2019版 1微积分练习题(下) 第一章 答案

6
练习题 4
班级
学号
姓名
1． 设 u eax ( y z) ，而 y a sin x ，
a2 1
z cos x ，求 du .
dx 解： du u u dy u dz
dx x y dx z dx
aeax ( y z) eax a cos x eax ( sin x)
zxx 6x 8, zxy 2, zyy 2 在点 (0,0) 处： zxy 2 zxx zyy 12 0
zxx (0,0) 8 0 所以在点 (0,0) 处取极大值 z(0,0) 0.
在点 (2,2) 处： zxy 2 zxx zyy 12 0 . 所以在点 (2,2) 处不取极值.
轴的柱面.
4．求下列函数的定义域：
(1) z ln（y 2 4x 8) ；
解：定义域 D (x, y) y 2 4x 8 .
(2) z 1 1 . xy xy
解：定义域 D (x, y) x y 0且x y 0 .
1
5．求下列各极限
(1) lim
1 x2 y2 ；
x kx
k1
lim f (x, y) lim
lim
x0
y 2 kx
x0 x4 k 2 x2 x0 x2 k 2 k
该值与 k 有关，说明当 (x, y) 以不同方式趋于
(0,0) 时，函数趋于不同的值.所以，lim f (x, y) x0 y0
不存在.从而，函数在点 (0,0) 处不连续.
z
2z xy
2
z y
(3z2 2x) 2z (3z2 2x)2
6z
z y
6z2 4x (3z2 2x)3
8
练习题 5
班级
学号
姓名
1． 求函数 z x3 4x2 2xy y 2 的极值.
解：由
z z
x y
3x2 8x 2y 2x 2y 0
0 得：
驻点为 (0,0), (2,2)
.
4(x3 3xy 2 2 y3 )
5． 设 z y ，而 x et , y 1 e2t ，求 dz .
x
dt
解： dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(2e2t )
代入 x, y 化简得：
dz (et et ) . dt
z z u z v z w y u y v y w y
y kx ， x 0
lim
x0
f (x, y) lim x0
x kx x2 k2x2
1
k k
2
y0
该值与斜率 k 有关，说明当 (x, y) 以不同方
式趋于 (0,0) 时，函数趋于不同的值.
所以， lim f (x, y) 不存在.从而，函数在点 x0 y0
(0,0) 处不连续.
2
练习题 2
x2 y2 (2xdx 2 ydy)
所以
dz 1 (2dx 2dy) dx dy . (1,1) 2
2． 求 函 数 z x2 y3 当 x 2, y 1,
x 0.02, y 0.01 时的全增量及全
微分.
解：
z x
( 2, 1)
2xy3
(2,1)
4
z y
( 2, 1)
3x2 y2
y
，其中
f (x2 y2)
f (u) 为可导函数，
求 1 z 1 z . x x y y
5. 设 u f (x2 y 2 z 2 ) ，求 2u .(其中 f x 2
具有二阶连续的偏导数)
解： 设 v x 2 y 2 z 2
解：设 u x2 y 2 , 则 z y f (u)
1
x y
2
y
y2
1 y2
x2
dx
x y
dy
(2) u x yz ；
解：
du yz x yz1dx zx yz ln xdy yx yz ln xdz .
(3) z ln( x 2 y 2 ) ，求 dz |(1,1）.
解：
dz 1 d (x2 y2 ) x2 y2 1
班级
学号
姓名
1． 求下列函数的偏导数：
(1) z x y x 2 y 2 ；
解： z 1 x
x
x2 y2
z 1 y .
y
x2 y2
(2) z ln x ； y
解： z y 1 1 x x y x
z y
y x
x y2
1 y
.
(3) z arctan xy ；
解：
z x
平面方程.
解：设 M (x, y, z) 为平面上任意一点，则 (x 3)2 ( y 2)2 (z 9)2
(x 6)2 ( y 0)2 (z 4)2 化简得： 9x 2y 13z 21.
3．指出下列各方程在平面解析几何和空间解析 几何中分别表示什么图形？
(1) y x 1；
2． 求 函 数 z 2x2 ax xy2 2y 在 点 (1,1) 取得极值，求常数 a 的值.
解： zx ' 4x a y2
zy ' 2xy 2
将(1,-1)代入得：
a 5
zxx '' 4 zxy '' 2y zyy '' 2x
所以在点(1,-1)处
(x, y)(0,0)
解： lim 1 x2 y2 =1. (x, y)(0,0)
(2)
(
x,
lim
y)(1,2)
x x2
y y
.
解： lim x y = 1 2 = 1 .
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x y (x, y)(1,2) 2
2
2
6．证明极限 lim x y 不存在. (x, y)(0,0) x y
证明：取直线 y kx ， x 0 lim x y lim x kx 1 k x0 x y x0 x kx 1 k
(2,1)
12
dz 4 0.02 12 (0.01) 0.2
z (2.02)2 (1.01)3 22 (1)3 . 0.20404
5
3． 计算
(1) 1.032.02 ；
fx (x, y) (1, 2)
x
1,
x2 +y2 (1, 2) 5
解：设
f (x, y) xy , x0 1, y0 2, x 0.03, y 0.02,
y0
该值与斜率 k 有关，说明当 (x, y) 以不同方式 趋于 (0,0) 时，函数趋于不同的值.所以，上述极
限不存在.
