3.3求非线性目标函数的最值及逆向问题

A B
2 2
Ax By C A B
2 2
形式，
A2 B2
求可行域内的点（ x ，y ）到直 线 Ax+By+C =0 距离的 倍的最值。
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[研一题]
1≤x＋y≤4， 已知变量 x， y 满足约束条件 －2≤x－y≤2，
[例 3]
若
目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，求 a 的取值范围．
y
B
A
C
x
[例 2]
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的取值范围． x＋1
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[自主解答]
作出可行域如图，并求
出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域 内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 9 上，故 z 的最小值|MN| ＝2.
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解：如例3中的图，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值 的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4平行， 此时a＝1.
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[悟一法] 已知目标函数的最值求参数，这是线性规划的逆向思 维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般 在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求 解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．
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[自主解答]
由约束条件画出可行域(如图所示)为矩
形ABCD(包括边界)．
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点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋z在y轴上
的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
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在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
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x≥1， 已知 x，y 满足x＋y≤4， x＋by＋c≤0，
且目标函数
z＝2x＋y 的最大值为 7，最小值为 1，求 b＋c 的值．
x≥ 1 解：如图，画出 x＋y≤4
所表示的平面区域及直线 2x＋y＝7 与 2x＋y＝1，
可知直线 x＋by＋c＝0 过直线 2x＋y＝1 与直 线 x＝1 的交点(1，－1)和直线 2x＋y＝7 与直 线 x＋y＝4 的交点(3,1)，且 b＜0.
2
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1 y－－2 (2)z＝2· 表示可行域内任一点(x， y)与定点 Q(－ x－－1 1 7 3 1，－2)连线的斜率的两倍，且 kQA＝4，kQB＝8， 3 7 所以 z 的取值范围为[4，2]．
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[悟一法] y－ b (1)若目标函数为形如 z＝ ，可考虑(a，b)与(x，y)两 x－ a 点连线的斜率． (2)若目标函数为形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y) 与(a，b)两点距离的平方． （ 3 ）对 于 形 如 z=| Ax+By+C| 的 目 标 函 数 ， 可 化 为 z=
1－b＋c＝0， 所以 3＋b＋c＝0， b＝－1， 解得 c＝－2.
故 b＋c＝－3.
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[通一类] y≥x， 3．(2011· 湖南高考)设 m>1，在约束条件y≤mx， x＋y≤1
下，目
标函数 z＝x＋5y 的最大值为 4，则 m 的值为________．
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1 m 解：画出可行域如图，可知 z＝x＋5y 在点 A( ， ) 1＋m 1＋m 取最大值为 4，解得 m＝3.
非线性目标函数的最值问题
及逆向求参数问题
非线性目标函数的最值问题
x y 4 0 y 例已知变量x , y满足 x y 0 ，求 的取值范围. x x 1
说明：
ay b 在 线 性 规 划 中 ， 对 于 形 如 z= （ ac ≠ 0 ） 的 目 标 函 数 ， cx d b y ( ) a a d b 可 先 变 形 z= c 的 形 式 ，将 问 题 化 归 为 求 点（ ， ） d x ( ) a c c 与 可 行 域 内 的 点 （ x ， y ） 连 线 斜 率 的 a/c 倍 的 范 围 最 值 ；