第2课时互余两角的三角函数值
北师大版九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》
= −+
=2 −
课堂练习
6.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至
顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼
离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
解：由已知得DC=EB=20m
∵tan∠ADC=tan45°=
∴AC=DC∙tan45°
°
（3）
+°
+
°
课堂练习
解： (1)1－2 sin30°cos30°
=1-2× ×
=1-
°
(3)
+°
=
+
+
+
=2- +
=2
°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
=3×
−+×
O
C
B
A
D
答：最高位置与最低位置的高度差约为0.34m。
随堂练习P12
8
驶向胜利
的彼岸
八仙过海,尽显才能
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,
B
扶梯的长度是多少?
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
老师期望:
sin30°=
sin60°=
=
2a
2
2a
a
3a 3
1
=2
cos30°=
新北师大版九年级数学下册《三角函数的计算》优质ppt教学课件
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 ˚ ′ ″ 键即可显示 以“度、分、秒”为单位的结果.
根据上述方法你能求出问题1中∠A的大小吗？
sin A = 1 = 0.25. 按键顺序和显示结果为
4
SHIFT sin 0 · 2 5 = 14.477 512 19°
再按 ° ′ ″ 键可显示14˚28′39″，所以∠A=14˚28′39″.
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
知识点1 利用计算器求锐角三角函数值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器 求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( D )
D 39°
E
45°
C
A
【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610 米.
（2）DE＝AC＝610米，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ BE ，
DE
故BE＝DEtan39°． 因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan 39°
＝610－610×tan 39°≈116（米）. 答：大楼的高度CD约为116 米．
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
•2. 已知sin α＝1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒
2
”为单位，最后按键(D )
•A．AC/ON
B. SHIFT
C．MODE
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
互余两角的正余弦之间的关系
互余两角的正余弦之间的关系互余两角是指两个角的和为90度的关系。
在三角函数中，正弦函数和余弦函数是最常用的两个函数，它们之间有着密切的关系。
我们来介绍正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是闭区间[-1,1]。
正弦函数的图像是一个波浪线，它在原点处取得最小值0，在90度和270度处取得最大值1，在180度和360度处取得最小值-1。
余弦函数也是一个周期函数，它的定义域和值域也都是实数集合。
余弦函数的图像是一个和正弦函数相位相差90度的波浪线，它在原点处取得最大值1，在90度和270度处取得最小值-1，在180度和360度处取得最大值1。
接下来，我们来探讨互余两角的正余弦之间的关系。
假设角A和角B是互余两角，它们的和为90度。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下关系：sin(A) = cos(90 - A)cos(A) = sin(90 - A)这两个关系告诉我们，互余两角的正弦值等于对方的余弦值，而互余两角的余弦值等于对方的正弦值。
换句话说，互余两角的正余弦之间存在着互换的关系。
例如，我们取一个角A的度数为30度，那么角B的度数就是90度减去角A的度数，即60度。
根据上述关系，我们可以得到sin(30°) = cos(60°)，cos(30°) = sin(60°)。
这个关系在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在直角三角形中，如果我们已知一个角的正弦值，我们可以通过互余两角的关系来求出该角的余弦值。
同样地，如果我们已知一个角的余弦值，我们也可以通过互余两角的关系来求出该角的正弦值。
除此之外，互余两角的关系还有其他一些应用。
在物理学中，正余弦函数常常用来描述周期性的现象，例如振动、波动等。
在工程学中，正余弦函数也广泛用于信号处理、图像处理等领域。
总结起来，互余两角的正余弦之间存在着互换的关系。
这个关系在三角函数的运算中有着重要的应用，它可以帮助我们求解各种三角函数的值，解决实际问题。
互余角的三角函数关系
互余角的三角函数关系sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα。
3．同角三角函数间的关系商数关系：sinA/cosA=tanA·平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA>0, cotA>0.·对称性180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称定名法则90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”。
（或为“奇变偶不变，符号看象限”)。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有可口诀；一全正二正弦，三正切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。
