-1．【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352倍，较长的线段=原线段的512-倍．7．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解. 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC2、210、只有选项B的各边为125B．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.8．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（）A．513B．512C．1213D．125【答案】B【解析】如图，等腰△ABC 中，AB=AC=13，BC=24，过A 作AD ⊥BC 于D ，则BD=12，在Rt △ABD 中，AB=13，BD=12，则， 225AB BD -=，故tanB=512AD BD =. 故选B ． 【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．9．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：23224x x x x +-++-”. 小明的做法：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的【答案】C 【解析】试题解析：23224x x x x +-++- =()()32222x x x x x +--++- =3122x x x +-++ =3-12x x ++ =22x x ++ =1．所以正确的应是小芳．故选C ．10．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3B ．1，12C ．1，13D ．1，23【答案】D【解析】根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B 、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C 、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定； D 、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定． 【详解】∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误； B 、∵12+12=(2)2，是等腰直角三角形，故选项错误； C 、底边上的高是2231-2（）=12，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误； D 、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确． 故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）11．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程 ．【答案】()240024008.120%x x -=+. 【解析】试题解析：∵原计划用的时间为：2400x， 实际用的时间为：()2400120%x +， ∴可列方程为：()240024008.120%x x -=+ 故答案为()240024008.120%x x-=+ 12．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.【答案】1【解析】首先连接BE ，由题意易得BF=CF ，△ACP ∽△BDP ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP ：CP=1：3，即可得PF ：CF=PF ：BF=1：1，在Rt △PBF 中，即可求得tan ∠BPF 的值，继而求得答案．【详解】如图：，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：1，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==1，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=1．故答案为：1【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．13．一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为____.【答案】2 5【解析】解：根据题意可得：列表如下红1 红2 黄1 黄2 黄3红1 红1，红2 红1，黄1 红1，黄2 红1，黄3 红2 红2，红1 红2，黄1 红2，黄2 红2，黄3 黄1 黄1，红1 黄1，红2 黄1，黄2 黄1，黄3黄2 黄2，红1 黄2，红2 黄2，黄1黄2，黄3 黄3黄3，红1黄3，红2黄3，黄1黄3，黄2共有20种所有等可能的结果，其中两个颜色相同的有8种情况， 故摸出两个颜色相同的小球的概率为82205=． 【点睛】本题考查列表法和树状图法，掌握步骤正确列表是解题关键．14．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD ，DC ∥AB ，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC 宽为2m ，坝高为6m ，则坝底AB 的长为_____m ．【答案】（7+63）【解析】过点C 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为：E ，F ，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt △AEF 中利用DF 的长，求得线段AF 的长；在Rt △BCE 中利用CE 的长求得线段BE 的长，然后与AF 、EF 相加即可求得AB 的长．【详解】解：如图所示：过点C 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为：E ，F ，∵坝顶部宽为2m ，坝高为6m ， ∴DC=EF=2m ，EC=DF=6m ， ∵α=30°， ∴BE=63tan30EC=︒（m ），∵背水坡的坡比为1.2：1， ∴1.2 1.21DF AF AF ==， 解得：AF=5（m ），则3（3m ， 故答案为（3m ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．15．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____． 【答案】20【解析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x 个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x 的方程，解方程即可得. 【详解】设原来红球个数为x 个， 则有1010x +=1030， 解得，x=20，经检验x=20是原方程的根. 故答案为20. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.16．如图，矩形ABCD ，AB=2，BC=1，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°得矩形AEFG ，连接CG 、EG ，则∠CGE=________．【答案】45° 【解析】试题解析：如图，连接CE ， ∵AB=2，BC=1， ∴DE=EF=1，CD=GF=2， 在△CDE 和△GFE 中,CD GF CDE GFE DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△GFE(SAS)，∴CE=GE ，∠CED=∠GEF ， 90AEG GEF ∠+∠=， 90CEG AEG CED ∴∠=∠+∠=，45.CGE ∴∠=故答案为45.17．