2019高考模拟数学_试题(理)(可编辑修改word版)
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理):专题03 导数及其应用 (含解析).docx
专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1, 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式,从而求解,属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ,设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立,则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时,/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时,/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄,即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时,f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时,h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时,〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知,a 的取值范围是[0,e ]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题,分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值,然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ,函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时,y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点;当 x>0 时,y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时,y>0, y=f (x) -ax-b 在[0, +oo)上单调递增, 则y =f -ax-b 最多有一个零点,不合题意;当a+l>0,即°>-1时,令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增, 令WVO 得用[0, d+1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点.根据题意,函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点,在[0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图:b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程,导数的应用.当兀V0时,y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点;当空0时,y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画出函数的草图,从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准,是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点,则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x (x〉0),得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -(x>0)切于(x0,x0+—),x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2(x0=-A/2舍去),x o曲线y = x + -(x>o)±,点P(V2,3A/2)到直线x+y = o的距离最小,最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法,利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中,点A在曲线y=lnr上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e, -l)(e 为自然对数的底数),则点A的坐标是▲.【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值,可得切点坐标.设点A(x0,y0),则y Q =lnx0.又# =丄,X则曲线y = InX在点A处的切线为y - %=丄(X —勺),即yin”。
【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(十九)(Word版,含答案解析)
专题19 高考数学仿真押题试卷(十九)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合[1A =-,1],,则(AB = )A .(0,1)B .(0,1]C .(1,1)-D .[1-,1]【解析】解:(0,1)B =;.【答案】A .2.已知z 的共轭复数是z ,且为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【解析】解:设,,∴,∴,解得:322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,复数z 在复平面内对应的点为3(,2)2-,此点位于第四象限.【答案】D .3.已知向量(1,3)a =,||3b =,且a 与b 的夹角为3π,则|2|(a b += )A .5B C .7D .37【解析】解:由题可得:向量(1,3)a =,||2a =,所以,所以,.【答案】B .4.已知函数,若,则实数a 的取值范围是( )A .[2-,1]B .[1-,2]C .(-∞,2][1-,)+∞D .(-∞,1][2-,)+∞【解析】解:函数,在各段内都是减函数,并且01e -=,,所以()f x 在R 上递减,又,所以,解得:21a -剟, 【答案】A .5.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数n 被3除余2,被7除余4,被8除余5,求n 的最小值.执行该程序框图,则输出的(n )A .50B .53C .59D .62【解析】解:【方法一】正整数n 被3除余2,得32n k =+,k N ∈; 被8除余5,得85n l =+,l N ∈; 被7除余4,得74n m =+,m N ∈; 求得n 的最小值是53.【方法二】按此歌诀得算法如图, 则输出n 的结果为按程序框图知n 的初值为1229,代入循环结构得,即输出n 值为53. 【答案】B .6.已知函数,将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A .6πB .4π C .3π D .2π 【解析】解:,将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后,得到函数的图象,又所得到的图象关于y 轴对称,所以,即6m k ππ=+,k Z ∈,又0m >,所以当0k =时,m 最小为6π. 【答案】A .7.已知命题p :函数21()21x x f x -=+是定义在实数集上的奇函数;命题q :直线0x =是13()g x x =的切线,则下列命题是真命题的是( ) A .p q ∧B .q ⌝C .()p q ⌝∧D .p ⌝【解析】解:,即()f x 是奇函数,故命题p 是真命题,函数的导数,当0x =时,()g x '不存在,此时切线为y 轴,即0x =,故命题q 是真命题,则p q ∧是真命题,其余为假命题, 【答案】A .8.已知双曲线的渐近线与相切,则双曲线的离心率为(= )A .2B C D 【解析】解:取双曲线的渐近线by x a=,即0bx ay -=. 双曲线22221(x y a b-= 0a >,0)b >的渐近线与相切,∴圆心(2,0)到渐近线的距离d r =, ∴1=,化为2b c =,两边平方得,化为2234c a =.∴c e a =【答案】D .9.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律,即是现代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5的等比数列的原理,也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍.已知标准音1a 的频率为440Hz ,那么频率为的音名是( )A .dB .fC .eD .#d【解析】解:从第二个单音起,每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122.故从g 起,每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由,解得7n =,频率为的音名是(#d ), 【答案】D . 10.函数的大致图象是( )A .B .C .D .【解析】解:当0x <时,,0x e >,所以()0f x >,故可排除B ,C ;当2x =时,f (2)230e =-<,故可排除D . 【答案】A .11.利用Excel 产生两组[0,1]之间的均匀随机数:(a rand = ),(b rand = ):若产生了2019个样本点(,)a b ,则落在曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为( ) A .673B .505C .1346D .1515【解析】解:由曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形的面积为,所以,则落在曲线1y =、y 0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为,【答案】A .12.已知点P 为直线:2l x =-上任意一点,过点P 作抛物线的两条切线,切点分别为1(A x ,1)y 、2(B x ,2)y ,则12(x x = )A .2B .24pC .2pD .4【解析】解:不妨设(2,0)P -,过P 的切线方程设为(2)y k x =+, 代入抛物线方程得,又0k ≠,故124x x =.【答案】D .第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若整数x 、y 满足不等式组,则y z x =的最小值为 12. 【解析】解:整数x 、y 满足不等式组的可行域如图:三角形区域内的点(2,1)A 、(2,2)B 、(2,3)C 、(1,2)D ,AO 连线的斜率是最小值.则y z x =的最小值为:12. 故答案为:12.14.已知椭圆的焦点为1F 、2F ,以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C 内切于点P ,则12PF F S= .【解析】解:椭圆的焦点为1F 、2F ,以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C内切于点P , 可得1b c ==, 所以.故答案为:1.15.定义在R 上的函数()f x 满足,若,且(2)2gl n =-,则1()2g ln = . 【解析】解:根据题意,,则,变形可得,,又由122ln ln =-,且,则,则;故答案为:4.16.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心,A 是最大角,若,则m 的取值范围为.【解析】解:由O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心, 则点O 为三角形三边中垂线的交点, 由向量投影的几何意义有:,则, 所以则,由正弦定理得:,所以,所以2sin m A =, 又[3A π∈,)2π,所以m ∈2),故答案为:2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面四边形ABCD 中,已知34ABC π∠=,AB AD ⊥,1AB =.(1)若AC ABC ∆的面积;(2)若,4AD =,求CD 的长.【解析】解:(1)在ABC ∆中,,,解得BC ,∴.(2),∴,∴在ABC∆中,,∴,,∴CD=18.在某市高三教学质量检测中,全市共有5000名学生参加了本次考试,其中示范性高中参加考试学生人数为2000人,非示范性高中参加考试学生人数为3000人.现从所有参加考试的学生中随机抽取100人,作检测成绩数据分析.(1)设计合理的抽样方案(说明抽样方法和样本构成即可);(2)依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图,据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分;(3)如果规定成绩不低于130分为特别优秀,现已知语文特别优秀占样本人数的5%,语文、数学两科都特别优秀的共有3人,依据以上样本数据,完成列联表,并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.参考公式:参考数据:【解析】解:(1)由于总体有明显差异的两部分构成,所以采用分层抽样法,由题意知,从示范性高中抽取(人),从非示范性高中抽取(人);(2)由频率分布直方图估算样本平均数为:,据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4;(3)由题意知,语文特别优秀学生有5人,数学特别优秀的学生有(人),且语文、数学两科都特别优秀的共有3人,填写列联表如下;计算,所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.19.已知点(0,2)P,点A,B分别为椭圆的左右顶点,直线BP交C于点Q,ABP∆是等腰直角三角形,且35PQ PB=.(1)求C的方程;(2)设过点P 的动直线l 与C 相交于M ,N 两点,O 为坐标原点.当MON ∠为直角时,求直线l 的斜率. 【解析】解:(1)由题意ABP ∆是等腰直角三角形,则2a =,(2,0)B , 设点0(Q x ,0)y ,由35PQ PB =,则065x =,045y =,代入椭圆方程解得21b =,∴椭圆方程为2214x y +=.(2)由题意可知,直线l 的斜率存在,令l 的方程为2y kx =+, 则1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y , 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理可得,∴△,解得234k >, ,,当MON ∠为直角时,1OM ON k k =-,,则,解得24k =,即2k =±,故存在直线l 的斜率为2±,使得MON ∠为直角. 20.如图,在直三棱柱中,ABC ∆是等腰直角三角形,1AC BC ==,12AA =,点D 是侧棱1AA 的上一点.(1)证明:当点D 是1AA 的中点时,1DC ⊥平面BCD ; (2)若二面角1D BC C --,求AD 的长.【解析】解:(1)证明:由题意:BC AC ⊥且1BC CC ⊥,,BC ∴⊥平面11ACC A ,则1BC DC ⊥. 又D 是1AA 的中点,AC AD =,且90CDA ∠=︒,,同理.,则1DC DC ⊥,1DC ∴⊥平面BCD ;(2)以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,1CC 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设AD h =,则(1D ,0,)h ,(0B ,1,0),1(0C ,0,2).由条件易知CA ⊥平面1BC C ,故取(1m =,0,0)为平面1BC C 的法向量. 设平面1DBC 的法向量为(n x =,y ,)z , 则n BD ⊥且1n BC ⊥,,,∴,取1z =,得.由,解得12h =,即12AD =.21.已知函数在0x x =处取得极小值1-.(1)求实数a 的值; (2)设,讨论函数()g x 的零点个数.【解析】解:(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,,函数在0}x x =处取得极小值1-,∴,得01,1a x =-⎧⎨=⎩当1a =-时,()f x lnx '=,则(0,1)x ∈时,()0f x '<,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '> ()f x ∴在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,1x ∴=时,函数()f x 取得极小值1-, 1a ∴=-(2)由(1)知,函数,定义域为(0,)+∞,,令()0g x '<,得0x <令()0g x '>,得x >()g x在上单调递减,在)+∞上单调递增,当x ()g x 取得最小值2eb -, 当02e b ->,即2eb >时,函数()g x 没有零点; 当02e b -=,即2eb =时,函数()g x 有一个零点;当02eb -<,即02e b <<时,g (e )0b =>,g g ∴(e )0<存在1x ∈)e ,使1()0g x =,()g x ∴在)e 上有一个零点1x设,则,当(0,1)x ∈时,()0h x '<,则()h x 在(0,1)上单调递减,()h x h ∴>(1)0=,即当(0,1)x ∈时,11lnx x>-, 当(0,1)x ∈时,,取{m x min b =,1},则()0m g x >,,∴存在2(m x x ∈,,使得2()0g x =,()g x ∴在(m x 上有一个零点2x ,()g x ∴在(0,)+∞上有两个零点1x ,2x ,综上可得,当2eb >时,函数()g x 没有零点; 当2eb =时,函数()g x 有一个零点; 当02eb <<时时,函数()g x 有两个零点. 请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点A 为曲线1C 上的动点,点B 在线段OA 的延长线上,且满足,点B 的轨迹为2C .(1)求1C ,2C 的极坐标方程;(2)设点C 的极坐标为(2,)2π,求ABC ∆面积的最小值.【解析】解:(1)曲线1C 的参数方程为为参数),∴曲线1C 的普通方程为,∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.设B 的极坐标为(,)ρθ,点A 的极坐标为0(ρ,0)θ, 则||OB ρ=,0||OA ρ=,002cos ρθ=,0θθ=,,08ρρ∴=,∴82cos θρ=,cos 4ρθ=,2C ∴的极坐标方程为cos 4ρθ=(2)由题意知||2OC =,,当0θ=时,S ABC 取得最小值为2. [选修4-5:不等式选讲]. 23.已知函数的最小值为t .(1)求实数t 的值; (2)若,设0m >,0n >且满足,求证:.【解析】解:(1),显然,()f x 在(-∞,1]上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,(1)2=-,2t ∴=-, 证明(2),,由于0m >,0n >,且1122m n+=,,当且仅当22n mm n=,即当12n =,1m =时取“=”, 故。
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析
2019年高考数学(理)模拟试题(三)含答案及解析2019年高考数学(理)模拟试题(三)注意事项:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1-i)z=2+i,则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.设集合M={x|x<36},N={2,4,6,8},则M∩N=()A。
{2,4}B。
{2,4,6}C。
{2,6}D。
{2,4,6,8}3.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
2/34.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A。
42种B。
48种C。
54种D。
60种5.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的体积为()A。
32π/3B。
64π/3C。
32πD。
64π/26.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后入称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为()A。
2x+y-3=0B。
2x-y+3=0C。
x-2y-3=0D。
x-2y+3=07.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为()A。
2019年四川省高考数学理科试题含答案(Word版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题),第I 卷1至2页,第II 卷3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟,考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿上答题无效,考试结束 后,将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤,Z 为整数集,则AZ 中元素的个数是( ) (A )3(B )4(C )5(D )62.设i 为虚数单位,则6(i)x +的展开式中含x 4的项为( )(A )-15x 4(B )15x 4(C )-20i x 4(D )20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( ) (A )向左平行移动π3个单位长度(B )向右平行移动π3个单位长度 (C )向左平行移动π6个单位长度(D )向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )(A )24(B )48(C )60(D )725.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30)( A )2018年(B )2019年(C )2020年(D )2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n ,x 的值分别为3,2,则输出v 的值为( )(A )9 (B )18 (C )20 (D )357.设p :实数x ,y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2,q :实数x ,y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )(A )必要不充分条件(B )充分不必要条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )(A )33(B )23(C )22(D )1 9.设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△P AB 的面积的取值范围是( )(A )(0,1) (B )(0,2) (C )(0,+∞) (D )(1,+∞)10.在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足DA =DB =DC ,DA DB =DB DC =DC DA =-2,动点P ,M 满足AP =1,PM =MC ,则2BM 的最大值是( ) (A )434(B )494(C )37634+(D )372334+第II卷(非选择题100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
福建省泉州市2019届高三高考考前适应性模拟(一)数学(理)试卷【含答案及解析】
数学(理)试卷【含答案及解析】
姓名班级分数
题号
-二二
三
总分
得分
、选择题
1.已知集合■.,则、「汽等
于()
A.;. ';B.「.二C.;:D.:
3.我国古代算书《孙子算经》上有个有趣的问题“出门望九堤”:今有出门重九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何?现在我们用右图所示的程序框图来解决这个问题,如果要使输出的结果为禽的数目,则在该框图中的判断框中应该填入的条件是()
PO=4.FN=^PF=2「又可得甘为正三甬册,:,FR=2,故选C
£
第9题【答案】
【解析】
第10题【答案】
【解析】由题竜剜M为弦加的中
試由|.仏卜人.njH|U_W<1;那屈M XJ为射「,半牯力7日;飼内.榔尉的觀型概率佥
式可得,
~
第11题【答案】
【解析】对于A曲團可利
4-令吟呂、=叫叫工=灯丄叭…j可得凡呵=%(占呵+6)=4务+SrAiE确;
4f
【方法点睛】本题主要考查空间想象能力,余弦定理及函数的值域的求法,雇于难題貳函数值域的第见方法有①配方■车,否则不发车。若发车,则每辆车每趟可获利1000元;若未发车,
则每辆车每天平均亏损200元。为使该物流公司此项业务的营业利润最大,该物流公司应该购置几辆货
车?
20.设圆•-I的圆心为.,直线过点'I1且不与轴、
轴垂直,且与圆「于:,两点,过■…作•…的平行线交直线
于点.■.
