全等三角形 的判定SAS典型例题
三角形全等的判定1(SAS)
6
5
③
2.在下列图中找出全等三角形，并把它 们用直线连起来.
30º
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ
Ⅴ
30º
Ⅷ
Ⅶ
范例学习
例1:
已知：如图，AD∥BC，AD=CB 求证：△ADC≌△CBA
A D 1
分析：观察图形，结合已知条件，知， AD=CB，AC=CA，但没有给出两组 对应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能 B 使全等条件充足。
课的内容
• 1，确定一个三角形形状需要几个元素 • 2，判断两个三角形全等至少需要几个条件 • 3，利用SAS判断三角形全等
复习：全等三角形的性质
若△AOC≌△BOD， 对应边: AC= BD ， AO= BO ， CO= DO ， 对应角有: ∠A= ∠B ， ∠C= ∠D ， ∠AOC= ∠BOD ;
B
C
归纳总结，继续探究
• 确定一个三角形的形状，大小需要三个元 素，确定三角形形状，大小的条件能否作 为判断三角形全等的条件呢？
操作:
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边长为4cm：
②只给一个角为60°：
可以发现只给一个 条件画出的三角形 不能保证一定全等
60°
60°
A D
B
C
E
F
在人工湖的岸边有A、B两点，难以直 接量出A、B两点间的距离。你能设计一种 量出A、B两点之间距离的方案吗？
A
B
C
如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难 以直接量出A、B两点间的距离。你能设计 一种量出A、B两点之间距离的方案吗？
三角形全等的判定SAS
转化证明线段(或角)所
拓展
1、若AB=AC,则添加什么条件可得
△ABD≌ △ACD?
A
△ABD≌ △ACD
S
A
B S
AD=AD ∠BAD= ∠CAD AB=AC
D C
2、已知如图,点D 在AB上,点E在AC上,BE与CD 交于点O,
要证△ABE≌ △ACD需添加什么条件? △ABE≌ △ACD
A
画法:
1、 画∠MA′N = ∠A 2、 在射线 A M ,A N 上分别取 A ′B ′ = AB ,
A ′C ′= AC 、 3、 连接 B ′C ′ ,得 ∆A ′B ′C ′、
边角边公理
有两边和她们得夹角对应相等得 两个三角形全等、
可以简写成 “边角边” 或“ SAS ”
S ——边 A——角
D
E
O
S
A
S
B
C
AB=AC ∠A= ∠ A AE=AD
2、已知如图,点D 在AB上,点E在AC上,BE与CD 交于点O,
要证△BOD≌ △COE需添加什么条件?
△BOD≌ △COE
A
D
E
O
S
A
S
B
C
OB=OC ∠BOD= ∠ COE OD=OE
3、如图,要证△ACB≌ △ADB ,至少选用 哪些条件才可以？
C
证明:
△ACB ≌ △ADB、 A
B
这两个条件够吗?
还要什么条件呢?
还要一条边
D
隐含条件:公共边,公共角,对顶角
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB、
求证: △ACB ≌ △ADB、
C 证明:
在△ACB 和 △ADB中
全等三角形的判定精选练习题(分SSS、SAS、AAS、ASA、HL分专题)
全等三角形的判定（SSS)1、如图1，AB=AD,CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（)A。
120°B。
125° C.127° D.104°2、如图2，线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC，•则下面的结论中不正确的是（）A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OC D。
∠C=∠D3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点,且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．5、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证:∠A=∠D．6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB,E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF。
请推导下列结论：⑴∠D=∠B;⑵AE∥CF．7、已知如图,A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA;⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.全等三角形的判定（SAS）1、如图1，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形（)A。
3 B。
4 C.5 D。
62、如图2，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件（)D CBA A 。
∠1=∠2B 。
∠B=∠C C 。
∠D=∠ED 。
∠BAE=∠CAD 3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是（ ) A.AB ∥CD B 。
AD ∥BC C 。
∠A=∠C D 。
∠ABC=∠CDA4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________，•根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC,AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义）. 在△ABD 和△ACD 中，∵____________________________， ∴△ABD ≌△ACD( ) 6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B 。
全等三角形的判定(SAS)
练习: 在下列图中找出全等三角形进行连线.