余角三角函数数公式
余角三角函数数公式
我们要找出余角三角函数的数值公式。
首先，我们需要了解什么是余角和三角函数。
余角是两个角的和为90°。
例如，如果一个角是30°，那么它的余角就是60°。
三角函数是描述直角三角形中边与角之间关系的数学工具。
对于一个角θ，它的正弦值sinθ表示对边与斜边的比值，余弦值cosθ表示邻边与斜边的比值。
如果我们知道一个角的三角函数值，我们可以使用余角的定义来找出它的余角的三角函数值。
例如，如果θ的余角是90° - θ，那么sin(90° - θ) = cosθ，cos(90° - θ) = sinθ。
因此，我们可以得出以下公式：
sin(90° - θ) = cosθ
cos(90° - θ) = sinθ
所以，余角的三角函数数值公式为：
sin(90° - θ) = -sin(theta - 90) cos(90° - θ) = cos(theta - 90)。
1.1锐角三角函数(第二课时)课件(共15张PPT)浙教版数学九年级下册
∠EAC=60°
∠B=30°
思路2：作AB边上高
C
A
B
C
sin∠BAD=
3
=
2
BD=AB·sin60°=4 3
sin∠EAC=
=
3
2
EC=AC·sin60°=4 3
BC=2BD=8 3
sin∠B=
=
1
2
BC=2EC=8 3
知识应用
变式：如图，在△ABC中，AB=8，∠B=30°，tanC=
1.1锐角三角函数 （第二课时）
知识回顾
在Rt△ABC中，∠C=90°，
B
c
∠A的正弦
∠的对边
a
∠A的余弦
A
sinA=
b
C
∠A的正切
cosA=
斜边
∠的邻边
tanA=
斜边
∠的对边
∠的邻边
∠A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数.
=
=
=
=
=
=
新知探究
思考：常用的两块三角尺中有几个不同的锐角?
这几个锐角的正弦、余弦和正切值各是多少?
A
30°角的三角函数值
sin 30 =sinA=
30°
2k
k
60°
C
k
BC k 1
AB 2k 2
60°角的三角函数值
sin 60 =
AC
3k
3
AB
2k
2
cos 30 =cosA=
1.2.2互余两角三角函数的关系
互余两角三角函数的关系（2012•衡阳）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos45°=③sin60°=cos30°=…根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=1．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．【解答】解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．【点评】此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．（2000•东城区）如果α是锐角，且cosα=，那么cos（90°﹣α）的值是（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】压轴题．【分析】此题可以把角构造到直角三角形中，根据锐角三角函数的概念，结合勾股定理，能够用同一个未知数表示三角形的三边；再根据锐角三角函数的概念以及锐角三角函数关系进行求解．【解答】解：根据题意，可以把α放到直角三角形中．由cosα=，设直角三角形中，α的邻边是4k，斜边是5k．则其对边是3k．∴sinα=．∴cos（90°﹣α）=sinα=．故选B．【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握正余弦的转换方法．（2015秋•重庆校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意和正切的概念设出b、a，根据勾股定理求出c，根据余弦的概念计算即可．【解答】解：设b=5x，∵tanB=，∴a=3x，由勾股定理得，c==x，则cosA===，故选：D．【点评】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．（2014•祁阳县校级模拟）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB=（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】现根据∠A的正切值求出b、c之间的关系，然后根据勾股定理求出a，根据正切函数的定义求解．【解答】解：由cosA=b=，设b=3x，则c=5x．由勾股定理知，a=4x．∴tanB==．故选B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，求锐角三角函数值，可用设合适参数，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解．（2014•闸北区一模）已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（）A．α=βB．α+β=90°C．α﹣β=90°D．β﹣α=90°【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据α、β都是锐角，sinα=cosβ，可得α、β互为余角．【解答】解：∵α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，sinα=cos（90°﹣α）=cosβ，∴α+β=90°，故选：B．【点评】本题考查了互为余角两三角函数的关系，两角都是锐角，一角的正弦等于另一角的余弦，这两个锐角互余．（2014秋•南部县校级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA•tanB等于（）A．0B．1C．﹣1D．不确定【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．【解答】解：tanA•tanB==1，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2013秋•龙凤区校级期中）∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则sin等于（）A．cos B．sin C．cosC D．