《圆柱、圆锥、圆台的表面积》教学设计
8.3.2.1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积教案 高一数学人教A版(2019)必修第二册
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(教师独具内容)课程标准：知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．教学重点：圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积公式及其应用．教学难点：圆台的表面积与体积公式的推导．核心素养：1.通过总结圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式培养数学抽象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算培养直观想象和数学运算素养.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)圆台的高就是相应母线的长．( )2．做一做(1)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )A．6π B．8πC．9π D．10π(2)若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积为____.(3)圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是____.题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．122πB．12πC．82π D．10π(2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为____.(3)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____.[跟踪训练1] (1)圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比；(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积．题型二圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A．43π3B．3π6C．π2D．3π3(2)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )A．288πcm3B．192πcm3C．288π cm3D．192π cm3(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是____.[跟踪训练2] (1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )A．1 B．1∶2C.3∶2 D．3∶4(2)设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为____.题型三组合体的表面积与体积例3 如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[跟踪训练3] (1)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC 绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．(2)若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )A．1∶2 B．1∶ 3C．1∶ 5 D．3∶22．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝___.3．把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为____.4. 一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．5．已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A．π B．2πC．4π D．8π2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A．1＋2π2πB．1＋4π4πC．1＋2ππD．1＋4π2π3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( )A．3π B．33πC．6π D．9π4. 已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为( )A．8π3B．3πC．10π3D．6π5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )A．母线长是20 B．表面积是1100πC．高是10 2 D．体积是70003π3二、填空题6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____.8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是____.三、解答题9. 如图所示，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．10．如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO 1中有一内接长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设矩形ABCD 的面积为S ，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，AB ＝x .(1)将S 表示为x 的函数； (2)求V 的最大值．1．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cmD ．3312 cm2．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A ．3π2B ．7π2C ．5π2D ．9π23．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是____.4．圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．5．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(教师独具内容)课程标准：知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．教学重点：圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积公式及其应用．教学难点：圆台的表面积与体积公式的推导．核心素养：1.通过总结圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式培养数学抽象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算培养直观想象和数学运算素养.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)圆台的高就是相应母线的长．( )答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(1)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )A．6π B．8πC．9π D．10π(2)若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积为____.(3)圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是____.答案(1)A (2)2π(3)54π题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．122π B．12πC．82π D．10π(2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为____.(3)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____.[解析](1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.(2)由题意，得该圆锥的母线长l＝82＋62＝10，所以该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，所以该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.(3)设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r ＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.[答案](1)B (2)144π(3)7圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图．(2)依次求出各个平面图形的面积．(3)将各平面图形的面积相加．[跟踪训练1] (1)圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比；(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积．解(1)如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有rR＝R－rR，即rR＝12，∴R＝2r，圆锥的母线长l＝2R，∴S圆柱表S圆锥表＝2πr2＋2πr2πR·2R＋πR2＝4πr22＋1πR2＝4r22＋14r2＝12＋1＝2－1.(2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则它的母线长为l＝h2＋R－r2＝4r2＋3r2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A ．43π3 B ．3π6 C ．π2D ．3π3(2)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )A ．288π cm 3B ．192π cm 3C ．288π cm 3D ．192π cm 3(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是____.[解析] (1)由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为12×13×π×12×3＝3π6. (2)当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π(cm 3)．