6年级奥数-不定方程
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【解答】设 ，则原方程可看作 对于方程（1）x=-t,y=t是一个特解，
从而（1）的整数解是
又t=2,z=3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是
将（6）代入（3）、（4）消去t得到原方程的所有整数解为：
【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.
【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.
【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.
〈方法一〉〈方法二〉
特解：
答：此人的生日为5月16日.
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解.其中方法二是利用了同余的知识.
根据定理2， 是原方程的所有整数解.
（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根据定理1，原方程的无整数解.
【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.
【实践】求下列不定方程的整数解（1） ；（wk.baidu.com） .
【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.
（1）小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？
（2）若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？
【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.
【解答】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，则 .
∵ ，∴ .
∵ 是整数，∴ =12或13.但当 =13时，得 ，无正整数解.
答：三个小组共有12名同学.
【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.
【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much willAlicepay for 1 radio,1 pen and 1 bag?
1.理解不定方程（组）的含义
2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法
重点、难点
重点：不定方程定理的理解
难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用
考点及考试要求
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.
教学内容
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
龍腾学科教师辅导讲义
讲义编号LTJYsxsrl005
学员编号：LTJY001年级：六年级课时数：3
学员姓名:王窈瑾辅导科目：数学学科教师：孙仁龙
学科组长签名及日期
2015.01.14
教务长签名及日期
课题
一次不定方程（组）的整数解问题
授课时间：2015.01.15
备课时间：2015.01.02
教学目标
综上， =2+4+6+…+2002=1003002.
【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.
【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个C
A.20001999 B.19992000 C.2001000 D.2001999
【总结反思】
5.（2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h，在平地上的速度是63km/h，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.
学生签名：签字日期：
由题意可知 解得 相应地
答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.
【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.
【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？
【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的 ，求一切这样三位数的和.
【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足 ，则m的最大值为.
【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.
【解答】∵ ，∴ ，
由题意可得，n≠8，∴ ，
【例2】求方程 的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.
【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
【解答】（1）设小明摸的红球有x个，黄球有y个，蓝球有 个，则 ，
整理，得 ，因为x、y均为正整数，可知x的最大值为4.即红球最多不超过4个.
（2）由（1）知蓝球的个数是 ，
又∵ ∴
因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.
【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.
【实践】求方程 的正整数解.
【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 ，即 .
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解.易知 是一个特解，通解为
A.一切偶数B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、4
2.若正整数x,y满足2004a=15y，则x+y的最小值为.
3.如果三个既约真分数 的分子都加上b，这时得到的三个分数之和为6.求这三个既约真分数的和.
4.（重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？
∵m,n为正整数，∴当n=9时，m有最大值为75.
【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.
【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.
【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a、b、c、d为整数，则不定方程 有：
定理1若 且d不能整除c，则不定方程 没有整数解；
定理2若 是不定方程 且的一组整数解（称为特解），则 （t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）.（其中 ,且d能整除c）.
【实践】求方程 的整数解.
【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？
【分析】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，由题意得 .要求 ，可以运用放缩法从确定 的取值范围入手.
【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）
【例7】求方程 的整数解.
【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.
【分析】分析：用x,y,z来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：
如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.
【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.
(2)×3－(1)得：14x+8y=200，即7x+4y=100.
〈方法一〉
〈方法二〉
〈方法三〉
【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.
以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用.解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握.在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.
【题海拾贝】
1.（2000年希望杯竞赛题）若a、b均为正整数，且2a>b，2a+b=10，则b的值为（）
（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；
（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.
【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1） ；（2） .
【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.
【解答】（1）原方程变形为： ，观察得到 是 的一组整数解（特解），
定理3若 是不定方程 ， 的特解，则 是方程 的一个特解.（其中 ,且d能整除c）.
求整系数不定方程 的正整数解，通常有以下步骤：
（1）判断有无整数解；
（2）求出一个特解；
（3）写出通解；
（4）有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.
解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
由原方程可得 ，
由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.
∴方程的通解为 .
其中 ∴ ∴ ∴
代入通解可得原方程的正整数解为
【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法.这样就容易找出一组整数解来.
综上， =6.
（2）当n=2001时，原方程为 ，由于
当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；
当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；
当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0)有2002组.
【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.
【例10】设非负整数n，满足方程 的非负整数（x,y,z）的组数记为 .
（1）求 的值；（2）求 的值.
【分析】审清题中 的n与方程 是同一个非负整数， 的含义是方程 的非负整数解的（x,y,z）的组数.
