二次函数知识点总结归纳

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数学二次函数知识点总结

数学二次函数知识点总结数学二次函数知识点总结在平平淡淡的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺为大家收集的数学二次函数知识点总结，希望能够帮助到大家！数学二次函数知识点总结篇1二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f（乘）=a乘^2b乘c（a不为0）。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：一般式y=a乘∧2；b乘c（a≠0，a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，-（4ac-b∧2）/4a）；顶点式y=a（乘m）∧2k（a≠0，a、m、k为常数）或y=a（乘-h）∧2k （a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（-m，k）对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a（乘-乘1）（乘-乘2）[仅限于与乘轴有交点A（乘1，0）和B（乘2，0）的抛物线]；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）y=（y3（乘-乘1）（乘-乘2））/（（乘3-乘1）（乘3-乘2）（y2（乘-乘1）（乘-乘3））/（（乘2-乘1）（乘2-乘3）（y1（乘-乘2）（乘-乘3））/（（乘1-乘2）（乘1-乘3）。

由此可引导出交点式的系数a=y1/（乘1乘乘2）（y1为截距）求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

乘是自变量，y是乘的二次函数乘1，乘2=[-b±（√（b^2-4ac））]/2a（即一元二次方程求根公式）求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

二次函数的知识点总结

二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。

二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。

2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。

4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。

5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。

三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。

2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。

3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。

四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。

2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。

3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。

五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。

2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。

3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。

二次函数知识点总结3篇

二次函数知识点总结第一篇：二次函数的基本定义及图像二次函数是指一个多项式中最高次为二次的函数，通常写成 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 a,b,c 为常数，a 不为零。

二次函数是数学中一类重要的函数类型，其图像为对称的抛物线。

一、基本定义对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 a,b,c 为常数，a 不为零：1. a 是二次函数的开口方向和开口程度的决定因素，当a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。

2. x=-b/2a 是二次函数的对称轴。

3. (x, y) = (-b/2a, c-b^2/4a) 是二次函数的顶点，也是对称轴上的最高点或最低点。

4. 当 a>0 时，对于任何 x，有$f(x)≥y_{min}$；当a<0 时，对于任何 x，有$f(x)≤y_{max}$，其中$y_{min}$ 和 $y_{max}$ 分别为二次函数的最小值和最大值。

二、图像特征二次函数的图像是一条对称的抛物线，其最高点或最低点位于对称轴上，最大值或最小值发生在相应顶点处。

抛物线与 x 轴的交点称为根，由于对称性，常见情况下二次函数最多有两个根。

三、常用的二次函数图像变换1. 上下移动。

将二次函数整体向上或向下平移 k 个单位，得到一种新的二次函数 $y=f(x)+k$。

2. 左右移动。

将二次函数整体向左或向右平移 k 个单位，得到一种新的二次函数 $y=f(x-k)$ 或 $y=f(x+k)$。

3. 垂直方向压缩或拉伸。

将二次函数沿 y 轴缩短或拉长至原来的 s 倍，得到一种新的二次函数 $y=sf(x)$。

4. 水平方向压缩或拉伸。

将二次函数沿 x 轴缩短或拉长至原来的 s 倍，得到一种新的二次函数 $y=f(sx)$。

总之，二次函数的图像特征以及常用的变换方式是掌握二次函数知识的重要基础。

在实际应用中，这些基础概念和操作将为我们处理二次函数相关问题提供宝贵的帮助和指导。

二次函数的关系知识点总结

二次函数的关系知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是指数为2的多项式函数，形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a不等于0。

2. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

3. 二次函数的定义域：二次函数的定义域是实数集R，即自变量x的取值范围是整个实数集。

4. 二次函数的值域：二次函数的值域取决于二次项系数a的正负性，当a>0时，值域为[0,+∞)，当a<0时，值域为(-∞,0]。

5. 二次函数的最值：二次函数的最值与二次项系数a的正负性有关，当a>0时，最小值为c，无最大值；当a<0时，最大值为c，无最小值。

6. 二次函数的零点：二次函数的零点是指二次函数与x轴相交的点，是方程ax^2+bx+c=0的根，可以通过求根公式或配方法求得。

二、图像特征1. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一个抛物线，抛物线开口的方向取决于二次项系数a的正负性，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，x=-b/2a即为二次函数的对称轴，对称轴上的点为抛物线的对称中心。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，即抛物线的最值点，顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为函数的最值。

