单侧置信区间
《数理统计》第7章§7单侧置信区间
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指 对这类“坏 < 指 对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标 满足 ∀ θ ∈Θ 有 关心下限 关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体 设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得 怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为 等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么 故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n
第七节单侧置信区间
即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
应用统计学置信区间估计
t 分布旳右侧 分位点 t(n)
t(n)为 t 分布中满足下式旳右侧 分位点：
P{ t > t ( n ) }=
由给定旳概率 ，可查表得到 t(n)。
由 t 分布旳对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。
f (x)
t1-(n) = - t(n) 0
x t(n)
16
用 Excel 求 t /2(n) 可用 Excel 旳统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
（
，
）
求xμ旳9置0.0信01度为9S5%2 旳0置.01信85区32间；
21
【例4】某厂为了解产品旳质量情况，随机抽取了300件产品 进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率旳置信度为 95%旳置信区间。
解：产品次品率为百分比， =1-0.95=0.05， /2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96，
18
§6.2 总体百分比旳区间估计
设总体百分比为 P，则当 nP 和 n (1-P) 都不小于5时， 样本成数 p 近似服从均值为 P，方差为 P (1-P)/n 旳正态 分布。从而
pP
P(1 P) / n 近似服从 N (0, 1)
对给定旳置信度1-，由
P{Z / 2
pP P(1 P) / n
(x d , x d ) , d Z /2 / n
其中 d 称为估计旳允许误差。
12
用 Excel 求 Zα
可用 Excel 旳统计函数 NORMSINV 返回 Z 。 语法规则如下：
格式：NORMSINV(1-)
功能： 返回 Z 旳值。
阐明： NORMSINV() 返回旳是 Z1- 旳值。
置信度(置信区间计算方法)
推导
选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
n X 由P t (n 1) 确定t ( n 1) 2 S 2 n
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73
常选最小的一个.
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
— 称为枢轴量 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5)
P(T1 T2 ) 1
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
ch73
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
( 引例中 a 1.96, b 1.96 )
由 a g ( X1, X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch73 78
置信区间常用公式
单侧置信区间计算公式
单侧置信区间计算公式一、什么是单侧置信区间计算公式？单侧置信区间计算公式是一种统计学方法，用于估计总体参数的范围。
在统计推断中，我们通常使用置信区间来估计总体参数的真值。
而单侧置信区间是指我们只关心参数的一个方向，即上限或下限。
二、单侧置信区间的计算公式在单侧置信区间的计算中，需要确定置信水平、样本均值、样本标准差和样本大小。
根据这些信息，可以使用以下公式计算单侧置信区间的上限或下限：上限 = 样本均值 + Z值× （样本标准差/ √样本大小）下限 = 样本均值 - Z值× （样本标准差/ √样本大小）其中，Z值表示标准正态分布的分位数，可以根据所需的置信水平确定。
常见的置信水平有90%、95%和99%。
三、如何应用单侧置信区间计算公式？单侧置信区间计算公式的应用可以帮助我们估计总体参数的范围，并对统计结果进行解释和推断。
以下是一个具体的例子，以帮助读者更好地理解如何使用单侧置信区间计算公式。
假设某家公司想要估计其产品的平均寿命。
他们从生产线上随机抽取了30个样本进行测试，得到了样本平均寿命为1000小时，样本标准差为50小时。
现在，他们想要计算产品平均寿命的上限，以便在市场宣传中能够给出一个保守的估计。
我们需要确定置信水平。
假设我们选择了95%的置信水平。
根据标准正态分布的分位数表，对应的Z值为1.96。
接下来，将样本均值、样本标准差和样本大小代入单侧置信区间计算公式中，可以得到上限的计算结果：上限= 1000 + 1.96 × （50 / √30）≈ 1000 + 1.96 × 9.132≈ 1000 + 17.88≈ 1017.88因此，我们可以得到95%的置信水平下，产品平均寿命的上限为1017.88小时。
这意味着，我们可以有95%的置信度认为，产品的平均寿命不会超过1017.88小时。
四、单侧置信区间的解释和推断通过单侧置信区间的计算，我们可以对统计结果进行解释和推断。
非参数法,单侧95%置信区间计算例题
非参数法,单侧95%置信区间计算例题
95%置信区间的计算公式如下图：
95%置信区间的意义：假设上面统计的结果为[ 170-10, 170+10]，怎么说明最低身高为160，最高身高为180。
这个统计结果有95%的可信度。
95%置信区间是用来估计参数的取值范围的方法。
比如：在我们用样本去估计整体均值的实验过程中。
假设我们做了100组统计均值实验后，算出95%的置信区间后，其中有95个置信区间包含整体均值，5个不包含。
置信区间计算公式是什么？
置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。
置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α，绝大多数情况会将α设为0.05。
置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。
如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。
置信区间的常用计算方法为Pr(c1<=μ<=c2)=1-α。
单侧置信限.ppt
区间 (, ) 为参数 的 单侧置信区间. 为单侧置信上限.