点「,若,则…等于()
A.-B.1C.2D.4
9.设&=仏恥*“詆眩,且石-丄的展开式中只有第4项的二项式系数最
(完整word)2019年高考试题汇编理科数学--数列,推荐文档
解答: 13,设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53(1)证明:a nb n 是等比数列,a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案: (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n,b n () n2222解析:(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n ),又玄1 Q 1,故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2,又a 1 Q 1,故a .b n 是首项为1,公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案:A解析:S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有 可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n(2019全国1理)9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5,则(2(2019全国1理)14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436,则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①;由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】 【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得 a 5的值,进一步研究数列中正项 ?负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中,8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时,a n 0, n 6时,a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n(!)n n 1,①②相减化简得b n 2 2(2019全国3理)5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且a s 3a 3 4印,则a ?()A. 16B. 8 答案: C解答:C. 4D.设该等比数列的首项 a i ,公比由已知得,4a©3dq 24a i , 因为a 0且q 0, 则可解得2,又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1,则4.(2019全国3理)14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和,若q0, a 2 3a ,则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d(2019北京理)10.设等差数列 的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10,则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式?等差数列的性质,难度不大,注重重要知识?基础知识?基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm),若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为{a n}的长度为m的递增子列•规定:数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列;(H)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o,长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证:a m°<a n°;(川)设无穷数列{a n}的各项均为正整数,且任意两项均不相等若{ a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…),求数列{a n}的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可;(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可;(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式,然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为:1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q,都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p,此时a p a q ,设所有长度为q的子列的末项分别为:a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为:a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ,注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列,故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ,据此可得:a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列,且各项均为正整数,任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1,下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L :当n 1 时命题显然成立,假设当n k时命题成立,即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个,则当n k 1时,对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1,可构造:aq,a s2丄,a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列,则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个,n 1, n为偶数综上可得,数列a n、,卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注:当s 3时,所有满足题意的数列为:2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ,当s 4 时,数列2,3,5 对应的两个递增子列为:2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列,b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6,b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;(n)设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii )求a i c i n Ni1答案】(I )a n 3n 1 ; b n 3 2n(n )(i )a2n c2n 1 9 4n1 (ii )* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】 【分析】(I )由题意首先求得公比和公差,然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式,结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形,结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d,解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通 项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列 ?等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列 求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2(2019上海)18•已知数列{a n } , a 1 3,前n 项和为S n •(1)若{an }为等差数列,且 a 4 15, 求S n ;(2)若{a n }为等比数列,且 lim n S n 12,求公比 q 的取值范围 【解答】解:(1) Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n;2lim S n 存在,nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为(1 , 0) (0 , 3).42综上,d -或者d3Hm S n存在, lim S n n (2019上海)21.已知等差数列{务}的公差d (0, ],数列{b n }满足 b n sin (a n ),集合 S x|xb n ,n2 、(1 )若a 1 0,d 一,求集合 30,d —,3{乜,0, △.2 2根据三角函数线,①等差数列 {a n }的终边落在y 轴的正负半轴上时,集合S 恰好有两个元素,此时此时d —,3(2)若a 1,求d 使得集合 2 S 恰好有两个(3)若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数,求 T 的所有可能的值.【解答】解:(1) Q 等差数列{a n }的公差d (0,],数列{b n }满足 b n sin (a n ),集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q,数列{b n }满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素,如图:②a 1终边落在OA 上,要使得集合 S 恰好有两个元素,可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称,如图OB , OC ,(3)①当T 3 时,b n 3 b n,集合S {bl,b2, b3},符合题意.②当T 4 时,b n 4 b n ,sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ,或者a n 4d 2k a n ,4d a n 2k,又k 1,2当k1时满足条件,此时S {,1, 1}.③当T 5时,b n 5b n,si n(a n5d)sina n,故k1,2.当k1时,S{sin—,1,sin}满足题意1010④当T 6时,b n 6b n,sin (an6d)sina n,a na n等差数列{a n}的公差d (0,],故a n5d a n 2k ,或者a n 5d 2k a n,因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n,d (0,1 , 2, 3.1时,S {-^O, —3},满足题意.2 2⑤当T 7 时,b n 7 b n,si n(a n 7d) si na n si na n,所以a n 7d a n 2k ,或者a n 7d 2k a n,d (0,故k 1 , 2, 31时,因为b i ~b7对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有a m a n 2 ,d m 7,不符合条件.k 2时,因为b i~b7对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有a m a n 2 ,d n不是整数,不符合条件.k 3时,因为bi ~ b7对应着3 个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有a m a n—,或者d7—,此时,m n均不是整数,不符合题意.7综上,T3,4,5,6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列,S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得:9 8S99a 1 9 8d227解得: a 1 51 ,则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应 用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列{a n }满足:a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证:数列{a n }为“M—数列”;u . 1 2 2(2)已知数列{b n }满足:b 1 1,S b b ,其中S 为数列{b n }的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列{b n }的通项公式;② 设m 为正整数,若存在 “M—数列” {} (n € N *),对任意正整数k ,当k 呦 时,都有C k b k q 1成立,求m 的 最大值.【答案】(1)见解析; (2[① b n = n n N * :② 5. 【解析】 【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论; (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列,据此即可确定其通项公式;②由①确定b k 的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列{a n }为M —数列”1 22 (2) ①因S n—,所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ,则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a : 4ci|。
2019年山东省高考数学理科试题含答案(Word版)
2019年山东省高考数学理科试题含答案(Word版)2019年山东卷数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.在答题卡和试卷规定的位置上,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,在答题卡上对应题目的答案标号处涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后再涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上。
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案。
不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式:若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A)1+2i(B)1-2i(C)-1+2i(D)-1-2i设集合A={y|y=2,x∈R},B={x|x-1<0},则A)(-1,1)(B)(0,1)(C)(-1,+∞)(D)(0,+∞)某高校调查了200名学生每周的自时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30]。
根据直方图,这200名学生中每周的自时间不少于22.5小时的人数是()A)56(B)60(C)120(D)140若变量x,y满足x>0,y>0,xy2,2x3y9,则x2y2的最大值是()A)4(B)9(C)10(D)12一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示。
则该几何体的体积为()A)(1/3+2/3)π(B)(1/3+2/3)π(C)122/3+6π(D)1+6π已知直线a和直线b分别在两个不同的平面α和β内,则直线a和直线b相交是平面α和平面β相交的(C)充要条件。
安徽省淮南市2019届高三第二次模拟考试理科数学试题(解析版)
由题设有 ,设 , ,过 作准线 的垂线,垂足分别 ,过 作 的垂线,垂足为 .
则 ,故 ,
所以 ,而 ,所以 ,
故直线 的倾斜角为 .填 .
【点睛】一般地,圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质来转化,有两个转化的角度:(1)利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点相关的数学问题;(2)利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的动点到相应准线的距离问题.
如图所示,在直角梯形 中, .
所以 , ,而 ,所以
,因此 ,
所以 ,故 ,
所以 .
【点睛】空间中点到平面的距离的计算,应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算.注意在平面图形中利用解三角形的方法(如正弦定理、余弦定理等)来求线段的长度、面积等.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
【答案】2
【解析】
【分析】
画出不等式组对应的可行域,平移动直线可得 的最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示:
平移动直线 至 时, 有最大值,
又 得 ,故 ,故填 .
【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题,常通过线性规划来求最值,求最值时往往要考二元函数的几何意义,比如 表示动直线 的横截距的三倍,而 则表示动点 与 的连线的斜率.
【详解】(I)设等差数列 的公差为 ,则 .
由 , , 成等比数列知 ,即 .
所以 因 ,于是 ,解得 , ,
, .
(II)因 ,
所以
.所以原不等式成立.
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部,则a =( ) A .12-B .12C .1-D .12.[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ,{}6,8,10,12,14B =,则集合A B I 中元素的个数为( ) A .2B .3C .4D .53.[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ,()2,3=-b ,且()m ⊥+a a b ,则m =( ) A .25B .25-C .0D .154.[2019·台州期末]已知圆C :()()22128x y -+-=,则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为( ) A .30x y +-=B .30x y --=C .230x y --=D .230x y +-=5.[2019·东北三校]中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有( ) A .30种B .50种C .60种D .90种6.[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形,俯视图是扇形,则该几何体的体积为( )A .π9B .π3C .π6D .π187.[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象,则下列说法正确的是( ) A .函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B .函数()g x 的周期是π2C .函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D .函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18.[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图,输出的值为( )A .0B .12C .1D .1-9.[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒( )A .3B .1C 3D .210.[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减,且为偶函数.若()21f =-,则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是( ) A .[]1,5B .[]1,3C .[]3,5D .[]2,2-11.[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ,若C 的左支上存在点M ,使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线,则C 的离心率为( )AB .2CD .512.[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件:1212x x y y +0,则称()f x 为“柯西函数”,则下列函数:①()()10f x x x x=+>;②()()ln 0e f x x x =<<;③()cos f x x =;④()21f x x =-.其中为“柯西函数”的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边,S 是ABC △的面积,若8a =,5b =,S =,则c =_________.14.[2019·景山中学]已知a ,b 表示直线,α,β,γ表示不重合平面. ①若a αβ=I ,b α⊂,a b ⊥,则αβ⊥;②若a α⊂,a 垂直于β内任意一条直线,则αβ⊥; ③若αβ⊥,a αβ=I ,b αγ=I ,则a b ⊥;④若a α⊥,b β⊥,a b ∥,则αβ∥.上述命题中,正确命题的序号是__________.15.[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同.下面是关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选播音主持,也不选广播电视;②乙同学不选广播电视,也不选公共演讲;③如果甲同学不选公共演讲,那么丁同学就不选广播电视.若这些信息都是正确的,依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)16.[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ,则实数m =________.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项,其中*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:21n T <.18.(12分)[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长,投资最多,难度最大的跨海桥梁项目,大桥建设需要许多桥梁构件.从某企业生产的桥梁构件中抽取100件,测量这些桥梁构件的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[)55,65,[)65,75,[]75,85内的频率之比为4:2:1.(1)求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率;(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件,记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ,求X 的分布列与数学期望.19.(12分)[2019·淄博模拟]如图,在四棱锥P ABCD -中,AB CD ∥,1AB =,3CD =,2AP =,23DP =,60PAD ∠=︒,AB ⊥平面PAD ,点M 在棱PC 上.(1)求证:平面PAB ⊥平面PCD ;(2)若直线PA ∥平面MBD ,求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值.20.(12分)[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2,抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2.(1)求椭圆1C 的方程;(2)如图,点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N (M 、N 都在x 轴上方).且AFM OFN ∠=∠.证明:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.21.(12分)[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-,a ∈R . (1)当13a =-时,求函数()f x 的单调区间;(2)令函数()()2x x f x ϕ'=,若函数()x ϕ的最小值为32-,求实数a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=(a ∈R ,a 为常数)),过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+,(t 为参数).(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点(点P 在A 、B 之间),且2PA PB ⋅=,求a 和PA PB -的值.23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t .求t 的值;若实数a ,b 满足2222a b t +=,求221112a b +++的最小值.2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学(二)答 案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部,∴122a=-,即1a =-.故选C . 2.【答案】A【解析】由题意,集合{}31,A x x n n ==-∈N ,{}6,8,10,12,14B =, ∴{}8,14A B =I ,∴集合A B I 中元素的个数为2.故选A . 3.【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ,结合向量垂直判定,建立方程,可得12310m m --+=,解得25m =,故选A . 4.【答案】B【解析】根据题意,圆C :()()22128x y -+-=,P 的坐标为()3,0, 则有()()2231028-+-=,则P 在圆C 上,此时20113CP K -==--,则切线的斜率1k =, 则切线的方程为3y x =-,即30x y --=,故选B . 5.【答案】B【解析】若同学甲选牛,那么同学乙只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11210C C 20⋅=,若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11310C C 30⋅=,∴共有203050+=种.故选B . 6.【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形,圆锥的高为1,底面半径为1, 俯视图是扇形,圆心角为2π3,几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=.故选A .7.【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后,得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,当π12x =-时,π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称,故选项A 错误;周期2ππ2T ==,故选项B 错误; 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,,∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故选项C 正确;∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值,故选项D 错误.故选C .8.【答案】A【解析】第一次循环,1k =,cos01S ==,112k =+=,4k >不成立; 第二次循环,2k =,π131cos 1322S =+=+=,213k =+=,4k >不成立; 第三次循环,3k =,32π31cos 12322S =+=-=,314k =+=,4k >不成立; 第四次循环,4k =,1cos π110S =+=-=,415k =+=,4k >成立, 退出循环,输出0S =,故选A . 9.【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒.故选C .10.【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数,∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥, ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减,∴32x -≤,232x -≤-≤,15x ≤≤,故选A . 11.【答案】C【解析】()2,0F c ,直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线, 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+,即有22OP c b a =-=,由OP 为12MF F △的中位线,可得122MF OP a ==,22MF b =,可得212MF MF a -=,即为222b a a -=,即2b a =,可得221145c b e a a==+=+=.