30º
Ⅰ
Ⅱ
ⅣⅣ ⅢⅢ
5 cm
30º
Ⅴ
Ⅵ
30º
Ⅶ
Ⅷ
例.如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
已知：如图,BA=BC,∠1= ∠2.
求证: (1) AD=CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
1
证明: (1)在△ABD与△CBD中，B
2
AB=CB ∠1=∠2
BD=BD
(已知）， （已知）， （公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AD=CD. (2)∵△ABD≌△CBD（已证），
∴∠3=∠4，
全等三角形的判定(SAS)
复习回顾
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等.
A
D
B
C
E
F
问题1：如果两个三角形的有1个角对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
问题2：如果两个三角形有2个角分别对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
问题3：如果两个三角形有3个角分别对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
A
D
O
B
C
(2)如图, 在ΔABD和ΔACD中,
BD = CD
(已知)
∠ADB =∠ADC(已证)
A—D—=——AD———(—公——共——边—)——
∴ΔABD ΔACD(SAS).
A
D
B
15.2三角形全等的判定(SAS)
A'
B
C
B'
C'
∴△ABC≌
动脑用一用
已知：如图，AD∥BC，AD=BC。 求证：△ADC≌△CBA
D C
A
证明：∵AD∥BC，（已知） ∴∠DCA=∠BCA，（两直线平行，内错角相等） 在△ADC和△CBA中， AD=BC，（已知） ∵ ∠DAC=∠BCA，（已证） AC=CA，（公共边） ∴△ADC≌△CBA.(SAS)
B
如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难以直接 量出A、B两点间的距离。你能设计一种量出A、B 两点之间距离的方案吗？ E
A C
D
B
开心练一练
1、已知：如图，AB=AC，AD=AE. 求证: △ABE≌△ACD.
A
D
E
C B
开心练一练
2、已知:如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD. 求证:DC∥AB.
作业:
课本第106页,练习题2、3
将两块三角板的一条直角边放置 在同一直线上平移,如图获得的△ABC 能唯一确定吗?
A
B
C
已知:△ABC求作：△A’B’C’， 使A’B’=AB，∠B’=∠B，B’C’=BC 作法：①作∠MB’N=∠B B ②在B’M上截取B’A’=BA， 在B’N上截取B’C’=BC, ③连接A’C’则△A’B’C’就是所 求作的三角形.
A
C
将这两个三角形重叠，看能否完全重合？
三角形全等判定定理1： 两边和它们的______对应相等的两个三 角形全等.
记为“_____”或“_____”.
用数学语言表述全等三角形判定定理1: 在△ABC和 A ' B ' C ' 中, A AB A ' B ' ∵
全等三角形的判定(SAS)
2.如图 与BD相交于点 ， 如图AC与 相交于点O， 如图 相交于点 已知OA=OC，OB=OD， ， 已知 ， 求证:△ 求证 △AOB≌△COD ≌
A O D C
B
证明: 证明
AOB和 COD中 在△AOB和△COD中 OA=OC ∠AOB=∠COD ∠ ______________ OB=OD
A
∠B=∠E ∠ BC=EF
B
C D
∴△ABC≌△DEF（SAS） ≌ （ ）
E
F
基础练习（填空题） 基础练习（填空题） 1.如图 AB=EF,AC=DE,问△ABC≌△EFD 吗？ 如图, 如图 问 ABC≌△
为什么？ 为什么？ A
40°
D B F
答:△ABC≌△EFD △ ≌
C
E
证明: 证明:在△ABC和△EFD 中, 和
B
E
F
C
2.如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到： 如图，已知 应填什么条件就得到： 如图 应填什么条件就得到 只允许添加一个条件) △AOC≌ △BOD(只允许添加一个条件 ≌ 只允许添加一个条件
B
C O A D
小结： 小结： 两边和它们的夹角对应相等的两个三 边角边” 角形全等。 角形全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为： 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 与 中 AB=DE
作业 P15 习题3 习题 P16 习题 ，10 习题9，
B 1 2 C A
D
变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= 变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2 1:已知 求证:(1) (2)BD 平分∠ ADC 平分∠ 求证:(1) AD=CD (2)
三角形全等的判定(SAS)
D
例1
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
证明: △ACB ≌ △ADB. 这两个条件够吗?
