2022届高三理科数学一轮复习(老高考)第2章 第5节幂函数与二次函数课件(共72张PPT)
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学全程一轮复习第二章函数第五节二次函数与幂函数课件
(4)当－2ba>n时，最小值和最大值分别是多少？
提示：(1)最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)最小值为f(－2ba)，最大值为f(n)；(3) 最小值为f(－2ba)，最大值为f(m)；(4)最小值为f(n)，最大值为f(m)．
关键能力·题型剖析 题型一 幂函数的图象与性质
p
例1 (1)已知幂函数y＝xq(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称， 如图所示，则( )
所以f(－1)＝6a＝12，a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.
角度二 二次函数的图象 例3 (多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案：ABD
题后师说
识别二次函数图象应学会“三看”
巩固训练3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的 图象可能是( )
第五节 二次函数与幂函数
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.幂函数 (1)幂函数的概念
注意幂函数与指数函数的区别 一般地，函数__y_＝__xα___叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图像与性质
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域 R
R
5
4
4
A．c<a<b B．c<b<a
C．a<c<b D．b<c<a
答案：A
1
1
1
3
1
解又0析<：27<因1<为16a<＝1，45y＝2＝x14在1265 (04<，1＋，∞b＝)上54单5>调1递，增c＝，34
第2章 §2.5 二次函数与幂函数--新高考数学新题型一轮复习课件
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋2－1＝12， 所以 m＝12.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以 f(x)＝ax－122＋8.
因为 f(2)＝－1，所以 a2－122＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以 f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三 (利用“零点式”解题) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
t，t≤－2， 综上有 g(t)＝－1－t42，－2<t<4，
3－2t，t≥4.
延伸探究 本例条件不变，求当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值G(t).
f(－1)＝t，f(2)＝3－2t， f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0， ∴f(2)≤f(－1)， ∴f(x)max＝f(－1)＝t； 当t<1时，f(2)－f(－1)>0， ∴f(2)>f(－1)， ∴f(x)max＝f(2)＝3－2t， 综上有 G(t)＝t3，－t2≥t，1，t<1.
所以不等式的解集为2，176.
思维升华
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第 一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据 α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由 奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的 函数，借助其单调性进行比较.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
一轮复习数学(理)课件第二章第五节二次函数与幂函数
1
解析：易知函数y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内
为增函数，所以a3＋ －12≥ a≥0，0， a＋1＜3－2a，
解得－1≤a＜23.
答案：－1，23
[谨记通法] 幂函数的指数与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R )，其中只有一个参数α， 因此只需一个条件即可确定其解析式．
由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a＝19，
所以f(x)＝19(x＋2)2－1，即f(x)＝19x2＋49x－59. 答案：19x2＋49x－59
2．已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的 线段长为 2，并且对任意 x∈R ，都有 f(2－x)＝f(2＋x)， 求 f(x)的解析式． 解：因为 f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立，
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
a＝－4， 解得b＝4，
c＝7.
故所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n. 因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线对称轴为x＝2＋2－1＝12. 所以m＝12，又根据题意函数有最大值8，所以n＝8， 所以y＝f(x)＝ax－122＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
[由题悟法] 求二次函数解析式的方法
[即时应用] 1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图
象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________. 解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
高三年级第一轮复习二次函数与幂函数课件 PPT
4x5的单调区间, 4x4
并比较 f (π)与f ( 2)的大小.
2
解
∵
x24x5
1
f(x)x24x41(x2)2
=1+(x+2)-2,
其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，
该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是 增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.
2 ∵f（2）=-1，a(21)281,
2 解之，得a=-4. f(x) 4 (x 1 )2 8 4 x2 4 x 7 .
2
探究提高
二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.
则实数m的取值范围是_______.
解析
•1m ,,m1.
又(1,2)且m1在(1,2)上是增函 , 数
11m21,即m(2,5).
2
2
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
题型分类 深度剖析
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
思维启迪 由 f(x)xm22m3(m∈N*)的图象关于y
轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函
数，∴m2-2m-3<0，从而确定m值，再由函数f(x)=
x
m 3
的单调性求a的值.
解 ∵函数在(0，+∞)上递减，
新课标高考数学理一轮复习课件：2.5_幂函数、二次函数
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是_一__条__抛__物__线__，
对称轴为x＝ ，顶点坐标是
．
(3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac>0时， 图象与x轴有_两_个交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，图象与x轴 有一__个交点；当Δ＝b2－4ac<0时，图象与x轴_没__有_交点．
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.
