带通采样定理

3.1.3 带通抽样定理

实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。

[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于的最大正整数。如果抽样频率满足条件

， （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号。

对信号以频率抽样后，得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。 由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。 在抽样信号的频谱中，在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和。为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足

（3.1-10）

（3.1-11）

综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到

（3.1-12） 这里是大于等于零的一个正数。如果取零，则上述条件化为

（3.1-13）

这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是有一个上限，因为，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即。

因此 （3.1-14） 由于为不大于的最大正整数，因此不大于的最大正整数为，故有

综上所述，要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足

， （3.1-15）H f L f H f ),(H L f f )(t x L H f f B -=N B f M H -=/N B f H /s f m

f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m )(t x )(t x s f )(s nT x )(t x s f )(t x ),(H L f f ),(L H f f --),(H L f f ),(H L f f ),(s L s H mf f mf f +-+-))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-L s L f mf f ≤+-H s H f f m f ≥++-)1(m

f f m f L s H 212≤≤+m m H s f f 2≥m m m

f f L s 2≤B f s 2≥B

f B f f f m L L s L =≤≤222N B f H /B f L /1-N 10-≤≤N m )(t x s f m

f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m

图

3-3 带通采样信号的频谱 带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。 作为一个特例，我们考虑（）的情况，即上截止频率为带宽的整数倍。若按低通抽样定理，则要求抽样频率，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。根据带通抽样，若将抽样频率取为（值取为），抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理的要求。图3-4所示为，时抽样信号的频谱。

图3-4 ，时的抽样频谱

在带通抽样定理中，由于，带通抽样信号的抽样频率在到之间变化，如图3-5所示。

f

f L f H

f H f -L f -L f H f H f -L f -

NB

f H =1>N NB f s 2≥B f s 2=m 1-N NB f s

2=B f H 3=B f s 2=f

f

f

f

B f H 3=B f s 2=10<≤M B 2B 4

图3-5 带通抽样定理

由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。通常，当带通信号的带宽大于信号的最低频率时，在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。模拟电话信号经限带后的频率范围为300Hz ～3400Hz ，在抽样时按低通抽样定理，抽样频率至少为6800Hz 。由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的限带滤波器不能对3400Hz 以上频率分量完全予以抑制，在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为8kHz 。这样，在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠，又放松了对低通滤波器的要求。这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的。

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f H

f B

2350B L f