第一章 直角三角形的边角关系6 利用三角函数测高
九下第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高作业新版北师大版
解：在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴AO＝ AC＝ ×8＝4(km)．
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据： ≈1.73)
课题
测量“永泰寺塔”
成员
组长：×××；组员：×××，×××，×××
工具
测倾器、皮尺等
设计方案
方案一
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD表示测倾器，CD的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E在同一平面内，需要测量的数据有BC的长度，∠ADE的度数
设计方案
方案二
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD，FG表示测倾器，CD，FG的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，需要测量的数据有CF的长度，∠ADE，∠AGE的度数
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO；
实施方案
方案二 的测量 数据
∠ADE的平均值
1.6利用三角函数测高作业课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册
2．(5分)如图，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°， 又知楼与树之间的距离BD＝10 m，楼的高AB＝24 m，则树的高CD为(_2_4_－__1_0__3__)_m.
3．(10 分)小亮利用所学的知识对大厦的高度 CD 进行测量，他在自家楼顶的 B 处测得大厦底部的俯角是 30°，测得大厦顶部的仰角是 37°，已知他家楼顶 B 处距地 面的高度 BA 为 40 m(图中点 A，B，C，D 均在同一平面内)，求大厦的高度 CD(结 果取整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， 3 ≈1.73).
解：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，则四边形 ABDH 为矩形，∴DH＝AB＝10 m，
AH＝B
D.设
CH＝x
m ，则
CD＝(x＋10)m，在
R t △A
CH
中，＝ tan 30°
3
x
(m)，∴在
Rt△CDE
中 ，DE ＝ tan
CD ∠CED
＝ x＋10 ＝ tan 60°
解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55
m ，∴A C＝ tan
CE ∠CAE
＝ 55 tan34°
≈ 55 ≈82.1 (m). 又 ∵AB ＝ 21 m ， ∴BC ＝ AC － AB≈82.1 － 21 ＝ 61.1 (m) ， ∴ 在 0.67
Rt△BCD 中，CD＝BC·tan ∠CBD≈61.1tan 60°＝61.1× 3 ≈105.7 (m)，∴DE＝CD－
DG ＝ x
≈2x(m)，CE＝CD ＋DG＋GE＝CD ＋DG＋BF＝20＋x＋8＝(28
tan α tan 26°35′
北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
• 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
M
1、在测点A处安置测倾器，测 得此时M的仰角∠MCE=α；
C αD β
E
AB
N
ME ME b, MN ME a
tan tan
2、在测点A与物体之间B处安置 测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度 AC=BD=a，以及测点A,B之间 的距离AB=b.根据测量数据,可 求出物体MN的高度。
2 米
第一章 直角三角形的边角关系
利用三角函数测高
课件
学习目标
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行 实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题．(难点)
导入新课
情境引 入
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法 测出它们的高度吗？通过这节课的学习，相信你就行.
讲授新课
解：如图，作EM垂直CD于M点,
根据题意，可知
∠DEM=30°,BC=EM=30m,
M
CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.6《利用三角函数测高(第一课时)》习题课件
答：这架无人机的长度AB为5 m.
9. 【中考•内江】如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的 高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再 沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角 为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度(结果 保留根号)．
解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°， ∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE＝∠BDE. ∴BE＝DE. 设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x， DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x， ∴BC＝ BE2－EC2＝（2x）2－x2 3x.
第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高
第1课时 视角在测量中的应用
1 利用锐角三角函数解决测距问题 2 利用锐角三角函数解决不能到达底部的物高问题 3 利用锐角三角函数解决同一位置的视角问题 4 利用锐角三角函数测量有视线障碍的物高
8．【中考•株洲】如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测
结果精确到0.1 m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73)．
解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则四边形MEDC是矩形， ∴ME＝DC＝3，CM＝ED. 在Rt△AEF中，∠AFE＝60°， 设EF＝x，则AF＝2x，AE＝ 3 x. 在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°， ∴DF＝3 3. 在Rt△AMC中，∠ACM＝45°， ∴MA＝MC.∵ED＝MC，∴AM＝ED.
得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tan α＝2 3 ，无 人机的飞行高度AH为500 3 m，桥的长度为1 255 m.
(1)求点H到桥左端点P的距离； (2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为
1.6 利用三角函数测高 课件(17张ppt)
tan A a 1
A
b tan B
2、仰角、俯角：
铅
垂
线
B
c
a
┌
b
C
视线
仰角 俯角
水平线
视线
认识测倾器
简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。
90 90
P
Q
度盘
0
铅锤
支杆
M
使用测倾器测 量倾斜角的步骤 如下: 1.把支杆竖直插 入地面,使支杆的 中心线、铅锤线 和度盘的00刻度 线重合,这时度盘 的顶线PQ在水平 位置. 2.转动度盘,使度 盘的直径对准目 标M,记下此时铅 锤线所指的度数.
