山东省潍坊市寿光现代中学2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题
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（1）求圆C的方程；
（2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.
20．如图,在四棱锥 中, , ,平面 底面 , , 和 分别是 和 的中点,求证:
(1) 底面 ;
(2)平面 平面 ;
(3)平面 平面 .
21．某工厂生产甲､乙两种产品所得的利润分别为 和 (万元),它们与投入资金 (万元)的关系为: .今将300万资金投入生产甲､乙两种产品,并要求对甲､乙两种产品的投入资金都不低于75万元.
4．D
【分析】
源自文库二次函数的图象开口向上，根据题意，对称轴 ，得出结论．
【详解】
在 上是减函数，开口向上，
对称轴 ，即 .
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
5．B
【分析】
根据偶函数的对称性可得 在区间 上单调性，然后利用单调性脱去 的 ，得到关于 的不等式，解出即可.
A． B． C． D．
10．已知函数 ,若关于 的方程 有3个不同的实数根,则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱） ，点 分别在侧棱 和 上， ，平面 把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为（）
A． B． C． D．
12．过点 的直线 与圆 交于 两点, 为圆心,当点 到直线 的距离最大时,直线 的方程为( )
【详解】
解：因为偶函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上单调递减，
故 越靠近 轴，函数值越小，
因为 ，
所以 ，
解得： ，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，是基础题.
6．A
【分析】
根据：直线 与直线 垂直，垂足为 ，可得 ，再把点 代入方程即可得出．
【详解】
∵直线 与直线 垂直，
A． B． C． D．
6．直线 与直线 垂直,垂足为 ,则 的值为( )
A． B． C．10D．8
7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A．1∶2B．1∶
C．1∶ D． ∶2
8．若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，则该圆的标准方程是（）
A． B．
C． D．
9．如图所示,已知 ,直线 与线段 相交,则 的取值范围是( )
A．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥n
D．若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β
4．若函数 在 上是减函数,则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是（）
（舍去），∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．
3．C
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一判断得解.
【详解】
A选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；B选项不正确，因m∥α，n⊂α，则m∥n或异面．C选项正确，因为α∩β=m，n∥α，n∥β，则画图如下左图：必有m∥n，D选项不正确，画图如下右图：故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键．
三、解答题
17．已知集合 ,函数 ,且 .
(1)求 ;
(2)若集合 ,且 ,求实数 的取值范围.
18．如图，四棱锥 中， ，且平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，确定点 的位置，若不存在，请说明理由.
19．已知以点C为圆心的圆经过点 和 ，且圆心在直线 上.
(1)设对乙种产品投入资金 (万元),求总利润 (万元)关于 的函数;
(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?并求出最大总利润.
22．已知函数 且 .
（1）求实数 的值；
（2）若函数 有零点，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
求解指数不等式与对数不等式化简集合 、 ，再由交、并、补集的混合运算得答案．
山东省潍坊市寿光现代中学【最新】高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ,则 ( )
A． B． C． D．
2．设 ,则( )
A． B． C． D．
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
8．A
【解析】
试题分析：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d= ，化简得：|4a-3b|=5①，
又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），
把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-
∴ ，∴ ，
∵垂足为 ，∴ ，解得： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查相互垂直的直线斜率之间的关系、方程的解法，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
7．C
【解析】
【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
【详解】
设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝ r．∴S侧＝πrl＝ πr2，S底＝πr故选C．
【详解】
， ，
或 ，则 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题.
2．C
【分析】
利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较 ， ， 与0和1的大小得答案．
【详解】
， ， ，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查对数值的大小比较、有理指数幂与对数的运算性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意引入中间变量0和1.
A． B． C． D．
二、填空题
13．实数 的值为_____.
14．函数 的定义域为_____.
15．已知点 在直线 上,则 的最小值为_____.
16．如图是一几何体的平面展开图,其中 为正方形, 分别为 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线 与直线 异面;②直线 与直线 异面;③直线 平面 ;④平面 平面 ;其中正确的是_____.