(, ), ( , ) : 随机区间
3、单侧区间估计的主要步骤 (1)根据样本X1, X2 , ..., Xn构造统计量:G G( X1, ..., Xn , ), 要求G中包含待估参数 ,但不能包含其它参数.并且G的
分布已知,且其分布不依赖于其它未知参数.
P( 2
a) 1
因此,
a
2 1
(n
1)
解不等式:
(n 1)S 2
2
2 1
(
n
1)
得 2 的 1 单侧置信区间:
f (t)
(0, (n 1)S 2 )
2 1
(n
1)
单侧置信下限: 2 (n 1)S2 2 (n 1)
O
2 1
t
例3 用某仪器测量温度, 重复 5 次, 得数据1250 oC , 1260 oC , 1265 oC , 1245 oC, 1275 oC . 若测得的数据服从
12.2 11.9 12.4 12.6.设样本来自正态总体N( , 2 ), , 2均 未知,试求的置信水平为0.95的单侧置信上限 .
解:由已知n 10 , 1 0.95, 0.05
查表得 t (n 1) t0.05(10 1) 1.8331
计算可得 x 11.72,
正态分布 , 求总体方差 2 的 0.95 置信区间上限 .
解 : 样本方差观测值
s2
1 51
5 i 1
( xi
1259)2
142.5
=0.05, 查表得
2 1
(n
Байду номын сангаас1)
2 0.95
(4)
第7节 单侧置信区间
解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα
(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α
单侧置信区间
μ的置信水平为1-α的单侧置信区间
S X t ( n 1 ), n
μ的置信水平为1-α的单侧置信下限为
S X t ( n 1) n
又例如,μ未知,
2
( n 1) S 2
2
~ ( n 1)
2
给定α,找
12 ( n 1)
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ),
由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1 , X 2 ,, X n ) ,
Θ,
使得
P{ } 1 ,
称随机区间( , ) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限. 对于给定值α ( 0 <α <1 ), 如果有统计量 使得
( n 1) S 2 5 0.039 0.41 2 1 ( n 1) 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 2 已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
思考题答案：
n
X
z
练习题：
1. 为研究某汽车轮胎的磨损特性,随机抽了16只轮胎 使用,记录其使用到磨坏时所行驶的路程(公里),得
X , S 2 分别是样本均值和样本方差.
未知，
2
X ~ t ( n 1), S/ n
给定α,
找 t (n 1), 使
X P t ( n 1) 1 S / n
S P X t ( n 1) 1 n
x 41116, s 6346.