A
B
还要什么条件呢? 还要一条边
D
例1已知:
证明:
如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
在△ACB 和 △ADB中 AC = A D (已知)
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件可
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S B AB=AB ∠CBA= ∠ DBA BC=BD D S A
作业：
1、一张试卷 2、笔记补充完整
谢 谢 ！
三角形全等的判定定理
SAS
我们学过哪几种判定三角形全等的方法？
1、全等三角形概念：三条边对应相 等，三个角对应相等。 2、全等三角形判定条件（一） 三边对应相等的两个三角形全等。 简称“边边边”或“SSS”
问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可 无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想 出办法来吗？
要证△BOD≌ △COE需添加什么条件?
A
△BOD≌ △COE
D E
O
S
A
S
B
C
OB=OC ∠BOD= ∠ COE OD=OE
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件才可以？
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S A
S B AB=AB ∠CAB= ∠ DAB AC=AD D
△ABD≌ △ACD
D B S A S AB=AC C
全等三角形判定SAS练习
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中 AB=DE
B C
D
“SAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ”）
A
∠A=∠D AC=DF
E
F
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理:
A
B SSA不能 判定全等
A
C A
B
D
C
B
D
1.在下列图中找出全等三角形
30º
1
2
3 Ⅲ
Ⅳ 4
5 cm
30º
6
5
30º
7
8
知识应 用
例1、如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距 离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连结AC并延长到D, 使CD=CA.连结 BC并延长到E,使CE=CB. 连结DE,那么量出 DE的长，就是A、B的距离.为什么？
知识应 用
证明:在△ABC 和△DEC中
CA CD ACB DCE CB CE
A B
C D
∴△ABC ≌△DEC(SAS)
∴ AB=DE(全等三
E
角形的对应边相等)
例2.如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
求证：∠B＝∠C 证明：在△ABD和△ACE中 E AB ＝AC（已知） B A＝A（公共角） AD＝AE （已知） A ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠B＝∠C（全等三角形
DE C A
D
C A
对应角相等）
B
例3 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你 能判断BC=AD吗？说明理由。 C D 证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD
∠CAB=∠DBA (已知) A (已知) (公共边) B
全等三角形的判定SAS练习题
D C BA 全等三角形的判定(SAS)1、如图1，AB ∥CD ，AB=CD ，BE=DF ，则图中有多少对全等三角形( )A.3B.4C.5D.62、如图2，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( )A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( )A.AB ∥CDB.AD ∥BCC.∠A=∠CD.∠ABC=∠CDA4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________，•根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义).在△ABD 和△ACD 中，∵____________________________， ∴△ABD ≌△ACD （ ）6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B.7、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？8、如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、F 、C ，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE ； ②AC=DF ； ③∠ABC=∠DEF ； ④BE=CF.9、如图⑴，AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，点C 是BD 上一点，且BC=DE ，CD=AB ．⑴试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第⑴问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)。
三角形全等的判定(SAS)
40 DC B A《三角形全等的判定（SAS）》课时作业设计一、填空题．1．如图4，若AO=DO，只需补充________就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC．(4) (5) (6)2．如图5，已知AB=BD，则需要添加条件________，就可以根据SSS判定△ABC•≌△DBC．二、选择题．3．如图6，AB=CD，AD=BC，则图中全等的三角形有（）．A．4对 B．3对 C．2对 D．1对4．如图7，已知△ABC中，BA=BC，BD⊥AC于D，若∠C=40°，则∠ABE为（）． (7)A．40° B．50° C．80° D．140°三、证明题．5．如图8，点A，B，C，D在同一条直线上，EC=FD，AE=BF，AB=CD，你能证明AE∥BF，•CE ∥DF吗？写出推理过程．6．如图9，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，你能证明出∠B=∠C吗？与同伴交流．四、探索题．7．如图10，已知∠1=∠2，BA=BD，无论动点P在BC上如何移动，都能得到PA=PD，•你能说出这是为什么吗？动手试一试．五、聚焦中考．8．