第一章 直角三角形的边角关系6 利用三角函数测高

求出物体MN的高度吗?
说说你的理由.
过程：根据测量数据,物体MN的高度计算过程为： 在Rt△ MDE中， ED=
ME tan
M
在Rt△MCE中，
EC = ME EC-ED=
tan a
ME － ME tan tan a
=b
E N
β
D
α
b
C a
B A ME tan ME tan a b tan a tan b tan a tan β ME (tan tan a ) b tan a tan ME , MN b， a. tan β tan a tan a tan tan tan a
1．（宿迁·中考）如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， AM是BC边上的中线， sin CAM ,
3 5
则tan B的值为__________．
2 【答案】 3
2．（孝感·中考）如图，一艘船向正北航行，在A处看
到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B
点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船 继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是____ 海里（不作近似计算）. 【答案】 6
6
利用三角函数测高
90° 60° 30° 90°
60° 0°
30°
1.能够设计测量方案，说明测量理由，能够综合运用 直角三角形边角关系的知识解决实际问题. 2.能对所得数据进行分析，对仪器进行调整和对测量 的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
视线
1.仰角、俯角：
铅 垂 线
仰角 俯角 水平线
2.直角三角形的边角关系：
90° 90°
60°
30° 30°
60° 0°
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
1.把支杆竖直插入地 面,使支杆的中心线. 铅垂线和度盘的0° 刻度线重合,这时度 盘的顶线PQ在水平位 置. 2.转动度盘,使度盘 的直径对准目标M,记 下此时铅垂线所指的 度数.
M
水平线
90°
Q
90°
P
60° 30° 30° 60°
3 3 7 11 ， tan37 o ， s in 48 o ，tan48 o 5 4 10 10 ）
AD ， 【解析】设CD =x 米．在Rt△ACD中，tan 37 CD 3 3 AD 则 AD x. ， 4 4 x BD . 在Rt△BCD，tan48°= CD 11 BD 11 BD x. 则 10 x 10 ∵AD＋BD = AB，
议一议
根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的
理由. 在wk.baidu.comt△MCE中，
ME=EC·tanα=AN·tanα =l·tanα MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+ a 和同伴交流一下你的发现.
M
E N l
α
C a A
活动三
测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测
得测点与被测物体的底部之间的距离. 要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗？
M
E N
α
A
C
a
议一议
要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.
还需哪些条件？测量哪些数据？
M
E
β
N
D
α
b
A
C
a
B
如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N在一条 直线上，且A，B之间的距离可以直接测得), 测得此时 M的仰角∠MDE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离 AB=b. 根据测量数据,你能
3
3．（呼和浩特·中考）如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点 D，且AB＝4
3 ，求AD的长．
【解析】在Rt△ABC中, ∵ ∠B＝30°,
1 1 ∴ AC＝ AB＝ ×4 3 =2 3. 2 2
∵ ∴ ∴
AD平分∠BAC,
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°.
3 11 ∴ x x 80. 4 10
解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．
【规律方法】根据实际情况，选择测量方法，画出几何
图形，构造直角三角形，灵活运用三角函数的定义结合 勾股定理等有关知识是进行解题的关键.
本课主要学习测量物体的高度的方法： 1.测量底部可以到达的物体的高度. 2.测量底部不可以到达的物体的高度. 3.目前我们学习的测量物体高度的方法有相似法、 全等法、三角函数法.
人要学会走路，也得学会摔跤，
而且只有经过摔跤才能学会走路。
——马克思
AD＝
AC 2 3 ＝ ＝4. cos30 3 2
4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为
测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为
48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结
果保留整数） （参考数据： sin 37 o
0°
活动二
测量底部可以到达的物体的高度.
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接 测得测点与被测物体的底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度, 可按下列步骤进行： 1.在测点A处安置测倾器, 测得M的仰角∠MCE=α.
E N C A M
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时， 它与地面的距离).
视线
B c a A b
a b tan A a tan A b a b tan A
┌ C
活动课题: 利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. 活动方式:分组活动、全班交流研讨.
活动工具:
测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.
活动一
测量倾斜角（仰角或俯角）
测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器由度盘、铅 锤和支杆组成(如图).