1.测量底部可以到达的物体的高度. 2.测量底部不可以到达的物体的高度. 三、目前我们学习的测量物体高度的方法 有相似法、全等法、三角函数法.
作业布置
必做题：
助学P199 第8、9两题 .
选做题：
习题1.7 第1、2、3题 .
为60° ，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米；
2.如图1-17，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影 子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米， 则电线杆的高度为 米.
A
C
D
B
图1-16
3.如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着 倾角为30°的山坡前进1 000米到达D处，在D处测得山顶B的仰 角为60°，则山高BC大约是（精确到0.1米）（ ）； A. 1 366.0米 B. 1 482.1米 C. 1 295.9米 D. 1 508.2米
活动一：测量倾斜角.
水平线
北师大版数学九年级下册1.6利用三角函数测高课件
楼顶的旗杆
的高度吗？
教学过程
新
知
新
授
议一议
利用三角函数可以测量物体的高度，我们需要
用到一种仪器——侧倾器，侧倾器的构造如下
图：
刻度盘
铅垂线
枝干
教学过程
新
知
新
授
做一做
活动一、用侧倾器测倾斜角
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂
线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在
水平位置.
2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此
时铅垂线所指的度数
教学过程
新
知
新
授
做一做
M
根据测量数据，你能求出目标
M的仰角或俯角吗？说说你的
理由.
Q
O
N
P
B
A
教学过程
新
知
新
授
做一做
活动二、测量底部可以到达的物体的高度
测量工具：测倾器（或经纬仪、测角仪
等）、皮尺等
测量步骤：1.在测点A处安置测倾器，
素的过程，叫做解直角三角形.
2.解直角三角形时至少要知道几个元素？
直角三角形中，除了直角外的5个元素中只要知
道其中两个元素（其中至少要有一边），就可以
求出其余的三个元素.
教学过程
新
课
引
入
议一议
我们学过了用全等三角形、类似三角形测量物
体高度的方法，我们学了三角函数后，可不可
以利用三角函数测量物体的高度呢？
α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A、B与
N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测
6 利用三角函数测高
解：过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝FC＝12 m， 在Rt△AEH中，AH＝EH·tan∠AEH≈12×1.28＝15.36(m)． ∵∠BEH＝45°， ∴BH＝EH＝12 m. ∴AB＝AH－BH＝3.36≈3.4 m. 答：旗杆AB的高度约为3.4 m.
知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度
A．asinα＋asinβ B．acosα＋acosβ C．atanα＋atanβ D.taanα＋taanβ
2．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为 60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为( C )
A．5 m C．7 m
B．6 m D．8 m
(1)求古树BH的高； (2)求教学楼CG的高．(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°， ∴HE＝EF＝10. ∴BH＝BE＋HE＝1.5＋10＝11.5. 答：古树的高为11.5米．
(2)在Rt△EDG中，∠GED＝60°， ∴DG＝DE·tan60°＝ 3DE. 设DE＝x米，则DG＝ 3x米， 在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°， ∴GD＝DF＝EF＋DE. ∴ 3x＝10＋x. 解得x＝5 3＋5. ∴CG＝DG＋DC＝ 3x＋1.5＝ 3(5 3＋5)＋1.5＝16.5＋5 3≈25. 答：教学楼CG的高约为25米．
课题 成员 测量工具
测量 示意图
测量旗杆的高度 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量角度的仪器，皮尺等 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器 的高度AC＝BD＝1.5 m，测点A，B与H在同一 条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测 得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平 面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上.
九年级数学下册1.6利用三角函数测高教案全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
测角仪CD,测得楼顶端A仰角为30°,然后向楼前进30 m抵达E,又测得
楼顶端A仰角为60°,则楼AB高为
(1.5 3 2)m
解析:在Rt△AFG中,
∠AFG=60°,∠AGC=90°,tan∠AFG= A,G∴FG= Rt△ACG中,∠ACG=30°,tan∠ACG= AG, ∴FG CG
tan
.(参考数据: ≈12.414, ≈13.732,结果保
留三个有效数字)
解:如图所表示,延长BC交DA于E.设AE长为x m.
在Rt△ACE中,∠ACE=45°,∠AEB=90°, 则∠CAE=45°,∴CE=AE=x.