(3)设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(1＋4＋1×2)×3＝73π3.[答案] (1)B (2)AB (3)73π3空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[跟踪训练2] (1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )A．1 B．1∶2C.3∶2 D．3∶4(2)设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为____.答案(1)D (2)21π解析(1)设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有12·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝13πR2h＝43πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶ 4.(2)设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1DA＝∠A1DB＝90°，又∠A1AB＝60°，∴AD＝A1Dtan60°＝3，∴R－r＝ 3.∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴BD＝A1D·tan60°＝33，∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3.∴V圆台＝13πh(R2＋Rr＋r2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.∴圆台的体积为21π.题型三组合体的表面积与体积例3 如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos60°＝2a，AB＝CD sin60°＝3a.∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a.∴DO＝12DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2.∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2.∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·3a＝43πa3.V锥＝13S′h＝13·π·a2·3a＝33πa3.∴V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.求组合体的表面积与体积的方法(1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体．(2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢．[跟踪训练3] (1)如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC 绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．(2)若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．解(1)该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝ 3.所以圆锥的表面积S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π×1×3＝23π.所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋23π＝(12＋23)π.(2)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体．过点C作CE⊥AB于点E，设CD＝x，AB＝32 x，则AD ＝CE ＝BE ＝AB －CD ＝x 2，BC ＝22x .S 表＝S 圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·AD 2＋2π·AD ·CD ＋π·CE ·BC ＝π·x 24＋2π·x2·x ＋π·x2·22x ＝5＋24πx 2.根据题设，5＋24πx 2＝(5＋2)π，则x ＝2. 所以旋转体的体积V ＝π·AD 2·CD ＋π3·CE 2·BE ＝π×12×2＋π3×12×1＝7π3.1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5 D ．3∶2答案 C解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，∴S 底∶S 侧＝1∶ 5.故选C.2．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝___. 答案3解析 ∵圆锥SO 的高为4，体积为4π，∴4π＝43πr 2，∴r ＝ 3.3．把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为____.答案16π＋128 3解析由主视图数据可知半圆柱的半径为2，母线长为8，四棱锥的底面是边长为4和8的矩形，高为4，所以体积V＝12π×22×8＋13×4×8×4＝16π＋1283.4. 一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．解设圆台的上底半径为r，下底半径为R.由题图知母线l＝8,2πr＝π4×16,2πR＝π4×24，所以r＝2，R＝3.S侧＝π×(2＋3)×8＝40π，所以S表＝π×22＋π×32＋40π＝53π，圆台的高h＝l2－R－r2＝64－1＝37，所以V＝13(4π＋4π×9π＋9π)×37＝197π.5．已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，则r＝3，AD＝6，l＝62＋32＝9＝3.故几何体的表面积为S＝πrl＋πr2＋2πr·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm2)．几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·r2·AD－1 3πr2·AD＝π×3×6－13×π×3×6＝26π(cm3)．一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A．π B．2πC．4π D．8π答案 B解析由于侧面积为4π，∴2πrh＝4π，且h＝2r，∴r＝h2＝1，∴V＝πr2h＝2π.2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A．1＋2π2πB．1＋4π4πC．1＋2ππD．1＋4π2π答案 A解析设圆柱的底面半径为r，则其底面的周长为2πr，高为h＝2πr，且S侧＝4π2r2，S表＝4π2r2＋2πr2，∴S表S侧＝4π2r2＋2πr24π2r2＝2π＋12π.3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π答案 A解析 根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.4. 已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π答案 B解析 由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的14后剩余的部分，所以V 剩＝34×π×12×4＝3π.5．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )A ．母线长是20B ．表面积是1100πC ．高是10 2D ．体积是70003π3答案 ABD解析 如图所示，设圆台的上底面周长为C ，因为扇环的圆心角为180°，所以C ＝π·SA ，又C ＝10×2π，所以SA ＝20，同理SB ＝40，故圆台的母线AB ＝SB －SA ＝20，高h ＝AB 2－20－102＝103，体积V ＝13π×103×(102＋10×20＋202)＝70003π3，表面积S ＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π，二、填空题6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____. 答案3π3解析 易知圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝3π3. 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____.答案 38解析 由几何体的三视图可知，该几何体是长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．∴S 表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是____.答案 54解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.设原圆锥的高为h ，由相似知识得r3r＝h－h1h，∴h＝32h1，∴V原圆锥＝13π(3r)2×h＝3πr2×32h1＝92×12＝54.三、解答题9. 如图所示，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．解过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB＝5，因为AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形，所以底面半径DC＝AC·BCAB＝125，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝84π5.10．如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCD－A1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，AB＝x.(1)将S表示为x的函数；(2)求V的最大值．解(1)连接AC，∵矩形ABCD内接于⊙O，∴AC是⊙O的直径．∴AC ＝2，又AB ＝x ，∴BC ＝4－x 2， ∴S ＝AB ·BC ＝x 4－x 2(0<x <2)． (2)∵长方体的高AA 1＝1， ∴V ＝S ·AA 1＝x 4－x 2＝x 24－x 2＝－x 2－22＋4，∵0<x <2，∴0<x 2<4，当x 2＝2，即x ＝2时，V 取得最大值，此时V max ＝2.1．若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cm D ．3312 cm答案 B解析 水的体积V ＝π×22×6＝24π(cm 3)．