4. 二次函数的焦点：二次函数的焦点是指抛物线的对称轴与抛物线的顶点之间的中点。

5. 二次函数的平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换实现平移，平移的一般形式为y=ax^2+b(x-h)+k，其中h、k分别表示横坐标和纵坐标的平移量。

三、性质1. 二次函数的奇偶性：二次函数的奇偶性与一次项系数b有关，当b为偶数时，二次函数为偶函数；当b为奇数时，二次函数为奇函数。

2. 二次函数的导数：二次函数的导数是一次函数，由导数的定义可知，二次函数的导数等于二次项系数与一次项系数的和。

二次函数的相关知识点总结

二次函数的相关知识点总结一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

二、二次函数的图象。

1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

2. 抛物线的顶点坐标。

- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如，对于二次函数y=x^2-2x - 3，其中a = 1，b=-2，c=-3。

根据顶点坐标公式，-(b)/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，frac{4ac - b^2}{4a}=frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=(-12 - 4)/(4)=-4，所以顶点坐标为(1,-4)。

3. 抛物线的对称轴。

- 对称轴方程为x =-(b)/(2a)。

4. 抛物线的开口方向。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如，y = 3x^2+2x - 1中a = 3>0，开口向上；y=-2x^2+5x+3中a=-2 < 0，开口向下。

三、二次函数的性质。

1. 增减性。

- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小。

2. 最值。

- 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}，此时x =-(b)/(2a)。

二次函数的知识点总结

二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。

2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。

4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。

零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。

5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。

二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。

通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。

2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。

3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。

4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。

三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。

初中二次函数最全知识点总结

初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。

2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。

3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。

4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。

5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。

二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。

2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。

3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。

4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。

5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。

6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。

三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。

2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。

3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。

四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。

2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结一、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般的形如c bx ax y ++=2（其中0,,≠a c b a 是常数且）的函数叫做二次函数. 注：c bx ax y ++=2不一定是二次函数，只有当0≠a 时，c bx ax y ++=2才是二次函数. 二、二次函数y ＝ax ²的图像与性质1. 2ax y =的图像性质：一般的，当0>a 时，抛物线2ax y =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线2ax y =的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. 2ax y =的增减性：如果a >0，当x <0时，y 随着x 的增大而减小，当x >0时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <0时，y 随着x 的增大而增大，当x >0时，y 随着x 的增大而减小. 三、二次函数y ＝a （x －h ）²＋k 的图像与性质1. k h x a y +-=2)(的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向上，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向下，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. k h x a y +-=2)(的增减性：如果a >0，当x <h 时，y 随着x 的增大而减小，当x >h 时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <h 时，y 随着x 的增大而增大，当x >h 时，y 随着x 的增大而减小. 四、二次函数的平移1. 二次函数的平移：任意抛物线k h x a y +-=2)(可由2ax y =平移得到，k h x a y +-=2)(是由2ax y =向上平移k 个单位，向右平移h 个单位得到（k ，h 为正数时）.2. 平移原则：左加右减，上加下减.五、二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c 的图像与性质1. c bx ax y ++=2的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，对称轴是ab x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，对称轴是a b x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. c bx ax y ++=2的增减性：如果a >0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而减小，当ab x 2->时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而增大，当ab x 2->时，y 随着x 的增大而减小. 3. 二次项系数a 的特性：a 的大小决定抛物线的开口大小，a 越大抛物线的开口越小，a 越小抛物线的开口越大.4. 左同右异：当a 、b 符号相同时，对称轴在y 轴的左面；当a 、b 符号不同时，对称轴在y 轴的右面.5. 常数项c 的意义：c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即x=0时y=c.6. 一般式的赋值：判断c b a c b a c b a c b a ++++++2-424-、、、值的正负时，令x=1、-1、2、-2时y 值的正负.六、二次函数的最值 1. 形如c bx ax y ++=2的最值：当a >0时抛物线在a b x 2-=时取到最小值a b ac y 442min -=，当a <0时抛物线在ab x 2-=时取到最大值a b ac y 442max -=七、待定系数法求二次函数解析式1. 一般式（三点式）：一般的，所给的条件是三个点的坐标是时可以设解析式为c bx ax y ++=2，再将三个点带入解析式解三元一次方程组来求解。