②
解①②组成的方程组得q＝2.
经检验知当q<0时无解．
所以存在q＝2满足题意．
【即时巩固3】 设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，使a＋b＋c ＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：
(2)方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根． 证明：(1)因为f(0)>0，f(1)>0， 所以c>0,3a＋2b＋c>0. 由条件a＋b＋c＝0，消去b，得a>c>0， 由条件a＋b＋c＝0，消去c，得a＋b<0,2a＋b>0.
1．形如_y_＝__x_α_(_α_∈__R_，__α_为__常__数__)_的函数称为幂函数． 2．几个幂函数的性质：
定义域 值 域 奇偶性
单调性
y＝x R R
奇函数
增函数
y＝x2 R
{y|y≥0} 偶函数
在(－∞，0)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
3.二次函数
(1)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：_f_(_x_)＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)； ②顶点式：_f_(_x_)＝__a_(_x_－__h_)_2＋__k_，__其__中__(_h_，__k_)_是__抛__物__线__ _的__顶__点__坐__标__； ③两根式：_f_(_x_)＝__a_(_x_－__x_1_)(_x_－__x_2_) ， 其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．
2023届高中数学一轮复习+幂函数与二次函数+课件
∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，
都有f（x1）x1－－xf（2 x2）＜0， 等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③， 又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①， 故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.
在－∞，－2ba上是_减__函数； 在－∞，－2ba上是_增__函数； 在－2ba，＋∞上是_增__函数 在－2ba，＋∞上是_减__函数
常用结论
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a>0，时，恒有 f(x)>0；当a<0，时，恒有 f(x)<0.
角度2 二次函数的单调性与最值
例3 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； 解 当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线
x＝－23∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－241， ∴f(x)的值域为－241，15.
(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝
_－___4_x_2_＋__4_x_＋___7__.
解 法一 (利用“一般式”) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
4a＋2b＋c＝－1， a＝－4，
由题意得a4－ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
解得b＝4， c＝7.
高考数学一轮复习《幂函数与二次函数》课件
A.f( 2)<f －32<f( 3) C.f( 3)<f( 2)<f －32
B.f －32<f( 2)<f( 3)
√D.f( 2)<f( 3)<f －32
(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.
核心素养 题型四 二次函数的恒成立问题
例5 (1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零， 则实数a的取值范围是___－__∞__，__12_ __.
R
__{_y|_y_≥__0_}_ _{_y|_y_≠__0_}
奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇函数 非奇非偶函数 奇 函数
性
在_(_－__∞__，__0_] _
质
在R上单 上单调递减； 在R上 在_[0_，__＋__∞__)_
单调性 调递增
在_(_递增
递增
上单调递增
题型一 幂函数的图象与性质
1.若幂函数的图象经过点2，14，则它的单调递增区间是
A.(0，＋∞)
B.[0，＋∞)
√ C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)
2.幂函数y＝ xm2 2m3 (m∈Z)的图象如图所示，
则实数m的值为
A.3
B.0
√C.1
D.2
3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示， 则m与n的取值情况为 A.－1<m<0<n<1
作业
《步步高》2.3 幂函数与二次函数
当日事，当日毕
B.－1<n<0<m<12 C.－1<m<0<n<12
√D.－1<n<0<m<1
【一轮参考】高优指导2022版高三数学一轮课件：2.6 幂函数与二次函数
3.二次函数的单调性和最值问题,要注意抛物线的开口方向以及 给定区间的限制,不能盲目利用配方法得出结论.
4.一元二次方程、一元二次不等式、二次函数关系密切,应注意 结合二次函数的图象解决问题.
故f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.
(2)函数f(x)=x2+2ax+3图象的对称轴为 故要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6, 解得a≥4或a≤-6.
-18-
考点一 考点二 考点三
(3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3= 其图象如图所示.
