欧拉公式的适用范围与经验公式.
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第三节 欧拉公式的适用范围与经验公式
一、临界应力 Fcr 2EL cr A ( μl ) 2 A 式中，A为压杆的横截面面积。 令
(9-3a)
i 2 L/A
Fcr 2EL 2E cr 2 A (μl ) A (μl ) 2 i
(9-3b)
式中， i 为横截面的惯性半径，于是式(9-3a)可以改成
275.3 103 N
275.3 kN
Iz bh3 / 12 3h 3 60 iz mm 17.32mm A bh 6 6 μzl 1 2300 λ 132.8 z iz 17.32
同理
3b 3 40 iy mm 11.55mm 6 6
在俯视图平面内，取长度系数 y 0.5 ，压杆柔度为
若令 λ p π E/σp ，则上述适用范围又可写成
E λ λ p σp
三、经验公式
(9-6)
欧拉公式只适用于 p 的大柔度杆，对于 λ ＜ λ p
的非细长压杆一般采用经验公式。
(1)合金钢、铝合金、铸铁和木材
cr a b
a s s b
(9-7)
(9-8)
μyl 0.5 2300 λ 99.6 y iy 11.55
因λ y ，故压杆首先在主视图平面内失稳，且在此平 z ＞λ 面内λ p =100为细长杆，故临界载荷为 z ＞λ
π2E 2 205103 40 60 Fcr σcrA 2 bh N 2 λ 132.8
引用无量纲记号
λμl /i
(9-4)
代入式(9-3b)得
2E cr 2
式中， 称为柔度或长细比。
二、欧拉公式的适用范围
(9-5)
压杆的临界应力在不超过材料的比例极限бp时，欧拉 公式(9-2)或式(9-5)才可应用，也就是欧拉公式的适用范围 为
2E E σcr 2 σp或 σp
cr
cr s
A
如图(9-4)
cr a b
B
s p
2E cr 2
C
1)对于 ＜ s 的小柔度
杆，失效时没有失稳现象， 按压缩强度问题处理；
O
s
p
图9-4
2)对于 ≥ p 的大柔
度杆采用欧拉公式(9-5)计算；
3)对于 s ≤ ＜ p 的中 柔度杆， 用直线经验公式(9-7)
Fp A z F p′
y
h
解 压杆AB左右两端 为圆柱销联接，它与球 铰约束不同。在主视图
b
a)
B
h
Fp
F p′
l
b)
平面内弯曲时，两端可
b
以自由转动，相当于铰
链；而在俯视图平面内 弯曲时，两端不能转动
图9-6
近似视为固定端。因为压杆是矩形横截面，故在主视图平
面内失稳时，截面将绕轴z 转动；而在俯视图平面内失稳 时，截面将绕轴y 转动。因此，应先计算压杆在两个平面 内的柔度，以确定在哪一个平面内失稳。在主视图平面 内，取长度系数 z 1，压杆柔 度为
cr a1 b12
式中，a1和b1均为与材料力学性能有关的常数。
例9-1 由Q235钢制成的矩形截面杆，其受力和两端约 束情况如图9-6所示，图a为主视图，图b为俯视图。在杆 的两端A、B处为圆柱销联接。已知l=2300mm，b=40mm，h=
60mm，材料的弹性模量E=205GPa，试求此杆的临界载苛。
计算临界应力。 (2)结构钢及低合金结构钢(如图9-5所示)
cr
对于 p的大柔度杆，
2E cr 2
s
采用欧拉公式(9-2)计算临 界应力；对于0＜ ＜ p 的 小柔度杆和中柔 度杆，按
百度文库
O
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
抛物线公式计算临界应力，
图9-5
cr
即
(9-9)
一、临界应力 Fcr 2EL cr A ( μl ) 2 A 式中，A为压杆的横截面面积。 令
(9-3a)
i 2 L/A
Fcr 2EL 2E cr 2 A (μl ) A (μl ) 2 i
(9-3b)
式中， i 为横截面的惯性半径，于是式(9-3a)可以改成
275.3 103 N
275.3 kN
Iz bh3 / 12 3h 3 60 iz mm 17.32mm A bh 6 6 μzl 1 2300 λ 132.8 z iz 17.32
同理
3b 3 40 iy mm 11.55mm 6 6
在俯视图平面内，取长度系数 y 0.5 ，压杆柔度为
若令 λ p π E/σp ，则上述适用范围又可写成
E λ λ p σp
三、经验公式
(9-6)
欧拉公式只适用于 p 的大柔度杆，对于 λ ＜ λ p
的非细长压杆一般采用经验公式。
(1)合金钢、铝合金、铸铁和木材
cr a b
a s s b
(9-7)
(9-8)
μyl 0.5 2300 λ 99.6 y iy 11.55
因λ y ，故压杆首先在主视图平面内失稳，且在此平 z ＞λ 面内λ p =100为细长杆，故临界载荷为 z ＞λ
π2E 2 205103 40 60 Fcr σcrA 2 bh N 2 λ 132.8
引用无量纲记号
λμl /i
(9-4)
代入式(9-3b)得
2E cr 2
式中， 称为柔度或长细比。
二、欧拉公式的适用范围
(9-5)
压杆的临界应力在不超过材料的比例极限бp时，欧拉 公式(9-2)或式(9-5)才可应用，也就是欧拉公式的适用范围 为
2E E σcr 2 σp或 σp
cr
cr s
A
如图(9-4)
cr a b
B
s p
2E cr 2
C
1)对于 ＜ s 的小柔度
杆，失效时没有失稳现象， 按压缩强度问题处理；
O
s
p
图9-4
2)对于 ≥ p 的大柔
度杆采用欧拉公式(9-5)计算；
3)对于 s ≤ ＜ p 的中 柔度杆， 用直线经验公式(9-7)
Fp A z F p′
y
h
解 压杆AB左右两端 为圆柱销联接，它与球 铰约束不同。在主视图
b
a)
B
h
Fp
F p′
l
b)
平面内弯曲时，两端可
b
以自由转动，相当于铰
链；而在俯视图平面内 弯曲时，两端不能转动
图9-6
近似视为固定端。因为压杆是矩形横截面，故在主视图平
面内失稳时，截面将绕轴z 转动；而在俯视图平面内失稳 时，截面将绕轴y 转动。因此，应先计算压杆在两个平面 内的柔度，以确定在哪一个平面内失稳。在主视图平面 内，取长度系数 z 1，压杆柔 度为
cr a1 b12
式中，a1和b1均为与材料力学性能有关的常数。
例9-1 由Q235钢制成的矩形截面杆，其受力和两端约 束情况如图9-6所示，图a为主视图，图b为俯视图。在杆 的两端A、B处为圆柱销联接。已知l=2300mm，b=40mm，h=
60mm，材料的弹性模量E=205GPa，试求此杆的临界载苛。
计算临界应力。 (2)结构钢及低合金结构钢(如图9-5所示)
cr
对于 p的大柔度杆，
2E cr 2
s
采用欧拉公式(9-2)计算临 界应力；对于0＜ ＜ p 的 小柔度杆和中柔 度杆，按
百度文库
O
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
抛物线公式计算临界应力，
图9-5
cr
即
(9-9)