设圆锥中水的底面半径为r ，则水的高度为3r ，∴13πr 2·3r ＝24π，∴r 3＝24 3.∴(3r )3＝216，∴3r ＝6，即圆锥中水面的高度为6 cm.2．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A ．3π2B ．7π2C ．5π2D ．9π2 答案 A解析 若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体是以△ACD 为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD 为轴截面的小圆锥后剩下的部分，其轴截面如图所示．设AD 与CB 的延长线交于点E .∵AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，∴AE ＝AB sin60°＝3，则所求体积为13π·AE2·CE－13π·AE2·BE＝13π·AE2·BC＝13π×(3)2×32＝3π2.故选A．3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是____.答案7∶9解析圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x,5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.4．圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．解如图所示是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于点H，则O1O＝A1H＝A1A sin60°＝43(cm)，AH＝A1A cos60°＝4(cm)．设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝43，②由①②可得r1＝2(3－1)，r2＝2(3＋1)．∴S表＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋3)π(cm2)．5．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？解(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝13Sh＝13×π×⎝⎛⎭⎪⎫1622×4＝256π3m3.如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝13Sh＝13×π×⎝⎛⎭⎪⎫1222×8＝96π m3.(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m. 圆锥的母线长l＝82＋42＝4 5 m，则仓库的表面积S1＝π×8×45＝325π m2.如果按方案二，仓库的高变成8 m，圆锥的母线长为l＝82＋62＝10 m，则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π m2.(3)∵V2>V1，S2<S1，∴方案二比方案一更经济．。
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积+教学案
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积教学目标1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积计算公式，解决有关的实际问题 教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式 教学难点：球的体积公式的推导 教学过程：一、 导入新课，板书课题上节课我们学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法，那么这节课我们学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法。
【圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积】 二、 出示目标，明确任务1. 了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台的体积的求法3. 了解球的表面积和体积的求法 三、 学生自学，独立思考（打开课本阅读116页-119页内容，限时5分钟） 1.找出你阅读内容中的知识点 2.找出你阅读内容中的重点3.找出你阅读内容中的困惑点、疑难问题 四、自学指导，紧扣教材自学指导一(阅读课本116页 至117页 归纳，限时5 分钟) 1.完成下列表格圆柱底面积： 侧面积：表面积： 圆锥底面积： 侧面积：表面积：圆台底面积： 侧面积：表面积：自学指导二（阅读课本117页 至119页 例4，限时5分钟） 1．球的表面积公式S ＝_______(R 为球的半径). 2．球的体积公式V ＝__________. 3. 阅读例3，完成以下几个问题（1）浮标可看成由________和_________组合而成； （2）1个浮标的表面积为：___________. 1000个浮标的表面积为：_________.则1000个浮标涂防水漆需要多少涂料：_______. 4. 阅读例4，完成以下几个问题已知，圆柱的底面直径和高都等于球的直径2R ， （1） 球的体积为：________; （2） 圆柱的体积为：________;（3） 球与圆柱的体积之比为：________；五、 自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT ）2.书面检测：课本119页练习1题 精讲点拨 自学指导1 1. 略2. 观察所给出的体积公式，得出棱柱、棱锥、棱台，它们之间的关系。
《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教学设计-优秀教案
1.单元（或主题）教学设计说明（依据学科课程标准的要求，简述本单元（或主题）学习对学生学科素养发展的价值；简要说明教学设计与实践的理论基础。
学习单元可以按教材内容组织，也可以按学科学业发展和学科核心素养发展的进阶来组织，还可以按真实情境下的学习任务跨学科组织。
）本节内容是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，它属于立体几何入门的内容，所以教学的目的在于使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，但不要求记忆公式，并能进一步计算简单组合体的表面积和体积。
2.单元（或主题）学习目标与重点难点（根据国家课程标准和学生实际，指向学科核心内容、学科思想方法、学科核心素养的落实，设计单元学习目标，明确重点和难点）教学目标：1.通过对柱体、锥体、台体的研究，了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法。
3.使学生通过表面积和体积公式的探究过程体会数学的转化和类比的思想。
4.通过学习，提高学生看图、识图的空间想象能力，提升直观想象的数学核心素养，同时培养学生勇于探索的精神。
教学重点：1.在知识的探究过程中培养学生的转化和类比思想。
2.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用。
教学难点：台体的表面积和体积公式的推导3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）（介绍单元整体教学实施的思路，包括课时安排、教与学活动规划，以结构图等形式整体呈现单元内的课时安排及课时之间的关联。
）空间几何体的表面积约一课时，空间几何体的体积约二课时。
侧重介绍公式推导的思想方法，采用阅读的形式介绍乐祖暅原理，让学生体会祖暅原理和积分思想。
在教学中我将采用引导教学法，借助多媒体和实物展示一步步地引导学生认识几何体的结构特征和展开图，和学生一起探究知识的形成过程及如何应用所得到的公式，将重点放在培养学生的空间想象能力和知识的迁移、类比的能力上，不在公式推导过程上纠缠。
第1课时教学设计（其他课时同）课题空间几何体的表面积新授课四章/单元复习课口专题复习课口课型习题/试卷讲评课口学科实践活动课口其他口1.教学内容分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，其作用有二：一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；二，介绍求表面积的方法，即把它们展成平面图形，通过求平面图形的面积的方法，求立体图形的表面积，然后通过“探究”和“思考”引导学生探究柱体，锥体，台体的展开图，并在讨论过程中归纳圆柱，圆锥和圆台的表面积公式，在整个表面积研究过程中，教材都传达了将立体问题平面化的思想，因此在表面积教学过程中应注意引导学生体会这一点。
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的的表面积和体积(教学设计)
第八章立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、教学目标1、了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式；2、了解圆柱、圆锥、圆台、球的体积公式；3、运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式解决问题.二、教学重点、难点重点：了解记忆圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式难点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式解决简单的实际问题.三、教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱棱锥棱台底面积为S，高为h底面积为S，高为h 上底面积为S'，下底面积为S，高为hV Sh=棱柱13V Sh=棱锥1()3V h S S S S''=++棱台【问题】如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积？（二）阅读精要，研讨新知【发现】圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，它们的表面积就是围成它的各个面的面积的和.圆柱及侧面展开图圆锥及侧面展开图圆台及侧面展开图底面半径r ，母线l底面半径r ，母线l上下底面半径,,r r '母线l2S rl π=圆柱侧S rl π=圆锥侧 ()S r r l π'=+圆台侧2()S r r l π=+圆柱表()S r r l π=+圆锥表22()S r r r l rl π''=+++圆台表2V r h π=圆柱213V r h π=圆锥221()3V h r r r r π''=++圆台[例1]已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π知识小结一：求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤 (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加．