如图11，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，F 是BA 延长线上一点，AF=12AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ．（2）阅读下面材料：如图12，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置． 如图13，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图14，以点A 为中心，把△ABC 旋轴180°，可以变到△AED 的位置．(11) (12) (13) (14)像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动，翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．（3）回答下列问题：①在图11中，可以通过平行移动，翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE•变到△ADF 的位置？②指出图11中线段BE 与DF 之间的关系．。
全等三角形判定SAS
3cm
45◦
3cm
4cm 3cm
45◦
4cm 4cm
同学们，下面我们一起来探究这样的三角形是否全等。
画 一 个 △ ABC 和 △ A`B`C` ， 使 AB=A`B` ,
AC=A`C` , ∠A=∠A` , 把 画 好 的 △ ABC 和 △A`B`C`比较，它们全等吗？
A B C A` B`
1、如图，B点在A点的正北方向。两车从路段AB的一 端A出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达C、 D两地。此时C，D到B的距离相等吗？为什么？ 【证明】∵在△BAD和△BAC中，
B
BA=BA
∠BAD=∠BAC=90°
AD=AC
D A C
则△BAD≌△BAC (SAS). 即BD=BC
2、如图，点E、F在BC上，BE=CF， AB=DC， ∠B=∠C，求证： ∠A=∠D
由前边的作图比较过程，同学们所画的三角形完全 重合，我们可以得出结论: 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等。简写成“边角边”或“SAS” A
用符号语言表达为： 在△ABC与 △A`B`C`中
∠A=∠A` AC=A`C`
AB=A`B`
B
C
A`
B`
C`
∴△ABC≌△A`B`C`（SAS）
C`
△ABC≌△A`B`C` ?
同学们一起画△ABC,使AB=3cm,AC=4cm,∠A=45°， 画出△ABC 这样画出来的三角形与其他同学所画的三角形进行比 较，它们互相重合吗？
画法： 1. 画∠MAN= 45°
2. 在射线AM上截取AB= 3cm 3. 在射线AN上截取AC=4cm 4.连接BC 则△ABC就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与其他同学所画的三角形 进行比较，它们能互相重合吗？
《全等三角形的判定SAS》精选测试题及参考答案
《全等三角形的判定SAS》精选测试题及参考答案一、选择题1.△ABC中，AB=7，AC=5，则中线AD之长的范围是( )A.5＜AD＜7B.1＜AD＜6C.2＜AD＜12D.2＜AD＜52.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A.（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣，﹣1）4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④5.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或76.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题7.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .8.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有．（第7题）（第8题）（第9题）10.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是．三、解答题11.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF （2）EC⊥BF.12.如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG 交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．参考答案一、选择题1-6 BCADDD二、填空题7.（-2,0）（-2,4）（2,4）8.相等或互补9.①②③10.1＜AD＜9三、解答题11.证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC∴∠BAE=∠CAF=90°∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC即∠EAC=∠BAF在△ABF和△AEC中∴△ABF≌△AEC（SAS）∴EC=BF（2）根据（1）△ABF≌△AEC∴∠AEC=∠ABF∵AE⊥AB ∴∠BAE=90°∴∠AEC+∠ADE=90°∵∠ADE=∠BDM∴∠ABF+∠BDM=90°在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°∴EC⊥BF 12（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，∴△CBF≌△DBG（SAS）∴CF=DG（2）解：∵△CBF≌△DBG∴∠BCF=∠BDG又∵∠CFB=∠DFH又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB △DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH∴∠DHF=∠CBF=60°∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°。
全等三角形sas例题
全等三角形sas例题三角形的全等条件有很多种，其中一种是SAS（Side-Angle-Side）判定条件。
根据SAS判定条件，如果两个三角形中两边分别相等，并且夹角相等，那么这两个三角形就是全等的。
下面将通过一个例题来详细解析SAS判定条件。
例题：在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，要证明△ABC≌△DEF。
解析：根据题目所给条件，我们知道两个三角形中AB=DE，BC=EF，∠B=∠E。
现在需要证明这两个三角形全等。
解法：根据SAS判定条件，我们只需要再找到两个对应的边相等就可以证明两个三角形全等了。
由AB=DE 和 BC=EF，我们可以得到AC=DF。
因为两个三角形中的两个边分别相等，所以第三边也相等。
现在已经找到对应的两个边全等，再考虑两个三角形中∠B=∠E 的条件。