在Rt△ABE中,∠B=30°,AE=x,
tan B= AE ,即tan 30°= x ,∴BE=
6/12
【活动二】 测量底部能够抵达物体高度
1.如图所表示,要测量物体MN高度,需测量
哪些数据?
2.请说出测量物体MN高度普通步骤,需要测 得数据用字母表示.
1.测量A点到物体底部N点距离AN、测倾器高度AC长以及测量仰角 ∠MCE度数.
2.测量底部能够抵达物体高度步骤: (1)在测点A处安置测倾器,测得M仰角∠MCE=α. (2)量出测点A到物体底部N水平距离AN=l. (3)量出测倾器高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时,它与地面距离).
2.转动度盘,使度盘直径对准目标M,记下此时铅垂线所指度数 .
3/12
90 90
P
Q
0
4/12
90 90
M
30°
0
5/12
(三)测倾器利用:
依据操作步骤:当度盘直径 对准目标M时,铅垂线指向一 个度数,即∠BOA度数.依据 图形我们不难发觉: ∵∠BOA+∠NOA=90°,∠MON +∠NOA=90°, ∴∠BOA=∠MON.所以读出 ∠BOA度数也就读出了仰角 ∠MON度数. ∴测倾器上铅垂线所表示度数 就是物体仰角度数.
1.6 利用三角函数测高(练习)(解析版)
第一章直角三角形的边角关系
第六节利用三角函数测高
精选练习
参考答案与试题解析
基础篇
一．选择题（共8小题）
1．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）
A．俯角67°方向B．俯角23°方向
C．仰角67°方向D．仰角23°方向
【答案】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、仰角；熟记仰角定义，求出∠BAC＝23°是解题的关键．2．（2020•徐汇区一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）
A．200米B．400米C．米D．米
【答案】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．。
北师大版九年级数学下册第一章6利用三角函数测高课件
距离b，由此可得物体的高度为
．
1. 如图，数学活动小组利用测倾器和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处 测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测倾器CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端 B之间的距离为6米．设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是( B )
2. 如图，DE＝150 m，在A处用测倾器测得
塔顶B的仰角为30°，又知测倾器高1.5 m，则塔
高BE为
m．(结果保留根号)
3. 某兴趣小组用高为1.2 m的仪器测量建筑
物CD的高度．如图，在距CD一定距离的A处用仪器
观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点
B，在B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测
得A，B之间的距离为4 m，tan α＝1.6，tan β＝1.2，
起点拱门CD的高度约为6米．
【基础训练】 1. 如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方 向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB为( A )
2. 小强和小明去测量一座古塔BE的高度(如图)．他们在离塔60 m的A处，用 测倾器测得塔顶B的仰角为30°.已知测倾器AD高1.5 m，则古塔BE的高度为( B )
则建筑物CD的高度为 20.4 m.
5. 如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的 俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD 的高度．(结果精确到1米．参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
(2)如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度(如图2) 的方案．
要求： ①在图2中，画出你测量小山高度M′N′的示意图(标上合适的字母)； ②写出你设计的方案．(测倾器的高度用h表示，其他涉及的长度用字母 a，b，c，…表示，涉及的角度用α，β，…表示，最后请给出计算小 山高度MN的式子)
06-第一章6利用三角函数测高
6 利用三角函数测高
栏目索引
发挥直观想象,构造直角三角形 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变 化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助 空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分 析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题 的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成 论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几 何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度
工具
步骤
图例
测量底部不可以到达 的物体的高度
测倾器、皮尺(卷尺)
如图,测量物体MN的高 度:(1)在测点A处安置 测倾器,测得此时M的 仰角∠MCE=α.(2)在测 点A与物体之间的B处 安置测倾器(A、B与N 在同一条直线上),测得 此时M的仰角∠MDE= β.(3)量出测倾器的高度 AC=BD=a,以及测 点A、B之间的距离AB =b.(4)根据三角函数求 出物体MN的高度,MN=
在Rt△CDE中, CD =tan∠CED,即
x
= 3,
DE
30 3- 3x-10 3
图1-6-5
解得x=15-
5
3 3
.答:立柱CD的高为15-
5
3 3
米.