[例2] （1）若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则此圆锥的体积是( ) A.643πB. 1283πC. 64πD. 1282π(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π知识小结二：圆柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出． (2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．【问题】球能与圆柱、圆锥、圆台一样有侧面展开图吗？球的表面积和体积如何求取？ 【课本研读】阅读课本117118P P -，记忆球的表面积和体积公式.球球半径R24S R π=球343V R π=球【例题研讨】阅读领悟课本118P 例3、例4（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）例3如图8.3-4， 某种浮标由两个半球和一个圈柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6 m ，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg 涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料? (π取3. 14)例4如图8.3-6， 圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.[巩固练习]（1）球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16πC.16π3D.64π3（2）一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( ) A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3（3）一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________． 知识小结三：1．求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.（三）归纳小结，回顾重点（四）当堂诊学2S rl π=圆柱侧S rl π=圆锥侧 ()S r r l π'=+圆台侧2()S r r l π=+圆柱表()S r r l π=+圆锥表22()S r r r l rl π''=+++圆台表2V r h π=圆柱213V r h π=圆锥221()3V h r r r r π''=++圆台24S R π=球343V R π=球1. 圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于（）A．72πB．42πC．63πD．72π2. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A.πB.2πC.4πD.8π3.若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．4.若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是( )A．2C4πB．2C2πC．2CπD．2πC2（五）作业布置，精炼双基1、完成导学案8.3.22、阅读《祖暅原理与柱体、椎体的体积》四、课堂板书五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
《圆柱的表面积》教学设计（精选17篇）
《圆柱的表面积》教学设计《圆柱的表面积》教学设计（精选17篇）作为一名老师，时常需要编写教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。
一份好的教学设计是什么样子的呢？以下是小编为大家整理的《圆柱的表面积》教学设计，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
《圆柱的表面积》教学设计篇1预设目标：1、使学生理解和掌握圆柱体侧面积的计算方法，能正确计算圆柱的侧面积和表面积。
2、培养学生的观察、操作、概括的能力以及利用知识合理灵活地分析、解决实际问题的能力。
3、培养学生的合作意识和主动探求知识的学习品质。
教学重、难点：1、理解和掌握圆柱体的侧面积和表面积的计算方法。
2、培养学生科学的学习态度。
教学过程：一、检查复习，引入新课。
1、检查：拿出自制的圆柱，分别指出它的底面、侧面和高。
2、复习：点名说说圆柱两底的关系，圆柱高的条数和关系以及侧面展开可能是什么样的图形。
3、引入：两个底面和侧面合在一起就是圆柱的表面，这节课我们来学习圆柱的表面积。
板书：圆柱的表面积二、引导探究，学习新知。
1、侧面积的意义和计算方法。
⑴摸一摸自制圆柱体的侧面，谈一谈自己感觉到什么。
⑵想一想用我们已有的知识，能不能求出这个曲面的面积。
（你能求出这个曲面的面积吗？）小组讨论：有什么好办法求出圆柱的侧积吗？⑶剪一剪自制圆柱，汇报交流结果。
⑷说一说：圆柱体的侧面可转化为已学过的平面图形是什么？它的侧面积正好等于底面周长乘高的乘积。
板书：圆柱的侧面积＝底面周长×高⑸算一算：求出圆柱的侧面积，同学自己自作，交流结果。
小结：计算圆柱体的侧面积的方法是什么？⑹做一做：课本76页例1及77页的第一题。
2、表面积的意义及计算方法⑴自读课本：什么是圆柱的表面积？板书：圆柱的表面积=侧面积+2个底面积⑵练一练：（小黑板出示）⑶小结：圆柱的侧面积等于底面积周长与高的乘积，圆柱的表面积等于两个底面积与侧面积的和，但在实际生活的应用中，有许多问题要根据实际情况，合理灵活地求出圆柱的表面积。
小学数学《圆柱的表面积》教学设计优秀6篇
小学数学《圆柱的表面积》教学设计优秀6篇圆柱的表面积教学设计篇一一、教学目标【知识与技能】结合教学用具和学生已有认知，探索圆柱表面积的计算方法，能正确计算圆柱的表面积和侧面积，并根据公式解决实际问题。
【过程与方法】通过想象、操作等活动，知道圆柱侧面展开图是长方形的同时，熟记表面积的计算公式，发展空间观念。
【情感态度与价值观】能根据具体情境，借助圆柱表面积的计算方法解决生活中的一些实际问题，体会数学与实际生活的密切联系。
二、教学重难点【教学重点】圆柱表面积的计算方法以及在生活中的应用。
【教学难点】圆柱表面积的计算方法在生活中的应用。
三、教学过程（一）导入新课师：在前面的学习中，我们已经认识了圆柱，并且知道了生活中有很多物体的形状是圆柱。
大家来看，这个圆柱形状的物体。
它的'制作需要一定的材料（出示一个茶叶盒）请同学们想一想，要“制作这样一个茶叶盒需要多少材料”，实际上是在求圆柱的什么？（边演示边讲解）（二）生成原理（1）介绍圆柱的侧面积、底面积和表面积师生活动：要求“制作茶叶盒所需的材料”实际上是求圆柱的侧面积和两个底面面积（边演示边说），我们把圆柱侧面的面积叫做圆柱的侧面积，把圆柱底面的面积叫做圆柱的底面积，圆柱的侧面积加上两个底面的面积叫做圆柱的表面积。
（2）创疑激趣师：我们知道，圆柱的底面是圆，我们已经掌握了圆的面积，可是圆柱的侧面是一个曲面，我们又该怎么求它的面积呢？（3）小组合作交流师：请同学们想一想，我们能不能把圆柱的侧面转化成所学过的图形来求侧面积？（小组合作探究结合上节课所学的知识和圆柱的特征研究）ppt展示小组汇报：圆柱的侧面积就等于长方形的面积，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高，因此圆柱的侧面积也就等于圆柱的底面周长乘以高。
（4）学会计算圆柱的表面积师：我们已经会求圆柱的侧面积，那圆柱的表面积呢？（让学生回答，教师板书求表面积的算式，并板书课题“圆柱的表面积”）师生活动：用字母表示侧面积和底面积的话，该如何表示圆柱的表面积。
《柱体、锥体、台体的表面积》教学设计(优质课)
柱体、锥体、台体的表面积（一）教学目标1．知识与技能（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.（二）教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算.难点：展开图与空间几何体的转化.（三）教学方法学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合..成的大矩形如图.，各面均为等SBC =的关系吗？...么？如何计算它们的体积？…….....器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，备用例题例1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q 1，Q 2，求直平行六面体的侧面积.【分析】解决本题要首先正确把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形.【解析】如图所示，设底面边长为a ，侧棱长为l ，两条底面对角线的长分别为c ，d ，即BD = c ，AC = d ，则12222(1)(2)11()()(3)22c l Qd l Q c d a ⎧⎪⋅=⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 由（1）得1Q c l =，由（2）得2Q d l =，代入（3）得22212()()22Q Qa l l+=， ∴2222124Q Q l a +=，∴2la ∴S 侧=4al =例2 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积. 【解析】由三视图知正三棱柱的高为2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为设底面边长为a=a = 4. ∴正三棱柱的表面积为S = S 侧 + 2S 底 = 3×4×2 + 2×142⨯⨯24=+2).例3 有一根长为10cm ，底面半径是0.5cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01cm ）【解析】如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.由题意知，BC=10cm，AB = 20.588ππ⨯⨯=cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.∴AC=27.05≈(cm).所以，铁丝的最短长度约为27.05cm.【评析】此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.例4．粉碎机的下料是正四棱台形如图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm. 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？【分析】问题的实质是求四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求出斜高，可在有关的直角梯形中求出斜高.【解析】如图所示，O、O1是两底面积的中心，则OO1是高，设EE1是斜高，在直角梯形OO1E1E中，EE1=∵边数n = 4，两底边长a = 440，a′= 80，斜高h′=269.∴S正棱台侧 = 11()()22c c h n a a h''''+⋅=+⋅= 514(44080)269 2.8102⨯⨯+⨯≈⨯（mm2）答：制造这一下料斗约需铁板2.8×105mm2.图4—3—2。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 高中数学获奖教案