cos【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】利用三角形的内角和得到∴∠A+∠B=180°﹣∠C，从而得到sin=sin=sin（90°﹣）=cos．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∴∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°﹣∠C，∴sin=sin=sin（90°﹣）=cos，故选A．【点评】考查了互余两角的三角函数的关系及等腰三角形的性质，解题的关键是了解互余的两角之间的关系．（2010春•揭西县期末）下列等式中正确的是（）A．sina20°+sin40°=sin60°B．cos20°+cos40°=cos60°C．sin（90°﹣40°）=cos40°D．cos（90°﹣30°）=sin60°【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【解答】解：A、sina20°+sin40°≠sin60°，故错误；B、cos20°+cos40°≠cos60°，故错误；C、sin（90°﹣40°）=sin50°=cos40°，故正确；D、cos（90°﹣30°）=cos60°，故错误．故选C．【点评】本题考查互余两角的三角函数之间的关系．（2008秋•莱阳市期末）在△ABC中，∠C=90°，，则sinA的值为（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据=，sinA=，代入即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠C=90°，=，∴sinA==．故选B．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，注意：如果∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB．（2014•杭州模拟）若某直角三角形的一个锐角的正切值为，则这个直角三角形中另一个锐角的余弦值为．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意，画出图形，设两直角边为x，3x，根据勾股定理可以计算结果．【解答】解：如图所示，设BC=x，则，AC=3x，∠A的正切值为，所以AB=，∴cosB==故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的求值运算，设参法是解决这类问题常用的方法．（2014秋•上海校级期末）已知Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10，则tanB•sinA=．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据直角三角函数的知识，求出相应的三角函数值，从而解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10∴斜边c=∴tanB=，sinA=∴tanB•sinA=【点评】本题考查三角函数的知识，关键是明确三角函数的定义．（2013秋•龙凤区校级期中）已知：0°＜α＜90°，化简：=﹣1；在Rt△ABC中，若∠C=90°，tanA•tan20°=1．那么∠A=70°．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据正切函数的定义，互余两角的正切值的积等于1进行解答．【解答】解：==﹣1；∵tanA•tan20°=1，∴∠A=90°﹣20°=70°．故答案为：﹣1，70°．【点评】考查了互余两角的三角函数的关系及等腰三角形的性质，解题的关键是了解互余的两角之间的关系．（2012•广安模拟）在△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanB=．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据sinA=，设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理求出AC=x，代入tanB=求出即可．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=2x，AB=3x，由勾股定理得：AC===x，∴tanB===．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，主要考查学生对锐角三角函数的定义的理解和运用，sinA=，cosA=，tanA=．（2012秋•宣武区校级期中）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么tanB的值等于．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据cosA=设AC=2a，AB=3a，由勾股定理求出BC=a，根据tanB=代入求出即可．【解答】解：∵cosA==，∴设AC=2a，AB=3a，由勾股定理得：BC==a，则tanB===，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理和互余两角三角函数的关系，解直角三角形等知识点的应用．（2011秋•慈利县校级期末）已知角α是锐角，且cosα=0.6，则sin（90°﹣α）=0.6．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】根据互余两角三角函数的关系得出sin（90°﹣α）=cosα，代入求出即可．【解答】解：∵cosα=0.6，∴sin（90°﹣α）=cosα=0.6，故答案为：0.6．【点评】本题考查了对互余两角的三角函数的关系的理解和运用，注意：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．（2009秋•南阳校级期末）若tanα•tan50°=1，则锐角α=40度．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】根据锐角三角函数的定义得出如果tanα•tan50°=1，那么α+50°=90°，即可求出答案．【解答】解：∵在△ACB中∠C=90°，∠A=α，∠B=50°，∵tanA=，tanB=，∴tanA•tanB=×=1，∴∠A+∠B=90°，∵tanα•tan50°=1，∴α=90°﹣50°=40°．故答案为：40．