故选C .12.【答案】B【解析】由柯西不等式得:对任意实数1x ,1y ,2x ,2y ,2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立, (当且仅当1221x y x y =取等号)若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件:222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,使得OA u u u r,OB u u u r 共线,即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点: 对于①,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=,不可能有两个正根,故不存在; 对于②,,由图可知不存在;对于③,,由图可知存在;对于④,,由图可知存在,∴“柯西函数”的个数为2,故选B .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形,故得到角C 为π3,再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=.故答案为7.14.【答案】②④【解析】对于①,根据线面垂直的判定定理,需要一条直线垂直于两条相交的直线,故不正确, 对于②,a α⊂,a 垂直于β内任意一条直线,满足线面垂直的定理,即可得到αβ⊥, 又a α⊂,则αβ⊥,故正确,对于③,αβ⊥,a αβ=I ,b αγ=I ,则a b ⊥或a b ∥,或相交,故不正确, 对于④,可以证明αβ∥,故正确. 故答案为②④. 15.【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持,也不选广播电视; 由②知乙不选广播电视,也不选公共演讲;由③知如果甲不选公共演讲,那么丁就不选广播电视,综上得甲、乙、丙均不选广播电视,故丁选广播电视,从而甲选公共演讲,丙选影视配音, 故答案为影视配音. 16.【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=,曲线2y mx =的导数为2y mx '=,由e2mx x =,0x >且0m >,得x =e 2⎫⎪⎪⎭,代入eln y x =得e 2=,解得12m =,故答案为12.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1)n a n =;(2)见解析.【解析】(1)∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项,∴()221n n n n n S a a a a =+=+, 当1n =时,21112a a a =+,∴11a =.当2n ≥时,22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--,整理得()()1110n n n n a a a a --+--=. 又0n a >,∴()112n n a a n --=≥,即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列. ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=. (2)()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭,∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+. 18.【答案】(1)0.05;(2)见解析.【解析】(1)设区间[]75,85内的频率为x ,则区间[)55,65,[)65,75内的频率分别为4x 和2x . 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=,解得0.05x =. ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复实验, ∴X 服从二项分布(),B n p ,其中3n =.由(1)得,区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=, 将频率视为概率得0.6p =.∵X 的所有可能取值为0,1,2,3,且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=,()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=,()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=,()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=.∴X 的分布列为:X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ,∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=.19.【答案】(1)见解析;(2219565【解析】(1)∵AB ⊥平面PAD ,∴AB DP ⊥,又∵23DP=,2AP=,60PAD∠=︒,由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠,可得1sin2PDA∠=,∴30PDA∠=︒,90APD∠=︒,即DP AP⊥,∵AB AP A=I,∴DP⊥平面PAB,∵DP⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD;(2)以点A为坐标原点,AD所在的直线为y轴,AB所在的直线为z轴,如图所示,建立空间直角坐标系,其中()0,0,0A,()0,0,1B,()0,4,3C,()0,4,0D,)3,1,0P.从而()0,4,1BD=-u u u r,)3,1,0AP=u u u r,()3,3,3PC=-u u u r,设PM PCλ=u u u u r u u u r,从而得()33,31,3Mλλλ+,()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r,设平面MBD的法向量为(),,x y z=n,若直线PA∥平面MBD,满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn,即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=,得14λ=,取()3,3,12=--n,且()3,1,1BP=-u u u r,直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20.【答案】(1)2212xy+=;(2)直线l过定点()2,0.【解析】(1)由题意可知,抛物线2C的准线方程为1x=,又椭圆1C2,∴点2⎛⎝⎭在椭圆上,∴221112a b+=,①又2cea==,∴222212a bea-==,∴222a b=,②,由①②联立,解得22a=,21b=,∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=.(2)设直线:l y kx m =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,把直线l 代入椭圆方程,整理可得()222214220k x km m +++-=,()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>,即22210k m -+>,∴122421kmx x k +=-+,21222221m x x k -=+,∵111FM y k x =+,221FN yk x =+,M 、N 都在x 轴上方,且AFM OFN ∠=∠,∴FM FN k k =-,∴121211y yx x =-++,即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++, 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=,∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭,即22224444420km k k m km k m m ---++=,整理可得2m k =, ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+,∴直线l 过定点()2,0. 21.【答案】(1)见解析;(2)56-.【解析】(1)13a =-时,()2ln f x x x x =--,则()()()221121x x x x f x x x +---'==, 令()'0f x =,解得12x =-或1x =,而0x >,故1x =,则当()0,1x ∈时,()0f x '<,即()f x 在区间内递减, 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 在区间内递增. (2)由()23ln f x x ax x =+-,()123f x x a x'=+-, 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-,故()2661x x ax ϕ'=+-, 又()()264610a ∆=-⨯⨯->,故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根,不妨记为1x ,2x ,且12x x <, 又∵12106x x =-<,故120x x <<,当()20,x x ∈时,()0x ϕ'<,()x ϕ递减, 当()2,x x ∈+∞时,()0x ϕ'>,()x ϕ递增, 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-,①又()20x ϕ'=,∴2226610x ax +-=,即222166x a x -=,②将222166x a x -=代入式,得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--, 由题意得3221322x x --=-,即322230x x +-=,即()()222212230x x x -++=,解得21x =, 将21x =代入式中,得56a =-.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.【答案】(1)222x y a -=,3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数);(2)2a =±,432. 【解析】(1)由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=,又cos x ρθ=,sin y ρθ=,得222x y a -=,∴C 的普通方程为222x y a -=, ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+, 由32x =得112y t =+,∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数). (2)将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=,得()()222231230t t a ++-=, 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦,则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数,∵()21223t t a ⋅=-,由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅,得122t t ⋅=, ∵点P 在A 、B 之间,∴120t t ⋅<,∴122t t ⋅=-,即()2232a -=-,解得24a =(满足0∆>),∴2a =±, ∵1212PA PB t t t t -=-=+,又()122231t t +=-, ∴432PA PB -=. 23.【答案】(1)2;(2)1.【解析】(1)()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩,故当1x =-时,函数()f x 有最小值2,∴2t =. (2)由(1)可知22222a b +=,故22124a b +++=,∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭, 当且仅当22122a b +=+=,即21a =,20b =时等号成立,故221112a b +++的最小值为1.。
2019-2020学年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(有答案)
江西省九江市高考数学三模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x<1},N={x|2x>1},则M∩N=()A.∅B.{x|x<0} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}2.复数﹣在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=4,E,F分别为AB,BC的中点,则=()A.9 B.﹣9 C.7 D.﹣74.已知直线l经过圆C:x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心,且坐标原点到直线l的距离为,则直线l的方程为()A.x+2y+5=0 B.2x+y﹣5=0 C.x+2y﹣5=0 D.x﹣2y+3=05.设Sn 是等差数列{an}的前n项和,若S672=2,S1344=12,则S2016=()A.22 B.26 C.30 D.346.设x1=18,x2=19,x3=20,x4=21,x5=22,将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算,则输出的S值及其统计意义分别是()A.S=2,即5个数据的方差为2B.S=2,即5个数据的标准差为2C.S=10,即5个数据的方差为10D.S=10,即5个数据的标准差为107.如图所示,有一条长度为1的线段MN,其端点M,N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动,当点N绕着正方形的四边滑动一周时,MN的中点P所形成轨迹的长度为()A.B.8+π C.D.12+π)满足f(n)=,则f(1)=()8.已知函数f(n)(n∈N+A.97 B.98 C.99 D.1009.高中数学联赛期间,某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人),则A、B入住同一标间的概率为()A.B.C.D.10.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则此多面体的体积等于()A.B.16 C.D.3211.若函数f(x)=cosx+axsinx,x∈(﹣,)存在零点,则实数a的取值范围是()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,0)12.如图所示,已知椭圆C: =1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点,且为定值,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若二项展开式的第三项系数为80,则实数a=_______.14.若函数f(x)的定义域为[﹣2,2],则函数y=f(2x)•ln(2x+1)的定义域为_______.15.已知数列{a n }各项均不为0,其前n 项和为S n ,且a 1=1,2S n =a n a n+1,则S n =_______.16.如图所示,半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中,则此正三棱锥体积的最小值为_______.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中,三边a ,b ,c 所对应的角分别是A ,B ,C ,已知a ,b ,c 成等比数列. (1)若+=,求角B 的值;(2)若△ABC 外接圆的面积为4π,求△ABC 面积的取值范围.18.某工厂为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组检测数据(x 1,y 1)(i=1,2,…6)如表所示: 试销价格x (元) 4 5 6 7 a 9 产品销量y (件) b8483 807568已知变量x ,y 具有线性负相关关系,且x i =39,y i =480,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为:甲y=4x+54;乙y=﹣4x+106;丙y=﹣4.2x+105,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?并求出a ,b 的值;(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则该检测数据是“理想数据“,现从检测数据中随机抽取3个,求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望.19.如图所示,四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 为菱形,∠ABC=60°,PA=PC ,PB=PD=AB . (1)求证:平面PAC ⊥平面ABCD ;(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.20.如图所示,已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,抛物线C 在A ,B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4. (1)求抛物线C 的方程;(2)设M ,N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点,且满足k OM •k ON =k OA •k OB ,求△OMN 面积的取值范围.21.已知函数f (x )=x 2+ax ﹣lnx ,g (x )=e x (a ∈R ).(1)是否存在a 及过原点的直线l ,使得直线l 与曲线y=f (x ),y=g (x )均相切?若存在,求a 的值及直线l 的方程;若不存在,请说明理由; (2)若函数F (x )=在区间(0,1]上是单调函数,求a 的取值范围.四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图所示,直线AB 为圆O 的切线,切点为B ,点C 在圆O 上,∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ,DB 垂直BE 交圆O 于点D . (1)证明:DB=DC ; (2)设圆O 的半径为1,BC=,延长CE 交AB 于点F ,求线段BF 的长.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数,α∈(0,)),以原点O为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ. (1)若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ,求点M 的直角坐标;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,线段AB的中点横坐标为,求直线l的普通方程.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x﹣1|﹣|x+1|.(1)求不等式|f(x)|<1的解集;(2)若不等式|a|f(x)≥|f(a)|对任意a∈R恒成立,求实数x的取值范围.江西省九江市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x<1},N={x|2x>1},则M∩N=()A.∅B.{x|x<0} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}【考点】交集及其运算.【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集;利用交集的定义求出M∩N.【解答】解:N={x|2x>1}={x|x>0}∵M={x|x<1},∴M∩N={X|0<X<1}故选D2.复数﹣在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】化简复数为:a+bi的形式,求出对应点的坐标即可.【解答】解:.对应点的坐标()在第三象限.故选:C.3.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=4,E,F分别为AB,BC的中点,则=()A.9 B.﹣9 C.7 D.﹣7【考点】平面向量数量积的运算.【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来,并根据向量的数量积运算法则计算即可.【解答】解:,故选:D.4.已知直线l经过圆C:x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心,且坐标原点到直线l的距离为,则直线l的方程为()A.x+2y+5=0 B.2x+y﹣5=0 C.x+2y﹣5=0 D.x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系.【分析】求出圆C 的圆心C (1,2),设直线l 的方程为y=k (x ﹣1)+2,由坐标原点到直线l 的距离为,求出直线的斜率,由此能求出直线l 的方程.【解答】解:圆C :x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心C (1,2),∵直线l 经过圆C :x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心,且坐标原点到直线l 的距离为,∴当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=1,此时坐标原点到直线l 的距离为1,不成立; 当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程为y=k (x ﹣1)+2, 且=,解得k=﹣,∴直线l 的方程为y=﹣(x ﹣1)+2,即x+2y ﹣5=0. 故选:C .5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 672=2,S 1344=12,则S 2016=( ) A .22 B .26 C .30 D .34 【考点】等差数列的前n 项和.【分析】由等差数列的性质得S 672,S 1344﹣S 672,S 2016﹣S 1344成等差数列,由此能求出S 2016. 【解答】解:∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 672=2,S 1344=12, 由等差数列的性质得S 672,S 1344﹣S 672,S 2016﹣S 1344成等差数列, 得到:2×10=2+S 2016﹣12, 解得S 2016=30. 故选:C .6.设x 1=18,x 2=19,x 3=20,x 4=21,x 5=22,将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算,则输出的S 值及其统计意义分别是( )A .S=2,即5个数据的方差为2B .S=2,即5个数据的标准差为2C .S=10,即5个数据的方差为10D .S=10,即5个数据的标准差为10【考点】程序框图.【分析】算法的功能是求S=++…+的值,根据条件确定跳出循环的i 值,计算输出S的值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=++…+的值,∵跳出循环的i值为5,∴输出S=×[(18﹣20)2+(19﹣20)2+(20﹣20)2+(21﹣20)2+(22﹣20)2]=×(4+1+0+1+4)=2.故选:A.7.如图所示,有一条长度为1的线段MN,其端点M,N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动,当点N绕着正方形的四边滑动一周时,MN的中点P所形成轨迹的长度为()A.B.8+π C.D.12+π【考点】轨迹方程.【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成,然后根据圆的周长公式进行计算即可求解.【解答】解:由题意,轨迹为四条线段加四个四分之一的圆.如图,四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆,周长为:2π×0.5=π,再加上四个边上滑动为四个等长的线段,长度均为2,合起来就是:2×4+π=8+π.故选:B.8.已知函数f(n)(n∈N)满足f(n)=,则f(1)=()+A.97 B.98 C.99 D.100【考点】函数的值.【分析】由已知条件,利用分段函数的性质推导出f(96)=f[f=97,由此能求出f(1)的值.【解答】解:∵函数f(n)(n∈N)满足f(n)=,+∴f=f[f=98,f(98)=f[f=97,f(97)=f[f=98,f(96)=f[f=97,依此类推,得f(99)=f(97)=…=f(1)=98.故选:B.9.高中数学联赛期间,某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间(每个标间至多住2人),则A、B入住同一标间的概率为()A.B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件总数,再求出A、B入住同一标间包含的基本事件个数,由此能求出A、B入住同一标间的概率.【解答】解:某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间,共有种情形,A、B入住同一标间有种情形,∴A、B入住同一标间的概率为.故选:B.10.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则此多面体的体积等于()A.B.16 C.D.32【考点】由三视图求面积、体积.【分析】如图所示,该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1,即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ,即可得出.【解答】解:如图所示,该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1, 即四棱锥A ﹣BB 1C 1C , ∴.故选:C .11.若函数f (x )=cosx+axsinx ,x ∈(﹣,)存在零点,则实数a 的取值范围是( )A .(0,+∞)B .(1,+∞)C .(﹣∞,﹣1)D .(﹣∞,0)【考点】函数零点的判定定理. 【分析】确定函数是偶函数,a <0,f (x )在上只有一个零点,即可得出结论.【解答】解:∵f (﹣x )=cos (﹣x )﹣axsin (﹣x )=cosx+axsinx=f (x ), ∴函数是偶函数,当a ≥0时,恒成立,函数无零点,当a <0时,,∴函数f (x )在上单调递减,∵,∴f (x )在上只有一个零点,由f (x )是偶函数可知,函数恰有两个零点.故选:D .12.如图所示,已知椭圆C :=1(a >b >0),⊙O :x 2+y 2=b 2,点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点,点P 是⊙O 上的动点,且为定值,则椭圆C 的离心率为( )A .B .C .D .【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设P (x 1,y 1),由是常数,得,然后利用,转化为关于x 1 的方程,由系数相等可得a ,c 的关系式,从而求得椭圆C 的离心率. 【解答】解:设F (﹣c ,0),c 2=a 2﹣b 2, 设P (x 1,y 1),要使得是常数,则有,λ是常数,∵,∴,比较两边系数得b 2a 2=λ(b 2+c 2),a=λc, 故c (b 2+a 2)=a (b 2+c 2),即2ca 2﹣c 3=a 3, 即e 3﹣2e+1=0,即(e ﹣1)(e 2+e ﹣1)=0, 又0<e <1, ∴.故选:D .二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.若二项展开式的第三项系数为80,则实数a=2.【考点】二项式定理的应用.【分析】由条件利用二项展开式的通项公式,求得实数a 的值. 【解答】解:由题意可得二项展开式的第三项系数为,∴10a 3=80,解得a=2, 故答案为:2.14.若函数f (x )的定义域为[﹣2,2],则函数y=f (2x )•ln(2x+1)的定义域为.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由函数f (x )的定义域为[﹣2,2],可得f (2x )的定义域为满足﹣2≤2x ≤2的x 的取值集合,再与2x+1>0的解集取交集即可得到函数y=f (2x )•ln(2x+1)的定义域. 【解答】解:要使原函数有意义,则,解得.∴函数y=f (2x )•ln(2x+1)的定义域为.故答案为:.15.已知数列{a n }各项均不为0,其前n 项和为S n ,且a 1=1,2S n =a n a n+1,则S n =.【考点】数列递推式.【分析】利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出. 【解答】解:当n=1时,2S 1=a 1a 2,即2a 1=a 1a 2,∴a 2=2.当n ≥2时,2S n =a n a n+1,2S n ﹣1=a n ﹣1a n ,两式相减得2a n =a n (a n+1﹣a n ﹣1), ∵a n ≠0,∴a n+1﹣a n ﹣1=2,∴{a 2k ﹣1},{a 2k }都是公差为2的等差数列,又a 1=1,a 2=2, ∴{a n }是公差为1的等差数列, ∴a n =1+(n ﹣1)×1=n , ∴S n =.故答案为:.16.如图所示,半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中,则此正三棱锥体积的最小值为8.