数学物理方法期末复习

? (x1 ? iy1 )(x2 ? iy2 ) x22 ? y22
?
x1x2 ? x22 ?
y1 y2 y22
?
i
x2 y1 x22
? ?
x1 y2 y22
3
(2)、乘法和除法
z1
?
?1 (cos ? 1
?
i sin ?1 )
?
? ei?1 1
z2
?
?2 (cos? 2
?
i sin ? 2 )
?
两复数相除就是把模数相除 , 辐角相减。
4
(3) 复数的乘方和 开方（重点掌握）
zn ? ( ?e i? ) n
? ? n e in?
( n为正整数的情况 )
或 ? ? n (cos n? ? i sin n? )
棣莫弗公式： (cos ? ? i sin ? ) n ? cos n? ? i sin n?
n
z
?
?
1 n
? ??
cos
?
? 2kπ n
?
i sin
?
? 2kπ ? n ??
? ? 2 k?
? n ? ei n
( k ? 0, 1, 2, ? , n ? 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式
或指数式往往比代数式来得方便 。
5
二、六种初等复变函数 ：
1. 幂函数 w ? z n
2 .指数函数 w ? e z
数学物理方法 [ 教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》 第四版]
? 第一篇 复变函数论 内 容?
? 第二篇 数学物理方程
1
第一章 复变函数
一、复数
1、复数的定义
z ? x ? iy ——代数式
z ? ? (cos? ? i sin ? ) ——三角式
z ? ?ei? ——指数式 重点：复数三种表示式之间的转换！
周期为 2?i，
3.Байду номын сангаас三角函数
cos z ? eiz ? e? iz , 2
周期为 2?
sin z ? eiz ? e?iz , 2i
6
4、双曲函数
shz ? e z ? e ? z 2
chz ? e z ? e? z 2
5、根式函数
z ? ?ei?
? ? 2k? i
w? n ?e n
k ? 0,1,2,? (n ? 1)
? ei? 2 2
z1z2 ? ?1? 2[cos?(1 ? ? 2 ) ? i sin(?1 ? ? 2 )]
? ? ? ei(?1 ?? 2 ) 12
? 两复数相乘就是把模数相乘 , 辐角相加 ;
z1 z2
?
?1 ?2
[cos?(1
?
?
2
)
?
i
sin(?
1
?
?
2
)]
? ? e 1 i(?1 ?? 2 ) ?2
ez ? ex? iy ? e xeiy
例3：已知 z ? 1 ? 3，i 表示成指数形式为：
22
ei? /3 。
例4：已知 z ? i或i z ? i ，i 可以化简：
e 为：
?
(
? 2
?
2 k?
)或
e? 2
?
2
k?
。
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三、解析函数 f (z) ? u(x, y) ? iv(x, y) 1、柯西 -黎曼方程
?
(k ? 1)? x
f (x) ? ? bk sin k?0
2 l
? bk
?
2 l
k?
l
x
? bk
?
2 l
l f (x)sin k? x dx
0
l
(2)、边界条件为 f ?(0) ? 0, f ?(l) ? 0
——应延拓成以2l为周期的偶函数 (偶延拓)
? f (x) ? a0 ?
?
k?
ak cos
k?1
l
x
? ak
?
2
?kl
l
k? x
f (x) cos dx
0
l
? a0
?1 l
周期为 2?i
6、对数函数
w ? ln z ? ln z ? iArgz
? Argz ? arg z ? 2k? k ? 0,?1,?
7
例1：已知 z ? 2 ? 3i ，则 zz? ? 13
zz? ? ? 2 ? x2 ? y2 ? 13
例2：复数ez 的模为
ex，辐角为
。 y ? 2k? , k ? 0, ?1,?2,L .
l 0
f (x)dx
? ak ?
2 l
l
k? x
f (x)cos dx
0
l
(k ? 0)
11
(3)、边界条件为 f (0) ? 0, f ?(l) ? 0
根据边界条件 f(0)=0应将函数 f(x)对区间(0,l)的端点x=0 作奇延拓。又根据边界条件 f ?(l) ? 0 ，应将函数 f(x) 对区间 (0,l)的端点 x=l作偶延拓，然后以 4l为周期向整 个实轴延拓，延拓以后的函数是 以4l为周期的奇函数。
2、定义在有限区间 (0,l)上的函数的傅里叶展开
对函数f(x)的边界（区间的端点x=0, x=l）上的行为提出 限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。
(1)、边界条件为 f(0)=0,f(l)=0 ——应延拓成以2l为周期的奇函数 (奇延拓)
? f ( x) ?
?
bk sin
k?1
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第五章 傅里叶变换
一、傅里叶级数 1、周期函数 (T=2l)的傅里叶展开 一般周期函数：(5.1.3)、(5.1.5)；——P69-70 傅里叶级数 奇函数： (5.1.8)、(5.1.9)； ——P71 傅里叶正弦级数 偶函数： (5.1.10)、(5.1.11)；——P71 傅里叶余弦级数
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直角坐标系：
? ?u
?? ?x
? ?
?u
?? ?y
? ?
?v ?y ? ?v
?x
2、解析函数性质
：
极坐标系：
? ?u
?? ??
?
? ?1
?u
?? ? ??
1
?
?
?v
??
? ?v
??
(1)、若 f (z) ? u(x, y) ? iv(x, y) 是解析函数，则 ? u ?? v ? 0 。
(2)、若函数 f (z) ? u ? iv 在区域 B上解析，则 u和v 必为B上的相互共轭调和函数 。
z1 ? x1 ? iy1 z2 ? x2 ? iy2
z1 ? z2 ? (x1 ? x2 ) ? i( y1 ? y2 )
(2)、乘法和除法
z1 z2 ? (x1 ? iy1 )(x2 ? iy2 )
? (x1x2 ? y1 y2 ) ? i(x1 y2 ? x2 y1)
z1 ? z1 ?z*2 z2 z2 ?z*2
实部：x ? Re z 虚部：y ? Im z
模： z ? ? ? x2 ? y2
主辐角：arg
z
?
arctg
(
y) x
0?
arg z ?
2? ,
辐角：Argz ? arg z ? 2k? (k ? 0,?1,?2,? )
共轭复数: z ? x ? iy z* ? x ? iy
2
2、复数的运算 : 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法