7．利用定义讨论函数
z
x
2
xy y2
,
0,
x 2 y 2 0, 的连续性. x2 y2 0
解：当 x 2 y 2 0 时，函数是二元初等函数，
所以是连续的.
当 x2 y 2 0 时 ， f (0,0) 0 ， 取 直 线
y x
)
2
x2
x2 y2
2z
y 2x
2xy
.
x 2
(x2 y2)2 (x2 y2)2
xy 2
4.
设函数
f (x, y)
x
4
y4
,
0,
x 4 y 4 0; x 4 y 4 0;
证明 f (x, y) 在(0，0)处不连续但偏导数
存在.
证明：取 y 2 kx, (k 0, x 0)
解： fx '(x, y) 2x 3y ，所以 fx '(2,1) 4 3=7 .
3
3．求下列函数的二阶偏导数：
(1)
z
x2y
，求
2z x 2
；
解： z 2 y x2 y1 x
2z x 2
2 y(2 y
1)
x2y2 .
(2) z xsin y y sin x ，求 2 z ；
xy 解： z sin y y cos x
fy (x, y) (1, 2)
y
2,
x2 +y2 (1, 2) 5
fx (x, y) (1, 2) yx y1 (1, 2) 2,
所以
0.982 +2.032 f (1 0.02, 2 0.03)
f y (x, y) (1, 2) x y ln x (1, 2) 0,
所以
f (1, 2) fx (1, 2)x f y (1, 2)y
解： z z u z v z w x u x v x w x
f (x, y) x2 +y2 , x0 1, y0 2, x 0.02, y 0.03,
(2u 4v) 2x 4u y 2w 2x 4(2x3 3x 2 y y3 )
(2u 4v) 2 y 4u x 2w (2 y)
a2 1
a2 1
a2 1
eax sin x
2．设 z f (u, v, x) eu sin v x2 , 而
u x y,v xy ，求 z , z . x y
解： z f u f v f x u x v x x
eu sin v 1 eu cosv y 2x e x y (sin xy y cos xy) 2x
z yf (u) 2x x [ f (u)]2
u f (v) 2x 2x f (v) x
2u x 2
2
f
(v)
2x
f
(v) 2x
2 f (v) 4x2 f (v)
z f (u) yf (u) (2 y)
y
[ f (u)]2
1 z 1 z x x y y
2 yf (u)
1 y
f (u) 2 yf (u)
[ f (u)]2
[ f (u)]2
1 z. yf (u) y 2
6．设 z3 2xz y 0 ，求 2 z . xy
解： 设F (x, y, z) z3 2xz y
F z x 2z x F 3z2 2x
z F
z y
y F
1 3z2 2x
解：在平面解析几何中，表示一条直线.
在空间解析几何中，表示一个平面.（准线
为 xoy 坐标面上的直线 y x 1，母线平行 于 z 轴的柱面）
(2) x2 4 y 2 4 .
解：在平面解析几何中，表示一个椭圆（长半轴 为 2，短半轴为 1）.
在空间解析几何中，表示一个准线为 xoy 坐 标面上的椭圆 x2 4 y 2 4 ，母线平行于 z
1 1+x2 y
(
x
y
)
' x
yx y1 1+x2 y
z y
1 1+x2 y
(x y )y'
xy ln x 1+x2 y
.
(4) z sin(xy) .
解： z y cos(xy) x z x cos(xy) . y
2．f (x, y) x2 y2 3xy ，求 f x '(2,1) .
x
2z cos y cos x . xy
(3) z x ln( xy) ，求 2 z ； xy
解： z ln( xy) x 1 y ln( xy) 1
x
xy
2z 1 x 1 . xy xy y
(4)
z
arctan
y x
，求
2z x2
.
解： z 1 ( y ) y
x
1
(
y
u f (v) (x y) . z
e xy ( s i nxy x c o sxy) .
(2) z f (x2 y 2 , e xy ) .
解：设 u x2 y 2 , v e xy
z x
fu 2x
fv
ye xy
z y
fu (2y)
fv xe xy .
7
4．设 z
练习题 1
班级
学号
姓名
1．建立以点(1，3，-2)为球心，且通过原 点的球面方程.
解：半径 R (1 0)2 (3 0)2 (2 0)2
＝ 14
所求球面方程为：
(x 1)2 ( y 3)2 (z 2)2 14 .
2．求与两点 P1(3,2,9), P2 (6,0,4) 距离相等的
5 1 0.02 2 0.03 126 5 .
5
5
125
1.032.02 f (1 0.03, 2 0.02) f (1, 2) fx (1, 2)x fy (1, 2)y 1 2 0.03 0 1.06.
(2) 0.982 2.032 .
解：设
4． 设 z u 2 4uv w2 ，其中 u x2 y 2 ， v xy ， w x2 y 2 ，求 z , z . x y
而由偏导数的定义：
f x(0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f
(0,0)
0
f y(0,0)
lim
x0
f
(0, y) y
f
(0,0)
0.
4
练习题 3
班级
学号
姓名
1. 求下列函数的全微分：
(1) z arcsin x ； y
解： dz
1 1
x y
2
d
x y
1 ( 1 dx x dy) .
z f u f v eu sin v 1 eu cosv x y u y v y
3．求下列函数的一阶偏导数(其中 f 具有一阶偏
导数)：
(1) u f (xy yz zx) ；
解：设 v xy yz zx
u f (v) ( y z) u f (v) (x z)
x