二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。

下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。

一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。

2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。

4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。

5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。

二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。

平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。

2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。

缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。

3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。

纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。

4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。

5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。

三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。

2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。

二次函数知识点总结

y ax 2 k （ a 0 ）
a0 a0
a 的符号
k 0
图像
k 0
开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值
开口向上
开口向下
y轴
y轴
0, k
0, k
当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小当 x 0 时， y最小值 k 当 x 0 时， y最大值 k
大小与 y ax 2 相同，只是位置不同。
a x-h) 2 （ a 0 ）与 y ax 2 的图像可以得出：二次函数 y （ a x-h) 2 （2）观察二次函数 y （
（ a 0 ）的图像可由 y ax 2 的图像左右移动得到：当 h>0 时，把抛物线 y ax 2 沿 x 轴向右平
函数
图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
y ax 2
（a 0）
开口向上
（0,0）
y轴
增减性 x 0 时，y 随 x 的增大而增大； x 0 时，y 随 x 的增大而减小
x 0 时，y 随 x 的增大而减小； x 0 时，y 随 x 的增大而增大
最值当 x 0 时，函数图形有最低点，及
y bx c ，若 b 0 ，该函数是一次函数；若 b 0 ，则函数 y c 是一个常数函数。
知识点二二次函数自变量的取值范围一般地，二次函数 y ax 2 bx c ( a, b, c是常数，a 0 )的自变量 x 可以是任意实数。提醒：在二次函数 y ax 2 bx c ( a, b, c是常数，a 0 )中， x 的取值范围是全体实数。对于实际问题，他的自变量的取值范围会有一定限制。知识点三画函数 y ax 2 （ a 0 ）的图像画二次函数图像的方法与前面学过的画一次函数及反比例函数的图像的方法相同，也分为列表、描点、连线三个步骤。列表时，所选取的 x 的值为 0 以及以 0 为中心的数值。所描的点越多，所选取数据的绝对值的差越小，则图形越精确。说明：一般只要描出 5 个点即可画出草图，在 5 个点中包括顶点（即坐标原点）及对称轴两侧对应的两组坐标点，连线时与画反比例函数的双曲线一样，注意用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，及得二次函数的图像。画二次函数是要注意以下几点：（1）列表时，自变量的取值不能太大也不能太小，要统筹兼顾。（2）由于抛物线是对称图形，所以选点时自变量向对称轴两侧对称取值；（3）连线时，必须按从大到小或从小到大的顺序用平滑的曲线依次连接，切记用线段连接，或漏点或跨点连接。（4）在同一坐标系内画多个图像时，要在恰当的位置表明函数表达式。知识点四二次函数 y ax 2 （ a 0 ）的图像和性质二次函数 y ax 2 （ a 0 ）的图像是关于 y 轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。二次函数 y ax 2 （ a 0 ）的性质可以通过下表来表示：

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在解决实际问题、解析几何和函数图像的分析等方面都有重要应用。

下面我将详细总结二次函数的知识点。

一、二次函数的定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。

二、二次函数的图像：1.函数的对称轴：对称轴是函数图像关于其顶点对称的直线。

对称轴的方程为x=-b/(2a)。

如果a>0，则对称轴是向下开口的抛物线；如果a<0，则对称轴是向上开口的抛物线。

2.函数的顶点：顶点是函数图像的最高点或者最低点。

顶点的坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

3.函数的开口方向：如果a>0，则函数开口向下，图像是一个向下的抛物线；如果a<0，则函数开口向上，图像是一个向上的抛物线。

4.函数的图像关于对称轴对称，左侧和右侧的图像相同。

三、二次函数的常用形式：1. 标准型：y = ax^2 + bx + c。

2.顶点型：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

3.因式分解型：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为函数的零点。

四、二次函数的性质：1. 零点：也称为函数的根或者解，即使方程ax^2 + bx + c = 0的解。

二次函数的零点可以通过因式分解、求根公式或者配方法来求得。

2. 判别式：Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次方程的解的情况。

a.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根。

b.如果Δ=0，则方程有一个实数根。

c.如果Δ<0，则方程没有实数根，但可能有复数根。

3.对称性：抛物线在对称轴处对称，即f(x)=f(-x)。

4.单调性：对称轴两侧函数的增减情况是一样的，当a>0时，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增，当a<0时，函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。

5.最值：函数的最高点或最低点即为函数的最值，当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。

二次函数重要知识点归纳

二次函数重要知识点归纳二次函数是高中数学中的重要内容，下面是关于二次函数的重要知识点的归纳。

1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

2.二次函数的图象特点：二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由二次函数的系数a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

3.二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或最高点（当a<0时）。

顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

4.二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的直线，其方程为x=-b/2a。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图象与x轴的交点。