知识梳理
规律总结
-5-
知识梳理
规律总结
-6-
知识梳理 双击自测 1 2 3 4 5 6
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=-x2与
都是幂函数. ( × )
(2)幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点. ( × )
(3)当α>0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数. ( × )
∴ a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,
-25-
考点一 考点二 考点三
规律总结
②f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0.要使此不等式
高考数学一轮复习规划2.3幂函数与二次函数课件
解：f(8)＝83＝4，因为 f(x)为奇函数，所以 f(－8)＝－f(8)＝－4. 故填－4.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
考点一 幂函数的图象和性质
(1)已知幂函数 y＝f(x)的图象过点12， 22，则 log2f(2)的值为
1 A. 2
B. －12
C. －1
() D. 1
考试要求
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
【教材梳理】
1. 幂函数 (1)定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
图象
定义域
值域
y＝x
R
R
y＝x2
{y| R
y≥0}
y＝x3
1 y＝x2
y＝x－1
R
R
{x|
{y|
x≥0}
C. (0，1)
D. (－∞，0)∪(1，＋∞)
第二章 函数
()
2
解：y＝x3是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故|x－1|>|3x＋1|，所
以(x－1)2>(3x＋1)2，解得－1<x<0. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章 函数
【点拨】 ①α 的正负与幂函数图象的关系：当 α>0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象 限的图象上升；当 α<0 时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降. ②在比较 幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
1
2022高考数学(理)一轮通用版讲义：2.5二次函数与幂函数
第五节二次函数与幂函数1．幂函数1幂函数的定义一般地，形如y＝αα∈R的函数称为幂函数，其中是自变量，α为常数．2常见的5种幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．三点注意：1当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y＝－1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；①幂函数在0，＋∞上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点1,1和0,0，且在0，＋∞上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点1,1，且在0，＋∞上单调递减．对于形如f＝其中m∈N*，n∈Z，m与n互质的幂函数：1当n为偶数时，f为偶函数，图象关于y轴对称；2当m，n都为奇数时，f为奇函数，图象关于原点对称；3当m为偶数时，>0或≥0，f是非奇非偶函数，图象只在第一象限或第一象限及原点处．2．二次函数1二次函数解析式的3种形式①一般式：f＝a2＋b＋ca≠0．②顶点式：f＝a－m2＋na≠0，顶点坐标为m，n．③零点式：f＝a－1－2a≠0，1，2为f的零点．2二次函数的图象和性质函数y＝a2＋b＋ca>0y＝a2＋b＋ca＜图象抛物线定义域R值域对称轴＝－顶点坐标奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数[熟记常用结论]关于二次函数的几个常用结论1关于函数f＝a－h2＋a>0，∈[，则②若m＜1＜2，则③若1＜m＜2，则④若1，2∈m1，m2，则⑤若1，2有且仅有一个在m1，m2内，则[小题查验基础]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1函数y＝2是幂函数．2当n>0时，幂函数y＝n在0，＋∞上是增函数．3二次函数y＝a2＋b＋c∈R不可能是偶函数．4二次函数y＝a2＋b＋c∈[a，b]的最值一定是5在y＝a2＋b＋ca≠0中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．答案：1×2√3×4×5√二、选填题1．已知幂函数y＝f的图象经过点，则f2＝B．4解析：选C 设f＝α，∵图象过点，∴f4＝4α＝，解得α＝－，∴f2＝2 12＝故选C2．若四个幂函数y＝a，y＝b，y＝c，y＝d在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>c解析：选B 根据幂函数的性质及图象知选B3．已知函数f＝a2＋＋5的图象在轴上方，则a的取值范围是解析：选C ∵函数f＝a2＋＋5的图象在轴上方，∴解得a>4．函数f＝m2－m－1m是幂函数，且在∈0，＋∞上为增函数，则实数m的值为________．解析：∵f＝m2－m－1m是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2又∵f在0，＋∞上为增函数，∴m＝2答案：25．已知f＝42－m＋5在[2，＋∞上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f＝42－m＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16答案：－∞，16][基础自学过关]考点一幂函数的图象与性质1．已知幂函数f的图象经过点9,3，则f2－f1＝A．3 B．1－－1 D．1解析：选C 设幂函数f＝α，则f9＝9α＝3，即α＝，所以f＝12＝，所以f2－f1＝－1，故选C2．当∈0，＋∞时，幂函数y＝m2＋m－1－5m－3为减函数，则实数m的值为A．－2 B．1C．1或－2 D．m≠解析：选B 因为函数y＝m2＋m－1－5m－3既是幂函数又是0，＋∞上的减函数，所以解得m＝1＝2-2-3m m m∈Z的图象如图所示，则m的值为A．