一元二次方程x 2+mx+3=0的一个根为- 1，则另一个根为 ． 【答案】-1.【解析】因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解． 【详解】∵一元二次方程x 2+mx+1=0的一个根为-1，设另一根为x 1， 由根与系数关系：-1•x 1=1， 解得x 1=-1． 故答案为-1.18．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.【答案】（-2，-2）【解析】先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标． 【详解】“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），故答案是：（﹣2，﹣2）． 【点睛】考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置． 三、解答题（本题包括8个小题） 19．先化简，再求值：22211·1441x x x x x x -++--+-，其中x 是从-1、0、1、2中选取一个合适的数． 【答案】12-.【解析】先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=12x -，由于x 不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可． 【详解】22211·1441x x x x x x -++--+-, =()()2211•11(2)1x x x x x x -+++--- =12(1)(2)(1)(2)x x x x x -+----=()()112x x x ---=12x -， 当x=0时，原式=11022=--. 20．如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上)．求教学楼AB 的高度；学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数)． 【答案】（1）2m （2）27m【解析】（1）首先构造直角三角形△AEM ，利用0AMtan22ME=，求出即可． （2）利用Rt △AME 中，0MEcos22AE=，求出AE 即可． 【详解】解：（1）过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ．设AB 为x ．在Rt △ABF 中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x ， ∴BC=BF ＋FC=x ＋1．在Rt △AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB －BM=AB －CE=x －2， 又∵0AM tan22ME =，∴x 22x 135-≈+，解得：x≈2． ∴教学楼的高2m ．（2）由（1）可得ME=BC=x+1≈2+1=3． 在Rt △AME 中，0MEcos22AE=， ∴AE=MEcos22°≈15252716⨯≈． ∴A 、E 之间的距离约为27m ． 21．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．求、的值；如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【解析】（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F 的对称点，代入直线BE ，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值. 【详解】解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去）， （2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和考点：二次函数的综合运用.22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD，连接BF。
下册平行线分线段成比例定理人教版九年级数学全一册完美课件
图27－2－13
15．[2019 春·乐清期中]如图 27－2－14，在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，已知BDDC＝ 53，E 为 AD 的中点，连结 BE 并延长交 AC 于 F，求AAFC的值．
图27－2－14
解：如答图，过 D 作 DG∥AC 交 BF 于 G， ∵E 是 AD 的中点，∴△AEF≌△DEG， ∴DG＝AF，∵DG∥AC，BD∶DC＝5∶3， ∴DG∶CF＝5∶8，∴AF∶CF＝5∶8， ∴AF∶AC＝5∶13.
10．[2019·下城区二模]如图 27－2－9，直线 l1∥l2∥l3，AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A， B，C，DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F，AC 与 DF 交于点 O.已知 DE＝3，EF＝ 6，AB＝4. (1)求 AC 的长； (2)若 BE∶CF＝1∶3，求 OB∶AB．
9．[2018·北京]如图 27－2－8，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对 10
角线 AC 于点 F，若 AB＝4，AD＝3，则 CF 的长为____3___． 【解析】 ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴DC＝AB＝4，AB∥CD，∠ADC＝90°.
在 Rt△ADC 中，由勾股定理，得 AC＝ 32＋42＝5.
下册 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例定理-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共21 张PPT)
下册 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例定理-2020秋 人教版 九年级 数学全 一册课 件(共21 张PPT)
8．如图 27－2－7，若△ADE∽△ACB，且AADC＝23，DE＝10，则 BC＝___1_5___．
A.ABBC＝BCDE C.AADE＝BCDE
平行线分线段成比例-九年级数学下册(人教版)
27.2.1.1 平行线分线段成比例
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多
少？
解：∵EF∥BC ，∴ AE AF ,
AB AC
A
∴ 6 5， 10 AC
E
F
解得 AC = 25 .
3
B
C
∴ FC = AC－AF =
25 5 10
3
3
.
27.2.1.1 平行线分线段成比例
平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似
AB 与 DE BC EF
的值，它们相等吗？
l1
l2
A
D
l3
B
E
l4
C
F
l5
27.2.1.1 平行线分线段成比例
(2) 任意平移 l5，根据上述操作，度量AB，BC， DE，EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？
l1
l2
A
D
l3
B
E
l4
C
F
l5
27.2.1.1 平行线分线段成比例
归纳： 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
B
C
27.2.1.1 平行线分线段成比例
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关 系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现
27.2.1.1 平行线分线段成比例
A1 B1
a
A1 B1