6 利用三角函数测高
栏目索引
素养呈现 (1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角 形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CH ⊥AB于H,得到Rt△AHC和矩形BDCH. (2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根 据题意用x表示出ED. (3)在△CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习
第一章直角三角形的边角关系第6节利用三角函数测高课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF⊥BC，⊥AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．2．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0 刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（）A．（1）（2）（3）（4）B．（4）（3）（2）（1）C．（4）（2）（3）（1）D．（3）（4）（2）（1）3．如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．(5√33+32)m B．(5√3+32)m C．5√33m D．4m4．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°评卷人得分二、填空题5．如图，一辆小车沿着坡度为1:3i=的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.6．如图，某同学用一个有60︒角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度．他将与60︒角相邻的直角边水平放在1.5m高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为5m，则旗杆AB的高度约为________m.（结果精确到lm，3取1.73）7．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C 点的俯角为60°,则建筑物CD的高为________m．8．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼高_____m（结果保留根号）．9．如图，一艘潜艇在海面下500m深的点A处，测得正前方俯角为31°方向上的海底有黑匣子发出信号，潜艇在同一深度保持直线航行500m，在点B处测得海底黑匣子位于正前方俯角36.9°的方向上，海底黑匣子C所在点距海面的深度为________m．（精确到1，m．参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin31°≈0.51，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）10．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC，若⊥B=56°，⊥C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）11．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．12．某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是______________米．13．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得8CD=，20BC=米，CD与地面成30角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．14．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1：5，则AC的长度是_____cm．评卷人得分三、解答题15．如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）.16．如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往著名的电视塔观光，他在A处望塔顶C的仰角为30°，继续前行250m后到达B处，此时望塔顶的仰角为45°．已知这位游客的眼睛到地面的距离约为170cm，假若游客所走路线直达电视塔底．请你计算这座电视塔大约有多高？（结果保留整数. ≈1.7，≈1.4；E，F分别是两次测量时游客眼睛所在的位置．）17．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得15AB BE ED CD====cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时⊥ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：3≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器)图1图2图318．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12米，求旗杆AB 的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：3≈1.73，2≈1.41．19．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．20．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）21．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米．现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长均为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且⊥DAB=66°．(1)求点D与点C的高度差DH的长度；(2)求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，cot66°≈0.45）22．某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方D处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点A与居民楼的水平距离AB是15米，且在点A测得第一次施救时云梯与水平线的夹角⊥CAB＝45°，第二次施救时云梯与水平线的夹角⊥BAD＝55°，求C、D两点间的距离（结果精确到0.1米）.【参考数据：sin55°＝0.82；cos 55°＝0.57，tan55°＝1.43】23．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（3取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．24．