第二十三讲 互感和耦合电感的计算

U
R1 –

R2
U jM I 3 [ R1 j（L1 M） ]I 1 U jM I 3 [ R2 j（L2 M） ]I 2
Lc = M La =L1 － M Lb = L2 － M



j Lc
+I
U

3
I 1
I 2
j Lb
j La
jωM jωL2
各支路吸收的复功率为：
2
S1 I Z1 93.75 j15.63V A 2 S 2 I Z2 156.25 j140.63V A
*
电源发出的复功率为：
S U I 250 j125V A S 1 S 2
２、互感线圈的并联
i1
+ u1 _ * L1
M * L2
i2 + u2 _
i1 + u1 _ * L1
M L2 *
i2 + u2 _
i2
时域形式：
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
Ψ1=Ψ11±Ψ12 Ψ2=±Ψ21+Ψ22
11
Ψ1=L1i1±Mi2 Ψ2=±Mi1+L2i2
21
N1 i1 + u11 – +
N2 u21 –
２、同名端
11 21
N1 i1 N2
+
u11
–
+
u21
–
同向耦合 ：当互感磁通链与自感磁通链方向一致，自感方
向的磁场得到加强（增磁），称为同向耦合。

I2

R2
I 2 5 2 450 A
S S U I U C U R2 I S 500 j1500V A *

§１０－１ 互感
１、互感 ２、同名端 ３、耦合因数 ４、耦合电感的分析
１、互感
（１）、磁耦合 （２）、互感 M 单位： H
同名端：工程上将同向耦合状态下的一对施感电流（i1，i2）
的入端（或出端） ，定义为耦合电感的同名端。
用小圆点“•”或“＊”号表示。
i1 + u1 _ • L1 M i2 i1 + u2 _ + u1 _ * L1 M i2 + u2 _
• L2
* L2
i 1

2
1 * 1'
2

3
3'
R R1 R2
L L1 L2 2M
M 1 ( L1 L2 ) 2
L L1 L2 2M 0
互感不大于两个自感的算术平均值。 在正弦激励下：
I
+

R1
+

* U1

j M j L1 R2 – + U

j L2 * U2 –
–
U ( R1 R2 ) I jω( L1 L2 2M ) I
Z 2 R2 jL2 M 5 j 4.5 6.73
420
输入阻抗Ｚ为：
Z Z1 Z 2 8 j 4 8.94
26.570
令：

U 50

00


jωL1 I R1
U1


_
R2 _
U2
U 00 0 U 50 26.57 5 . 59 I _ Z 8.94 26.570
（１）、 同侧并联
di 1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di 1 u L2 M dt dt
i + u – i1 * L1
M *
i2 L2
i = i1 +i2 解得u, i的关系：
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
I1

j M
+
U1 _

I2

* j L1
* j L2 U 2
_
+
U 1 jL1 I 1 jM I 2
U 2 jM I 1 jL2 I 2




（３）、用受控源等效
+
U1

I1

j M
* *
I2

+
U2

+
U1

I1

I2

+

j L1
j L2
8.55 74.560 2.28 j8.24
I 3
同侧并联
+


j M
* * I 1
j L1
I 2
j L2
U （R1 jL1） I 1 jM I 2 U （R2 jL2） I 2 jM I 1
I 3 I1 I 2




j Lc
I U jM I 3 [ R2 j（L2 M） ]I 2 + I 1 3
（２）、 异侧并联
di 1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di 1 u L2 M dt dt
i + u – i1 * L1
M
i2 L2
*
i = i1 +i2 解得u, i的关系：
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
§１０－２ 含有耦合电感电路的计算
１、互感线圈的串联 例１０－３
２、互感线圈的并联
例１０－５
１、互感线圈的串联
（１）、 反向串联
i R1 u1 * L1 + u – L
i
R
+ +
u – –
– +
u2 R2 L2 *
M
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt


I1

I2
jωL2

Z1 Z M 3 j 0.5 I2 U U 1.99 -110.590 U 2 Z1Z 2 Z M 14.75 j 75

输入阻抗Ｚi为：
U

_
0
R1
R2
2 Z1Z 2 Z M 14.75 j 75 Zi 8 j4 ( I 1 I 2 ) Z1 Z 2 2Z M
I I


*
单位：V· A
（２）、复功率的计算
S U I I Z I I Z
2
Y G jB
Y G jB
*
S U I U U Y U 2Y *


２、复功率的守恒和功率因数的补偿
（１）、复功率的守恒
S
k 1 b
b
k
一、知识回顾
１、复功率 ２、复功率的守恒和功率因数的补偿 ３、负载获得最大功率的条件
４、作业讲解：Ｐ248 ９－１８
１、复功率
（１）、复功率的定义
S U I UI
U U u