【点评】本题主要考查对互余两角的三角函数的关系，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．（2011秋•驿城区期末）在直角△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanB=2．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据sinA=，假设BC=x，AB=3x，利用勾股定理求出AC=x，再利用锐角三角函数的定义得出tanB的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴假设BC=x，AB=3x，∴AC==2x，∴tanB===2．故答案为：2．【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键．计算=1．【考点】互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系．【分析】sin83°=cos7°．然后将括号外的cos7°移到括号内，接下来再化简计算即可．【解答】解：原式====1．故答案为：1．【点评】本题主要考查的是同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系，掌握相关性质是解题的关键．（tan70°）2009•（3tan20°）2009=1．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】首先根据幂运算的性质：（ab）m=a m b m，a m a n=a m+n，进行整理；再根据互为余角的正切值互为倒数即可计算．【解答】解：（tan70°）2009•（3tan20°）2009=（）2009（tan70°）2009•32009（tan20°）2009=1．【点评】注意幂运算的性质和锐角三角函数性质的综合运用．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=，则tanA=，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积96．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】设c=5k，a=3k，由勾股定理可求得b=4k，可求得tanA=，接下来利用三角形的周长为48可求得两直角边的长，最后即可求得△ABC的面积．【解答】解：设c=5k，a=3k．由勾股定理得：b===4k．∴tanA==．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k=48．解得：k=4．∴3k=3×4=12，4k=4×4=16．∴△ABC的面积==96．故答案为：；96．【点评】本题主要考查的是锐角函数值的定义、勾股定理的应用，求得a、b、c的长度是解题的关键．若∠A是锐角，且cosA=，则cos（90°﹣A）=．【考点】互余两角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】首先根据诱导公式得出cos（90°﹣A）=sinA，再根据cosA2+sinA2=1求解即可．【解答】解：∵cosA2+sinA2=1，又A为锐角，cosA=，∴sinA=．∴cos（90°﹣A）=sinA=．故答案为：．【点评】本题考查可运用诱导公式化简求值，利用公式cosA2+sinA2=1求解是解题的关键，属于基础题．。
三角函数值
活动探究
观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
2
1
3
（1）sin30º 等于多少？你是怎样得到的？与同伴进行交流。 （2）cos30º 等于多少？tan30º呢？
做一做
（3）60º 角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？
45
┌
600
┌
a b c
2 2
2
0
A B 90
cosA=sinB,
a sin A c
b cos A c
a tan A b
b tan B a
b cos B a sin B c c sin A cos B, tan A tan B 1
则∠C= 105°
三角函数 sina 角a
cosa
3 2 2 2
1 2
tana
3 3
30º
45º 60º
1 2
2 2
3 2
1
3
再次观察表格，你还能发现什么？
增大 正弦值随着角度的增大而＿＿＿＿；
减小 余弦值随着角度的增大而＿＿＿＿；
增大 正切值随着角度的增大而＿＿＿＿。
三角函数 sina 角a
cosa
3 3
30º
45º 60º
1 2
2 2
3 2
1
3
计 算（1） sin30°+ cos45°
解：原式＝
1 2
＋
2 2
1 ＋ 2 ＝ 2 2 2 cos 60° + sin 60 ° － tan 45° （ 2） 3 2 1 2 解 ： 原 式 （ ） （ ） － 1 2 2
2023沈阳数学中考考点总结
2023沈阳数学中考考点总结数学属于形式科学，而不是自然科学。
所有的数学对象本质上都是人为定义的，它们并不存在于自然界，而只存在于人类的思维与概念之中。
今天小编在这给大家整理了一些沈阳数学中考考点总结，我们一起来看看吧!沈阳数学中考考点总结一、三角函数1.定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：②角的关系：A+B=90°③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
数学中考考点总结平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
数学中考考点函数1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
互余两角三角函数关系
C 山坡
60°45°P
O
AE
B
水平地面
请观察：小山的高为h，为了测的小山顶上铁塔AB 的高x，在平地上选择一点P, 在P点处测得B点的 仰角为a, A点的仰角为B.(见表中测量目标图）
题目
测量山顶铁塔的高
A
X
测 量
B目标Fra bibliotekhaB
P
已
山高BC
知 数 据
仰角a 仰角B
C h=150米 a=45º B=30º
MＣN
10
Ｂ
10
A
典型例题解析
例 1.如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见 岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
