2022届高三理科数学一轮复习(老高考)第2章 第5节幂函数与二次函数课件(共72张PPT)
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第二章 函数
第五节 幂函数与二次函数
[考试要求] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝
1
x2，y＝x3，y＝x2，y＝1x的图象，了解它们的变化情况. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式
之间的关系解决简单问题．
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·必备技能
4ac－b2 4a .
()
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生 1．已知幂函数 y＝f (x)经过点(3， 3)，则 f (x)( ) A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
1234
D [设幂函数的解析式为 y＝xα，将点(3， 3)的坐标代入解析式 得 3α＝ 3，解得 α＝12，∴y＝x12，故选 D．]
1234
2．若幂函数 y＝f (x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f (x)的图象是( )
AΒιβλιοθήκη Baidu
B
C
D
1234
C [令 f (x)＝xα，则 4α＝2，解得 α＝12，
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数 y＝2x3是幂函数．
()
(2)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数． ( )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数． ( )
(4)二次函数
y
＝
ax2
＋
bx
＋
c(x∈[a
，
b])
的
最值一
定
是
函数的图象关于直线 x＝－2ba对称
提醒：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数特征 (1)二次项系数 a 的正负决定图象的开口方向． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)Δ＝b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
[常用结论] 1．幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上的三个重要结论 (1)当 α＞0 时，函数在(0，＋∞)上单调递增． (2)当 α＜0 时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (3)当 x∈(0,1)时，α 越大，函数值越小，当 x∈(1，＋∞)时，α 越大，函数值越大．
2．根与系数的关系 二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac＞0 时，其图 象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)，M2(x2,0)，这里的 x1，x2 是方程 f (x)＝
0
的两个根，且x1＋x2＝－ba， x1·x2＝ac，
|M1M2|＝|x1－x2|＝
Δ |a| .
1
∴f (x)＝x2，则 f (x)的图象如选项 C 中所示．]
1234
3．已知函数 f (x)＝x2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则 a
的取值范围是( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a＜－3
D．a≤－3
1234
D [函数 f (x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴 是 x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞， 6)应在直线 x＝－2a 的左侧，所以－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D．]
1234
4．函数 g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]， ∴当 x＝1 时，g(x)min＝g(1)＝－1， 又 g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3， ∴g(x)max＝3， 即 g(x)的值域为[－1,3]．]
在_[_0_，__＋__∞_) 在_(－___∞_，__0_) 和_(0__，__＋__∞_)
上单调递增 上单调递减
2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝ xα(α∈R) 的函数称为幂函数，其中 x 是自变 量，α 是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图象
定义
性质
R
R
域
R
__{_x_|x_≥_0_}_ _{_x_|_x_≠_0_}__
值域
R
__{_y_|y_≥_0_}_
R
奇偶 _奇__函数
性
_偶__函数
奇__函数
性质
在_(－__∞__，__0_]
上单调递
单调 在 R 上单
在 R 上单
减；
性 调递增 在 (0，＋∞) 调递增
上单调递增
公共点
__(_1_,1_)___
__{_y_|y_≥_0_}_ _非__奇__非__偶__ 函数
__{_y_|y_≠_0_}_ 奇__函数
3．二次函数的图象和性质
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a＞0)
图象
定义域
_R__
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a＜0)
_R_
值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在
在 x∈－∞，－2ba上单调递减；
x∈－∞，－2ba上单调递增；
在 x∈－2ba，＋∞上单调递增 在 x∈－2ba，＋∞上单调递减
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较．
1．已知幂函数 f (x)的图象过点12，4，则该函数的单调递增区间 为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．不存在
1234
A [设 f (x)＝xα，则 f 12＝12a＝4，解得 α＝－2. 所以 f (x)＝x－2，函数 f (x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数， 从而在(－∞，0)上为增函数，故选 A．]
1234
02
细研考点·突破题型
考点一 幂函数的图象及其性质 考点二 求二次函数的解析式 考点三 二次函数的图象与性质
考点一 幂函数的图象及其性质 与幂函数有关问题的解题思路
(1)若幂函数 y＝xα(α∈Z)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是分数 时，一般将其先化为根式，再判断．
(2)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0；若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.