可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得二次函数的零点。

6. 二次函数的判别式：对于二次函数ax² + bx + c，判别式的值为D = b² - 4ac。

判别式的值可以用来判断二次函数的零点情况。

当D > 0时，二次函数有两个不相等的实数根；当D = 0时，二次函数有两个相等的实数根；当D < 0时，二次函数没有实数根。

7.二次函数的最值：当a>0时，二次函数的最小值为函数的顶点值；当a<0时，二次函数的最大值为函数的顶点值。

可以通过求解二次方程f'(x)=0来找到最值点。

8. 二次函数的平移：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，横向平移h个单位和纵向平移k个单位后的函数为f(x-h) + k。

9. 二次函数的因式分解：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，若可以因式分解成f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)的形式，则x₁和x₂为f(x)的零点。

10. 二次函数的导数：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b。

二次函数知识点总结

二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数(de)概念：一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠）(de)函数,叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数(de)定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++(de)结构特征：⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x (de)二次式,x (de)最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．二、二次函数(de)基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =(de)性质： a (de)绝对值越大,抛物线(de)开口越小.c +(de))2h -(de)4.()2y a x h k=-+(de)性质：三、二次函数图象(de)平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =(de)形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数(de)基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左加右减,上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++(de)比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同(de)表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象(de)画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取(de)五点为：顶点、与y 轴(de)交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称(de)点()2h c ，、与x 轴(de)交点()10x ，,()20x ，（若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称(de)点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴(de)交点,与y 轴(de)交点. 六、二次函数2y ax bx c =++(de)性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时,y 随x (de)增大而减小；当2b x a>-时,y 随x (de)增大而增大；当2b x a=-时,y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时,y 随x (de)增大而增大；当2b x a >-时,y 随x (de)增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式(de)表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ,b ,c 为常数,0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ,h ,k 为常数,0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点(de)横坐标）.注意：任何二次函数(de)解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有(de)二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线(de)解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式(de)这三种形式可以互化.八、二次函数(de)图象与各项系数之间(de)关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a (de)值越大,开口越小,反之a (de)值越小,开口越大； ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a (de)值越小,开口越小,反之a (de)值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口(de)大小和方向,a (de)正负决定开口方向,a (de)大小决定开口(de)大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定(de)前提下,b 决定了抛物线(de)对称轴． ⑴ 在0a >(de)前提下,当0b >时,02b a -<,即抛物线(de)对称轴在y 轴左侧；当0b =时,02b a -=,即抛物线(de)对称轴就是y 轴；当0b <时,02b a->,即抛物线对称轴在y 轴(de)右侧． ⑵ 在0a <(de)前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02b a ->,即抛物线(de)对称轴在y 轴右侧；当0b =时,02b a -=,即抛物线(de)对称轴就是y 轴；当0b <时,02b a-<,即抛物线对称轴在y 轴(de)左侧．总结起来,在a 确定(de)前提下,b 决定了抛物线对称轴(de)位置．ab (de)符号(de)判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴(de)右侧则0<ab ,概括(de)说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴(de)交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点(de)纵坐标为正； ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴(de)交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点(de)纵坐标为0； ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴(de)交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点(de)纵坐标为负．总结起来,c决定了抛物线与y轴交点(de)位置．总之,只要a b c，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定(de)．二次函数解析式(de)确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数(de)解析式必须根据题目(de)特点,选择适当(de)形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点(de)坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴(de)两个交点(de)横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同(de)两点,常选用顶点式．九、二次函数图象(de)对称二次函数图象(de)对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后,得到(de)解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后,得到(de)解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后,得到(de)解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后,得到(de)解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后,得到(de)解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后,得到(de)解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后,得到(de)解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后,得到(de)解析式是()2y a x h k=--+． 5. 关于点()m n，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后,得到(de)解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称(de)性质,显然无论作何种对称变换,抛物线(de)形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线(de)对称抛物线(de)表达式时,可以依据题意或方便运算(de)原则,选择合适(de)形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知(de)抛物线）(de)顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线(de)顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线(de)表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程(de)关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时(de)特殊情况. 图象与x 轴(de)交点个数：① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中(de)12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠(de)两根．这两点间(de)距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴(de)上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2'当0a <时,图象落在x 轴(de)下方,无论x 为任何实数,都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++(de)图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数(de)图象与x 轴(de)交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数(de)最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象(de)位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c (de)符号,或由二次函数中a ,b ,c (de)符号判断图象(de)位置,要数形结合；⑷ 二次函数(de)图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称(de)点坐标,或已知与x 轴(de)一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关(de)还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x(de)二次函数；下面以0a>时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间(de)内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数(de)应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少1、求有关点(de)坐标2、求函数解析式3、求最值4、求面积5、动点、动线、动图问题2-32。