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为203米．(1)求出大厦的高度BD；(2)求出小敏家的高度AE.25．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角⊥BAF=30°，⊥CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（2 1.414，CF结果精确到米）参考答案：1．A【解析】【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF⊥BC知⊥ADE=90°，由⊥AEF=143°知⊥AED=37°，根据sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．⊥AB⊥BC，EF⊥BC，⊥BD⊥DF，即⊥ADE=90°．⊥⊥AEF=143°，⊥⊥AED=37°．在Rt⊥ADE中，⊥sin⊥AEDADAE=，AE=1.2米，⊥AD=AE•sin⊥AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．2．C【解析】【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；故选择：C.【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．3．A【解析】【详解】先根据题意得出AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，在Rt⊥ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD =AD•tan30°=5×33=533，由CE=CD+DE=533+1.5（m）．故选A.点睛：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．4．C【解析】【详解】试题分析：由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出⊥BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出⊥BAO=50°，以及求出⊥BAD的度数，得出点B位于点A的方向，故本题选C．点睛：本题主要考查的就是方位角的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要能够根据已知的条件得出各个角的度数，从而求出问题中所要求的角的度数．在解决这种类型的题目时，我们还要注意参照物是那个物体，就要以参照物为标注建立方位图，从而得出答案．5．25【解析】【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了3x米．根据勾股定理可得：x2＋（3x）2＝502．解得x＝25．即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．故答案为：25.【点睛】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan （坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．6．10【解析】【分析】在⊥ACE中，CE⊥AE，tan⊥ACE=AECE，由此可得AE，AB=AE+BE=AE+CD．【详解】解：由题意可知，在⊥ACE中，CE⊥AE，且⊥ACE=60°，BD=5，而tan⊥ACE=AE CE，⊥AE＝CE×tan60°＝53≈8.6．又⊥EB=1.5，⊥AB=AE+EB≈10（米）．故答案为10.【点睛】解题的关键是把实际问题抽象到解直角三角形中，然后利用三角函数的定义解决问题．7．203m【解析】【分析】延长CD交AM于点E．在Rt⊥ACE中，可求出CE；在Rt⊥ADE中，可求出DE．CD=CE-DE．【详解】解：延长CD交AM于点E，则AE=30．⊥30103DE AE tan=⨯︒=．同理可得303CE．=⊥203CD CE DE=-=（米）故答案为203【点睛】考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．8．1603【解析】【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：在Rt⊥ABD中，⊥⊥BAD=30°，AD=120m，⊥BD=ADtan30°=120×33=403m，在Rt⊥ACD中，⊥⊥CAD=60°，AD=120m，⊥CD=ADtan60°=120×3=1203m，BC=BD+CD=1603m．即这栋楼高为1603m．故答案为1603．考点：仰角与俯角的计算．9．2000.【解析】【详解】试题解析：作CD⊥AB于D，设CD=xm ，则AD=5tan 3CD DAC =∠xm ， BD=4tan 3CD DBC =∠xm ， 由题意得，AD-BD=500m ，即53x-43x=500， 解得，x=1500m ，1500+500=2000m.考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．10．60【解析】【分析】 根据题意和图形可以分别表示出AD 和CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决．【详解】⊥⊥B=56°，⊥C=45°，⊥ADB=⊥ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ⊥BD=tan 56AD ︒，CD=tan 45AD ︒， ⊥tan 56AD ︒+tan 45AD ︒=100， 解得，AD≈60 考点：解直角三角形的应用．11．58【解析】【详解】试题分析：直接利用锐角三角函数关系得出EC 的长，进而得出AE 的长，进而得出答案．如图所示：由题意可得：CE⊥AB 于点E ，BE=DC ， ⊥⊥ECB=18°48′， ⊥⊥EBC=78°12′， 则tan78°12′=10EC EC BE ==4.8， 解得：EC=48（m ）， ⊥⊥AEC=45°，则AE=EC ，且BE=DC=10m ，⊥此塑像的高AB 约为：AE+EB=58（米）．考点：解直角三角形的应用12．2400.【解析】【详解】试题解析：根据题意，飞机到控制点的距离是1200sin 30︒=2400（米）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．13．（14+23）米【解析】【分析】过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．⊥CD =8，CD 与地面成30°角，⊥DE =12CD =12×8=4，根据勾股定理得：CE =22CD DE -=2242-2284-=43．⊥1m 杆的影长为2m ，⊥DE EF =12， ⊥EF =2DE =2×4=8，⊥BF =BC +CE +EF =20+43+8=（28+43）．⊥AB BF =12，⊥AB=12（28+43）=14+23．故答案为（14+23）．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．14．240【解析】【详解】试题分析：如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答即可．