根据等角定理，如果两个三角形中一对对应的角相等，那么这两个三角形就全等。
所以，根据SAS判定条件，我们可以得出△ABC≌△DEF。
这是一个简单的SAS例题，通过找到两个对应的边相等并且夹角相等，我们得出了两个三角形全等的结论。
需要注意的是，SAS判定条件只是三角形全等的判定条件之一，还有其他的判定条件，比如SSS（Side-Side-Side）、ASA（Angle-Side-Angle）等。
在实际问题中，我们根据已知条件来选择合适的判定条件进行证明。
同时，在解题过程中，我们可以采用简单明了的语言来阐述每个步骤，以确保论证过程的准确性和清晰性。
总结：SAS（Side-Angle-Side）判定条件是三角形全等的判定条件之一。
根据SAS判定条件，如果两个三角形中两边分别相等，并且夹角相等，那么这两个三角形就是全等的。
在解题过程中，我们需要明确给定的条件，找到对应的两个边相等，并验证夹角相等，从而得出两个三角形全等的结论。
全等三角形的判定精选练习题(分SSS、SAS、AAS、ASA、HL分专题)
全等三角形的判定（SSS）1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )A.120°B.125°C.127°D.104°2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，•则下面的结论中不正确的是( )A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．5、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．7、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.全等三角形的判定(SAS)1、如图1，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形( )A.3B.4C.5D.62、如图2，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( )D CBA A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( ) A.AB ∥CD B.AD ∥BC C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________，•根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，∵____________________________， ∴△ABD ≌△ACD （ ） 6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B.7、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？8、如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、F 、C ，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明. ①AB=DE ； ②AC=DF ； ③∠ABC=∠DEF ； ④BE=CF.9、如图⑴，AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，点C 是BD 上一点，且BC=DE ，CD=AB ．⑴试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第⑴问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)全等三角形（三）AAS 和ASA【知识要点】1．角边角定理（ASA ）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.2．角角边定理（AAS ）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】例1．如图，AB ∥CD ，AE=CF ，求证：AB=CD例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE.例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD. 例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E ，F.求证：AE=CF.例5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE.例6．如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点F 在AD 上，点E 在BC 上，AF=CE ，EF 的对角线BD 交于O ，请问O 点有何特征？AABD C EO12 3AFDOBEC【经典练习】1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，C C '∠=∠则△ABC 与△C B A ''' .2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC ≌DFE,补充的条件是 .3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ） ①A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''=' ③A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''=' A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．如图，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ． N M ∠=∠ B. AB=CD C ． AM=CN D. AM ∥CN 5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论：①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN ≌△ABM ④CD=DN其中正确的结论是_________ _________。
1.2.1_三角形全等的判定SAS
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验正？
思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
全等三角形的判定1
边角边公理
有两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等. （简写 “边角边” 或“ SAS ”）
三角形全等判定方法1
B
B A
A
E D
C
A D E
C
∴ ∠B=∠C
(全等三角形的对应角相等)
探讨三角形全等的条件：两边一角