第五节 幂函数与二次函数
[考试要求] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝
1
x2，y＝x3，y＝x2，y＝1x的图象，了解它们的变化情况. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式
之间的关系解决简单问题．
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·必备技能
4ac－b2 4a .
()
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生 1．已知幂函数 y＝f (x)经过点(3， 3)，则 f (x)( ) A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
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D [设幂函数的解析式为 y＝xα，将点(3， 3)的坐标代入解析式 得 3α＝ 3，解得 α＝12，∴y＝x12，故选 D．]
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2．若幂函数 y＝f (x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f (x)的图象是( )
AΒιβλιοθήκη Baidu
B
C
D
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C [令 f (x)＝xα，则 4α＝2，解得 α＝12，
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数 y＝2x3是幂函数．
()
(2)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数． ( )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数． ( )
(4)二次函数
y
＝
ax2
＋
bx
＋
c(x∈[a
，
b])
的
最值一
定
是
函数的图象关于直线 x＝－2ba对称
提醒：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数特征 (1)二次项系数 a 的正负决定图象的开口方向． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)Δ＝b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
[常用结论] 1．幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上的三个重要结论 (1)当 α＞0 时，函数在(0，＋∞)上单调递增． (2)当 α＜0 时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (3)当 x∈(0,1)时，α 越大，函数值越小，当 x∈(1，＋∞)时，α 越大，函数值越大．
2．根与系数的关系 二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac＞0 时，其图 象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)，M2(x2,0)，这里的 x1，x2 是方程 f (x)＝
0
的两个根，且x1＋x2＝－ba， x1·x2＝ac，
|M1M2|＝|x1－x2|＝
Δ |a| .
1
∴f (x)＝x2，则 f (x)的图象如选项 C 中所示．]
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3．已知函数 f (x)＝x2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则 a
的取值范围是( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a＜－3
D．a≤－3
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D [函数 f (x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴 是 x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞， 6)应在直线 x＝－2a 的左侧，所以－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D．]
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4．函数 g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]， ∴当 x＝1 时，g(x)min＝g(1)＝－1， 又 g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3， ∴g(x)max＝3， 即 g(x)的值域为[－1,3]．]
在_[_0_，__＋__∞_) 在_(－___∞_，__0_) 和_(0__，__＋__∞_)
上单调递增 上单调递减
2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝ xα(α∈R) 的函数称为幂函数，其中 x 是自变 量，α 是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图象
定义
性质
R
R
域
R
__{_x_|x_≥_0_}_ _{_x_|_x_≠_0_}__
值域
R
__{_y_|y_≥_0_}_
R
奇偶 _奇__函数
性
_偶__函数
奇__函数
性质
在_(－__∞__，__0_]
上单调递
单调 在 R 上单
在 R 上单
减；
性 调递增 在 (0，＋∞) 调递增
上单调递增
公共点
__(_1_,1_)___
__{_y_|y_≥_0_}_ _非__奇__非__偶__ 函数
__{_y_|y_≠_0_}_ 奇__函数
3．二次函数的图象和性质
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a＞0)
图象
定义域
_R__
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a＜0)
_R_
值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在
在 x∈－∞，－2ba上单调递减；
x∈－∞，－2ba上单调递增；
在 x∈－2ba，＋∞上单调递增 在 x∈－2ba，＋∞上单调递减
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较．
1．已知幂函数 f (x)的图象过点12，4，则该函数的单调递增区间 为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．不存在
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A [设 f (x)＝xα，则 f 12＝12a＝4，解得 α＝－2. 所以 f (x)＝x－2，函数 f (x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数， 从而在(－∞，0)上为增函数，故选 A．]
1234
02
细研考点·突破题型
考点一 幂函数的图象及其性质 考点二 求二次函数的解析式 考点三 二次函数的图象与性质
考点一 幂函数的图象及其性质 与幂函数有关问题的解题思路
(1)若幂函数 y＝xα(α∈Z)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是分数 时，一般将其先化为根式，再判断．
(2)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0；若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.