置信区间
sn2
m n
作为1 的2近似置信区间。
3.方差
2 1
22且 为2 未知
由第七章定理五知,统计量
(x y) (1 2 ) mn(m n 2)
(m
1)S
2 m
(n
1)S
2 n
mn
服从t(m+n-2)分布。由此可得1 2
的置信区间为
(*)
x
y
t1 2
(m
n
2)
(m
1)s
2 m
(n
于是
x1.96
14.75
n
x 1.96
15.15
n
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
上面的讨论是在DX已知的情况下进行的， 但实际应用中往往是DX未知的情况。
设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个 样本，由于2未知，我们用样本方差S2来
代替总体方差2，
n
1
2
n
欲使区间长度
2z 1 2
L n
2
z 1
2
L
n
即要求
4(z ) 2 2
1
n
2
L2
第五节 二正态总体均值差和方差比的区间估计
一. 二正态总体均值差的区间估计
设 x1 , 和, xm y分1 ,别来, y自m 于正态总
体N 和N (1,的12 ) 两独立(样2 ,本22 )，相应的
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当＝0.05时，1-=0.95,查表得
z1 z0.975 1.96
单侧置信区间
一个，第三步略改即可．
参数估计
单侧置信区间
例 设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X ~ N( ， 2 ) 的样本，且 2 已知， 未知．求 的置信度为 1 (0 1) 的单侧置信下限．
解 根据统计量的定理知 U X ~ N (0，1) ． / n
于是，对给定置信度1 ，存在 u 使
PLeabharlann X / nu
1
，
即
P
X
n
u
1
．
参数估计
单侧置信区间
所以， 的置信度为1 的单侧置信下限为 X
n
u
．将上例所求得的单侧置信下
限X
n
u
与同一置信度的双侧置信区间的置信下限
X
n
u
/2
比较发现，只是
2
与
的差别．此种规则对前面介绍的各种条件下的正态总体都适用，即只需将双侧置信区间的
置信上（或下）限中的 换成 ，就是相应条件下相应参数的同一置信度的单侧置信区 2
参数估计
单侧置信区间
定义 设总体 X 的分布函数是 F(x； ) ，其中 是未知参数；又设 X1 ，X2 ， ，Xn 是
总体的一个样本．对给定的值 (0 1) ，若统计量ˆ1( X1 ，X 2 ， ，X n ) 满足
P{ ˆ1} 1 ，
（6-25）
则称随机区间 (ˆ1 ， ) 为 的置信度为1 的单侧置信区间，并称ˆ1 为置信度为1 的
概率论与数理统计
参数估计
单侧置信区间
在前面的讨论中，我们所求的未知参数
的置信区间 (ˆ1 ，ˆ2 ) 都是双侧的．然而，在解决 某些问题时，我们可能不是同时关心它们的 “上限”和“下限”，即有时“上限”和“下 限”的重要性是不对称的，我们可能只关心某 一个界限．因此，在某些问题中，只需要讨论 单侧置信上限或下限就可以了．由此实际背景， 我们引进单侧置信区间的概念．
单侧置信区间
(n
1)
2 0.95
(5)
1.145,
S 2 0.039
标准差σ的单侧 0.95 的置信上限
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
5 0.039 0.41 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 )，其中 2已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
布, N (, 2 ),, 2未知.从某天生产的滚珠中随机地抽
取6个滚珠,测得直径（毫米）为
14.7， 15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1
求标准差σ的单侧 0.95 的置信上限.
解： 2的单侧 0.95 的置信上限是
2
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
2
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ), 由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1, X2 ,, Xn ), Θ, 使得
P{ } 1 ,
称随机区间( ,) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限.
2
(n 1)S 2
12 (n 1)
1
2 的置信水平为1-α的单侧置信区间
0,
(n 1)S
12 (n
2
1)
2 的置信水平为1-α的单侧置信上限为
2
(n 1)S 2
2 1
(n
第七节单侧置信区间
一. 单侧置信区间定义 定义: 给定 (0 1), 若由样本 X1 , X 2 X n 确定
的 ( X1 , X2 Xn ) (或 ( X1 , X2 , X n )) 满足: P ( ) 1 (或 P( ) 1 ) 则称随机区间: ( , ) (或 (, )) 是 的置信度为1 的单侧置信区间。 称为置信 度为 1 单侧置信下限（或称 置信度为1 的单侧置信上限)
为为置信度
概率统计
二. 单侧置信区间的求法 思路: 同双侧量区间的求法 不同处： 在求单侧置信区间时不是查双侧 点，而是查单侧 分位点。
分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均 2 收入 X 234.7 （元）， s 1590.85
即:
X
s
n
t ( n 1)
X 234.7
t (n 1) t0.05 (20 1) t0.05 (19) 1.7291
概率统计
所求的 的单侧置信下限为:
s
1590.85 8.92 20 n
234.7 8.92 1.7291 234.7 15.43 219.3(元)
第绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在 有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方 向的界限。 例如， 对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了.