解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．⊥tan⊥BCA==⊥DC=300cm，⊥AC=DC﹣AD=300﹣60=240（cm）．答：AC的长度是240cm，故答案为240．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15．15.54米【解析】【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．【详解】解：在Rt△ACE中，⊥ACE=α=35°，CE=BD=20，⊥tan⊥ACE=AE CE，⊥AE=CE•tan⊥ACE=20•tan35°14.004，⊥AB=AE+BE= 14.004+1.54≈15.54（米）．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．16．电视塔大约高339米．【解析】【详解】试题分析：根据CG和⊥CFG、CG和⊥CEG可以求得FG、EG的长度，根据EF=EG﹣FG 可以求出CG的长度，即可解题．试题解析：延长EF交CD于G，在Rt⊥CGF中，FG==CG，Rt⊥CGE中，EG==CG，⊥EF=EG﹣FG，⊥CG==125（+1）≈337.5米170cm=1.7，337.5+1.7≈339米．答：电视塔大约高339米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．17．(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°(2)台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°【解析】【分析】（1）由题意得：17.52DF CD==cm，EF CD⊥，根据1cos2DFDDE∠==，可求D∠；（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得31531522EF=⨯=，根据cos0.134BHABHAB∠=≈，可得ABH∠的值，进而可求ABE∠的值．(1)解：由题意得，17.52DF CD==cm，EF CD⊥，⊥1cos2DFDDE∠==⊥60D∠=︒⊥平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．(2)解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，⊥30HF=⊥31531522EF=⨯=⊥15330152BH BE EF=--=-⊥cos0.134BHABHAB∠=≈⊥82.30ABH∠≈︒⊥18097.70ABE ABH∠=︒-∠=︒⊥台灯平稳放置时⊥ABE的最大值是97.70°．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的余弦值求角度．解题的关键在于找出线段的数量关系．18．约是5.3米．【解析】【分析】由条件易得BE =DE =20，在Rt △BCE 中，利用三角函数求得BC 的长，进而可求AB ．【详解】解：⊥⊥BEC =⊥BDE +⊥DBE ，⊥⊥DBE =⊥BEC -⊥BDC =60°-30°=30°，⊥⊥BDE =⊥DBE ，⊥BE =DE =20，在Rt △BCE 中，⊥BCE =90°，sin⊥BEC =BC BE ， ⊥3sin 2010310 1.7317.32BC BE BEC =⋅∠=⨯=≈⨯=（米）， ⊥AB =BC -AC =17.3-12=5.3（米），答：旗杆AB 的高度约为5.3米．【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明BE ＝DE ，掌握三角形函数定义． 19．旗杆AB 的高度是（83+8）米．【解析】【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB ）×33=BD×1，解得BD ，从而可以求得AB 的高度． 【详解】，解：由题意可得，CD=16米，⊥AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，⊥CB•tan30°=BD•tan45°，⊥（CD+DB ）×33=BD×1， 解得BD=83+8，⊥AB=BD•tan45°=（83+8）米，即旗杆AB 的高度是（83+8）米．20．10.5米．【解析】【分析】设CD=x 米，由已知可得DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，利用⊥A 的正切求出x 的值即可.【详解】设CD=x 米，⊥⊥DBC=45°，⊥DB=CD=x ，AD=x+4.5，在Rt △ACD 中，tan⊥A=CD AD， ⊥tan35°=5.4+x x ， 解得：x=10.5，所以大树的高为10.5米．【点睛】 本题考查了俯角、仰角的定义，借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.21．(1)1.2米；(2)约为4.9米．【解析】【分析】（1）根据“每级小台阶都为0.4米”即可求得高度差DH 的长度；（2）过点B 作BM ⊥AH ，垂足为M ，由题意得：MH ＝BC ＝AD = 1，66A ∠=，即可求得AM 的长，在Rt △AMB 中，根据⊥A 的余弦函数即可求得AB 的长，从而可以求得结果．(1)解：由题意得，DH ＝0.43⨯＝1.2（米）；答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米；(2)解：过点B作BM⊥AH，垂足为M，由题意得：⊥BCH＝⊥CHM＝⊥BMH＝90°，⊥ 四边形BCHM是矩形，MH＝BC＝AD= 1，⊥ AM＝AD+DH－MH＝1+1.2－1＝1.2，在Rt⊥AMB中，⊥A＝66°，⊥cosAMAAB =，⊥AB＝1.22.92cos660.41AM≈=︒（米），⊥ l ＝AD＋AB＋BC1 2.921 4.9≈++≈（米），答：所用不锈钢材料的总长度约为4.9米．【点睛】解直角三角形的应用是中考必考题，一般难度不大，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．22．C、D两点间的距离约为6.5米．【解析】【详解】试题分析：要求线段CD的长，可以先求线段BC和BD的长. 根据已知条件易知⊥ABC是等腰直角三角形，根据线段AB的长可以求得线段BC的长. 根据已知条件可以利用Rt⊥ABD和⊥BAD 的正切值求得线段BD的长. 利用线段BC和BD的长即可求得线段CD的长.试题解析：⊥⊥ABC=90°，⊥CAB=45°，⊥在Rt⊥ABC中，⊥CAB=⊥BCA=45°，⊥AB =15(米)，⊥在Rt⊥ABC 中，AB=BC =15(米).⊥⊥ABD =90°，⊥BAD =55°，tan55 1.43︒≈，⊥在Rt⊥ABD 中，tan tan5515 1.4321.45BD AB BAD AB =⋅∠=⋅︒≈⨯=(米)，⊥BC =15(米)，BD ≈21.45(米)，⊥CD =BD -BC ≈21.45-15=6.45≈6.5(米).答：点C 与点D 之间的距离约为6.5米.点睛：本题考查了解直角三角形及其应用的相关知识. 本题的图形属于典型的“双直角三角形”，需要重点掌握. 该类型问题的关键在于利用两个直角三角形的公共边(如本题中的线段AB )将已知条件在两个直角三角形之间进行转换，最终求解出要求的线段和角度.23．