2021届湖北省黄冈市高三上学期9月调研考试数学试题(解析版)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列 中的 可由首项 和末项 表示.
【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，
四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，
所以正项等比数列 中的 可由首项 和末项 表示，
A．直线 面
B． 与面 所成的角为定值
C．设面 面 ，则有 ∥
D．三棱锥 体积为定值.
【答案】ABC
【解析】对于A，利用线面垂直的判定定理即可解决；对于B，C，依托于选项A即可较容易得到.点 到平面 的距离不等确定，即可判断选项D.
【详解】
对于A，由 中点 与 中点 ，得 ,
得 ，
由 为等腰直角三角形得 ，由 ，
.
.
当 时， .
当 时，上式成立.
故数列 的通项公式为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题能力，属于中档题.
15．若 ，则 =____________.
【答案】2020
【解析】由条件求出 ，化简待求式为 的形式即可求解.
【详解】
因为 ，
解得 ，
19．已知数列 满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意，左右同除 得： ，利用累加法即可求得数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，代入可得 ，利用错位相减求和法，即可求得数列 的前 项和 .
【详解】
（1）由 ，两边同时除以 得：
所以
，
故答案为：2020
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.
16．在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，则此三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】由题可知此三棱锥外接球等价于长方体的外接球，即可求出球半径，进而求出表面积.
【详解】
由题可知 两两垂直，可以把三棱锥延伸至以 为长、宽、高的长方体中，且 进而此三棱锥与该长方体共外接球，通过长方体可以求得外接球半径为（设外接球半径为 ，表面积为S）：
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为 .
设点 、 ，则 ， ，
，可得 ，解得 ，
由抛物线的定义可得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有 ， ， ．据此，可得正项等比数列 中， （）
【详解】
由题意，曲线 的方程为 ，
对于A总，当 时，曲线 的方程为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，所以是正确的；
对于B中，当 时，曲线 的方程为 ，可得 ，此时双曲线 渐近线方程为 ，所以是正确的；
对于C中，当曲线 的方程为 表示焦点在 轴上的双曲线时，则满足 ，解得 ，所以“ ”是“曲线 为焦点在 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；
D. 在 上有 个零点，正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.
12．一副三角板由一块有一个内角为 的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 ，取 中点 与 中点 ，则下列判断中正确的是（）
【点睛】
此题考查命题的真假判断，考查推理能力和计算能力，属于中档题
10．已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（）
A．当 时，曲线 为圆
B．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
C．“ ”是“曲线 为焦点在 轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D．存在实数 使得曲线 为双曲线，其离心率为
【答案】AB
【解析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
对于B，由全称命题的否定为特称命题，改量词否结论，所以B正确；
对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 或 ，
定义域不相同，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误；
对于D，令 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以D正确，
故选：BD
【详解】
由已知得 ，又 ，所以 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ，则 （）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【解析】设点 ，利用 求得点 的横坐标，利用抛物线的定义可求得 .
又 的图像关于原点对称，则 ，由 知 ，
从而 ，
选择条件②：
依题意，
即有：
又因为 相邻两对称轴之间距离为 ，则周期为 ，从而 ，
从而 ，
选择条件③：
依题意，
即有：
化简得：
即有：
又因为 相邻两对称轴之间距离为 ，则周期为 ，从而 ，
从而 ，
（2） ，则其单调递减区间为 ，
解得 ，令 ，得 ，
从而 在 上的单调递减区间为 .
4．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】
解：实数 ， 满足 ，则 ，
所以 .可得 .
当且仅当 时，等号成立，
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 在区间 上的图象的大致形状是（）
【点睛】
本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示，属于中档题.
18．如图所示， ， ， 均为边长为 的正三角形，点 ， 在线段 上，点 在线段 上，且满足 ，连接 、 ，设 ， .
试用 ， 表示 ， ， ；
求 的值.
【答案】 ， ， ； 45.
【解析】 根据向量的加减的几何意义表示出 ， ， ；
，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查三棱锥外接球问题，属于基础题.
四、解答题
17．①在函数 的图像向右平移 个单位长度得到 的图像， 的图像关于原点对称，
②向量 ， ；
③函数 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知_______，函数 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）求 的值；
从而有： ， ， ，
累加可得： ，所以 ，
又 满足等式，从而 ；
（2） ， ，
所以有 ，
即有： ，
所以 .
【点睛】
本题考查累加法求数列的通项、错位相减法求数列的前 项和，若出现 时（ 为关于n的表达式），用累加法求通项；若出现 时，用累乘法求通项，本题难点在于根据条件，左右同除 ，构造 ，符合累加法的形式，即可进行求解，考查分析理解，计算化简的能力，属于中档题.
三、填空题
13．设函数 ，若 ，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】画出 的图像及y=1的图像，可得其交点为（0，1），（e，1），由 可得m的取值范围.
【详解】
解：如图所示：
可得 的图像与y=1的交点分别为（0，1），（e，1），
所以 ，则实数m的取值范围是 ，
可得答案： .
【点睛】
本题主要考查函数及不等式的性质，数形结合是解题的关键.
14．已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的通项公式为_________.
【答案】
【解析】先由题干求出 是以 为首项，公差为 的等差数列，并且求得 ，进而写出数列 的通项公式.
【详解】
解： ， ，
当 时，由 ，可得 ，
即 .
是以 为首项，公差为 的等差数列.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】此题可转化为 与 的交点的横坐标为 ，利用二次函数的图像即可得到.
【详解】
若 的零点为 ，则 与 的交点的横坐标为 ，
令 ，则 与 轴的交点的横坐标为 ，
如图所示，
其中 ，
故选：B.
【点睛】
此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题.
3．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（）
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.
二、多选题
9．下列有关命题的说法正确的是（）
A． ，使得 成立
B．命题 ，都有 ，则 ，使得
C．函数 与函数 是同一个函数
D．若 、 、 均为正实数，且 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 三个数与 、 的大小关系，由此可得出 、 、 三个数的大小关系.