－1 B．0C．1 D．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．4．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．c＜b＜a D．c＜a＜b解析：选C 因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝在0，＋∞上为增函数，知a>b>c，故选C5．若a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数y＝的定义域为[0，＋∞，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜答案：[名师微点]1幂函数y＝α的形式特点是“幂指数坐在的肩膀上”，图象都过点1,1．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．已知二次函数f满足f2＝－1，f－1＝－1，且f的最大值是8，求二次函数f的解析式．[解] 法一：利用二次函数的一般式设f＝a2＋b＋ca≠0．由题意得解得故所求二次函数为f＝－42＋4＋7法二：利用二次函数的顶点式设f＝a－m2＋na≠0．∵f2＝f－1，∴抛物线对称轴为＝＝∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f＝a2＋8∵f2＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f＝－42＋8＝－42＋4＋7法三：利用二次函数的零点式由已知f＋1＝0的两根为1＝2，2＝－1，故可设f＋1＝a－2＋1，即f＝a2－a－2a－1又函数有最大值y ma＝8，即＝8解得a＝－4或a＝0舍去，故所求函数解析式为f＝－42＋4＋7[解题技法]求二次函数解析式的策略[过关训练] 1．已知二次函数f是偶函数，且f4＝4f2＝16，则函数f 的解析式为____________．解析：由题意可设函数f＝a2＋ca≠0，则f4＝16a＋c＝16,4f2＝44a＋c＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f＝2答案：f＝22．已知二次函数f＝a2＋b＋1a，b∈R，∈R，若函数f的最小值为f－1＝0，则f＝________解析：设函数f的解析式为f＝a＋12＝a2＋2a＋a，又f＝a2＋b＋1，所以a＝1，故f＝2＋2＋1答案：2＋2＋13．已知二次函数f的图象经过点4,3，它在轴上截得的线段长为2，并且对任意∈R，都有f2－＝f2＋，求f的解析式．解：∵f2－＝f2＋对∈R恒成立，∴f的对称轴为＝2又∵f的图象被轴截得的线段长为2，∴f＝0的两根为1和3设f的解析式为f＝a－1－3a≠0．又∵f的图象过点4,3，∴3a＝3，a＝1∴所求f的解析式为f＝－1－3，即f＝2－4＋3考法一二次函数的单调性问题[例1] 1已知函数f＝a2＋a－3＋1在区间[－1，＋∞上是递减的，则实数a的取值范围是A．[－3,0 B．－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]2函数f＝2－b＋c满足f＋1＝f1－，且f0＝3，则fb与fc 的大小关系是A．fb≤fc B．fb≥fcC．fb>fc D．与有关，不确定[解析] 1当a＝0时，f＝－3＋1在[－1，＋∞上递减，满足题意．当a≠0时，f的对称轴为＝，由f在[－1，＋∞上递减知解得－3≤a＜0综上，a的取值范围为[－3,0]．2由题意知，函数f的图象关于直线＝1对称，∴b＝2，又f0＝3，∴c＝3，则b＝2，c＝在－∞，1上单调递减，在[1，＋∞上单调递增．若≥0，则3≥2≥1，∴f3≥f2；若＜0，则3＜2＜1，∴f3>f2．∴f3≥f2，即fb≤fc．故选A[答案] 1D 2A考法二二次函数的最值问题[例2] 若函数f＝a2＋2a＋1在[1,2]上有最大值4，则a 的值为________．[解析] f＝a＋12＋1－a①当a＝0时，函数f在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a>0时，函数f在区间[1,2]上是增函数，最大值为f2＝8a＋1＝4，解得a＝；③当a＜0时，函数f在区间[1,2]上是减函数，最大值为f1＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a的值为[答案]考法三二次函数中的恒成立问题[例3] 已知函数f＝2－＋1，在区间[－1,1]上，不等式f>2＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．[解析] f>2＋m等价于2－＋1>2＋m，即2－3＋1－m>0，令g＝2－3＋1－m，要使g＝2－3＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g＝2－3＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g＝2－3＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g min＝g1＝－m－1由－m－1>0，得m＜－1因此满足条件的实数m的取值范围是－∞，－1．[答案] －∞，－1[规律探求]1．[口诀第1、2、3句]若二次函数y＝2－4＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数的取值范围为A．[2，＋∞B．2，＋∞C．－∞，0 D．－∞，2解析：选A 二次函数y＝2－4＋2的对称轴为＝，当>0时，要使函数y＝2－4＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得≥2当＜0时，＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝2－4＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数的取值范围是[2，＋∞．2．[口诀第1、2句]已知y＝f是偶函数，当>0时，f＝－12，若当∈时，n≤f≤m恒成立，则m－n的最小值为D．1解析：选D 设＜0，则－>0有f－＝－－12＝＋12，又∵f－＝f，∴当＜0时，f＝＋12，∴该函数在上的最大值为1，最小值为0，依题意，n≤f≤m恒成立，则n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值为13．[口诀第4、5句]设函数f＝2－2＋2，∈[t，t＋1]，t ∈R，求函数f的最小值．