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标1. 数学抽象：通过圆的面积推导方法由球的表面积推出其体积公式。
2. 逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。
3. 数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生数形结合能力，有利于数学建模中数形结合能力。
4. 数据分析：通过利用表面积及体积公式解决一些计算问题。
二、教学重难点1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；2.掌握棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积,会解决球的切、接问题三、教学过程1 创设情景让学生回顾棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积【设计意图】把已学知识与新知建立联系，温故知新。
并引出本节新课内容2 新知探究问题1:圆柱、圆锥、圆台的展开图是什么？(小组合作，学生回答，教师点拨)生答:圆柱的侧面展开图为矩形:圆锥的侧面展开图是扇形:圆台的侧面展开图是扇环:问题2:如何求它们的表面积与体积？(提出本节课所学内容)问题3:圆柱、圆锥、圆台三者的表面积与体积公式之间有什么关系？大家能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？小组合作，学生回答，教师点拨问题4:你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？小组合作，学生回答，教师点拨【设计意图】段炼学生推理能力, 培养学生数形结合能力.3新知建构圆柱的表面积公式:;圆柱的体积公式:r 是底面半径，h 是高,则;圆锥的表面积公式:;圆锥的的体积公式:r 是底面半径，h 是高,则; 圆台的表面积公式:;圆台的体积公式:,其中S ，分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）的高 球的表面积公式：（R 为球的半径）;球的体积公式:设球的半径为R ，则 球的体积：利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。
如图，把球O 的表面分成n 个小网格，连接球心O 和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n 个“小锥形”。
《圆柱、圆锥、圆台》示范课教学设计【高中数学教案】
《圆柱、圆锥、圆台》教学设计◆教学目标理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义和结构特征，能识别和区分这些几何体；掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积公式，能运用公式解决简单的实际问题．◆教学重难点◆教学重点：圆柱、圆锥、圆台的定义、结构特征、侧面积和表面积．教学难点：能够根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征识别和区分几何体．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入问题1：从生活中的一些物体抽象出圆柱、圆锥、圆台．师生活动：生活中的一些物体抽象出圆柱、圆锥、圆台．设计意图：以生活中的实物为出发点，引导学生通过观察，分析、抽象概括出圆柱、圆锥、圆台、球的概念．从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习旋转体.（板书：旋转体）【新知探究】1．分析实例，感知圆柱、圆锥、圆台问题2：如图所示，观察它们的结构，总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式．师生活动：学生分析，给出答案．追问：如何定义旋转体？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆柱．如图(1)．圆锥：以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆锥．如图(2)．圆台：以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆台．如图(3)．旋转体：(1)定义：用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体．(2)有关概念：旋转轴称为旋转体的轴，在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线．轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面．如圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．2.在大量实例感知的基础上，总结出圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积公式．问题3：如何定义、计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：旋转体的侧面积：旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积．旋转体的表面积：侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(全面积)．为了求圆柱、圆锥、圆台的表面积，分别需要知道哪些条件？怎样求出它们的表面积？圆柱的底面积、侧面积、表面积底面积：S底＝πr2、侧面积：S侧＝2πrl、表面积：S＝2πr2＋2πrl圆锥的底面积、侧面积、表面积底面积：S底＝πr2、侧面积：S侧＝2πrl、表面积：S＝πr2＋πrl圆台的底面积、侧面积、表面积上底面面积：S上底＝πr′2、下底面面积：S下底＝πr2、侧面积：S侧＝π(r＋r′)l、表面积：S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：圆台中任意两条母线都相交，任意一条母线与底面都相交，两个底面相互平行.设计意图：学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．例2. （1）圆柱′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________.（2）如图，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积为________.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：（1）24π32π；（2）2π设计意图：通过观察与分析，获得锥、柱的相关概念，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】问题：（1）圆柱、圆锥、圆台的关系有哪些？（2）与旋转体的轴截面有关的计算有哪些？（3）如何计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素，因而，在涉及这些元素的计算时，通常利用轴截面求解．在圆台的轴截面中，将等腰梯形的两腰延长，在三角形中可借助相似求解．这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．设计意图：以生活中的实物为出发点，引导学生通过观察，分析、抽象概括出圆柱、圆锥、圆台、球的概念．从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业：【目标检测】1. 正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥设计意图：旋转体概念辨析2. 关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．设计意图：进一步掌握圆台的有关概念．3. 一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.设计意图：进一步掌握圆锥的有关计算．4. 已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径． 设计意图：进一步掌握圆柱的有关计算．设计意图：进一步掌握球的表面积的有关计算． 参考答案： 1．D 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．2．②③④ 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．3.103 如图是圆锥的轴截面，则SA ＝20 cm ．∠ASO ＝30°，∴AO ＝10 cm ，SO ＝10 3 cm.4．设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.。
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计2023-2024学年人教A版2019必修第二册
课堂教学设计学科：数学姓名：课题：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课型：新授课课程标准分析《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》系人教A版高中数学必修第二册第八章第三节的内容，本节内容是圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的球法，在学习了多面体的表面积与体积的基础上，进一步深入研究空间几何体中旋转体的特征并进行表面积和体积的运算，最后提升到简单组合体的面积和体积的计算，提升直观想象和数学运算的核心素养。
教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节主要通过类比多面体表面积与体积求法，研究推导圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积，最后运用解题。
（二）学生情况分析一方面，从知识层面来看，学生在初中初步学习过圆柱与圆锥的表面积与体积公式，有一定的知识基础，另一方面，从学生能力层面来看，通过上一节的学习，学生初步掌握立体图形求表面积和体积的一般方法，具备类比归纳的思想，但在总结描述及综合运算方面的能力，还有所欠缺。