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】设棱锥底面边长为a,高为h,作过棱锥的高和斜高的截面,根据三角形相似得出a,h的关系,代入棱锥的体积公式,利用导数求出体积的最小值.【解答】解:设正三棱锥P﹣ABC的底面边长AB=a,高为PO=h.设内切球球心为M,与平面PAC的切点为N,D为AC的中点,则MN⊥PD.DO==.MN=1,PM=h﹣1,∴PN===.∵Rt△PMN∽Rt△PDO,∴,即,∴a=.∴,,令V'=0得h=4,故当h=4时,.故答案为8.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在△ABC中,三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列.(1)若+=,求角B的值;(2)若△ABC外接圆的面积为4π,求△ABC面积的取值范围.【考点】正弦定理;余弦定理.【分析】(1)由切化弦、两角和的正弦公式化简式子,由等比中项的性质、正弦定理列出方程,即可求出sinB,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B;(2)由余弦定理和不等式求出cosB的范围,由余弦函数的性质求出B的范围,由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积,利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围.【解答】解:(1)由题意得,,∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,○由正弦定理有sin2B=sinAsinC,∵A+C=π﹣B,∴sin(A+C)=sinB,得,即,由b2=ac知,b不是最大边,∴.(2)∵△ABC外接圆的面积为4π,∴△ABC的外接圆的半径R=2,由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,得,又b2=ac,∴,当且仅当a=c时取等号,∵B为△ABC的内角,∴,由正弦定理,得b=4sinB,∴△ABC的面积,∵,∴,∴.18.某工厂为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组检测数据(x1,y1)(i=1,2,…6)如表所示:试销价格x(元) 4 5 6 7 a 9 产品销量y(件) b 84 83 80 75 68已知变量x,y具有线性负相关关系,且xi =39, yi=480,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为:甲y=4x+54;乙y=﹣4x+106;丙y=﹣4.2x+105,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?并求出a,b的值;(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则该检测数据是“理想数据“,现从检测数据中随机抽取3个,求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)xi =39, yi=480,x的和为39,y的和为480,解得a和b的值,并求得,,由x,y具有线性负相关关系,甲同学的不对,将,,代入验证,乙同学的正确;(2)分别求出有回归方程求得y值,与实际的y相比较,判断是否为“理想数据“,并求得ξ的取值,分别求得其概率,写出分布列和数学期望.【解答】解:(1)已知变量x,y具有线性负相关关系,故甲不对,且xi=39,4+5+6+7+a+9=39,a=8,y=480,b+84+83+80+75+68=480,b=90,i∵=6.5,=80,将,,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为:y=﹣4x+106;(2)X 4 5 6 7 8 9y 90 84 83 80 75 68y 92 88 84 80 76 72“理想数据“的个数ξ取值为:0,1,2,3;P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.“理想数据“的个数ξ的分布列:X 0 1 2 3P =数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5.19.如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA=PC,PB=PD=AB.(1)求证:平面PAC⊥平面ABCD;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)设AC与BD相交于点O,连接PO,根据三线合一得出PO⊥AC,PO⊥BD,故而PO⊥平面ABCD,得出平面PAC⊥平面ABCD;(2)以O为原点,以OB,OD,OP为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=2,求出和平面PCD的法向量,则|cos<>|即为所求.【解答】(1)证明:设AC与BD相交于点O,连接PO,∵ABCD为菱形,∴O为AC,BD的中点.∵PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.又AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD,又PO⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABCD.(2)解:∵ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形,AC⊥BD,不妨设PB=PD=AB=2,则BO=,∴PO=1.以O为原点,以OB,OD,OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz,∴P(0,0,1),B(,0,0),C(0,1,0),D(﹣,0,0).∴=(,0,﹣1),=(0,1,﹣1),=(﹣,0,﹣1).设平面PCD的法向量为=(x,y,z),则,即.令x=1得=(1,﹣,﹣).∴cos<>===.∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.20.如图所示,已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,抛物线C 在A ,B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4. (1)求抛物线C 的方程;(2)设M ,N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点,且满足k OM •k ON =k OA •k OB ,求△OMN 面积的取值范围.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(1)求出A ,B 坐标,利用导数解出切线方程,求出切线与x 轴的交点,利用三角形的面积列方程解出p ;(2)计算k OA •k OB =﹣4,设出MN 方程,求出MN 与x 轴的交点,联立方程组,根据根与系数的关系计算|y M ﹣y N |,得出△OMN 面积S 关于t 的函数,解出函数的最值. 【解答】解:(1)抛物线的焦点坐标为F (,0),∴,由,得,∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1,由抛物线C 的对称性,知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为﹣1, ∴抛物线过A 点的切线方程为y ﹣p=x ﹣,令y=0得x=﹣. ∴,解得p=2.∴抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)k OA =2,k OB =﹣2,∴k OA •k OB =﹣4,设,则,∴y 1y 2=﹣4.令直线MN 的方程为x=ty+n , 联立方程组消去x 得:y 2﹣4ty ﹣4n=0,则y 1y 2=﹣4n ,y 1+y 2=4t ,∵y 1y 2=﹣4,∴n=1.即直线MN 过点(1,0). ∴.∵t 2≥0,∴S △OMN ≥2.综上所示,△OMN 面积的取值范围是[2,+∞).21.已知函数f (x )=x 2+ax ﹣lnx ,g (x )=e x (a ∈R ).(1)是否存在a 及过原点的直线l ,使得直线l 与曲线y=f (x ),y=g (x )均相切?若存在,求a 的值及直线l 的方程;若不存在,请说明理由; (2)若函数F (x )=在区间(0,1]上是单调函数,求a 的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出f (x ),g (x )的导数,设出切点,求得切线的斜率,运用点斜式方程可得切线的方程,即可判断存在a=e ﹣1及l :y=ex ; (2)求出F (x )的解析式和导数,令,求出导数,判断单调性,再对a 讨论,分a ≤2,a >2,判断h (x )的单调性,进而得到F (x )的单调性,即可得到所求范围. 【解答】解:(1)g (x )的导数为g'(x )=e x , 设曲线y=g (x )在点处切线过原点,则切线方程为,由点在切线上,可得,解得x 1=1,即有切线方程为y=ex ,设直线y=ex 与曲线y=f (x )切于点(x 2,y 2), 由f (x )的导数为,可得,即有,又,则,可得,解得x 2=1,a=e ﹣1.故存在a=e ﹣1及l :y=ex ,使得直线l 与曲线y=f (x ),y=g (x )均相切. (2),,令,则,易知h'(x )在(0,1]上单调递减,从而h'(x )≥h'(1)=2﹣a .①当2﹣a ≥0时,即a ≤2时,h'(x )≥0,h (x )在区间(0,1]上单调递增, 由h (1)=0,可得h (x )≤0在(0,1]上恒成立, 即F'(x )≤0在(0,1]上恒成立.即F (x )在区间(0,1]上单调递减,则a ≤2满足题意;②当2﹣a <0时,即a >2时,由h'(1)=2﹣a <0,当x >0且x→0时,h'(x )→+∞, 故函数h'(x )存在唯一零点x 0∈(0,1],且h (x )在(0,x 0)上单调递增, 在(x 0,1)上单调递减,又h (1)=0,可得F (x )在(x 0,1)上单调递增.注意到h (e ﹣a )<0,e ﹣a ∈(0,x 0),即有F (x )在(0,e ﹣a )上单调递减, 这与F (x )在区间(0,1]上是单调函数矛盾,则a >2不合题意. 综合①②得,a 的取值范围是(﹣∞,2].四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图所示,直线AB 为圆O 的切线,切点为B ,点C 在圆O 上,∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ,DB 垂直BE 交圆O 于点D . (1)证明:DB=DC ; (2)设圆O 的半径为1,BC=,延长CE 交AB 于点F ,求线段BF 的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(1)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.(2)由(1)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG=.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到线段BF的长【解答】(1)证明:连接DE交BC于点G,由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.又∵DE⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=90°.∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.(2)解:设DE与BC相交于点G,由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线.∵,∴.连接BO,∵圆O的半径为1,∴∠BOG=60°,∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,∴CF⊥BF.,∴.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,α∈(0,)),以原点O 为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M,求点M的直角坐标;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,线段AB的中点横坐标为,求直线l的普通方程.【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得C 的直角坐标方程.把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0.令△=0,解出即可得出点M的直角坐标.(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=6cosα.利用中点坐标公式即可得出.【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得C的直角坐标方程为:x2﹣4x+y2=0,即(x﹣2)2+y2=4.把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0.令△=(6cosα)2﹣20=0,解得.∴点M的直角坐标为.(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=6cosα.线段AB的中点对应的参数为.则,解得.∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x﹣1|﹣|x+1|.(1)求不等式|f(x)|<1的解集;(2)若不等式|a|f(x)≥|f(a)|对任意a∈R恒成立,求实数x的取值范围.【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.【分析】(1)利用绝对值的几何意义,求不等式|f(x)|<1的解集;(2)若不等式|a|f(x)≥|f(a)|对任意a∈R恒成立,分类讨论,转化为|f(x)|≥2,求实数x的取值范围.【解答】解:(1)x<﹣1时,f(x)=﹣x+1+x+1=2<1,不成立;﹣1≤x≤1时,f(x)=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x,|﹣2x|<1,∴﹣<x<;x>1时,f(x)=x﹣1﹣x﹣1=﹣2,|f(x)|>1,不成立,综上所述不等式|f(x)|<1的解集为{x|﹣<x<};(2)a=0时,不等式成立,a≠0时,|f(x)|≥||1﹣|﹣|1+||∵||1﹣|﹣|1+||<2,∴|f(x)|≥2,x<﹣1时,f(x)=﹣x+1+x+1=2,成立;﹣1≤x≤1时,f(x)=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x,|﹣2x|≥2,∴x=±1;x>1时,f(x)=x﹣1﹣x﹣1=﹣2,|f(x)|=2,成立,综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}.。
(完整word版)2019年高考数学理科试卷全国一卷Word版和PDF版。
2019年高考理科数学全国一卷一、单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1.已知集合M={x |-4<x <2},N={x |-x -6<0},则M∩U =A{x |-4<x <3} B{x |-4<x <-2} C{x |-2<x <2} D{x |2<x <3}2.设复数z 满足|z -i|=1,z 在复平面内对应的点为(x ,y),则A BC D 3.已知a =2.0log 2,b =2.02,c =3.02.0,则 A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈称之为黄金分割.618.021-521-5,著名的“断臂维纳斯”便是如此。
此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是21-5 。
若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm5.函数()][ππ,的-cos sin 2xx x x x f ++=图像大致为 A BC D6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”,右图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.165B.3211C.3221D.1611 7.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为 A.6π B.3π C.32π D.65π8.右图是求212121++的程序框图,图中空白框中应填入 A.A A +=21 B.A A 12+= C.A A 211+= D.A A 211+= 9.记n S 为等差数列{n a }的前n项和.已知5054==a S ,,则A.52-=n a nB.103-=n a nC.n n S n 822-=D.n n S n 2212-= 10.已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点,若122,2BF AB B F AF ==,则C 的方程为A.1222=+y xB.12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x 11.关于函数x x x f sin sin )(+=有下述四个结论:①)(x f 是偶函数 ②)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2单调递增 ③)(x f 是在[]ππ,-有4个零点 ④)(x f 最大值是2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC ,△ABC 是连长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点∠CEF =90o ,则球O 的体积为A.π68B.π64C.π62D.π6二、填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理):专题11 算法初步(含解析)
专题11 算法初步1.【2019年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为A .5B .8C .24D .29【答案】B【分析】根据程序框图,逐步写出运算结果即可.【解析】1,2S i ==;11,1225,3j S i ==+⨯==;8,4S i ==,结束循环,输出8S =.故选B .【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体. 2.【2019年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图,输出的s 值为A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【解析】初始:1s =,1k =,运行第一次,2212312s ⨯==⨯-,2k =,运行第二次,2222322s ⨯==⨯-,3k =,运行第三次,2222322s ⨯==⨯-,结束循环,输出2s =,故选B .【名师点睛】本题考查程序框图,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A .12A A =+ B .12A A =+C .112A A=+D .112A A=+【答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图,渗透阅读、分析与解决问题等素养,认真分析式子结构特征与程序框图结构,即可找出作出选择.【解析】初始:1,122A k ==≤,因为第一次应该计算1122+=12A +,1k k =+=2; 执行第2次,22k =≤,因为第二次应该计算112122++=12A +,1k k =+=3, 结束循环,故循环体为12A A=+,故选A .【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点,可知循环体为12A A=+.4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】执行下边的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值等于A .4122- B .5122-C .6122-D .7122-【答案】C【分析】根据程序框图,结合循环关系进行运算,可得结果. 【解析】输入的ε为0.01,11,01,0.01?2x s x ==+=<不满足条件; 1101,0.01?24s x =++=<不满足条件;⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<满足条件,结束循环;输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-,故选C .【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算,根据计算精确度确定数据分析. 5.【2019年高考江苏卷】下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是______________.【答案】5【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可. 【解析】执行第一次,1,1422x S S x =+==≥不成立,继续循环,12x x =+=; 执行第二次,3,2422x S S x =+==≥不成立,继续循环,13x x =+=; 执行第三次,3,342xS S x =+==≥不成立,继续循环,14x x =+=;执行第四次,5,442xS S x =+==≥成立,输出 5.S =【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构;(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题;(3)按照题目的要求完成解答并验证.6.【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查】在如图所示的计算1592017++++L 的程序框图中,判断框内应填入的条件是A .2017?i ≤B .2017?i <C .2013?i <D .2021?i ≤【答案】A【解析】由题意结合流程图可知当2017i =时,程序应执行S S i =+,42021i i =+=, 再次进入判断框时应该跳出循环,输出S 的值;结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是2017?i ≤.故选A .7.【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试】根据如图所示的程序框图,当输入的x 值为3时,输出的y 值等于A .1B .eC .1e -D .2e -【答案】C【解析】由题3x =,231x x =-=-,此时0x >,继续运行,1210x =-=-<,程序运行结束,得1e y -=,故选C .8.【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷(六)】执行如图所示的程序框图,则输出的值为A .4B .5C .6D .7【答案】C【解析】由题可得3,27,315,431,563,6S i S i S i S i S i ==→==→==→==→==, 此时结束循环,输出6i =,故选C .9.【山东省济宁市2019届高三二模】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于A .30B .31C .62D .63【答案】B【解析】由流程图可知该算法的功能为计算123412222S =++++的值,即输出的值为512341(12)122223112S ⨯-=++++==-.故选B .10.【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】执行如图所示的程序框图,若输出结果为1,则可输入的实数x 值的个数为A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】根据程序框图的含义,得到分段函数221,2log ,2x x y x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,分段解出关于x 的方程,即可得到可输入的实数x 值的个数.【解析】根据题意,该框图的含义是:当2x ≤时,得到函数21y x =-;当2x >时,得到函数2log y x =, 因此,若输出的结果为1时,若2x ≤,得到211x -=,解得x = 若2x >,得到2log 1x =,无解,因此,可输入的实数x 的值可能为2个.故选B . 11.【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图所示的程序框图所实现的功能是A .输入a 的值,计算2021(1)31a -⨯+的值B .输入a 的值,计算2020(1)31a -⨯+的值C .输入a 的值,计算2019(1)31a -⨯+的值D .输入a 的值,计算2018(1)31a -⨯+的值 【答案】B【解析】由程序框图,可知1a a =,132n n a a +=-,由i 的初值为1,末值为2019, 可知,此递推公式共执行了201912020+=次,又由132n n a a +=-,得113(1)n n a a +-=-,得11(1)3n n a a --=-⨯即1(1)31n n a a -=-⨯+,故2021120202021(1)31(1)31a a a -=-⨯+=-⨯+,故选B . 12.【山西省2019届高三考前适应性训练(二模)】执行如图所示的程序框图,则输出x 的值为A.2-B.1 3 -C.12D.3【答案】A【分析】根据程序框图进行模拟运算得到x的值具备周期性,利用周期性的性质进行求解即可.【解析】∵12x=,∴当1i=时,13x=-;2i=时,2x=-;3i=时,3x=,4i=时,12x=,即x的值周期性出现,周期数为4,∵201850442=⨯+,则输出x的值为2-,故选A.【名师点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,结合条件判断x的值具备周期性是解决本题的关键,属于中档题.13.【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考】若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是A .5B .4C .3D .2【答案】B【分析】模拟执行循环结构的程序得到n 与i 的值,计算得到2n =时满足判断框的条件,退出循环,输出结果,即可得到答案.【解析】模拟执行循环结构的程序框图, 可得:6,1n i ==, 第1次循环:3,2n i ==; 第2次循环:4,3n i ==; 第3次循环:2,4n i ==,此时满足判断框的条件,输出4i =.故选B .【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,其中解答中根据给定的程序框图,根据判断框的条件推出循环,逐项准确计算输出结果是解答的关键,着重考查了考生的运算与求解能力,属于基础题.14.【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研】下图是一个算法流程图.若输出 的值为4,则输入x 的值为______________.【答案】1-【解析】当1x ≤时,由流程图得3y x =-, 令34y x =-=,解得1x =-,满足题意. 当1x >时,由流程图得3y x =+, 令34y x =+=,解得1x =,不满足题意. 故输入x 的值为1-.15.【北京市人大附中2019届高三高考信息卷(三)】执行如图所示的程序框图,若输入x 值满足24x -<≤,则输出y 值的取值范围是______________.【答案】[3,2]-【解析】根据输入x 值满足24x -<≤,利用函数的定义域,分成两部分:即22x <<﹣和24x ≤≤,当22x <<﹣时,执行23y x =- 的关系式,故31y -≤<,当24x ≤≤时,执行2log y x =的关系式,故12y ≤≤. 综上所述:[3,2]y ∈-,故输出y 值的取值范围是[3,2]-.。
大庆市2019届高三第一次模拟考试数学(理科)含答案解析
【分析】利用两角和的正弦公式化简f(x),然后由f(x0)=0求得[0, ]内的x0的值.
【解答】解:∵曲线f(x)=sin(wx)+ cos(wx)=2sin(wx+ )的两条相邻的对称轴之间的距离为 ,
∴ =π,
∴w=2
∴f(x)=2sin(2x+ ).
∵f(x)的图象关于点(x0,0)成中心对称,
【解答】解:函数f(x)=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′(x)=3x2﹣2x﹣1,
当x>1或x<﹣ 时,f′(x)>0,f(x)递增;
当﹣ <x<1时,f′(x)<0,f(x)递减.
即有f(1)为极小值,f(﹣ )为极大值.
∵f(x)在(﹣∞,﹣ )上单调递增,
∴当x→﹣∞时,f(x)→﹣∞;
又f(x)在(1,+∞)单调递增,当x→+∞时,f(x)→+∞,
构造函数g(x)=x3+2x﹣ ,则问题转化为g(x)在x∈[﹣1,1]上的零点个数,
求导数可得g′(x)=3x2+2>0,故函数g(x)在x∈[﹣1,1]上单调递增,
由g(﹣1)g(1)<0,故函数g(x)在x∈[﹣1,1]上有唯一一个零点.
故选:A.
【点评】本题考查定积分的运算,涉及转化和数形结合的思想,属中档题.
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内,又由直线m⊂平面β,所以l与m,可以平行,相交,异面;故②为假命题;
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α,又由直线m⊂平面β可得α⊥β;即③为真命题;
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内,又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交,即④为假命题.