（2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.
20．如图,在四棱锥 中, , ,平面 底面 , , 和 分别是 和 的中点,求证:
(1) 底面 ;
(2)平面 平面 ;
(3)平面 平面 .
21．某工厂生产甲､乙两种产品所得的利润分别为 和 (万元),它们与投入资金 (万元)的关系为: .今将300万资金投入生产甲､乙两种产品,并要求对甲､乙两种产品的投入资金都不低于75万元.
4．D
【分析】
源自文库二次函数的图象开口向上，根据题意，对称轴 ，得出结论．
【详解】
在 上是减函数，开口向上，
对称轴 ，即 .
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
5．B
【分析】
根据偶函数的对称性可得 在区间 上单调性，然后利用单调性脱去 的 ，得到关于 的不等式，解出即可.
A． B． C． D．
10．已知函数 ,若关于 的方程 有3个不同的实数根,则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱） ，点 分别在侧棱 和 上， ，平面 把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为（）
A． B． C． D．
12．过点 的直线 与圆 交于 两点, 为圆心,当点 到直线 的距离最大时,直线 的方程为( )
【详解】
解：因为偶函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上单调递减，
故 越靠近 轴，函数值越小，
因为 ，
所以 ，
解得： ，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，是基础题.
6．A
【分析】
根据：直线 与直线 垂直，垂足为 ，可得 ，再把点 代入方程即可得出．
【详解】
∵直线 与直线 垂直，
A． B． C． D．
6．直线 与直线 垂直,垂足为 ,则 的值为( )
A． B． C．10D．8
7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A．1∶2B．1∶
C．1∶ D． ∶2
8．若圆 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，则该圆的标准方程是（）
A． B．
C． D．
9．如图所示,已知 ,直线 与线段 相交,则 的取值范围是( )
A．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥n
D．若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β
4．若函数 在 上是减函数,则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是（）
（舍去），∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．
3．C
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一判断得解.
【详解】
A选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；B选项不正确，因m∥α，n⊂α，则m∥n或异面．C选项正确，因为α∩β=m，n∥α，n∥β，则画图如下左图：必有m∥n，D选项不正确，画图如下右图：故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键．
三、解答题
17．已知集合 ,函数 ,且 .
(1)求 ;
(2)若集合 ,且 ,求实数 的取值范围.
18．如图，四棱锥 中， ，且平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，确定点 的位置，若不存在，请说明理由.
19．已知以点C为圆心的圆经过点 和 ，且圆心在直线 上.
(1)设对乙种产品投入资金 (万元),求总利润 (万元)关于 的函数;
(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?并求出最大总利润.
22．已知函数 且 .
（1）求实数 的值；
（2）若函数 有零点，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
求解指数不等式与对数不等式化简集合 、 ，再由交、并、补集的混合运算得答案．
山东省潍坊市寿光现代中学【最新】高一下学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ,则 ( )
A． B． C． D．
2．设 ,则( )
A． B． C． D．
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
8．A
【解析】
试题分析：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d= ，化简得：|4a-3b|=5①，
又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），
把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-
∴ ，∴ ，
∵垂足为 ，∴ ，解得： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查相互垂直的直线斜率之间的关系、方程的解法，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
7．C
【解析】
【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
【详解】
设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝ r．∴S侧＝πrl＝ πr2，S底＝πr故选C．
【详解】
， ，
或 ，则 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题.
2．C
【分析】
利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较 ， ， 与0和1的大小得答案．
【详解】
， ， ，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查对数值的大小比较、有理指数幂与对数的运算性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意引入中间变量0和1.
A． B． C． D．
二、填空题
13．实数 的值为_____.
14．函数 的定义域为_____.
15．已知点 在直线 上,则 的最小值为_____.
16．如图是一几何体的平面展开图,其中 为正方形, 分别为 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线 与直线 异面;②直线 与直线 异面;③直线 平面 ;④平面 平面 ;其中正确的是_____.