解：f＝2－2＋2＝－12＋1，∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为＝1当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图1所示，函数f在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为ft＋1＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，在对称轴＝1处取得最小值，最小值为f1＝1；当t>1时，函数图象如图3所示，函数f在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为ft ＝t2－2t＋2综上可知，f min＝一、题点全面练1．幂函数y＝f经过点3，，则f是A．偶函数，且在0，＋∞上是增函数B．偶函数，且在0，＋∞上是减函数C．奇函数，且在0，＋∞上是减函数D．非奇非偶函数，且在0，＋∞上是增函数解析：选D 设幂函数的解析式为y＝α，将3，代入解析式得3α＝，解得α＝，所以y＝122．已知函数f＝a2＋b＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是解析：选D 由a>b>c且a＋b＋c ＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、0＝c＜0，所以排除B，故选D的图象如图所示，则f－1>0的解集为A．－2,1B．0,3C．－1,2]D．－∞，0∪3，＋∞解析：选B 根据f的图象可得f>0的解集为{|－1＜＜2}，而f－1的图象是由f的图象向右平移一个单位得到的，故f－1>0的解集为0,3．故选B4．若a＝23，b＝23，c＝13，则a，b，c的大小关系是A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c解析：选D ∵y＝23>0是增函数，∴a＝23>b＝23∵y＝是减函数，∴a＝23＜c＝13，∴b＜a＜c5．已知函数f＝a2＋b＋ca≠0，且2是f的一个零点，－1是f的一个极小值点，那么不等式f>0的解集是A．－4,2 B．－2,4C．－∞，－4∪2，＋∞D．－∞，－2∪4，＋∞解析：选C 依题意，f图象是开口向上的抛物线，对称轴为＝－1，方程a2＋b＋c＝0的一个根是2，另一个根是－＝a＋4－2a>0，于是f>0，解得>2或＜－46．已知点m,8在幂函数f＝m－1n的图象上，设a＝f，b＝f lnπ，c＝f，则a，b，c的大小关系为A．c＜a＜b B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．b＜a＜c解析：选A 根据题意，m－1＝1，∴m＝2，∴2n＝8，∴n＝3，∴f＝3∵f＝3是定义在R上的增函数，又－＜0＜12＜0＝1＜lnπ，∴c＜a＜b7．已知二次函数f满足f2＋＝f2－，且f在[0,2]上是增函数，若fa≥f0，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可知函数f的图象开口向下，对称轴为＝2如图，若fa≥f0，从图象观察可知0≤a≤4答案：[0,4]8．若函数f＝2－2＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为________．解析：∵函数f＝2－2＋1＝－12的图象的对称轴为直线＝1，且f在区间[a，a＋2]上的最小值为4，∴当a≥1时，fa＝a－12＝4，∴a＝－1舍去或a＝3；当a＋2≤1，即a≤－1时，fa＋2＝a＋12＝4，∴a＝1舍去或a＝－3；当a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1时，f1＝0≠4故a的取值集合为{－3,3}．答案：{－3,3}9．已知值域为[－1，＋∞的二次函数f满足f－1＋＝f－1－，且方程f＝0的两个实根1，2满足|1－2|＝21求f的表达式；2函数g＝f－在区间[－1,2]上的最大值为f2，最小值为f －1，求实数的取值范围．解：1由f－1＋＝f－1－，可得f的图象关于直线＝－1对称，设f＝a＋12＋h＝a2＋2a＋a＋ha≠0，由函数f的值域为[－1，＋∞，可得h＝－1，a>0，根据根与系数的关系可得1＋2＝－2，12＝1＋，∴|1－2|＝＝＝2，解得a＝1，∴f＝2＋22由题意得函数g在区间[－1,2]上单调递增，又g＝f－＝2－－2∴g图象的对称轴方程为＝，则≤－1，即≤0，故的取值范围为－∞，0]．10．已知函数f＝a2＋b＋ca>0，b∈R，c∈R．1若函数f的最小值是f－1＝0，且c＝1，F＝求F2＋F－2的值；2若a＝1，c＝0，且|f|≤1在区间0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：1由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f＝＋12，∴F＝∴F2＋F－2＝2＋12－－2＋12＝82由题可知，f＝2＋b，原命题等价于－1≤2＋b≤1在0,1]上恒成立，即b≤－且b≥－－在0,1]上恒成立．又－的最小值为0，－－的最大值为－2，∴－2≤b≤0，故b的取值范围是[－2,0]．二、专项培优练一易错专练——不丢怨枉分1．已知函数f＝2＋＋c，若f0>0，f2-3n n＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f＝－2＋m＋1是[－1,1]上的平均值函数，设0为均值点，所以＝m＝f0，即关于0的方程－＋m0＋1＝m在－1,1内有实数根，解方程得0＝1或0＝m－1所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以实数m的取值范围是0,2．答案：0,2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
__{_y_|y_≥_0_}_
R
奇偶 _奇__函数
性
_偶__函数
奇__函数
性质
在_(－__∞__，__0_]
上单调递
单调 在 R 上单
在 R 上单
减；
性 调递增 在 (0，＋∞) 调递增
上单调递增
公共点
__(_1_,1_)___
__{_y_|y_≥_0_}_ _非__奇__非__偶__ 函数
__{_y_|y_≠_0_}_ 奇__函数
2．根与系数的关系 二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac＞0 时，其图 象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)，M2(x2,0)，这里的 x1，x2 是方程 f (x)＝
0
的两个根，且x1＋x2＝－ba， x1·x2＝ac，
|M1M2|＝|x1－x2|＝
Δ |a| .