2019年湖南师大附中、长沙一中、雅礼中学、长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2019年湖南师大附中、长沙一中、雅礼中学、长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.a为正实数,i为虚数单位,|a+i|=2,则a=()iA.2B.√3C.√2D.1【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】化为m+ni(m, n∈R)的形式,再根据|m+ni|=根据复数的运算法则,我们易将a+ii√m2+n2,我们易构造一个关于a的方程,解方程即可得到a的值.【解答】=1−ai,解:∵a+ii∴|a+i|=|1−ai|=√1+a2=2.i即a2=3.由a为正实数,解得a=√3,故选B.∈Z},B={x|x2−4x−5≤0},则A∩B=()2. 已知集合A={x∈Z|123+xA.{−1, 0, 1, 3}B.{−1, 0, 1, 2}C.{−1, 0, 1}D.{0, 1, 2, 3}【答案】A【考点】交集及其运算【解析】可解出集合A,B,然后进行交集的运算即可.【解答】A={−15, −9, −7, −6, −5, −4, −2, −1, 0, 1, 3, 9},B={x|−1≤x≤5};∴A∩B={−1, 0, 1, 3}.3.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是()A.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个B. 与去年同期相比,2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省【答案】A【考点】用样本的频率分布估计总体分布【解析】2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和山东.【解答】解:由2017年第一季度五省GDP情况图,知:在A中,2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和山东,共2个,故A错误;在B中,与去年同期相比,2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长,故B正确;在C中,去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元,故C正确;在D中,2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省,故D正确.故选A.4. 设0≤x≤2π,且√1−sin2x=sinx−cosx,则()A.0≤x≤πB.π4≤x≤7π4C.π4≤x≤5π4D.π2≤x≤3π2【答案】C【考点】二倍角的正弦公式同角三角函数基本关系的运用三角函数值的符号【解析】已知等式变形后,利用二次根式的性质判断出sinx大于等于cosx,即可求出x的范围.【解答】解:∵√1−sin2x=√sin2x+cos2x−2sinxcosx=√(sinx−cosx)2=|sinx−cosx|=sinx−cosx,∴ sinx−cosx≥0,即sinx≥cosx,∵0≤x≤2π,∴π4≤x≤5π4.故选C.5. 设x,y,z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x,y,z均为直线;②x,y是直线,z是平面;③z是直线,x,y是平面;④x,y,z均为平面.其中使“x⊥z且y⊥z⇒x // y”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②【答案】C【考点】命题的真假判断与应用平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】①举反例,如直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例,如X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时.【解答】解:①当直线x,y,z位于正方体的三条共点棱时,不正确.②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确.③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确.④如x,y,z位于正方体的三个共点侧面时,不正确.故选C.6. 已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x−1),若f(2)=2,则f(2019)的值为()A.2B.0C.−2D.±2【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数的奇偶性,建立方程关系求出f(x)是周期为4的周期函数,结合函数的周期性进行转化求解即可.【解答】∵f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x−1),∴g(−x)=−g(x),即f(−x−1)=−f(x−1)=f(x+1),即−f(x)=f(x+2),则f(x+4)=−f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,若f(2)=2,则f(2019)=f(2020−1)=f(−1)=g(0)=0,7.若(3x+x√x)n(n∈N∗)的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则∫a−a√a2−x2dx=( )A.36πB.81π2C.25π2D.25π【答案】C【考点】二项式定理的用法微积分基本定理【解析】利用二项式定理的通项公式可得n的最小值,再利用微积分基本定理及其定积分几何意义即可得出.【解答】解:(3x+x√x)n(n∈N∗)的展开式的通项为T r+1=C n r(3x)n−r(x√x )r=3n−r C n r x n−52r,r=0,1,⋯,n,因为展开式中含有常数项,所以n−52r=0,即r=25n为整数,故n的最小值为5.∴a=5.所以∫a−a√a 2−x 2dx =∫5−5√25−x 2dx=12×π×52=25π2.故选C .8. 已知向量a →与b →的夹角为θ,定义a →×b →为a →与b →的“向量积”,且a →×b →是一个向量,它的长度|a →×b →|=|a →||b →|sinθ,若u →=(2, 0),u →−v →=(1, −√3),则|u →×(u →+v →)|=( )A.4√3B.√3C.6D.2√3【答案】 D【考点】平面向量数量积的运算 向量的模同角三角函数间的基本关系 【解析】利用数量积运算和向量的夹角公式可得cos <u →,u →+v →>=u →⋅(u →+v →)|u →||u →+v →|.再利用平方关系可得sin <u →,u →+v →>,利用新定义即可得出. 【解答】解:由题意v →=u →−(u →−v →)=(1,√3), 则u →+v →=(3,√3),∴ (u →+v →)⋅u →=6,|u →+v →|=√32+(√3)2=2√3,|u →|=2. ∴ cos <u →,u →+v →>=u →⋅(u →+v →)|u →||u →+v →|=2×2√3=√32. 即cos <u →,u →+v →>=√32,得sin <u →,u →+v →>=12, 由定义知|u →×(u →+v)→|=|u →|⋅|u →+v →|sin <u →,u →+v →> =2×2√3×12=2√3, 故选D .9. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1(−e, 0),F 2(e, 0),以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ,若直线PF 2与圆E :(x −c2)2+y 2=b 216相切,则双曲线的渐近线方程是( )A.y =±xB.y =±√2xC.y =±√3xD.y =±2x 【答案】 D【考点】 双曲线的特性 【解析】求出|PF 1|=4r =b ,所以|PF 2|=2a +b ,因此b 2+(2a +b)2=4c 2,即可求出双曲线的渐近线方程. 【解答】解:设切点为M ,则EM // PF 1,又F 2E F 2F 1=14, 所以|PF 1|=4r =b , 所以|PF 2|=2a +b ,因此b 2+(2a +b)2=4c 2,所以b =2a ,所以渐近线方程为y =±2x . 故选D .10. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0, |φ|<π)的一个零点是π3,函数y =f(x)图象的一条对称轴是x =−π6,则ω取得最小值时,函数f(x)的单调增区间是( ) A.[3kπ−π3, 3kπ−π6],k ∈Z B.[3kπ−5π3, 3kπ−π6],k ∈Z C.[2kπ−2π3, 2kπ−π6],k ∈ZD.[2kπ−π3, 2kπ−π6],k ∈Z 【答案】 B【考点】正弦函数的图象 【解析】根据函数f(x)的一个零点是x =π3,得出f(π3)=0,再根据直线x =−π6是函数f(x)图象的一条对称轴,得出−π6ω−φ=π2+kπ,k ∈Z ;由此求出ω的最小值与对应φ的值,写出f(x),求出它的单调增区间即可. 【解答】函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1的一个零点是x =π3, ∴ f(π3)=2sin(π3ω+φ)−1=0, ∴ sin(π3ω+φ)=12,∴ π3ω+φ=π6+2kπ或π3ω+φ=56π+2kπ,k ∈Z ; 又直线x =−π6是函数f(x)图象的一条对称轴, ∴ −π6ω+φ=π2+kπ,k ∈Z ; 又ω>0,|φ|<π,∴ ω的最小值是23,φ=1118π, ∴ f(x)=2sin(23x +1118π)−1; 令−π2+2kπ≤23x +1118π≤3π2+2kπ,k ∈Z ,∴ −5π3+3kπ≤x ≤−π6+3kπ,k ∈Z ;∴ f(x)的单调增区间是[−5π3+3kπ, −π6+3kπ],k ∈Z .11. 已知边长为2√3的菱形ABCD 中,∠BAD =60∘,沿对角线BD 折成二面角A −BD −C 为120∘的四面体ABCD ,则四面体的外接球的表面积为( ) A.25π B.26π C.27π D.28π 【答案】 D【考点】球的体积和表面积 球内接多面体 【解析】正确作出图形,利用勾股定理建立方程,求出四面体的外接球的半径,即可求出四面体的外接球的表面积. 【解答】如图所示,∠AFC =120∘,∠AFE =60∘,AF =√32×2√3=3,∴ AE =3√32,EF =32设OO′=x ,则∵ O′B =2,O′F =1,∴ 由勾股定理可得R 2=x 2+4=(32+1)2+(3√32−x)2,∴ R 2=7,∴ 四面体的外接球的表面积为4πR 2=28π,12. 已知函数f(x)=(2a +2)lnx +2ax 2+5.设a <−1,若对任意不相等的正数x 1,x 2,恒有|f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2|≥8.则实数a 的取值范围是( )A.(−3, −1)B.(−2, −1)C.(−∞, −3]D.(−∞, −2] 【答案】 D【考点】函数恒成立问题 【解析】求解f(x)的导函数,研究其单调性,对任意不相等的正数x 1,x 2,构造新函数,在讨论其单调性即可得解 【解答】函数f(x)=(2a +2)lnx +2ax 2+5. ∴ f′(x)=2a+2x+4ax =2(2ax 2+a+1)x当a <−1,可得f′(x)<0,可得f(x)在(0, +∞)单调递减. 不妨设x 1<x 2.对任意不相等的正数x 1,x 2,恒有|f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2|≥8.即f(x 1)−f(x 2)≥−8x 1+8x 2 令g(x)=f(x)+8x ; 则g′(x)=2a+2x+4ax +8,可得g(x)在(0, +∞)单调递减.即2a+2x+4ax +8≤0;从而可得a ≤−4x−12x 2+1=(2x−1)22x 2+1−2;可知a ≤−2.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.设变量x ,y 满足约束条件:{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3 .则目标函数z =2x +3y 的最小值为________. 【答案】 7【考点】 简单线性规划 【解析】先根据条件画出可行域,设z =2x +3y ,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y 轴上的截距,只需求出直线z =2x +3y ,过可行域内的点B(1, 1)时的最小值,从而得到z 最小值即可. 【解答】设变量x 、y 满足约束条件 {x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3,在坐标系中画出可行域△ABC ,A(2, 1),B(4, 5),C(1, 2),当直线过A(2, 1)时,目标函数z=2x+3y的最小,最小值为7.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为________.【答案】13【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=3×3=9,田忌的马获胜包含的基本事件有:m=3种,由此能求出田忌的马获胜的概率.【解答】现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,基本事件总数n=3×3=9,田忌的马获胜包含的基本事件有:m=3种,∴田忌的马获胜的概率p=mn =39=13.过抛物线C:y2=2Px(P>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若|MN|=√33|AB|,则l的斜率为________√3.【答案】√3.【考点】抛物线的性质【解析】分别过A,B,N作抛物线的准线的垂涎,垂足分别为A′,B′,N′,由抛物线的定义知|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|NN′|=12(|AA′|+|BB′|)=12|AB|,因为|MN|=√33|AB|,所以|NN′|=√32|MN|,所以∠MNN′=30∘,即直线MN的倾斜角为150∘,再得l的倾斜角和斜率.【解答】分别过A,B,N作抛物线的准线的垂涎,垂足分别为A′,B′,N′,由抛物线的定义知|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|NN′|=12(|AA′|+|BB′|)=12|AB|,因为|MN|=√33|AB|,所以|NN′|=√32|MN|,所以∠MNN′=30∘,即直线MN的倾斜角为150∘,又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角,所以直线l的倾斜角为60∘,k AB=√3.如图,已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC,O为半圆的圆心,OC=65,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧,现要在这块材料上裁出一个直角三角形,若该直角三角形一条边在BC上,则裁出三角形面积的最大值为________.【答案】3√32【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】分两种情况进行讨论:(1)斜边在BC上,设∠PBC=θ,则:θ∈(0, π2),若在直角边BC上,设∠POH=θ,则:θ∈(0,π2),进一步利用导数的应用和三角函数关系式的恒等变换和函数的单调区间的应用,求出函数的最大值.【解答】根据题意分两种情况:(1)当斜边在BC上,设∠PBC=θ,则:θ∈(0, π2),所以:PB=165cosθ,PC=165sinθ,从而S=12⋅165cosθ⋅165sinθ=6425sin2θ≤6425.当θ=π4,S max=6425,此时PH=85(符合条件).(2)若在直角边BC上,设∠POH=θ,则:θ∈(0,π2),则:PH=2sinθ,OH=2cosθ.由OH≤OC=65,知:cosθ≤35所以:S(θ)=12⋅(2+2cosθ)⋅2sinθ=2sinθ(1+cosθ),则:S′(θ)=2(cosθ+1)(2cosθ−1),当θ∈(0,π3)时,S′(θ)>0,所以:S(θ)单调递增.θ∈(π3,π2)时,S′(θ)<0,所以:S(θ)单调递减.:S(θ)≤S(π3)=3√32>6425.当θ=π3时,即cosθ=12时,S(θ)最大,综上所述:S max=3√32.故答案为:3√32三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,9a12=8a1+1,公差d>0,S1、S4、S16成等比数列,数列{b n}满足log2b n=(a n−1)log2√x.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)已知c n=1a n a n+1,求数列{c n+b n}的前n项和T n∗【答案】等差数列{a n}的前n项和为S n,9a12=8a1+1,公差d>0,所以:S1=a1,S4=4a1+6d,S16=16a1+120d,由于S1、S4、S16成等比数列,所以:(4a1+6d)2=a1(16a1+120d),解得:d=2a1由于9a12=8a1+1,解得:a1=1−19().所以:d=2.则:a n=2n−1.又log2b n=(a n−1)log2√x,整理得:b n=x n−1(x>0).由于:c n=1a n a n+1,所以:c n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),所以:当x=1时,=12(1−12n+1)+n,当x≠1时,T n=12(1−13+⋯+12n−1−12n+1)+(1−x n1−x),=12(1−12n+1)+1−x n1−x.【考点】数列的求和【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式,(2)利用分类讨论思想和裂项相消法求出数列的和.【解答】等差数列{a n}的前n项和为S n,9a12=8a1+1,公差d>0,所以:S1=a1,S4=4a1+6d,S16=16a1+120d,由于S1、S4、S16成等比数列,所以:(4a1+6d)2=a1(16a1+120d),解得:d=2a1由于9a12=8a1+1,解得:a1=1−19().所以:d=2.则:a n=2n−1.又log2b n=(a n−1)log2√x,整理得:b n=x n−1(x>0).由于:c n=1a n a n+1,所以:c n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),所以:当x=1时,T n=12(1−13+⋯+12n−1−12n+1)+(1+1+1+⋯+1),=12(1−12n+1)+n,当x≠1时,T n=12(1−13+⋯+12n−1−12n+1)+(1−x n1−x),=12(1−12n+1)+1−x n1−x.如图,在四棱锥P−ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB // CD,PC⊥底面ABCD,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是PB的中点.(1)求证:平面EAC ⊥平面PBC ;(2)若二面角P −AC −E 的余弦值为√63,求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【答案】解:(1)∵ PC ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴ AC ⊥PC .∵ AB =4,AD =CD =2, ∴ ACBC2√2.∴ AC 2+BC 2AB 2, ∴ AC ⊥BC . 又BC ∩PCC ,∴ AC ⊥平面PBC . ∵ AC ⊂平面EAC ,∴ 平面EAC ⊥平面PBC .(2)如图,以点C 为原点,DA →,CD →,CP →分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向, 建立空间直角坐标系,则C(0, 0, 0),A(2, 2, 0),B(2, −2, 0). 设P(0, 0, 2a)(a >0),则E(1, −1, a),CA →=(2, 2, 0),CP →=(0, 0, 2a),CE →=(1, −1, a).则m →⋅CA →=m →⋅CP →=0,m →为平面PAC 的法向量 设n →=(x, y, z)为平面EAC 的法向量,则n →⋅CA →=n →⋅CE →=0,即{x +y =0,x −y +az =0, 取x =a,y =−a,z =−2, 则n →=(a, −a, −2),依题意,|cos <m →,n →>| =|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√a 2+2=√63, 则a =2.于是n →(2, −2, −2),PA →=(2, 2, −4) 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ,则sinθ|cosPA →,n →|=|PA →⋅n →||PA →|⋅|n →|=√23, 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为√23.【考点】平面与平面垂直用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面所成的角平面与平面之间的位置关系 【解析】(Ⅰ)证明AC ⊥PC .AC ⊥BC .通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC ⊥平面PBC .(Ⅱ)如图,以点C 为原点,DA →,CD →,CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标以及面PAC 的法向量.面EAC 的法向量,通过二面角P −AC −E 的余弦值为√63,求出直线PA 的向量,利用向量的数量积求解直线PA 与平面EAC所成角的正弦值即可. 【解答】解:(1)∵ PC ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴ AC ⊥PC .∵ AB =4,AD =CD =2, ∴ ACBC2√2.∴ AC 2+BC 2AB 2, ∴ AC ⊥BC . 又BC ∩PCC ,∴ AC ⊥平面PBC .∴ 平面EAC ⊥平面PBC .(2)如图,以点C 为原点,DA →,CD →,CP →分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向, 建立空间直角坐标系,则C(0, 0, 0),A(2, 2, 0),B(2, −2, 0). 设P(0, 0, 2a)(a >0),则E(1, −1, a),CA →=(2, 2, 0),CP →=(0, 0, 2a),CE →=(1, −1, a). 