五年级奥数第24讲-包含与排除(教)

学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义

年级：五年级

辅导科目：奥数

课时数：3

学科教师：

授课主题

授课类型T同步课堂第24讲——包含与排除

P实战演练S归纳总结

教学目标

①了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容

②掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用

授课日期及时段

T

（T extbook-Based）

——同步课堂

知识梳理

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．

图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．

1．先包含——A+B

重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：

图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，

1．先包含：A+B+C

重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，多加了1次．

2．再排除：A+B+C-A I B-B I C-A I C

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

典例分析

考点一：两量重叠问题

例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

A C B

【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12=16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12=17(人)．

方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16+12+17=45(人)．

方法二：根据包含排除法，直接可得：

参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28+29-12=45(人)．

例2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？

会游泳的A 两

项

都

会

的B

会

打

篮

球

的

两项都不会的

【解析】如图，用长方形表示全班人数，

A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：

20+25-10=35(人)，全班人数为：35+9=44(人)．

例3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？

既采

A樱桃

又采

杏的

B

既没采樱桃

又没采杏的

【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数．

长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．

由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，

则至少采了一种的人数为：46-6=40(人)，

而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，

所以，只采了杏的人数为：40-18-7=15(人)．

例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？

8 乙

丙

甲

A

B

【解析】通过 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16，

通过 15 幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15，

那也就是说五年级的画比六年级多 1 幅，我们还知道五、六年级共展出 25 幅画，

进而可以求出五年级画作有 13 幅，六年级画作有 12 幅，

那么就可以求出其他年级的画作共有 3 幅．

考点二：三量重叠问题

例 1、全班有 25 个学生，其中17 人会骑自行车，13 人会游泳， 8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至

少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6 个人数学不及格，那么，

（1） 数学成绩优秀的有几个学生？

（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？

【解析】（1）有 6 个数学不及格，那么及格的有： 25 - 6 = 19 (人)，

即最多不会超过19 人会这三项运动之一．

而又因为没人全会这三项运动，那么，

最少也会有：（17 + 13 + ）÷ 2 = 19 (人)至少会这三项运动之一．

于是，至少会三项运动之一的只能是19 人，

而这19 人又不是优秀，说明全班 25 人中除了19 人外，剩下的 6 名不及格，

所以没有数学成绩优秀的．

（2）上面分析可知，及格的19 人中，每人都会两项运动；

会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；

会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，

而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，

但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，

全班有19 - 17 = 2 (人)既会游泳又会滑冰．

考点三：图形中的重叠问题

例 1、把长 38 厘米和 53 厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4 厘米，焊接后这根铁条有多长？