01--高级宏观：拉姆齐模型

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复旦大学博士生宏观经济学讲义
第一章 拉姆齐模型
效劳动单位人均消费，ke (t)
=
k (t ) A(t)
为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程
可变为：
.
k e (t) = f (ke (t)) − ce (t) − (n + δ + g)ke (t) 代表性行为人的最大化问题
∫ max ∞ e− tU (c(t))dt
.
a t = wt + rat − ct − nat 5
2－3
2．非蓬齐对策条件（意义）
lim t − (rv−n)dv [a e ∫ t 0
]
≥
0
t→∞
2－4
这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于 rt − n ，因此总债
∫ 务的增长速度不能超过 rt 。我们定义 rt = 1 t rvdv ，因此 2－4 又可被写为
ke**
ke
第二节 市场分散解
注意，第一节和第二节在使用符号上的区别
第一节
第二节
有效变量 技术增长率
ce (t) , ke (t) g
^
^
c(t) , k(t)
γ
时间
c(t) , k(t)
ct , kt
请原谅，并避免混淆，因为两节的制作时间不同。
1．效用函数
拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。假定
那么 e−ρtU (c(t)) = e−ρt
c(t )1−θ 1−θ
= e−ρt
(ce (t)egt )1−θ 1−θ
= e−(ρ −(1−θ )g )tU (ce (t))
(1.4)
定义 γ = (ρ − (1−θ )g) 为有效贴现率，因此上述最大化问题可以重新表述 为：
∫ max
ce (t ),ke (t )
稳态的描述 稳态可以表示为：
.
χc
(t)
=
ce (t) ce (t)
=
f
'(ke (t)) − (n + δ σ
+g+γ) =0
.
k e (t) = f (ke (t)) − (n + δ + g + γ )ke (t) = 0 或者表示为：
f '(ke (t)) = n + δ + g + γ
(1.18) (1.19)
t0
lim[a(t)e−t(rt−n) ] ≥ 0 t→∞
2－4’
3．汉密尔顿函数与一阶条件
家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化U 0 。这个问
题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式：
H = u(x)e−(ρ−n) + µ[w + (r − n)a − c]
2－5
.
.
.
.
5
.
At
.
= wtLt + rtAt − Ct ，因此 a
= d ( At ) / dt Lt
=
A tLt − At L t Lt 2
=
At Lt
−
Lt Lt
At Lt
=
w + ra − c − na
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第一章 拉姆齐模型
.
.
µ = u ''(c) c e−(ρ−n) − (ρ − n)u '(c)e−(ρ−n)t
=
f
'(ke (t)) − (n + δ θ
+ g +γ)
(1.17)
其中 χc (t) 是 t 期的消费增长率。
2．重新表述关于 (ce , ke ) 的非线性差分方程
.
χc
(t)
=
ce (t) ce (t)
=
f
'(ke (t)) − (n + δ θ
+ g +γ)
.
k e (t) = f (ke (t)) − (n + δ + g)ke (t) − ce (t) = 0
2－9
由 2－6，知 e−(ρ−n)t = µ / u '(c) ，代入到 2－9 并将 2－7 代入 2－9，得：
.
r = ρ −[u ''(c)c ](c) u '(c) c
2－10
− u ''(c)c 为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性： u '(c)
σ = [ cs / ct
d[u '(cs) / u '(ct)]]−1
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第一章 拉姆齐模型
这里所有的材料都不归属于我，除了键盘敲击所花的功夫。你可以为了学习目的 对下面的资料做任何的修改和编辑，只要你正确标出她的来源。 ———— 无名氏
第一章 拉姆齐模型1
Frank Plumpton Ramsey
Frank Plumpton Ramsey (1903-1930), British mathematician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics.
总资本积累方程如下：
.
K (t) = F (K (t), A(t)L(t)) − δ K (t) − C(t)
(1.2)
定义 c(t)
=
C(t) L(t)
， k(t)
=
K (t) L(t)
为人均消费和人均资本， ce (t)
=
C(t) A(t)L(t)
为每有
该讲义参考了 Blanchard 和 Fischer（1989），Barro 和 Sala-I-Martin（1995），Zilibotti 和 Dirk,kruger 的 讲义.新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化 行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭，在跨期预算约束下，选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效 用函数。这归功于 Ramsey (1928)，Cass（1965）和 Koopmas（1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗 －斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。
c(t ),k (t ) 0
(1.3)
.
s.t.k e (t) = f (ke (t)) − ce (t) − (n + δ + g)ke (t)
给定 ke (0) = ke 0 转化：假定效用函数为 CRRA，例如
U
(c)
=

c1−θ ,θ 1−θ ln(c),θ
≠1 =1

其中θ 是相对风险系数，即边际效用弹性的负数。
−u '(cs) / u '(ct) d (cs / ct)
2－11
跨期替代弹性是 cs / ct 比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数6。 。因此 2－10 可以写为
.
r
=
ρ
+
1 σ
(
c c
)
或
.
c = σ (r − ρ) c
2－12
跨期替代弹性越大，表示消费者越不关心消费平滑，表示消费的增长越大。考虑
首先 在(1.9)两边对 t 求导:
.
.
λ(t) = e−γtU ''(ce (t)) ce (t) − γ e−γtU '(ce (t))
再次利用（1.9），可得
.
.
λ(t) = U ''(ce (t)) ce (t) − γ
λ(t) U '(ce (t))
(1.12) (1.13)
最后，利用（1.10）消除 λ(t)
(1.16)
跨期替代弹性是 cs / ct 比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当
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第一章 拉姆齐模型
s → t 时，σ = − u '(c) ，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此可 cu ''(c)
将（1.15）变为
.
χc
(t)
=
ce (t) ce (t)
其中 µ 是资产的影子价格。一阶条件为
∂H = 0 ⇒ µ = u '(c)e−(ρ−n)t ∂c
.
µ
=
− ∂H
⇒
.
µ
=
−(r − n)µ
∂a
2－6 2－7
lim[µtat] = 0
t →∞
2－8
其中 2－7 是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8 是横截条件。现
在我们来求出最优的消费变化。2－6 两边对时间求导得
− (n
+δ
+
g
+γ
)]
(1.15)
根据定义，相对风险厌恶系数θ = − ce (t)U ''(ce (t)) ，而跨其替代弹性σ = 1/θ 。 U '(ce (t))
一个相关的概念是跨期替代弹性：