取m →=(1, −1, 0),则m →⋅CA →=m →⋅CP →=0,m →为平面PAC 的法向量, 设n →=(x, y, z)为平面EAC 的法向量,则n →⋅CA →=n →⋅CE →=0,即{x +y =0,x −y +az =0, 取x =a,y =−a,z =−2, 则n →=(a, −a, −2),依题意,|cos <m →,n →>| =|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√a 2+2=√63, 则a =2.于是n →(2, −2, −2),PA →=(2, 2, −4) 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ, 则sinθ|cos <PA →,n →>| =|PA →⋅n →||PA →|⋅|n →|=√23, 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为√23.已知圆M:(x +2√3)2+y 2=64及定点N(2√3,0),点A 是圆M 上的动点,点B 在NA 上,→→→→(1)求曲线C的方程;(2)设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点,与直线y=12x和y=−12x分别交于P、Q两点,当k|>12时,求△OPQ(O为坐标原点)面积的取值范围.【答案】已知圆M:(x+2√3)2+y2=64及定点N(2√3,0),点A是圆M上的动点,点B在NA上,点G在MA上,且满足NA→=2NB→,GB→⋅NA→=0,B为AN的中点,且GB⊥AN,得GB是线段AN的中垂线,∴|AG|=|GN|,又|GM|+|GN|=|GM|+|GA|=|AM|=8>4 √3=|MN|∴点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆;设椭圓方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)则a=4,c=2√3,∴b=√a2−c2=2所以曲线C的方程为:x216+y24=1直线1:y=kx+m(k≠士12)则由题意y=kx+m与x216+y24=1联立方程组;消去y,可得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2−16=0;因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以△=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−16)=0,即m2=16k2+4.①又由:y=kx+m与x−2y=0可得P (2m1−2k , m1−2k);同理可得Q(−2m1+2k , m 1+2k)由原点O到直线PQ的距离为d=√1+k2和|PQ|=√1+k2|x P−x Q|,S△OPQ=12d|PQ|=√1+k2√1+k2|x P−x Q|=|2m21−4k2|;②将①代入②可得:S△OPQ=12d|PQ|=√1+k2√1+k2|x P−x Q|=|2m21−4k2|=8|4k2+14k2−1|;当k2>14时,S△OPQ=8|4k2+14k2−1|=8(4k2+14k2−1)=8(1+24k2−1)>8;综上,△OPQ面积的取值范围是(8, +∞).【考点】轨迹方程【解析】(1)利用题意和椭圆的定义求解,(2)利用直线与圆锥曲线的位置关系联立方程组表达三角形的面积可求范围.已知圆M:(x+2√3)2+y2=64及定点N(2√3,0),点A是圆M上的动点,点B在NA上,点G在MA上,且满足NA→=2NB→,GB→⋅NA→=0,B为AN的中点,且GB⊥AN,得GB是线段AN的中垂线,∴|AG|=|GN|,又|GM|+|GN|=|GM|+|GA|=|AM|=8>4 √3=|MN|∴点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆;设椭圓方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)则a=4,c=2√3,∴b=√a2−c2=2所以曲线C的方程为:x216+y24=1直线1:y=kx+m(k≠士12)则由题意y=kx+m与x216+y24=1联立方程组;消去y,可得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2−16=0;因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以△=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−16)=0,即m2=16k2+4.①又由:y=kx+m与x−2y=0可得P (2m1−2k , m1−2k);同理可得Q(−2m1+2k , m 1+2k)由原点O到直线PQ的距离为d=√1+k2和|PQ|=√1+k2|x P−x Q|,S△OPQ=12d|PQ|=√1+k2√1+k2|x P−x Q|=|2m21−4k2|;②将①代入②可得:S△OPQ=12d|PQ|=√1+k2√1+k2|x P−x Q|=|2m21−4k2|=8|4k2+14k2−1|;当k2>14时,S△OPQ=8|4k2+14k2−1|=8(4k2+14k2−1)=8(1+24k2−1)>8;综上,△OPQ面积的取值范围是(8, +∞).超级病菌是一种耐药性细菌,产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多,但是由于滥用抗生素的现象不断的发生,很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性,更可怕的是,抗生素药物对它起不到什么作用,病人会因为感染而引起可怕的炎症,高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌,需要检验血液是否为阳性,现有n(n∈N∗)份血液样本,每个样本取到的可能性均等,有以下两种检验方式:(1)逐份检验,则需要检验n次;(2)混合检验,将其中k(k∈N∗且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,这k份的血液全为阴性,因而这k份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性,就要对这k份再逐份检验,此时这k份血液的检验次数总共为k+l次,假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p(0<(1)假设有5份血液样本,其中只有2份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率;(2)现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为ξ1,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为ξ2(i)试运用概率统计的知识,若Eξ1=Eξ2,试求p 关于k 的函数关系式P =f(k);(ii)若p =1√e 3,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少,求k 的最大值.参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln4≈1.3863,ln5≈1.6094,ln6≈1.7918. 【答案】设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A , 则P(A)=A 22A 55=110,∴ 恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110. (i)由已知得Eξ1=k ,ξ的所有可能取值为1,k +1,∴ P(ξ2=1)=(1−p)k ,p(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ,∴ E(ξ2)=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]=k +1−k(1−p)k , 若E(ξ1)=E(ξ2),则k =k +1−k(1−p)k =1, (1−p)k =1k , ∴ 1−p =(1k)1k,∴ p =1−(1k)1k.∴ p 关于k 的函数关系式为p =f(k)=1−(1k)1k,(k ∈N ∗,且k ≥2).(ii)由题意知E(ξ1)<E(ξ2),得1k <(1−p)k , ∵ p =1−√e 3,∴ 1k <(√e 3)k ,∴ lnk >13k ,设f(x)=lnx −13x ,(x >0),∴ 当x >3时,f′(x)<0,即f(x)在(3, +∞)上单调增减, 又ln4≈1.3863,43≈1.3333,∴ ln4>43,ln5≈1.6094,53≈1.6667,∴ ln5<53,∴ k 的最大值为4. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合能求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.(2)(i)由已知得Eξ1=k ,ξ的所有可能取值为1,k +1,求出P(ξ2=1)=(1−p)k ,p(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ,从而E(ξ2)=k +1−k(1−p)k ,由E(ξ1)=E(ξ2),能求出p 关(ii)由E(ξ1)<E(ξ2),得1k <(1−p)k ,推导出lnk >13k ,设f(x)=lnx −13x ,(x >0),当x >3时,f′(x)<0,即f(x)在(3, +∞)上单调增减,由此能求出k 的最大值. 【解答】设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A , 则P(A)=A 22A 55=110,∴ 恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110. (i)由已知得Eξ1=k ,ξ的所有可能取值为1,k +1,∴ P(ξ2=1)=(1−p)k ,p(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ,∴ E(ξ2)=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]=k +1−k(1−p)k , 若E(ξ1)=E(ξ2),则k =k +1−k(1−p)k =1, (1−p)k =1k , ∴ 1−p =(1k)1k,∴ p =1−(1k)1k.∴ p 关于k 的函数关系式为p =f(k)=1−(1k)1k,(k ∈N ∗,且k ≥2).(ii)由题意知E(ξ1)<E(ξ2),得1k <(1−p)k , ∵ p =1−√e 3,∴ 1k <(√e 3)k ,∴ lnk >13k ,设f(x)=lnx −13x ,(x >0),∴ 当x >3时,f′(x)<0,即f(x)在(3, +∞)上单调增减, 又ln4≈1.3863,43≈1.3333,∴ ln4>43,ln5≈1.6094,53≈1.6667,∴ ln5<53,∴ k 的最大值为4.记max{m, n}表示m ,n 中的最大值,如max{3,√10}=√10.已知函数f(x)=max{x 2−1, 2lnx},g(x)=max{x +lnx, −x 2+(a 2−12)x +2a 2+4a}. (1)设ℎ(x)=f(x)−3(x −12)(x −1)2,求函数ℎ(x)在(0, 1]上零点的个数;(2)试探讨是否存在实数a ∈(−2, +∞),使得g(x)<32x +4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】设F(x)=x 2−1−21nx,F ′(x)=2x −2x =2(x−1)(x+1)x,令F ′(x)>0,得x >1,F(x)递增;令F ′(x)<0,得0<x <1,F(x)递减, ∴ F(x)min =F(1)=0,∴ F(x)≥0,即x 2−1≥2lnx ,∴ f(x)=x 2−1在(0, 1]上有两个交点,即ℎ(x)在(0, 1]上零点的个数为2 (或由方程f(x)=G(x)在(0, 1]上有两根可得)假设存在实数a ∈(−2, +∞),使得g(x)<32x +4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立, 则{x +lnx <32x +4a−x 2+(a 2−12)x +2a 2+4a <32x +4a,对x ∈(a +2, +∞)恒成立, 即{lnx −12x <4a(x +2)(x −a 2)>0 ,对x ∈(a +2, +∞)恒成立, ①设H(x)=lnx −12x,H ′(x)=1x −12=2−x 2x,令H ′(x)>0,得0<x <2,H(x)递增;令H ′(x)<0,得x >2,H(x)递减, ∴ H(x)max =ℎ(2)=ln2−1,当0<a +2<2即−2<a <0时,4a >ln2−1,∴ a >ln2−14,∵ a <0,∴ 4a ∈(ln2−14,0).故当a ∈(ln2−14,0)时,lnx −12x <4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立,当a +2≥2即a ≥0时,H(x)在(a +2, +∞)上递减,∴ H(x)<H(a +2)=ln(a +2)−12a −1.∵ (ln(a +2)−12a −1)′=1a+2−12≤0,∴ H(a +2)≤H(0)=ln2−1<0,故当a ≥0时,lnx −12x <4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立②若(x +2)(x −a 2)>0对x ∈(a +2, +∞)恒成立,则a +2≥a 2,∴ a ∈[−1, 2] 由①及②得,a ∈(ln2−14,2].故存在实数a ∈(−2, +∞),使得g(x)<32x +4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立, 且a 的取值范围为(ln2−14,2]⋯【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(1)利用导数求出ℎ(x)=f(x)−3(x −12)(x −1)2的单调区间及最值,结合图象即可判定;(2)构造函数H(x)=g(x)−32x −4a ,对该函数在∈(a +2, +∞)的最大值进行分类求解,只需最大值小于0即可. 【解答】22(x−1)(x+1)令F ′(x)>0,得x >1,F(x)递增;令F ′(x)<0,得0<x <1,F(x)递减, ∴ F(x)min =F(1)=0,∴ F(x)≥0,即x 2−1≥2lnx ,∴ f(x)=x 2−1 设G(x)=3(x −12)(x −1)2,结合f(x)与G(x)在(0, 1]上图象可知,这两个函数的图象在(0, 1]上有两个交点,即ℎ(x)在(0, 1]上零点的个数为2(或由方程f(x)=G(x)在(0, 1]上有两根可得)假设存在实数a ∈(−2, +∞),使得g(x)<32x +4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立,则{x +lnx <32x +4a −x 2+(a 2−12)x +2a 2+4a <32x +4a ,对x ∈(a +2, +∞)恒成立, 即{lnx −12x <4a (x +2)(x −a 2)>0,对x ∈(a +2, +∞)恒成立, ①设H(x)=lnx −12x,H ′(x)=1x −12=2−x 2x ,令H ′(x)>0,得0<x <2,H(x)递增;令H ′(x)<0,得x >2,H(x)递减, ∴ H(x)max =ℎ(2)=ln2−1,当0<a +2<2即−2<a <0时,4a >ln2−1,∴ a >ln2−14,∵ a <0,∴ 4a ∈(ln2−14,0).故当a ∈(ln2−14,0)时,lnx −12x <4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立, 当a +2≥2即a ≥0时,H(x)在(a +2, +∞)上递减,∴ H(x)<H(a +2)=ln(a +2)−12a −1.∵ (ln(a +2)−12a −1)′=1a+2−12≤0,∴ H(a +2)≤H(0)=ln2−1<0, 故当a ≥0时,lnx −12x <4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立②若(x +2)(x −a 2)>0对x ∈(a +2, +∞)恒成立,则a +2≥a 2,∴ a ∈[−1, 2] 由①及②得,a ∈(ln2−14,2].故存在实数a ∈(−2, +∞),使得g(x)<32x +4a 对x ∈(a +2, +∞)恒成立,且a 的取值范围为(ln2−14,2]⋯请考生在第22~23题中任选一题作答,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号的方框涂黑.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =2√3+at y =4+√3t(其中t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点A 的极坐标为(2,π6),直线l 经过点A .曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;(2)过点P(√3,0)作直线l 的垂线交曲线C 于D ,E 两点(D 在x 轴上方),求1|PD|−1|PE|的值.【答案】由题意得点A 的直角坐标为(√3,1),将点A 代入{x =2√3+at y =4+√3t 得{a =1t =−√3 , 则直线l 的普通方程为y =√3x −2.由ρsin 2θ=4cosθ得ρ2sin 2θ=4ρcosθ,即y 2=4x .故曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x .(设直线DE 的参数方程为{x =√3−√32t y =12t (t 为参数),代入y 2=4x 得t 2+8√3t −16√3=0.设D 对应参数为t 1,E 对应参数为t 2.则t 1+t 2=−8√3,t 1t 2=−16√3,且t 1>0,t 2<0.∴ 1|PD|−1|PE|=1|t 1|−1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=12. 【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】(1)求得A 的直角坐标,代入直线l 的参数方程求得a ,进而得到l 的普通方程;由极坐标和直角坐标可得曲线C 的直角坐标方程;(2)求得直线DE 的参数方程,代入抛物线方程,运用韦达定理和参数的几何意义,计算可得所求值.【解答】由题意得点A 的直角坐标为(√3,1),将点A 代入{x =2√3+at y =4+√3t得{a =1t =−√3 , 则直线l 的普通方程为y =√3x −2.由ρsin 2θ=4cosθ得ρ2sin 2θ=4ρcosθ,即y 2=4x .故曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x .(设直线DE 的参数方程为{x =√3−√32t y =12t (t 为参数),代入y 2=4x 得t 2+8√3t −16√3=0.设D 对应参数为t 1,E 对应参数为t 2.则t 1+t 2=−8√3,t 1t 2=−16√3,且t 1>0,t 2<0.∴ 1|PD|−1|PE|=1|t 1|−1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=12. [选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2x −a|+|x −2a +3|.(1)当a =2时,解关于x 的不等式f(x)≤9;(2)当a ≠2时,若对任意实数x ,f(x)≥4都成立,求实数a 的取值范围.【答案】当a =2时,f(x)=3|x −1|,由f(x)≤9得|x −1|≤3,由|x −1|≤3得−3≤x −1≤3,解得:−2≤x ≤4,故a =2时,关于x 的不等式的解集是{x ∈R|−2≤x ≤4};①当a >2时,a 2<2a −3,f(x)={3x −3a +3,x >2a −3x +a −3,a 2≤x ≤2a −3−3x +3a −3,x <a 2, 故f(x)在(−∞, a 2)递减,在(a 2, +∞)递增,故f(x)min =f(a 2)=3a 2−3, 由题设得3a 2−3≥4,解得:a ≥143;②当a <2时,a 2>2a −3, f(x)={3x −3a +3,x >a 2−x −a +3,2a −3≤x ≤a 2−3x +3a −3,x <2a −3,故f(x)在(−∞, a 2)递减,在(a 2, +∞)递增,故f(x)min =f(a 2)=3a 2+3, 由题设得−3a 2+3≥4,解得:a ≤−23,综上,a 的范围是(−∞, −23]∪[143, +∞).【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】(1)代入a 的值,解绝对值不等式,求出不等式的解集即可;(2)通过讨论a 的范围,求出函数的最小值,得到关于a 的不等式,解出即可.【解答】当a =2时,f(x)=3|x −1|,由f(x)≤9得|x −1|≤3,由|x −1|≤3得−3≤x −1≤3,解得:−2≤x ≤4,故a =2时,关于x 的不等式的解集是{x ∈R|−2≤x ≤4};①当a >2时,a 2<2a −3,f(x)={3x −3a +3,x >2a −3x +a −3,a 2≤x ≤2a −3−3x +3a −3,x <a 2 ,故f(x)在(−∞, a 2)递减,在(a 2, +∞)递增, 故f(x)min =f(a 2)=3a 2−3, 由题设得3a 2−3≥4,解得:a ≥143;②当a <2时,a 2>2a −3, f(x)={3x −3a +3,x >a 2−x −a +3,2a −3≤x ≤a 2−3x +3a −3,x <2a −3, 故f(x)在(−∞, a 2)递减,在(a 2, +∞)递增,故f(x)min =f(a 2)=3a 2+3, 由题设得−3a 2+3≥4,解得:a ≤−23,综上,a 的范围是(−∞, −23]∪[143, +∞).。