教学目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．教学重点和难点1、重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式的运用2、难点：圆台表面积公式推导及柱体、椎体、台体的公式联系教学资源和教学方法教学资源：多媒体教学教学方法：讲授法、合作探究法。
教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图教师个人二次备课复习引入课题问题1：回顾初中所学知识，我们将一个圆柱展开，得到什么样的平面图形？问题2：圆柱的表面积公式如何计算？教师投影出问题，学生回答，教师总结评价，师：要研究一个立体图形的表面积，我们可以将空间曲面展开为平面图形进行求解，下面我们就借助以往的学习经验和方法，继续探索圆锥和圆台的表面积。
以旧导新，培养学生知识的系统性和学生学习的积极性。
探究圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积公式问题3：请同学们想象，将圆锥展开，得到什么样的图形？追问：那它的表面积如何计算？问题4：将圆台展开，得到什么样的图形？追问：那它的表面积如何计算？问题5：现在我们已经得到了圆柱、圆椎与圆台的表面积公式，他们之间是否有相似之处？追问：类比上一节学习棱柱、棱椎、棱台的经验，你能从圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？问题6：上一节我们学习了棱柱、棱椎、棱台的体积公式分别是什么？问题7：初中学的圆柱、圆锥的体积公式分别是什么？问题8：请观察这些公式的特学生观察、思考、回答，教师评价讲解，学生回答底面积公式，教师引导利用相似三角形推导圆台侧面积公式，学生思考，自主讨论推导。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学内容圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学目标结合基本立体图形的结构特征了解简单几何体的表面积和体积公式，能够使用公式计算它们及其组合体的表面积和体积.教学重难点重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式.难点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式.教学设计过程1.复习引入问题1：知道了多面体的表面积是多面体各个面的平面图形的面积之和，那圆柱、圆锥、圆台的表面积呢.答：圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积之和.2.新知探究问题2：圆柱、圆锥、圆台有的面是曲面，需要将其展开，大家可以根据展开图得到它们的表面积公式么？师生活动：画出这几种几何体的展开图，完成表面积公式的推导.答：S圆柱=2S底+S侧=2πr2+2πrl(r是底面半径，l是母线长)S圆锥=S底+S侧=πr2+πrl(r是底面半径，l是母线长)S圆台=S上底+S下底+S侧=πr2+πr′2+π(r+r′)l(r’、r分别是上、下底面半径，l是母线长)追问：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系呢？答：当圆台的上底面缩小成一个点，即r′=0，圆台的表面积公式就转化成圆锥的表面积公式；当圆台的上底面扩大到和下底面全等时，即r′=r，圆台的表面积公式就转化成圆柱的表面积公式.:设计意图：几何体的表面积就是各个面的面积之和，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，直接应用圆的面积公式，但是侧面是曲面，得先展开成平面.用运动变化的观点，从圆柱、圆锥、圆台的结构特征去总结原因，提高学生的抽象概括能力.问题3：我们以前学习圆柱、圆锥的体积公式.它们分别是什么？师生活动：回顾旧知识，直观回答柱体的体积公式.答：V圆柱=πr2ℎ(r是底面半径，h是高)V圆锥=13πr2ℎ(r是底面半径，h是高)追问：圆台是由圆锥截成的，可以利用两个圆锥的体积差，得到圆台的体积计算公式.大家能自己推导一下么？师生活动：画示意图，利用相似，引导学生独立推导.答：SO′SO′+ℎ=r′r⇒ SO′=ℎr′r−r′圆锥SO′的高ℎr ′r−r′圆锥SO的高ℎr ′r−r′+ℎ=rℎr−r′V圆锥SO′=13πr′2ℎr′r−r′V圆锥SO=13πr2rℎr−r′V圆台OO′=V圆锥SO−V圆锥SO′=13πr2rℎr−r′−13πr′2ℎr′r−r′=13πℎ(r2+rr′+r′2)追问：将棱柱、棱锥、棱台与圆柱、圆锥、圆台的体积公式归纳起来思考，有什么收获，能否得到一般化的柱体、锥体、台体的体积计算公式？答：当台体的上底面扩大到与下底面全等时，即S1=S2=S,13(S1+√S1S2+S2)=S 台体公式转化成了柱体公式. 当台的上底面缩小到一个点时，即S2=0，S1=S，1 3(S1+√S1S2+S2)=13S，台的体积公式转化为锥的体积公式.设计意图：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系以及圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系，保持一致，都由几何体自身结构特征决定，引导学生思考知识间的联系，完善数学认识结构.问题4：我们还有一种特殊的几何体“球”，圆的周长和面积都与其半径有关，那么球的表面积与体积是不是也与其半径有关呢？师生活动：学生阅读教材，回答出球的表面积公式和体积公式.答：设球的半径R，S 球=4πR2，V球=43πR3设计意图：类比圆，猜想球，阅读教材，获取信息.追问：如何在球表面积基础上，推导球的体积公式？师生活动：小组互动，学生探讨，点名交流.答：把球O分成n个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体被分割成n个小锥体.当n越大，每个小锥体的底面越平，就越近似于棱锥，其高越近似球的半径R.V O−ABCD≈13S ABCD RV 球=nV O−ABCD， S球=nSO−ABCD底面V 球=13S球R=13×4πR2⋅R=43πR3设计意图：类比圆的面积推导过程，推导球的体积公式，让学生体会极限的思想方法，培养学生的空间想象能力，发展直观想象的学科核心素养.3.应用举例例1：圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积比？师生活动：学生独立完成，老师点评.解：设球的半径R，则圆柱的底面半径R，高2R，V 球=43πR3，V圆柱=πR2⋅2R=2πR3V球: V圆柱=43πR3: 2πR3=23设计意图：球的体积与圆柱的体积有内在联系，实际上球的体积可以由圆柱的体积推导得出，而这个题是希望有能力的学生在此有足够的思考.4.归纳总结回顾本节课的内容，回答下面问题.（1）怎么求旋转体的表面积？（2）常见旋转体的体积公式有哪些？（3）如何推导圆台的体积公式？（4）柱、锥、台它们体积公式之间有什么联系？。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 教学设计
第八章立体几何初步8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一．教学目标1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法；2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积；二．教学重点、难点1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积；2.教学难点：与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积。
三．学法与教学用具1.学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2.教学用具：多媒体设备等四．教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】(配合多媒体课件）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱棱锥棱台底面积为S ，高为h底面积为S ，高为h上底面积为S '，下底面积为S ，高为hV Sh=棱柱13V Sh=棱锥1()3V h S S S S ''=++棱台【问题】如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积？ （二）阅读精要，研讨新知1.【发现1】圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，它们的表面积就是围成它的各个面的面积的和。
【发现2】探索圆柱、圆锥、圆台体积的计算方法。
利用几何画板、微课进行直观探索圆柱及侧面展开图圆锥及侧面展开图圆台及侧面展开图底面半径r ，母线l底面半径r ，母线l上下底面半径,,r r '母线l2S rlπ=圆柱侧S rlπ=圆锥侧()S r r lπ'=+圆台侧2()S r r l π=+圆柱表()S r r l π=+圆锥表22()S r r r l rl π''=+++圆台表2V r hπ=圆柱213V r hπ=圆锥 221()3V h r r r r π''=++圆台2.随堂小测（1）游戏PK1.圆柱的表面积就是侧面积( )2.在一个圆锥中，母线长度不一定相同( )3.圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的( )4.圆锥体的体积等于底面积与高之积( )5.圆台体的体积，可转化为两个锥体体积之差( )（2）选择填空：1.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的A．4倍B．3倍 C.倍D．2倍2.圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为()3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于() A．72 B．67πC．42πD．72π（三）探索与发现、思考与感悟例1.已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和．①求圆台的母线长．②求圆台的表面积．小结：通过练习让学生熟记公式并且能够灵活应用公式求未知量例2如果将如图的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？小结:通过做辅助线能够把一个组合体拆分成规则几何体，从而达到解决问题的目的。
高一数学(人教A版)圆柱圆锥圆台球的表面积和体积1教案
教案基础知识一、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（一）表面积1.通过展示圆柱、圆锥、圆台的平面展开图，得到三者的表面积公式；2.用运动变化的观点，从结构特征上体会圆柱、圆锥、圆台表面积公式之间的关系，从而加深记忆。
当上底扩大，使r’=r时，圆台变化为圆柱，当上底缩小，使r’=0时，圆台变化为圆锥。