（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析【解析】【分析】（1）在Rt ⊥ABE 中，根据⊥α的正切值即可求得楼高；（2）当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H .可求得AF =AB =17.3米，又因CF =CH =17.3-17.2=0.1米，CM =0.2，所以大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，即老人仍可晒到太阳．【详解】解：（1）当α=60°时，在Rt ⊥ABE 中，⊥tan 6010BA BA AE ︒==, ⊥BA =10tan 60°=10310 1.7317.3≈⨯=米.即楼房的高度约为17.3米；（2）当45α︒=时，老人仍可晒到太阳；理由如下：假设没有台阶，当45α︒=时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为F ，与MC 的交点为点H ，⊥⊥BF A =45°，⊥tan 451BA AF︒==，此时的影长AF =BA =17.3米， 所以CF =AF -AC =17.3-17.2=0.1，⊥CH =CF =0.1米，⊥大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上．⊥老人仍可晒到太阳．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．24．（1）大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）小敏家的高度AE 为20米．【解析】【详解】试题分析：（1）易得四边形AEDC 是矩形，即可求得AC 的长，然后分别在Rt⊥ABC 与Rt⊥ACD 中，利用三角函数的知识求得BC 与CD 的长，继而求得答案；（2）结合（1），由四边形AEDC 是矩形，即可求得小敏家的高度AE ．试题解析：（1）如图，⊥AC⊥BD ，⊥BD⊥DE ，AE⊥DE ，⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AC=DE=203米，⊥在Rt⊥ABC 中，⊥BAC=45°，⊥BC=AC=203米，在Rt⊥ACD 中，tan30°=CD AC ， ⊥CD=AC•tan30°=203×33=20（米）， ⊥BD=BC+CD=203+20（米）；⊥大厦的高度BD 为：（203+20）米；（2）⊥四边形AEDC 是矩形，⊥AE=CD=20米．⊥小敏家的高度AE为20米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题25．（1）山坡高度为400米；（2）山CF的高度约为541米．【解析】【详解】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用⊥CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．试题解析：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，⊥sin⊥BAH=BHAB，⊥BH=800•sin30°=400，⊥EF=BH=400米．答：AB段山坡的高度EF为400米；（2）在Rt△CBE中，⊥sin⊥CBE=CEBC，⊥CE=200•sin45°=1002，⊥CF=CE+EF=（1002+400）（米）．答：山峰的高度CF为（1002+400）米.。
北师大版九年级数学下册《利用三角函数测高》PPT课件
故BE＝DE tan39°． 因为 CD＝AE，所以 CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）
4. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB，AB＝80
米．为测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自
∠α
第一次 30°16'
第二次 29°44'
平均值
30°
G B
∠β 45° 5' 44°25’'
45°
CD 的长 60.11 m 59.89 m
60 m
解：由表格中数据，得α = 30° ，β = 45°,
tan AG , tan AG ,
EG
FG
EG AG AG 3AG,
tan tan 30
E
或 BN 的长度.
A
B
N
问题 2：测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的M 呢？
ME ME b, MN ME a
tan tan
CαD β
E
AB
N
1. 在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE=α；
2. 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时
M 的仰角 ∠MDE = β；
D′
C′
B′
x
50
25 3 43.3(mD)
tan 60 tan 30
C
B
x 43.3 1.5 45(m)
3.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，
新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼 底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔 顶 B 的仰角为 39°．（tan39° ≈ 0.81） （1）求大楼与电视塔之间的距离 AC； （2）求大楼的高度 CD（精确到 1 米） 解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；
1.6+利用三角函数测高+预习导学+课件2024-2025学年北师大版数学九年级下册
变式2 如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时 在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝ 1.8 m，BC＝5CD. (1)BC的长为___9__m___；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 旗杆AB的高度． 条件①：CE＝1.2 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰 角α为52.46°.(参考数据：sin 52.46°≈0.79，cos 52.46°≈0.61，tan 52.46°≈1.30)
第一章 直角三角形的边角关系 6 利用三角函数测高
1. 如图，小树AB在路灯灯泡O的照射下形成树影BC.若树
高AB＝2 m，树影BC＝3 m，树与灯泡的水平距离BP＝ 16
5 m，则灯泡的高度OP为___3_____m.
2. 老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图， 数学小组发现大树离教学楼有5 m，测得高 1.4 m的竹竿在水平地面的影子长为1 m，此时 大树的影子有一部分映在地面上，还有一部 分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2 m， 那么这棵大树高____9____m.