2019年河南省六市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2019年河南省六市高考数学二模试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合A={(x,y)|y=x+1,x∈Z},集合B={y|y=2x,x∈Z},则集合A∩B等于()A. B. C. D.2.若复数z满足(3-4i)z=|3-4i|,则z的虚部为()A. B. C. 4 D.3.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况,用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1~2400编号,按编号顺序平均分成30组(1~80号,81~160号,…,2321~2400号),若第3组与第4组抽出的号码之和为432,则第6组抽到的号码是()A. 416B. 432C. 448D. 4644.若等差数列{a n}的公差为2,且a5是a2与a6的等比中项,则该数列的前n项和S n取最小值时,n的值等于()A. 7B. 6C. 5D. 45.设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等,则符合条件的点P()A. 仅有一个B. 有有限多个C. 有无限多个D. 不存在6.已知Rt△ABC,点D为斜边BC的中点,,,,则等于()A. B. C. 9 D. 147.设变量x,y满足不等式组,则z=|x-y-4|的最大值为()A. B. C. D. 68.函数f(x)=的大致图象为()A.B.C.D.9.设实数a,b,c分别满足,b lnb=1,3c3+c=1,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.10.在直角坐标系xOy中,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为左、右顶点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,连接PB交y轴于点E,连接AE交PQ于点M,若M是线段PF 的中点,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D. 11.在数列{a n}中,已知a1=1,且对于任意的m,n∈N*,都有a m+n=a m+a n+mn,则=()A. B. C. D.12.已知函数f(x)=sin2x的图象与直线2kx-2y-kπ=0(k>0)恰有三个公共点,这三个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,则(x1-x2)tan(x2-2x3)=()A. B. C. 0 D. 1二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知tan(x+)=2,x是第三象限角,则cos x=______.14.《易经》是中国传统文化中的精髓,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每卦有三根线组成(“”表示一根阳线,“”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率______.15.抛物线y2=4x的焦点为F,其准线为直线l,过点M(5,2)作直线l的垂线,垂足H,则∠FMH的角平分线所在的直线斜率是______.16.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺.问积几何”,羡除是一个五面体,其中三个面是梯形,另两个面是三角形,已知一个羡除的三视图如图粗线所示,其中小正方形网格的边长为1,则该羡除的体积为______.三、解答题(本大题共7小题,共84.0分)17.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin2A+sin A sin B-6sin2B=0.(1)求的值;(2)若cos C=,求sin B的值.18.如图,四棱锥P-ABCD,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=2BC=2CD=4,△PAB为等边三角形,平面PAB⊥平面ABCD,Q为PB中点.(1)求证:AQ⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.19.为评估M设备生产某种零件的性能,从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到如表:(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(p表示相应事件的频率):①p(μ-σ<X<μ+σ)≥0.6826;②p(μ-2σ<X<μ+2σ)≥0.9544;③p(μ-3σ<X<μ+3σ)≥0.9974.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断M设备的性能等级.(2)将直径小于等于μ-2σ的零件或直径大于等于μ+2σ的零件认定为是“次品”,将直径小于等于μ-3σ的零件或直径大于等于μ+3σ的零件认定为是“突变品”,从样本的“次品”中随意抽取2件零件,求“突变品”个数ξ的数学期望.20.已知动点P到定点F(1,0)和直线l:x=2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合)(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值,若有,求出其最大值,及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.21.已知函数f(x)=e x(2x-1),g(x)=ax-a(a∈R).(1)若y=g(x)为曲线y=f(x)的一条切线,求a的值;(2)已知a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<g(x0),求a的取值范围.22.在直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为y2=4x.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,,求l的倾斜角.23.已知函数f(x)=|x-1|+|2x+m|(m∈R).(1)若m=2时,解不等式f(x)≤3;(2)若关于x的不等式f(x)≤|2x-3|在x∈[0,1]上有解,求实数m的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解:由题可得:集合A是点集,集合B是数集,所以A∩B=∅.故选:D.由题可得:集合A是点集,集合B是数集,由交集概念即可得解.本题主要考查了集合的表示及交集运算,属于基础题.2.【答案】B【解析】解:∵(3-4i)z=|3-4i|,∴z==.∴z的虚部为:.故选:B.整理(3-4i)z=|3-4i|得:z=,由复数的基本概念得答案.本题主要考查了复数的模及复数的除法运算,还考查了复数的有关概念,考查计算能力,属于基础题.3.【答案】A【解析】解:样本间隔为2400÷30=80,设首个号码为x,则第三.第四个号码为x+160,x+240,则x+160+x+240=2x+400=432,得2x=32,x=16,则第6组抽到的号码为16+80×5=400+16=416,故选:A.先求出样本间隔,设出首个号码x,建立方程组求出x,利用系统抽样的定义进行求解即可.本题主要考查系统抽样的应用,根据样本间隔,结合条件求出首个号码是解决本题的关键.4.【答案】B【解析】解:由a5是a2与a6的等比中项,可得a52=a2a6,由等差数列{a n}的公差d为2,即(a1+8)2=(a1+2)(a1+10),解得a1=-11,a n=a1+(n-1)d=-11+2(n-1)=2n-13,由a1<0,a2<0,…,a6<0,a7>0,…可得该数列的前n项和S n取最小值时,n=6.故选:B.由题意可得,运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质,解方程可得a1,结合已知公差,代入等差数列的通项可求,判断数列的单调性和正负,即可得到所求和的最小值时n的值等差数列与等比数列是高考考查的基本类型,本题考查等差数列的通项公式的运用,同时考查等比数列的中项的性质,以及等差数列的单调性和前n项和的最小值,属于中档题.5.【答案】A【解析】解:设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等,则符合条件的点P是正方体的中心,故选:A.设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等,则符合条件的点P是正方体的中心,即可得出结论.本题考查点面距离,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.6.【答案】D【解析】解:如图,分别以边AC,AB所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,则:;;∴=;∴=,,;∴.故选:D.可分别以直线AC,AB为x,y轴,建立平面直角坐标系,根据条件便可求出点A,B,C,D的坐标,进而求出点E的坐标,从而得出向量的坐标,这样进行数量积的坐标运算即可求出的值.考查建立平面直角坐标系,通过坐标解决向量问题的方法,能求平面上点的坐标,以及向量数乘的几何意义,数量积的坐标运算.7.【答案】D【解析】解:作出不等式组表示的平面区域如下:作出直线l:x-y-4=0,当l往上平移时,x-y-4变小,当直线l经过点B(,)时,x-y-4最大,当直线l经过点C(1,3)时,x-y-4最小.即:1-3-4≤x-y-4≤,所以-6≤x-y-4≤-,所以,所以z=|x-y-4|的最大值为6.故选:D.作出不等式组表示的平面区域,利用线性规划知识求得-6≤x-y-4≤-,问题得解.本题主要考查了利用线性规划知识求目标函数的最值,考查了数形结合思想及转化能力,属于中档题.8.【答案】C【解析】解:函数f(x)=,当x=0时,y=-3,排除选项A,B,D.即可判断选项C正确,故选:C.利用特殊值对应点的坐标排除选项,判断即可.本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数值的应用,考查分析问题解决问题的能力.9.【答案】B【解析】解;因为,所以a=,又因为blnb=1>0,所以lnb>0,所以b>1,又因为f(x)=3x3+x-1在R上为增函数,又f(1)=3>0,f ()=-1<0,又f(c)=0,由函数零点定理可得:,即b>c>a,故选:B.由对数不等式得求法得:blnb=1>0,所以lnb>0,所以b>1,由函数的零点定理得:因为f(x)=3x3+x-1在R上为增函数,又f(1)=3>0,f()=-1<0,又f(c)=0,由函数零点定理可得:,得解.本题考查了解对数不等式及函数的零点定理,属中档题.10.【答案】C【解析】解:可令F(-c,0),由x=-c,可得y=±b =±,由题意可设P(-c,),B(a,0),可得BP的方程为:y=-(x-a),x=0时,y=,E(0,),A(-a,0),则AE的方程为:y=(x+a),则M(-c,-),M是线段QF的中点,可得2•(-)=,即2a-2c=a+c,即a=3c,可得e==.故选:C.利用已知条件求出P的坐标,然后求解E的坐标,推出M的坐标,利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可.本题考查椭圆的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.11.【答案】C【解析】解:数列{a n}中,已知a1=1,且对于任意的m,n∈N*,都有a m+n=a m+a n+mn,则:a2=a1+a1+1×1=3=1+2,a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3,…,a n=1+2+3+…+n=,所以:,所以:=,=2(),=,=.故选:C.首先利用赋值法求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.12.【答案】B【解析】解:由题意得直线2kx-2y-kπ=0(k>0)过定点(,0),且斜率k>0,由对称性可知,直线与三角函数图象切于另外两个点,所以x3+x1=π;x2=,f′(x)=2cos2x,则切线方程过点(x1,sin2x1),(x2,sin2x2),所以2(2x3-π)cos2x3=2sin2x3,,而(x1-x2)tan(x2-2x3)=(-x3)tan (-2x3)=(π-2x3)cot2x3=-.故选:B.求出直线恒过的定点,利用函数的导数求出切线方程,转化求解表达式的值即可.直线与曲线相切一般要应用三点,一是曲线在切点处的导数是切线的斜率,二是切点即在曲线上也在切线上,三是没有切点要设切点.本就用到了上面三点,然后再配求所求式子的结构.13.【答案】【解析】解:因为tan(x+)=2,所以=2,解得:tanx=,即:sinx=cosx,又sin2x+cos2x=1,所以cos2x=,又x是第三象限角,所以cosx=-.故答案为:-.由两角和的正切公式即可求得tanx=,结合sin2x+cos2x=1,即可求得cos2x=,问题得解.本题主要考查了两角和的正切公式及同角三角函数基本关系,考查计算能力,属于基础题.14.【答案】【解析】解:从八卦中任取两卦,共有=28种取法,若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线,可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算;当有一卦阳、阴线的根数为3、0时,另一卦阳、阴线的根数为0、3,共有1种取法.当有一卦阳、阴线的根数为2、1时,另一卦阳、阴线的根数为1、2,共有3×3=9种取法.所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10种.则从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P=,故答案为:由图可得:三根都是阳线的有一卦,三根都是阴线的有一卦,两根阳线一根阴线的有三卦,两根阴线一根阳线的有三卦,利用组合数可得基本事件总数,分类利用计算原理求得符合要求的基本事件个数为10个,问题得解.本题主要考查了组合计数及分类思想,考查古典概型概率计算公式,属于中档题.15.【答案】【解析】解:连接HF,因为点M在抛物线y2=4x上,所以由抛物线的定义可知|MH|=|MF|,所以△MHF为等腰三角形,所以∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点,因为F(1,0),H(-1,),所以HF的中点为(0,),所以∠FMH的角平分线的斜率为=.故答案为:.由抛物线定义可知|MH|=|MF|,进而可推断出∠FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点,利用斜率的两点式即可得到结论.在解决与抛物线有关的问题时,要注意抛物线的定义在解题中的应用.抛物线定义有两种用途:一是当已知曲线是抛物线时,抛物线上的点M满足定义,它到准线的距离为d,则|MF|=d,可解决有关距离、最值、弦长等问题;二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义,从而得到动点的轨迹是抛物线.16.【答案】24【解析】解:由三视图还原原几何体如图所示,在长宽高分别为6,3,4的长方体中,A1E=D1F=2,BG=CH=1,三视图所对应的几何体是多面体AEG-DHF,该组合体是由一个三棱锥和一个四棱锥组成的组合体,其体积: V=V E-AGHD +V H-EFD=.故答案为:24.首先确定几何体的空间结构特征,然后将其分割之后求解其体积即可.本题考查求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,训练了利用分割补形法求解多面体的体积,是中档题. 17.【答案】解:(1)因为sin 2A +sin A sin B -6sin 2B =0,sin B ≠0,所以( )2+ -6=0,得 =2或=-3(舍去).由正弦定理得 ==2. (2)由余弦定理得cos C ==.① 将=2,即a =2b 代入①,得5b 2-c 2=3b 2,得c = b .由余弦定理cos B =,得:cos B ==,则sin B = =.【解析】(1)由已知可得()2+-6=0,解方程可得=2,由正弦定理得=2.(2)由已知及余弦定理可求c=b ,进而可求cosB 的值,根据同角三角函数基本关系式可求sinB 的值.本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.18.【答案】证明:(1)因为AB ∥CD ,∠BCD =90°, 所以AB ⊥BC ,又平面PAB ⊥平面ABCD ,且平面PAB ∩平面ABCD =AB , 所以BC ⊥平面PAB ,(1分)又AQ ⊂平面PAB ,所以BC ⊥AQ ,(2分)因为Q 为PB 中点,且△PAB 为等边三角形,所以PB ⊥AQ ,(3分) 又PB ∩BC =B ,所以AQ ⊥平面PBC .(4分) 解:(2)取AB 中点为O ,连接PO , 因为△PAB 为等边三角形,所以PO ⊥AB ,由平面PAB ⊥平面ABCD ,因为PO ⊂平面PAB , 所以PO ⊥平面ABCD ,(5分)所以PO ⊥OD ,由AB =2BC =2CD =4,∠ABC =90°, 可知OD ∥BC ,所以OD ⊥AB .以AB 中点O 为坐标原点,分别以OD ,OB ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .(6分)所以A (0,-2,0),D (2,0,0),C (2,2,0),P (0,0,2 ),B (0,2,0),则 =(2,2,0), =(-2,0,2 ), =(0,-2,0), 因为Q 为PB 中点,所以Q (0,1, ), 由 (1)知,平面PBC 的一个法向量为 =(0,3, ),(7分)设平面PCD 的法向量为=(x ,y ,z ), 由,取z =1,得 =( , , ),(9分) 由cos < , >=== .(11分)因为二面角B -PC -D 为钝角,所以,二面角B -PC -D 的余弦值为.(12分)【解析】(1)推导出AB ⊥BC ,从而BC ⊥平面PAB ,进而BC ⊥AQ ,再求出PB ⊥AQ ,由此能证明AQ ⊥平面PBC .(2)取AB 中点为O ,连接PO ,推导出PO ⊥AB ,PO ⊥平面ABCD ,OD ⊥AB .以AB 中点O 为坐标原点,分别以OD ,OB ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系O-xyz ,利用向量法能求出二面角B-PC-D 的余弦值.该题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. 19.【答案】解:(1)p (m -s <X <m +s )=p (82.8<X <87.2)=0.8>0.6826p (m -2s <X <m +2s )=p (80.6<X <89.4)=0.94<0.9544p (m -3s <X <m +3s )=p (78.4<X <91.6)=0.98<0.9974,因为设备的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙.( 2)由题意可知,样本中次品个数为 6,突变品个数为 2,“突变品”个数ξ的可能取值为 0,1,2, P (ξ=0)==,P (ξ=1)==,P (ξ=2)==,可得ξ的分布列:EY =0×+1×+2×=. 【解析】(1)利用正态分布列的概率计算公式即可得出.( 2)由题意可知,样本中次品个数为 6,突变品个数为 2,“突变品”个数ξ的可能取值为 0,1,2,利用超几何分布列的计算公式即可得出ξ的分布列与数学期望.本题考查了正态分布列的概率计算公式、超几何分布列的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.【答案】解:(1)设点P(x,y),由题意可得,,整理可得:.∴曲线E的方程是.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得:,当m=0时,不合题意.当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得:,即m2+1=n2,联立消去y得.△ >,△,△,所以,,,四边形==.当且仅当,即时等号成立,此时.经检验可知,直线和直线符合题意.【解析】(1)设点P(x,y),由题意可得,,化简即可得出;(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得:,当m=0时,不合题意.当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得m2+1=n2,直线与椭圆方程联立可得.利用根与系数的关系可得,再利用基本不等式的性质即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.21.【答案】解:(1)f′(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),设切点为(m,n),由题意可得a=e m(2m+1),又n=am-a=e m(2m-1),解方程可得,a=1或4;(2)函数f(x)=e x(2x-1),g(x)=ax-a由题意知存在唯一的整数x0使得f(x0)在直线y=ax-a的下方,∵f′(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),∴当x<-时,f′(x)<0,当x>-时,f′(x)>0,∴当x=-时,f(x)取最小值-2,当x=0时,f(0)=-1,当x=1时,f(1)=e>0,直线y=ax-a恒过定点(1,0)且斜率为a,故-a>f(0)=-1且f(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a<1.【解析】(1)求出导数,设出切点(m,n),求得切线的斜率,由切线的方程,可得a=e m(2m+1),又n=am-a=e m(2m-1),解方程可得a的值;(2)函数f(x)=e x(2x-1),g(x)=ax-a,问题转化为存在唯一的整数x0使得f(x0)在直线y=ax-a的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得-a>f(0)=-1且f(-1)=-3e-1≥-a-a,解关于k的不等式组可得.本题考查导数的运用:求切线的斜率和极值、最值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题.22.【答案】解:(1)∵ ,代入y2=4x,∴ρsin2θ-4cosθ=0(2)不妨设点A,B对应的参数分别是t1,t2,把直线l的参数方程代入抛物线方程得:t2sin2α-4cosα•t-8=0,∴△=16cos2α+32sin2α>0,∴t1+t2=,t1t2=-,则|AB|=|t1-t2|==4,∴,∴或.【解析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程;(2)不妨设点A,B对应的参数分别是t1,t2,根据弦长公式,即可求解.本题考查普通方程与极坐标方程的转化,考查弦长公式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.23.【答案】解:(1)若m=2时,|x-1|+|2x+2|≤3,当x≤-1时,原不等式可化为-x+1-2x-2≤3解得x≥-,所以,当-1<x<1时,原不等式可化为1-x+2x+2≤3得x≤0,所以-1<x≤0,当x≥1时,原不等式可化为x-1+2x+2≤3解得x≤,所以x∈Φ,综上述:不等式的解集为;(2)当x∈[0,1]时,由f(x)≤|2x-3|得1-x+|2x+m|≤3-2x,即|2x+m|≤2-x,故x-2≤2x+m≤2-x得-x-2≤m≤2-3x,又由题意知:(-x-2)min≤m≤(2-3x)max,即-3≤m≤2,故m的范围为[-3,2].【解析】(1)通过去掉绝对值符号,转化求解不等式的解集即可.(2)已知条件转化为即|2x+m|≤2-x,即-x-2≤m≤2-3x,即可求解实数m的取值范围.本题主要考查了解绝对值不等式,利用绝对值不等式的几何意义解决问题;考查推理论证能力、运算求解能力等;考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等;考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等.。
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析(可编辑修改word版)
⇒ f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) = 20+15* 4+6*6+1* 4 =120.选C.