所以在公式体系中，令圆台表面积公式中r’=r时,则可以得到圆柱的表面积公式（，令r’=0时,则可以得到圆锥的表面积公式（二）、体积1.体积公式通过圆柱的体积公式为Sh、圆锥的体积为13Sh，让学生直观感受公式的形成过程，体会知识之间的联系，从而加深对公式的了解给学生提供“思考、总结、归纳”的机会培养学生“观察——猜想——证2222()S r rl r r lπππ=+=+圆柱2()S r rl r r lπππ=+=+圆锥2'2'S l lπ=圆台（r+r+r+r）基础知识由球的结构特征我们知道，球的大小只与球的半径有关，但是因为球是一个特殊的旋转体，球面是不能平面展开的图形，所以对于球的表面积公式的推导，有兴趣的同学可以课下查阅资料进行自主探究，去体会一下先贤们是如何解决这一问题的。
在本节课中，我们只需了解球的表面积公式为24Rπ即可。
3.球的体积类比圆面积公式的推导方法：将圆n等分，可知圆内接多边形的面积为n个全等的等腰三角形的面积之和。
等于二分之一乘以小三角形的高h再乘以各底边边长之和，即等于二分之一乘以高h再乘以正多边形的周长。
可以发现，当所分份数n越大，每一个小三角形的高h越近似于圆的半径R,正多边形的周长也越近似于圆的周长2Rπ。
当n无穷大时，就得到了圆面积公式21=22S R R Rππ⋅=圆。
把球O 的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个小锥体.当n越大，以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R．13O-ABCD ABCDV S R≈其中一个小锥体，它的体积是．由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．下可以通过查阅资料资料继续研究感受“先分割，再求近似和、最后取极限”的“微积分思想”体验用微积分思想推导球的体积公式这个过程。
柱体、锥体、台体的表面积与体积教学设计
《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教学设计(总7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《柱体、锥体、台体的表面积》教学设计一、教材的理解与处理空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。
棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。
二、教学目标确定说明学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力，还缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成.数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积的探索，学会将空间问题转化为平面问题进行解决的数学思想方法.2.过程与方法：使学生在表面积公式的推导过程中充分感受数学的转化思想、类比思想，提高学生分析问题与解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度.三、教学重点、难点确定说明本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。
这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。
数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积四、教学策略的选择说明丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是数学教学追求的。
新人教版高中数学必修第二册《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教学设计
【新教材】8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计（人教A版）本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.课程目标1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；难点：圆台的体积公式的理解.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-119页，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？3．球的表面积与体积公式各式什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2)侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′＋r)l表面积S表＝2πr(r+l) S表＝πr(r+l) S表＝π(r′2＋r2)+ π(r′＋r)l（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13 Sh.3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h.(三) 球的体积公式与表面积公式 1．球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝4πR2.四、典例分析、举一反三题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【答案】8π 12π.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm的等边三角形，∴OB＝2 cm，PB＝4 cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π (cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π (cm2)．解题技巧（求旋转体表面积注意事项）旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 跟踪训练一1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A．81πB．100πC．168πD．169π【答案】C【解析】选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）【答案】423.9kg【解析】一个浮标的表面积是()2220.150.640.150.8478mππ⨯⨯+⨯=，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9(kg)⨯⨯=.解题技巧(求几何体积的常用方法)(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练二1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．【答案】10π.【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【答案】见解析【解析】由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos60°＝2a，AB＝CD sin60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13·π·a2·3a＝33πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.题型三球的表面积与体积例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.【答案】23【解析】 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .球的体积3143V R π=，圆柱的体积23222V R R R ππ=⋅=，123342::233V V R R ππ∴==.例4 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π【答案】B【解析】如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1.∴OM ＝(2)2＋1＝3.即球的半径为3.∴V ＝43π(3)3＝43π.解题技巧（与球有关问题的注意事项）1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2a2，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝a 2+b 2+c 22，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a .5．正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为：2R ＝62a .6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.跟踪训练三1、将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【答案】A.【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V 球＝43×π×13＝4π3.2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【答案】B.【解析】选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝(33a)2＋(12a)2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本119页练习，119页习题8.3的剩余题.本节课的重点是掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.须注意的是:①求面积时看清求的是侧面积，还是底面积，还是表面积；②对本节课的难点的理解类比棱台与棱锥、棱锥的联系；③解决实际问题时先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.3、球的表面积与体积公式。
〖2021年整理〗《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》优秀教案