这时，可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限, 这样求得的置信区间称为 单侧置信区间.
得:该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为219.3 (元).
概率统计
置信区间
区间
[ x z1
2
n
, x z1
2
n
]
即为的置信区间。称z1-/2为在置信 度1-下的临界值，或称为标准正态分布 的双侧分位点。 当＝0.05时,查标准正态分布 表得临界值
z1 z0.975 1.96
2
此时的置信区间是
[ x 1.96
n
, x 1.96 n ]
1
由此得到的置信度为1-的单侧置信区间:
x
s n 1
t
(n 1),
的置信度为1-的单侧置信下限为:
s 1 x t1 (n 1) n
二.方差DX的区间估计
设总体 是来自于总体 的样本。现利用样本给出2的置信区间。考 虑统计量
Y (n 1) s 2
2 1
m
2 2
~ N (0,1)
n
如同上节一样讨论，可得1 2 的置信 区间为
2 2 12 2 12 2 , x y z x y z 1 1 m n m n 2 2
2 2 都为未知 2. 方差 和
2 2 1
2
故DX的置信区间为
0.0013,0.0058
例 设正态总体N(,2)的方差2为已知, 问容量n为多大的样本,才能使总体均值 的1-的置信区间的长度不大于L？
解: 因为
P x z
1
2
n
x z
1
2
1
n
所以, 的1-的置信区间为
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
stata置信区间
stata置信区间
stata中置信区间是一种用于估计参数真实值的统计工具。
在统计分析中，我们通常使用样本数据来推断总体参数。
然而，由于样本只是总体的一个子集，因此我们不能确定样本估计量的准确性。
因此，我们使用置信区间来表示我们对参数真实值的估计范围。
在stata中，要计算置信区间，可以使用命令“ci”或“cii”。
这些命令可以计算一个或多个变量的置信区间，并且可以指定置信水平和置信区间类型。
通常，置信水平为95%或99%，置信区间类型为双侧或单侧。
双侧置信区间表示参数真实值落在置信区间内的概率为置信水平，而单侧置信区间表示参数真实值落在置信区间的一侧的概率为置信水平。
在使用“ci”或“cii”命令时，需要注意的是，置信区间仅仅是对参数真实值的估计，因此并不能保证参数真实值必然落在置信区间内。
但是，当置信水平越高时，置信区间的宽度也会增加，因此我们可以更加确定地估计参数真实值的范围。
- 1 -。
置信区间66%
置信区间66%
（最新版）
目录
1.置信区间的概念
2.置信区间的计算方法
3.置信区间的应用
4.66% 置信区间的含义
正文
1.置信区间的概念
置信区间是指根据样本数据计算出的一个范围，用于估计总体参数的真实值所在范围。
在统计学中，置信区间是对某个参数的区间估计，可以表示为样本统计量加减估计标准误差。
置信区间可分为单侧置信区间和双侧置信区间，单侧置信区间表示的是某一方向的区间估计，而双侧置信区间则表示的是两侧的区间估计。
2.置信区间的计算方法
置信区间的计算方法通常采用 t 分布或正态分布来进行。
其中，t 分布适用于小样本情况，正态分布则适用于大样本情况。
在计算置信区间时，需要先计算样本统计量，然后根据样本统计量和样本标准差来计算 t 值或 Z 值。
接着，根据 t 值或 Z 值、自由度和所要求的置信水平，查表得出相应的临界值。
最后，将样本统计量与临界值相加或相减，即可得到置信区间。
3.置信区间的应用
置信区间在实际应用中具有重要意义。
例如，在市场调查中，可以通过计算置信区间来估计某种商品的销售量；在医学研究中，可以通过计算置信区间来估计某种治疗方案的有效率。
总之，置信区间可以帮助我们更
好地了解总体参数的真实值所在范围，为决策提供有力依据。
4.66% 置信区间的含义
66% 置信区间是指，当我们计算置信区间时，有 66% 的把握认为总体参数的真实值位于置信区间内。
换句话说，如果我们多次计算置信区间，并随机抽取总体参数的真实值进行比较，那么有 66% 的概率，我们会发现真实值落在置信区间内。
第六章第三节 单侧置信区间
§6.3 单侧置信区间定义6.3.1 设总体X 含有未知参数θ，对于给定的数)10(<<αα，若由样本,,(21X X ),n X 可确定一个统计量),,(ˆˆ2111nX X X θθ=，使得 αθθ-=<1}ˆ{1P , 则称),ˆ(1+∞θ为参数θ的置信度为α-1的单侧置信区间， 1ˆθ称为置信度为α-1的单侧置信下限。
若存在 ),,(ˆˆ2122nX X X θθ=，使得 αθθ-=<1}ˆ{2P , 则称)ˆ,(2θ-∞为参数θ的置信度为α-1的单侧置信区间，2ˆθ称为置信度为α-1的单侧置信上限。
求单侧置信区间的方法与双侧置信区间类似。
以总体方差2σ未知，求总体均值μ的置信区间为例。
