第四版运筹学部分课后习题解答

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运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题

a)

12

12

12

12

min z=23

466 ..424

,0

x x

x x

s t x x

x x

+

+≥

+≥

⎪≥

解:由图1可知,该问题的可行域为凸集MABCN,且可知线段BA上的点都为

最优解,即该问题有无穷多最优解,这时的最优值为

min 3

z=2303

2

⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题

a)

12

12

12

12

max z=10x5x

349 ..528

,0

x x

s t x x

x x

+

+≤

+≤

⎪≥

解:由图1可知,该问题的可行域为凸集OABCO,且可知B点为最优值点,

1

12

122

1

349

3

528

2

x

x x

x x x

=

+=

⎧⎪

⎨⎨

+==

⎩⎪

,即最优解为*

3

1,

2

T

x

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

这时的最优值为

max

335

z=1015

22

⨯+⨯=

单纯形法: 原问题化成标准型为

121231241234

max z=10x 5x 349

..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪

++=⎨⎪≥⎩ j c →

10

5

B C

B X b 1x

2x

3x

4x

0 3x 9 3 4 1 0 0

4x

8

[5] 2 0 1 j j C Z -

10

5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10

1x

8/5

1 2/5 0 1/5 j j C Z -

1 0 -

2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10

1x

1

1 0 -1/7

2/7

j j C Z -

-5/14 -25/14

所以有*

max 33351,,1015222T

x z ⎛⎫

==⨯+⨯= ⎪⎝⎭

P78 2.4 已知线性规划问题:

1234

12

4122341231234max

24382669,,,0

z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪

++≤⎨

⎪++≤⎪≥⎪⎩

求: (1) 写出其对偶问题;(2)已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ,试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。 解:(1)该线性规划问题的对偶问题为:

1234

12

4123434131234min

86692234

11,,,0

w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪

+≥⎨

⎪+≥⎪≥⎪⎩

(2)由原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ,根据互补松弛性得:

12

412343422341y y y y y y y y y ++=⎧⎪

+++=⎨⎪+=⎩

把)0,4,2,2(*=X 代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号,即4224890y ++=<⇒=

从而有12

123322341y y y y y y +=⎧⎪

++=⎨⎪=⎩

得123443

,,1,055

y y y y ====

所以对偶问题的最优解为*43

(,,1,0)55

T y =,最优值为min 16w =

P79 2.7 考虑如下线性规划问题:

123123123123123min 6040803224342223,,0

z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≥⎧⎪++≥⎪⎨

++≥⎪⎪≥⎩

(1)写出其对偶问题;(2)用对偶单纯形法求解原问题; 解:(1)该线性规划问题的对偶问题为:

123123123123123max 2433426022403280,,0w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨

++≤⎪⎪≥⎩

(2)在原问题加入三个松弛变量456,,x x x 把该线性规划问题化为标准型:

12312341235123

6max 60408032243422230,1,,6j z x x x x x x x x x x x x x x x x j =------+=-⎧⎪---+=-⎪⎨

---+=-⎪⎪≥=⎩

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