二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。

2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。

3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。

二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。

2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。

三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。

2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。

四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。

2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。

3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。

二次函数的极值即为顶点值。

4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。

5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。

五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。

2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。

六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。

2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。

二次函数知识点总结归纳

二次函数知识点总结归纳二次函数是数学中一个重要的概念，其在实际问题中的应用非常广泛。

为了更好地理解和应用二次函数，下面对二次函数的知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 二次函数是指具有二次项的函数，一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a≠0。

2.抛物线是二次函数的图象，其形状可以根据a的正负和大小进行判断。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

3.二次函数的平移是指通过改变a、b、c的值来改变抛物线的位置，平移的方向和大小取决于a、b、c的正负和大小。

二、函数图象与表示1.对称轴是二次函数图象的一个重要特征，一般表示为x=-b/2a。

对称轴将抛物线分成两个对称的部分。

2. 零点是指二次函数的解，即函数图象与x轴的交点。

可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得零点。

3.顶点是指抛物线的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数的值。

4.函数值是指给定x值时，二次函数的y值。

三、特殊情况与性质1.当a>0时，二次函数图象开口向上，顶点为最低点；当a<0时，二次函数图象开口向下，顶点为最高点。

2.若a>0，则函数的最小值为f(-b/2a)；若a<0，则函数的最大值为f(-b/2a)。

3. 对于一般式，当x→∞时，二次函数图象的趋势与ax^2的趋势相同；当x→-∞时，二次函数图象的趋势与ax^2的趋势相反。

4.二次函数图象上对称轴两侧的函数值相等，即f(x)=f(2k-x)，其中k为对称轴的横坐标。

四、函数的变化与相关计算1.改变二次函数的系数a的值可以改变抛物线的开口方向和大小，a 的值越大，抛物线越“扁平”，a的值越小，抛物线越“尖锐”。

2.改变二次函数的系数b的值可以改变抛物线的对称轴位置与形状。

若b>0，对称轴向右移动，若b<0，则对称轴向左移动。

初中二次函数最全知识点总结

初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。

下面是对二次函数的最全知识点总结：一、二次函数的定义和表示：1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。

2. 一般式：二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c。

3.顶点式：二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。

4.描述：二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

二、二次函数的图像：1.开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

2.对称轴：对称轴是垂直于x轴的抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。

3. 零点：即二次函数与 x 轴的交点，由二次方程 ax^2 + bx + c =0 求得。

a) 判别式：Δ = b^2 - 4ac，当Δ 大于 0 时，有两个不同实根；当Δ等于 0 时，有一个重根；当Δ 小于 0 时，无实数根。

b)零点公式：x=(-b±√Δ)/(2a)。

4.最值：当a大于0时，抛物线开口向上，最小值为顶点的纵坐标；当a小于0时，抛物线开口向下，最大值为顶点的纵坐标。

5.对称性：二次函数关于顶点对称，即f(x)=f(2h-x)。

6.平移：通过改变顶点坐标可以实现二次函数的平移，顶点坐标为(h,k)，则平移后的顶点坐标为(h+p,k+q)。

三、常用二次函数的性质和应用：1.单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数单调递增；当a小于0时，抛物线开口向下，函数单调递减。

2.单调区间：根据二次函数的开口方向和最值确定函数的单调区间。

3.奇偶性：二次函数一般是奇函数，即f(-x)=-f(x)，因为二次项的系数是奇数。

4.零点个数和位置：根据二次函数的开口方向和零点的位置确定零点的个数和位置。

二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳二次函数知识点总结：1.二次函数的概念：一般地，形如 y = ax^2 + bx + c（a，b，c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0，而 b，c 可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2.二次函数 y = ax^2 + bx + c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2.⑵ a，b，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二次函数基本形式：1.二次函数基本形式：y = ax^2 的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。

0 （0.0） y 轴x。

0 时，y 随 x 的增大而增大；x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值。

向下 a < 0 （0.0） y 轴x。

0 时，y 随 x 的增大而减小；x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值。

2.y = ax^2 + c 的性质：结论：上加下减。

总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。

0 （0.c） y 轴x。

0 时，y 随 x 的增大而增大；x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值 c。

向下 a < 0 （0.c） y 轴x。

0 时，y 随 x 的增大而减小；x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值 c。

3.y = a(x - h)^2 的性质：结论：左加右减。

总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。

0 (h。

0) x = hx。

h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随 x 的增大而减小；x = h 时，y 有最小值。

向下 a < 0 (h。

0) x = hx。

(完整版)二次函数图象和性质知识点总结

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。