【解答】（1）当n=3时，原方程为 ，由于
当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0)有2组；
当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0)有4组.
从而（1）的整数解是
又t=2,z=3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是
将（6）代入（3）、（4）消去t得到原方程的所有整数解为：
【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.
【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.
【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.
〈方法一〉〈方法二〉
特解：
答：此人的生日为5月16日.
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解.其中方法二是利用了同余的知识.
根据定理2， 是原方程的所有整数解.
（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根据定理1，原方程的无整数解.
【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.
【实践】求下列不定方程的整数解（1） ；（wk.baidu.com） .
【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.
（1）小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？
（2）若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？
【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.
【解答】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，则 .
∵ ，∴ .
∵ 是整数，∴ =12或13.但当 =13时，得 ，无正整数解.
答：三个小组共有12名同学.
【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.
【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much willAlicepay for 1 radio,1 pen and 1 bag?
1.理解不定方程（组）的含义
2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法
重点、难点
重点：不定方程定理的理解
难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用
考点及考试要求
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.
教学内容
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
龍腾学科教师辅导讲义
讲义编号LTJYsxsrl005
学员编号：LTJY001年级：六年级课时数：3
学员姓名:王窈瑾辅导科目：数学学科教师：孙仁龙
学科组长签名及日期
2015.01.14
教务长签名及日期
课题
一次不定方程（组）的整数解问题
授课时间：2015.01.15
备课时间：2015.01.02
教学目标
综上， =2+4+6+…+2002=1003002.
【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.
【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个C
A.20001999 B.19992000 C.2001000 D.2001999
【总结反思】
5.（2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h，在平地上的速度是63km/h，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.
学生签名：签字日期：
由题意可知 解得 相应地
答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.
【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.
【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？
【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的 ，求一切这样三位数的和.
【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足 ，则m的最大值为.
【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.
【解答】∵ ，∴ ，
由题意可得，n≠8，∴ ，
【例2】求方程 的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.
【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
【解答】（1）设小明摸的红球有x个，黄球有y个，蓝球有 个，则 ，
整理，得 ，因为x、y均为正整数，可知x的最大值为4.即红球最多不超过4个.
（2）由（1）知蓝球的个数是 ，
又∵ ∴
因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.
【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.
【实践】求方程 的正整数解.
【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 ，即 .
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解.易知 是一个特解，通解为
A.一切偶数B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、4
2.若正整数x,y满足2004a=15y，则x+y的最小值为.
3.如果三个既约真分数 的分子都加上b，这时得到的三个分数之和为6.求这三个既约真分数的和.
4.（重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？
∵m,n为正整数，∴当n=9时，m有最大值为75.
【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.
【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.
【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a、b、c、d为整数，则不定方程 有：
定理1若 且d不能整除c，则不定方程 没有整数解；
定理2若 是不定方程 且的一组整数解（称为特解），则 （t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）.（其中 ,且d能整除c）.
【实践】求方程 的整数解.
【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？
【分析】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，由题意得 .要求 ，可以运用放缩法从确定 的取值范围入手.
【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）
【例7】求方程 的整数解.
【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.
【分析】分析：用x,y,z来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：
如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.
【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.
(2)×3－(1)得：14x+8y=200，即7x+4y=100.
〈方法一〉
〈方法二〉
〈方法三〉
【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.
以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用.解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握.在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.
【题海拾贝】
1.（2000年希望杯竞赛题）若a、b均为正整数，且2a>b，2a+b=10，则b的值为（）
（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；
（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.
【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1） ；（2） .
【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.
【解答】（1）原方程变形为： ，观察得到 是 的一组整数解（特解），
定理3若 是不定方程 ， 的特解，则 是方程 的一个特解.（其中 ,且d能整除c）.
求整系数不定方程 的正整数解，通常有以下步骤：
（1）判断有无整数解；
（2）求出一个特解；
（3）写出通解；
（4）有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.
解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
由原方程可得 ，
由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.
∴方程的通解为 .
其中 ∴ ∴ ∴
代入通解可得原方程的正整数解为
【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法.这样就容易找出一组整数解来.
综上， =6.
（2）当n=2001时，原方程为 ，由于
当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；
当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；
当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0)有2002组.
【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.
【例10】设非负整数n，满足方程 的非负整数（x,y,z）的组数记为 .
（1）求 的值；（2）求 的值.
【分析】审清题中 的n与方程 是同一个非负整数， 的含义是方程 的非负整数解的（x,y,z）的组数.
【解答】（1）当n=3时，原方程为 ，由于
当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0)有2组；
当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0)有4组.