6.已知函数 f (x) x3 ax2 bx c,且0 f (1) f (2) f (3) 3,则( )
A. c 3
B. 3 c 6
【答案】D
【解析】
y = sin 3x+cos 3x = 2 sin(3x+ π ) = 4
C. {5}
D. {2,5}
【答案】B 【解析】
U ={2,3,4}, A ={3,,4},∴ Cu A ={2},选B.
(2)已知 i 是虚数单位, a, b R ,则“ a b 1 ”是“ (a bi)2 2i ”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
(3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是
A. 90 cm2
B. 129 cm2
C. 132 cm2
D. 138 cm2
【答案】D
【解析】
几何体下底面面积S下 = 3* 4*3= 36,上底面面积S上 = 6* 4+3*5 = 39. 前后面面积S前后 = 3* 4*3= 36.右面面积S右 = 3*6 =18.左面面积S左 = 3*3= 9. ∴ 几何体表面面积S = S下 + S上 + S前后 + S右 + S右 =138。选D.
4
12
12
5.在 (1 x)6 (1 y)4 的展开式中,记 xm yn 项的系数为 f (m, n) ,则 f (3,0) f (2,1) f (1,2) f (0,3)
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510R EA EF数学科试题(理科)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。
一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.已知集合 A = {x x 2 - 2x - 3 > 0}, B = {2,3,4} ,则(C A ) ⋂ B =A .{2,3}2.已知i 是虚数单位, z =B .{2,3,4},则 z ⋅ z = 3 + iC .{2}1D .1 A . B . C .D .1053. 执行如图所示的程序框图,若输入的点为 P (1,1) ,则输出的 n 值为A .3B .4C .5D .6EDCFAB(第 3 题)(第 4 题)4. 如图, ABCD 是边长为 8 的正方形,若 DE = 1EC ,且 F 为 BC 的中点,则 ⋅ =3 15 2 5 2 ⎨ ⎩A .10B .12C .16D .20⎧x + y ≤ 2 5.若实数 x , y 满足⎪y - x ≤ 1 ,则 z = 2 x ⋅8 y 的最大值是⎪ y ≥ 0 A .4B .8C .16D .326. 一个棱锥的三视图如右图,则该棱锥的表面积为A .16 + 8 + 32B . 32 + 32C .16 + 32D .16 + 16 + 327. 5 张卡片上分别写有 0,1,2,3,4,若从这 5 张卡片中随机取出 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和大于 5 的概率是 1 1 34A.B .C .D .10 5 10 5 8. 设 S n 是数列{a n }的前 n 项和,且 a 1 = -1, a n +1 = S n ⋅ S n +1 ,则 a 5 =A .1B . - 1C . 13030 20 D . - 1209.函数 f ( x ) = ln 的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥 P - ABCD 的体积为 8,若 PA ⊥ 平面 ABCD ,且 PA = 3 ,则四棱锥P - ABCD 的外接球体积最小值是5 2 1- x1+ x2 1A .256B .125C .1256D . 2511. 已知抛物线 y 2= 2 px( p > 0) ,过焦点且倾斜角为 30°的直线交抛物线于 A,B 两点,以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切,切点的纵坐标是 3,则抛物线的准线方程为A. x = -1B. x = -2C. x = -3D. x = -12. 已知函数 f (x ) = x 2 - ln x ( x ≥),函数 g (x ) = x - ,直线 y = t 分别与两函数交于2 2A ,B 两点,则 AB 的最小值为1 3 A.B .12C .D . 22二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 设样本数据 x 1 , x 2 ,..., x 2018 的方差是 5,若 y i = 3x i +1( i = 1,2,...,2018 ),则 y 1 , y 2,..., y 2018 的方差是14. 已知函数 f (x ) = sinx - 3 cos x (> 0 ),若= 3 ,则方程 f (x ) = -1在(0,) 的实数根个数是15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将 1,2,...,9 填入3⨯ 3的方格内,使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于 15 (如图).一般地,将连续的正整数 1,2,3,…, n 2 填入n ⨯ n 的方格内,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做 n 阶幻方.记 n 阶幻方的一条对角线上数的和为 N nN 3 = 15 ),则 N 5 =(如: 在 3 阶幻方中,16.已知 ∆ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a , b , c ,且c = 1 , C = π.33 3 3若sin C + sin( A -B) = sin 2B ,则∆ABC 的面积为三、解答题:本大题共 6 小题,其中 17-21 小题为必考题,每小题 12 分,第 22—23 题为选考题,考生根据要求做答,每题 10 分.17.(本小题满分 12 分)设数列{a n }是公差为d 的等差数列.(Ⅰ) 推导数列{a n }的通项公式;(Ⅱ) 设d ≠ 0 ,证明数列{a n +1} 不是等比数列.18.(本小题满分 12 分)某中学为了解全校学生的上网情况,在全校随机抽取了 40 名学生(其中男、女生各占一半) 进行问卷调查,并进行了统计,按男、女分为两组,再将每组学生的月上网次数分为 5 组:[0,5), [5,10),[10,15),[15,20),[20,25],得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值;(Ⅱ)在抽取的 40 名学生中从月上网次数不少于 20 的学生中随机抽取 2 人,并用X 表示随机抽取的 2 人中男生的人数,求X 的分布列和数学期望.19.(本小题满分 12 分)在直三棱柱ABC -A1B1C1 中,AB =AC =AA1 = 2 ,BA ⊥CA 。
(Ⅰ)证明:BC1⊥AB1;(Ⅱ) 求直线A1C 与平面A1BC1 所成的角.A1 C1B1A CB20.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆E : xa2 +y2b2 = 1(a >b > 0) ,圆O : x2+y2=r 2 (0 <r <b) ,若圆O 的一条切线l : y =kx +m 与椭圆E 相交于A, B 两点. (Ⅰ)当k =-1, r = 1,若点A, B 都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程;3(Ⅱ)若以AB 为直径的圆经过坐标原点,探究a, b, r 之间的等量关系.21.(本小题满分 12 分)已知函数f (x) =e x-ax (e 是自然对数的底数).2⎩(Ⅰ) 求 f (x ) 的单调区间;(Ⅱ)若 a ≥ -1 ,当 xf (x ) ≥ x 3- 5a + 3 x 22+ 3ax -1+ m 对任意 x ∈[0,+∞) 恒成 立时, m 的最大值为 1,求实数 a 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请先将对应题号用铅笔涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为⎧x = 3cos ,(为参数).以坐标原点为1⎨y = 1 + 3sin .极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2 的极坐标方程为= 2 cos .(Ⅰ) 写出C 1 的普通方程和C 2 的直角坐标方程;(Ⅱ) 设点 P 在C 1 上,点Q 在C 2 上,判断C 1 与C 2 的位置关系并求| PQ | 的最小值.23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲已知函数 f (x ) = x + m + 2x -1 ( m > 0 ).(Ⅰ)当 m = 1时,解不等式 f (x ) ≥ 2 ;(Ⅱ)当 x ∈[m ,2m 2 ] 时,不等式 1f (x ) ≥ x +1 恒成立,求实数 m 的取值范围.2数学科答案(理科)一、选择题 1-5ACADD 6-10 ABCBC11-12 BA二、填空题 13.4514.3 15.6516. 3 或 34 6 (1)所以(a +1) = (a+1) ⋅ (a +1)n n n C 2C 2 C 2C1三、解答题17.解:(1)因为{a n }是等差数列且公差为 d ,所以 a n - a n -1 = d (n ≥ 2)∴ a 2 - a 1 = d, a 3 - a 2 = d ,... , a n - a n -1 = d .. (3)将上述式子相加,得a n - a 1 = (n -1)d所以,数列{a n }的通项公式为a n = a 1 + (n -1)d .............................. 6 (2)假设数列{a n +1} 是等比数列, (7)当 n ≥ 2 时, a n -1 +1, a n +1, a n +1 +1成等比数列 2nn -1n +1 (9)所以 (a +1)2 = [(a +1) - d ]⋅[(a +1) + d ]所以 d 2 = 0 ,所以 d = 0 ,这与 d ≠ 0 矛盾所以,数列{a n +1} 不是等比数列 (12)18.解:(1)由频率分布直方图,得 a = 1- (2 ⨯ 0.02 + 0.03 + 0.08) ⨯ 5错误!未找到引用5 源。
=0.05. (3)(2)在抽取的女生中,月上网次数不少于 20 的学生的频率为 0.02×5=0.1,学生人数为 0.1×20=2. ................................................. 4 同理,在抽取的男生中,月上网次数不少于 20 的学生人数为 0.03×5×20=3, ......................................................................... 5 故 X 的所有可能取值为 0,1,2,2则 P ( X = 0) = 2 = 510 C 1 C 1 错误!未找到引用源。
, P ( X = 1) = 2 3=56 错误!未找到 10C 2引用源。
, P ( X = 2) = 3= 53 10 (9)- 4 8 ⋅ 8所以 X 的分布列为X 0 1 2 P1 3 3 10510所以 E (X )=0× 110 3 3 错误!未找到引用源。
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+2× =5 106错误!未找到引用源。
.5 (12)19. 解:(1)由题意,以 A 为坐标原点,以 AB,AC, AA 1 轴,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为 AB = AC = AA 1 = 2所在直线分别为 x 轴,y则 A (0,0,0) , B (2,0,0) , C (0,2,0) , A 1(0,0,2) , B 1(2,0,2) , C 1(0,2,2) (3)−−→−−→所以 BC 1 =(- 2,2,2), AB 1 =(2,0,2)−−→ −−→所以BC 1⋅ AB 1 = -4 + 0 + 4 = 0 .................................................................................... 4 −−→−−→所 以BC 1 ⊥ AB 1 ,所 以BC 1 ⊥ AB 1........................................................5 −−→−−→ −−→(2)又因为 A 1B =(2,0,-2),所以A B 1⋅ A 1B = 4 + 0 - 4 = 0−−→−−→所以A B 1 ⊥ A 1B 又因为 A 1B ⋂ BC 1 = B所以 AB 1 ⊥ 平面A 1BC 1 , (8)−−→ 又 −−→ −−→ 1A 1C = (0,2,-2) ,所以cos < A 1C , AB 1 >== - .................10 2−−→ 所以 < −−→ 2A 1C , AB 1 >= ,............................................11 3所以直线 AC 与平面 A BC 所成的角为 ...........................................................................................................121 1 16m1+ k 21 2 ⎨20. 解(1)因为圆O 的一条切线为l : y = kx + m所以 = r ,当k = - 1, r = 1,所以 m = 3 10 3 (2)又点 A , B 都在坐标轴的正半轴上,所以m = 10,所以切线l : y = - 1 x + 10 3 3 3所以 A , B 两点坐标是(0,x210 ) 和( 39 y 210,0) , (4)所以椭圆的方程为 + 10 10 = 1 (5)(2)设 A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) ,以 AB 为直径的圆经过坐标原所以 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ,所以 x 1 x 2 + (kx 1 + m )(kx 2 + m ) = 0 (6)所以(1+ k 2 )x x ⎧ x 2 + y 2 =+km (x 1+ x ) + m 2 = 0 由⎪ a 2 b 2 1所以(b 2 + a 2k 2 )x 2 + 2kma 2 x + a 2m 2 - a 2b 2 = 0 ⎪⎩ y = kx + ma 2m 2 - a 2b 2- 2kma 2所以 x 1 x 2 =a 2k 2+ b 2, x 1 + x 2 = a 2k 2 + b 2 (8)所以(1+ k 2 )(a 2m 2 - a 2b 2 ) + km (-2kma 2 ) + m 2 (a 2k 2 + b 2 ) = 0 ................................. 10 且m 2 = r 2 (1+ k 2 )所以 (a 2 + b 2 )r 2 (1+ k 2 ) = (1+ k 2 )a 2b 2 ,. .............................. 11 所 以 1 + 1a 2b 2 = 1r 2 (12)21. 解(1)因为 f '(x ) = e x- a (1)①a ≤ 0 时, f '(x ) ≥ 0 恒成立,所以 f (x ) 在 R 上单调递增,无减区间; ............................. 2 21② a > 0 时, f '(x ) = e x - a = 0 有 x = ln a ,且 x ∈(-∞, ln a ) 时, f '(x ) < 0 . x ∈(ln a ,+∞) 时, f '(x ) > 0 ,所以 f (x ) 的增区间是(ln a ,+∞) ,减区间是(-∞, ln a ) ........................................... 4 (2) xf (x ) ≥ x 3 -5a + 3 x 2 + 3ax -1+ m 对任意 x ∈[0,+∞) 恒成立, 2所以 x (e x - ax ) ≥ x 3 -5a + 3 x 2+ 3ax -1+ m 对任意 x ∈[0,+∞) 恒成立 2所以m ≤ x (e x - x 2 + 3(a +1)x - 3a ) +1对任意 x ∈[0,+∞) 恒成立 (5)2 设 g (x ) = e x - x 2 + 3(a +1)x - 3a , x ∈[0,+∞) ,因为m 的最大值为 1, (6)2所以 g (x ) = e x - x 2 + 3(a +1)x - 3a ≥ 0恒成立2g '(x ) = e x - 2x + 3(a +1), (7)2 令h (x ) = e x- 2x + 3(a +1) 2所以h '(x ) = e x- 2 = 0 有 x = ln 2 ,且 x ∈[0, ln 2) , h '(x ) < 0 , x ∈[ln 2,+∞) , h '(x ) > 0所以g '(x ) ≥ g '(ln 2) = 2 + 3(a +1) - 2 ln 2 > 0 2所以g (x ) 在 x ∈[0,+∞) 是单调递增的。