设,,(21X X ),n X 为总体的一个样本，由于~(1)X T t n Sμ-=-, 对给定的置信度α-1，有（见图6.3.1）{(1)}1X P t n Sαμα-<-=-, 图6.3.1 即 αμα-=-->1)}1({n t n SX p ,于是，μ的置信度为α-1的单侧置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--),1(n t n S X α, （ μ的单侧置信下限为 )1(ˆ1--=n t n SX αθ,若求μ的单侧置信上限，可仿照上面的步骤，类似地求出μ的置信度为α-1的单侧置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞-)1(,n t n S X α, μ的单侧置信上限为 )1(ˆ2-+=n t n S X αθ ,例6.3.1 设某种材料强度),(~2σμN X ，今进行5次测试，，得样本强度均值21160/X kg cm =，样本均方差2/75.99cm kg ，试求材料强度均值μ的0.99的置信下限。
解 由题设，99.01=-α，5=n ，查t 分布表，得=-)1(n t α747.3)4(01.0=t ， 将1160X =和99.75S =代入式（6.3.3），得材料强度均值μ的0.99的置信下限为10.01ˆ(4)1160 3.747992.8X θ==-= 这说明这批材料强度有99%可能超过2/8.992cm kg 。
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二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1 ) , 若由样本 X 1 , X 2 ,, X n 确定的统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) , 对于任意
满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单 侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧置 信下限.
似然函数
求置信区间 的步骤 置信区间和上下限
X ~ t (n 1) S/ n
对于给定的置信水平 怎样直接写出置信下限 1 ,可查表求得 t (n 1) 使得 S S 1~ t ( n 1) ~ X t (n t1)(n 1) X X P n n S/ n 故 的单侧置信下限为 等价地有 t (n 1) S t ( n 1) X S P{ X t (n 1) n } 1 n 的置信上限是什么 故 的单侧置信下限为 S t (n 1) X X S n t (n 1) n 第六章 参数估计
又如果统计量 ( X 1 , X 2 ,, X n ), 对于任 意 满足 P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间 , 称为 的置信水平为1 的单侧 置信上限.
6.5 单侧置信区间
设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本, , 2 均未知.试求 的置信水平为 1 的单侧置信下限. , 2 的无偏估计分别是 X , S 2 ,且
6.5 单侧置信区间 设 X1 , X 2 , , Xn 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本, , 2均未知. 试求 2的置信水平为 1 的单侧置信上限. , 2 的无偏估计分别为 X , S 2,且 (n 1) S 2 2 形式运算 ~ (n 1) 2 (n 1) S 2 2 ~ 2 2 (n 1) 故 的置信度为 1 的单侧置信上限为
t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318,
的置信水平为0.95 的置信下限 s x t ( n 1) 1065. n
参数估计主要内容
点 估 计 矩估计
极大似然 估计
估 计 量 的 评 选
无偏性
有效性 相合性
正态总 体均值 方差的 置信区 间与上 下限
6.5 单侧置信区间
一、问题的引入
二、基本概念 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入
在以上各节的讨论中 , 对于未知参数 , 我们给 出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们 关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在 考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.
2 n ( 1)S 2 2 1 (n 1)
, 1 ?
（注意 较小）
12 (n 1)
2 (n 1)
第六章
参数估计
三、典型例题
例 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解 1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950,