答：城墙 AB 的高约为 12 米．
变式3 [2024西安高新一中模拟]如图，小明想测量 城墙AB的高度，他在围栏点C处测量城墙顶 点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他 发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的 点D处，于是他站在D点发现他的影子落在 地上的点E处，测量得ED长为2.4米，小明身 高为1.8米，E，D，C，B在一条直线上，且 FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助 小明算出城墙AB的高．
例3 如图，某学习小组想测量某烈士纪念碑的高度．他们 在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为35°，在C点 测得碑顶A的仰角为45°，已知BC＝15 m(B，C，D在 同一直线上)，根据以上数据求该烈士纪念碑的高 AD.(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
九年级数学下册教材目录(北师大版)
九年级数学下册教材目录（北师大版）第一章直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
2 30°，45°，60°角的三角函数值
3 三角函数的计算
4 解直角三角形
5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
回顾与思考
复习题
第二章二次函数
1 二次函数
2 二次函数的图象与性质
3 确定二次函数的表达式
4 二次函数的应用
5 二次函数与一元二次方程
回顾与思考
复习题
第三章圆
1 圆
2 圆的对称性
*3 垂径定理
4 圆周角和圆心角的关系
5 确定圆的条件
6 直线和圆的位置关系*
7 切线长定理
8 圆内接正多边形
9 弧长及扇形的面积
回顾与思考
复习题。
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AD ， 【解析】设CD =x 米．在Rt△ACD中，tan 37 CD 3 3 AD 则 AD x. ， 4 4 x BD . 在Rt△BCD，tan48°= CD 11 BD 11 BD x. 则 10 x 10 ∵AD＋BD = AB，
议一议
根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的
理由. 在Rt△MCE中，
ME=EC·tanα=AN·tanα =l·tanα MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+ a 和同伴交流一下你的发现.
M
E N l
α
C a A
活动三
测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测
90° 90°
60°
30° 30°
60° 0°
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
1.把支杆竖直插入地 面,使支杆的中心线. 铅垂线和度盘的0° 刻度线重合,这时度 盘的顶线PQ在水平位 置. 2.转动度盘,使度盘 的直径对准目标M,记 下此时铅垂线所指的 度数.
M
水平线
90°
Q
90°
P
60° 30° 30° 60°
0°
活动二
测量底部可以到达的物体的高度.
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接 测得测点与被测物体的底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度, 可按下列步骤进行： 1.在测点A处安置测倾器, 测得M的仰角∠MCE=α.
E N C A M
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时， 它与地面的距离).
3 11 ∴ x x 80. 4 10
解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．
【规律方法】根据实际情况，选择测量方法，画出几何
图形，构造直角三角形，灵活运用三角函数的定义结合 勾股定理等有关知识是进行解题的关键.
本课主要学习测量物体的高度的方法： 1.测量底部可以到达的物体的高度. 2.测量底部不可以到达的物体的高度. 3.目前我们学习的测量物体高度的方法有相似法、 全等法、三角函数法.
6
利用三角函数测高
90° 60° 30° 90°
60° 0°
30°
1.能够设计测量方案，说明测量理由，能够综合运用 直角三角形边角关系的知识解决实际问题. 2.能对所得数据进行分析，对仪器进行调整和对测量 的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
视线
1.仰角、俯角：
铅 垂 线
仰角 俯角 水平线
2.直角三角形的边角关系：
人要学会走路，也得学会摔跤，
而且只有经过摔跤才能学会走路。
——马克思
求出物体MN的高度吗?
说说你的理由.
过程：根据测量数据,物体MN的高度计算过程为： 在Rt△ MDE中， ED=
ME tan
M
在Rt△MCE中，
EC = ME EC-ED=
tan a
ME － ME tan tan a
=b
E N
β
DαBiblioteka bC aB A ME tan ME tan a b tan a tan b tan a tan β ME (tan tan a ) b tan a tan ME , MN b， a. tan β tan a tan a tan tan tan a
1．（宿迁·中考）如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， AM是BC边上的中线， sin CAM ,
3 5
则tan B的值为__________．
2 【答案】 3
2．（孝感·中考）如图，一艘船向正北航行，在A处看
到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B
点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船 继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是____ 海里（不作近似计算）. 【答案】 6
AD＝
AC 2 3 ＝ ＝4. cos30 3 2
4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为
测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为
48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结
果保留整数） （参考数据： sin 37 o
3
3．（呼和浩特·中考）如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点 D，且AB＝4
3 ，求AD的长．
【解析】在Rt△ABC中, ∵ ∠B＝30°,
1 1 ∴ AC＝ AB＝ ×4 3 =2 3. 2 2
∵ ∴ ∴
AD平分∠BAC,
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°.
视线
B c a A b
a b tan A a tan A b a b tan A
┌ C
活动课题: 利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. 活动方式:分组活动、全班交流研讨.
活动工具:
测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.
活动一
测量倾斜角（仰角或俯角）
测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器由度盘、铅 锤和支杆组成(如图).
得测点与被测物体的底部之间的距离. 要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗？
M
E N
α
A
C
a
议一议
要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.
还需哪些条件？测量哪些数据？
M
E
β
N
D
α
b
A
C
a
B
如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N在一条 直线上，且A，B之间的距离可以直接测得), 测得此时 M的仰角∠MDE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离 AB=b. 根据测量数据,你能