4ac－b2 4a .
()
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
二、教材习题衍生 1．已知幂函数 y＝f (x)经过点(3， 3)，则 f (x)( ) A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较．
1．已知幂函数 f (x)的图象过点12，4，则该函数的单调递增区间 为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．不存在
1234
A [设 f (x)＝xα，则 f 12＝12a＝4，解得 α＝－2. 所以 f (x)＝x－2，函数 f (x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数， 从而在(－∞，0)上为增函数，故选 A．]
1
∴f (x)＝x2，则 f (x)的图象如选项 C 中所示．]
1234
3．已知函数 f (x)＝x2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则 a
的取值范围是( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a＜－3
D．a≤－3
1234
D [函数 f (x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴 是 x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞， 6)应在直线 x＝－2a 的左侧，所以－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D．]
3．二次函数的图象和性质
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a＞0)
图象
定义域
_R__
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a＜0c4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在
在 x∈－∞，－2ba上单调递减；
x∈－∞，－2ba上单调递增；
在 x∈－2ba，＋∞上单调递增 在 x∈－2ba，＋∞上单调递减
1234
D [设幂函数的解析式为 y＝xα，将点(3， 3)的坐标代入解析式 得 3α＝ 3，解得 α＝12，∴y＝x12，故选 D．]
1234
2．若幂函数 y＝f (x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f (x)的图象是( )
A
B
C
D
1234
C [令 f (x)＝xα，则 4α＝2，解得 α＝12，
1234
4．函数 g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]， ∴当 x＝1 时，g(x)min＝g(1)＝－1， 又 g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3， ∴g(x)max＝3， 即 g(x)的值域为[－1,3]．]
函数的图象关于直线 x＝－2ba对称
提醒：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数特征 (1)二次项系数 a 的正负决定图象的开口方向． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)Δ＝b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．
[常用结论] 1．幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上的三个重要结论 (1)当 α＞0 时，函数在(0，＋∞)上单调递增． (2)当 α＜0 时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (3)当 x∈(0,1)时，α 越大，函数值越小，当 x∈(1，＋∞)时，α 越大，函数值越大．
在_[_0_，__＋__∞_) 在_(－___∞_，__0_) 和_(0__，__＋__∞_)
上单调递增 上单调递减
2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝ xα(α∈R) 的函数称为幂函数，其中 x 是自变 量，α 是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图象
定义
性质
R
R
域
R
__{_x_|x_≥_0_}_ _{_x_|_x_≠_0_}__
值域
R
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数 y＝2x3是幂函数．
()
(2)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数． ( )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数． ( )
(4)二次函数
y
＝
ax2
＋
bx
＋
c(x∈[a
，
b])
的
最值一
定
是
1234
02
细研考点·突破题型
考点一 幂函数的图象及其性质 考点二 求二次函数的解析式 考点三 二次函数的图象与性质
考点一 幂函数的图象及其性质 与幂函数有关问题的解题思路
(1)若幂函数 y＝xα(α∈Z)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是分数 时，一般将其先化为根式，再判断．
(2)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0；若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.
第二章 函数
第五节 幂函数与二次函数
[考试要求] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝
1
x2，y＝x3，y＝x2，y＝1x的图象，了解它们的变化情况. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式
之间的关系解决简单问题．
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·必备技能