u- i - i
UI

S

UIcosφ jUIsinφ P jQ
同侧并联
I3 ①

异侧并联
I3

jωM

jωL1
U

I1

I2
jωL2

I3 ①

jωM



I1

I2
jωL2

_
0

R1
R2
U
Z
jωL1
U

_

_
0
R1
R2
U ( R1 jL1 ) I 1 jM I 2 U jM I 1 ( R2 jL2 ) I 2
I 3 I1 I 2
U

_
３、负载获得最大功率的条件
传输功率较小，不计较传输效率时。

ＮＳ
U
+
I
Z
Zeq _
U OC
1
U

I

-
_
Z
设：Zeq=Req+jXeq Z=R+jX
1/
* eq
Z Req jX eq Z
2 U OC Pmax 4Req
* eq
或
Y Y
４、作业讲解：Ｐ248 ９－１８

U ( R1 jL1 ) I 1 jM I 2 U jM I 1 ( R2 jL2 ) I 2
I 3 I1 I 2









（３）、举例：例１０－４
解： 令：U 50
I1


00

I3 ①

jωM

Z2 ZM 5 j 4.5 U U 4.40 -59.140 2 jωL1 Z1Z 2 Z M 14.75 j 75
j L1
jωM I2

j L2
+ –
+
–
U2

–
–
jωM I1
–
–
注意：
(1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系； 有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦 合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。 (2) 互感电压的符号有两重含义。 同名端； 参考方向； 互感现象的利与弊： 利 —— 变压器：信号、功率传递 弊 —— 干扰 , 合理布置线圈相互位置减少互感作用。
Z ( R1 R2 ) j( L1 L2 2M )
（２）、 顺向串联
i + + u – –
R1 u1 * L1
+ M u –
i R L
– + * L2 u2 R2
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt R R1 R2 L L1 L2 2 M
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1'
2'
2'*
注意：线圈的同名端必须两两确定。
同名端的实验测定：
R S 1 i *
1'
*2
2'
当闭合开关S时，i增加，
+ V –
di 0, dt
u22' M di 0 dt
电压表正偏。
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确 定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
当断开S时，如何判 定？
R1 –
R2
I 3
j M
异侧并联
+


U （R1 jL1） I 1 jM I 2 U （R2 jL2） I 2 jM I 1
I 3 I1 I 2


* I 1
j L1
I 2
*
j L2

U
R1
R2
–

U jM I 3 [ R1 j（L1 M） ]I 1
例１０－２
解：
di1 di2 u1 L1 M 50 sin 10t V dt dt di1 di2 u2 M L2 150 sin 10t V dt dt
1 + u1 _ 1 i1 • L1 M • L2
i2
2 + u2 _ 2
（２）相量形式：
当施感电流为同频率的正弦量时，在正弦稳 态情况下，其相量形式的方程为：
解： 设：I S 10 00 A
I1 I 2 I S




IS

UC_
I1


R2 I 2 R1 I 1 U C (2)


(1) (3)
1 j C
_
UC


I1 I S I 2 将(1)、(3)代入(2)中，可得：

IS jC


R1
U C
Z ( R1 R2 ) j( L1 L2 2M )
例１０－３
解：耦合因数k为
M k L1L2
M L1 L2

8 0.826 7.5 12.5
U
j ω L R 1 1 I _ U1 jωM _ jωL2

R2 _
U2
Z1 R1 jL1 M 3 j 0.5 3.04 -9.460
2 Mi1 L2i2 [1 15cos10t ]Wb
３、耦合因数
def 12 11
k def
k

21 22
M 1 L1 L2
４、耦合电感的分析
（１）时域分析：
M
* i1 M
* i1
* +
u21
–
di 1 u21 M dt
* –
u21
+
u 21
di 1 M dt
0
U
k 1 k
b

k
Ik 0

*
( P jQ ) 0
k 1 k
* 复功率守恒, 不等于视在功率守恒 .
b Pk 0 k 1 b Qk 0 k 1
（２）、功率因数的补偿
+
I
I2

R
jωL
I1
1 j C

P1 C (tan Z1 tan Z ) 2 ωU
例１０－１
解：
11 L1i1 2Wb
22 L2i2 15cos10t Wb 12 Mi2 5 cos10t Wb
21 Mi1 1Wb
1 + u1 _ 1
i1 • L1
M • L2
i2
2 + u2 _ 2
最后得：
1 L1i1 Mi2 [2 5 cos10t ]Wb