解：过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
∵ ∠NBA= 60˚， ∠N1BA= 30˚，
∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 60˚，
影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测
的水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影章
CD=8米，太阳光线AD与水平地面成 26°角，斜坡
CD与水平地面BC成 30°角，求旗杆AB的高度。
（精确到1米）
A
E
B 20
F 260 D
48
C
例3
如图所示,四边形ABCD是一张矩形纸 片,∠BAC=a,(0°<a≤45°),现将其折叠,使A,C两点重合.
4、会运用三角函数解决与直角三角形有关 的简单实际问题。
思考：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰 角为60° ，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为 45° ，已知OA=100米，山坡坡
互余角的三角函数关系
互余角的三角函数关系sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα。
3．同角三角函数间的关系商数关系：sina/cosa=tana²平方关系：sin^2(a)+cos^2(a)=1三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠a≤90°间变化时，0≤sinα≤1,1≥cosa≥0,当角度在0°0,cota>0.²对称性180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称1/62/6还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+α)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα对称轴与对称中心y=sinx对称轴：x=kπ+π/2（k∈z)对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z)对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(αcos(αsin(αtan(αtan(α+β)=cosα²cosβ-sinα²sinβ-β)=cosα²cosβ+sinα²sinβ±β)=sinα²cosβ±cosα²sinβ+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα²tanβ)-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα²tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinαcosαcosαsinα²cosβ²sinβ²cosβ²sinβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα²cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2α-sin^2;α=2cos^2;α-1=1-2sin^2;αtan(2αcot(2αsec(2αcsc(2α)=2tanα/(1-tan^2;α))=(cot^2;α-1)/(2cotα))=sec^2;α/(1-tan^2;α))=1/2*secα²cscα三倍角公式sin(3α)=3sinα-4sin^3;α=4sinα²sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α)=4cos^3;α-3cosα=4cosα²cos(60°+α)cos(60°-α)4/6tan(3α)=(3tanα-tan^3;α)/(1-3tan^2;α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot^3;α-3cotα)/(3cotα-1)半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)辅助角公式asinα+bcosα=√(a^2;+b^2;)sin(α+arctan(b/a))asinα+bcosα=√(a^2;+b^2;)cos(α-arctan(a/b))万能公式sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2;(a/2))cos(a)=(1-tan^2;(a/2))/(1+tan^2;(a/2))tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2;(a/2))降幂公式sin^2;α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2;α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2;α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数图像：定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为r,值域为〔-1,1〕tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为rcot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为r三角函数的画法以y=sinx的图像为例，得到y=asin(ωx+φ)的图像：方法一：y=sinx→【左移(φ>0)/右移(φ5/6→y=sin(ωx+φ)→【纵坐标变为原来的a倍(伸长[a>1]/缩短[0y=sinx→【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的(1/ω)】→y=sinωx→【左移(φ>0)/右移(φ1]/缩短[0于边长为a,b和c而相应角为a,b和c的三角形，有：sina/a=sinb/b=sinc/c也可表示为：a/sina=b/sinb=c/sinc=2r变形：a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc其中r是三角形的外接圆半径。