《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图问题引入在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？学生思考后讨论交流，教师点明课题通过提出问题，激发学生的学习兴趣，引起学生思考圆柱、圆锥、圆台的表面积1圆柱、圆锥、圆台的表面积公式2()S r r lπ=+圆柱（r是底面半径，是母线长），()S r r lπ=+圆锥（r是底面半径，是母线长），()22S r r r l rl'π=+'++圆台（r'，r分别是上、下底面半径，是母线长）2圆台的表面积公式与圆柱及圆锥的表面积公式之间的关系师：在上一节课我们已经学习了如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积，你还记得用什么方法求的吗？生：通过展开转化为求平面图形面积师：圆柱、圆锥的侧面展开图是什么？生：圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形师：如果它们的底面半径均是r，母线长均为，则它们的表面积是多少？师：打出投影片（教材图）生1：圆柱的底面积为2rπ，侧面积为2rlπ，因此，圆柱的表面积是2222()S r rl r r lπππ=+=+圆柱通过类比求棱柱、棱锥、棱台表面积的方法推导出圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，加深对公式的认识与理解用联系的观点寻找圆台的表面积V Sh =柱体（S 为底面积，h 为柱体高）， 13V Sh =维体（S 为底面积，h 为锥体高），()13V S S S S h ''=++台体（S '，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高）5柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系教师个别指导，指出存在的问题师生共同得出圆台的体积公式()22 13V h r r r r 'π'=++圆台（r '，r 分别是上、下底面半径，h 是高）师：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？学生思考、讨论、交流教师引导学生通过类比得出结论，并适时点拨师：结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？学生思考、交流，得出结论师：台体的体积公式与柱体、锥体的体积公式之间有什么关系吗？生：令0S '=，得到锥体的体积公式令S S '=，得到柱体的体积公式圆台的体积公式，这一步放手交给学生去做，既帮助学生复习了旧知，又向学生渗透了类比的数学思想方法 通过统一柱体、锥体、台体的体积公式，形成体积公式体系，建立起柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系球的表面积和体积1球的表面积公式2 4S R π=球（R 为球的半径）例1 如图，某种浮标由两个师：球既没有底面，也无法像柱体锥体、台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积呢？ 学生思考、猜想例1的设置主要考查有关球的组半球和一个圆柱粘合而成，半球的直径是，圆柱高如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取）解：一个浮标的表面积为220.150.640.15ππ⨯⨯+⨯ ()20.8478m =，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000423.9⨯⨯=（g ）2球的体积公式43V R π=球（R 为球的半径）例2 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比解：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R因为3 43V R π=球，23 22V R R R ππ=⋅=圆柱，教师给出球的表面积公式，引导学生思考球的表面积与球的半径的具体关系 生：球的表面积与半径的平方成正比，比例系数为4π展示例1题干，引导学生思考：如何求一个浮标的表面积？生：两个半球的表面积与圆柱的侧面积的和 先让学生思考，然后请学生进行板演学生板演解答过程教师指出学生板演过程中存在的问题，并进行点评、总结师：在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？学生回忆、思考，得出方法：通过将圆分割成多个扇形，然后利用三角形的面积近似取代扇形面积，然后相加师：你能类比圆的面积公式推导方法，由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？学生思考、尝试、讨论、交流，得出结论师生：分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式合体的表面积的计算通过类比圆的面积公式推导方法以及教师的讲解，让学生初步感受“分割”“近似替代”等思想，渗透极限思想 例2的设置主要考查球和圆柱的体积公式的应用板书设计教学研讨本案例介绍了圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，重点是要会利用它们来求解与之相关的问题建议在该案例中还可以在两个方面进行补充、拓展：1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的半径2球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图。
高中数学必修二《柱体、锥体、台体的表面积》优秀教学设计
课型
新授课
学习目标
三维目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体与柱体体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
自学
1.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何算它们的面积？
检测
让学生总结讨论结果。
后教
1.推导圆锥、圆台的表面积公式。
2.例题讲解：
例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者之间的面积关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
教学重点
柱体、锥体、台体的表面积计算
教学难点
台体表面积公式的推导
课前准备
教案、课件、实物几何体
教学方法
先学后教，学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
例2例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到1cm）？
练习
当堂训练：【课堂训练】
1、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
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1.3.1 空间几何体的表面积和体积
第2课时 圆柱、圆锥和圆台的表面积
三维目标
1.了解圆体、圆锥、圆台的表面积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.
2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力. 重点难点
教学重点：了解圆体、圆锥、圆台的表面积计算公式及其应用. 教学难点：表面积计算公式的应用. 课时安排 1课时
教学过程
一、复习回顾
①初中学过的平面图形的面积公式
棱柱、棱锥、棱台的表面积 面积:平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小 表面积：几何体表面面积的大小
二、导入新课
思考：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，圆体、圆锥、圆台的侧面展开图是怎样的？你能否计算？
我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2π
r(r+l).
图2 图3
圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).
点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).
图4
⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：
圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：
S圆柱表=2πr(r+l)−
−−
←=
=r
r
r2
1S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)−
−
−→
−=
=r
r
r2
1
,0S
圆锥表
=πr(r+l).
从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.
练习：
1、看图回答下列问题：
2.一个圆柱形锅炉的底面半径为1m ,侧面展开图为正方形，则它的表面积为
h=
__
__
S
S
=
=
圆柱侧
圆柱表
__
__
S
S
圆锥侧
圆锥表
=
=
__
__
S
S
=
=
圆台侧
圆台表
2
m
2题 3题
3.以直角边长为1的等腰直角三角形的一直角边为轴旋转，所得旋转体的表面积为____________. 典型例题
例2、.如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm
15cm
孔直径为1.5 cm ，盆壁长15cm.为了美化花盆外观，需要涂油漆.已知每平方米用100ml 油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？（π取3.14，结果精确到1ml ） 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
2225.115220
15215215⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS 21000()cm ≈2
0.1()m =
涂１００个花盆需油漆：0.1100100
⨯⨯=答：涂１００个这样的花盆约需要1000毫升油漆．
例3、已知圆台的上、下底面半径分别是r 、R ， 且侧面积等于两底面积之和，求圆台的母线长。
解：设圆台母线长为l ，则
()22r R r R l
πππ+=+
22
r R l r R +∴=
+ 故圆台的母线长为
22
r R r R ++ ．
课堂训练：
1、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm。
它的展开图的形状为________。
该图形的弧长为_____cm，半径为______cm，所以圆锥的侧面积为______cm2。
扇形；4π；3 ；6π
2、有一张白纸，宽为4π，长为12π，现在将白纸卷成圆柱，求它的底面半径。
3已知圆台的上底面半径为r’ =2,下底面半径为r =4，母线长为l =5，求①它的侧面积，②两底面面积之和。
课堂小结
本节课学习了：
1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式.
2. 应用表面积公式解决有关问题.
作业
习题1.3 A组第1、2题.
设计感想
新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求表面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.。