思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这 两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
在图中， ∠A 是AB和AC的夹角， 符合图中的条件，称为“两边及其夹角”
探讨三角形全等的条件：两边一角 思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这 两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等。(简写成“边角边”或“SAS” ) A 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 AB=DE B C
∠B=∠E BC=EF
D
∴△ABC≌△DEF（SAS）
E
F
1.在下列图中找出全等三角形
30º
1
2
3 Ⅲ
Ⅳ 4
5 cm
30º
6 5
30º
7
8
A
§1.2 三角形全等的判定(一)
E A
B
F
C
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A D
B
C
三角形全等判定SAS
变式训练2 已知：如图5：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2 求证：△ABD≌△ACE
A
分析：两组对应夹边已知，缺少 对应夹角相等的条件。 由∠BAE 是两个三角形的 公共部分，可得：∠CAE=∠BAD。
C
2
1
D E
B
证明：∵∠1=∠2（已知） 图5 ∴∠1+∠BAE = ∠2+∠BAE（等式性质） 即 ∠CAE= ∠BAD 在△CAE和△BAD 中 AC=AB（已知） ∠CAE=∠BAD（已证） AE=AD ∴△ABD≌△ACE（ASA）
变式训练2：拓 展 已知：如图5：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2 （1）求证：∠B=∠D （2）若△ACE绕点A逆时针旋转，使∠1=900时， 直线EC，BD的位置关系如何？给出证明。 当∠EAD 为平角时呢？ C
A C
2
A
1
D
B
图5
E
M
F
B
D
解 题 小 结：
解题思路
1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两 个三角形全等； 2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边 等或对应角等； 3、由“边”相等，再根据等式性质得到其它线段相等； 由“角”相等，再证明两直线平行、两直线垂直或延伸 的外角和等变换。
B
图 1
D
例2
已知：如图2，AD∥BC，AD=CB 求证：△ADC≌△CBA
A D 1
分析：观察图形，结合已知条件，知， AD=CB，AC=CA，但没有给出两组 对应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能 B 使全等条件充足。
2 图2
C
证明：∵AD∥BC ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 在△DAC和△BCA中 AD=CB（已知） ∠1=∠2（已知） AC=CA （公共边） ∴△ADC≌△CBA（SAS）
12.2三角形全等的判定(二)(“SAS”)练习题人教版八年级数学上册
第2课时三角形全等的判定(二)(“SAS”)【基础练习】知识点 1 判定两个三角形全等的基本事实——“边角边”1.如图1所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE,则≌△AEB,理由是.图12.图2中全等的三角形是 ()图2A.①和②B.②和③C.②和④D.①和③3.如图3,AB平分∠DAC,要用“SAS”判定△ABC≌△ABD,还需添加条件 ( )图3A.CB=DBB.AB=ABC.AC=ADD.∠C=∠D4.已知:如图4,AC与BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.求证:△AOB≌△COD.图45.如图5所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC.求证:△ABC≌△DEC.图56.如图6所示,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.图6知识点 2 全等三角形的判定(SAS)的简单应用7.如图7所示,AA',BB'表示两根长度相同的木条.若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为 ( )图7A.8 cmB.9 cmC.10 cmD.11 cm8.[2020·镇江]如图8,AC是四边形ABCD的对角线,∠1=∠B,点E,F分别在AB,BC 上,BE=CD,BF=CA,连接EF.(1)求证:∠D=∠2;(2)若EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC的度数.图8【能力提升】9.如图9所示,在△ABC和△ADC中,有下列三个论断:①AB=AD;②∠BAC=∠DAC;③BC=DC.将其中的两个论断作为条件,另一个论断作为结论写出一个真命题为.(写成“如果 ,那么 ”的形式,写一个即可)图910.[2020·江西]如图10,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E.若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.图1011.如图11,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE.有下列说法:①CE=BF;②△ABD≌△ACD;③BF∥CE;④△BDF和△CDE的面积相等.其中正确的是.(填序号)图1112.:[2020·宜宾]如图12,在△ABC中,D是边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ECD;(2)若△ABD的面积为5,求△ACE的面积.图12 变式:在△ABC中,AB=7,AC=3,AD是中线,求AD的取值范围.第2课时 三角形全等的判定(二)(“SAS ”)1.△ADC SAS2.D [解析] 从图中可以看到①和③符合“SAS ”.3.C [解析] 由题意可得,在△ABC 和△ABD 中,{AC =AD,∠CAB =∠DAB,AB =AB,∴△ABC ≌△ABD (SAS).选项C 正确,其余选项都不正确. 4.证明:在△AOB 和△COD 中,{OA =OC,∠AOB =∠COD,OB =OD,∴△AOB ≌△COD (SAS).5.证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA ,即∠ACB=∠DCE.在△ABC 和△DEC 中,{CA =CD,∠ACB =∠DCE,BC =EC,∴△ABC ≌△DEC (SAS).6.证明:∵AD=BE ,∴AB+BD=DE+BD ,即AB=DE.∵AC ∥DF ,∴∠A=∠FDE.在△ABC 和△DEF 中,{AB =DE,∠A =∠FDE,AC =DF,∴△ABC ≌△DEF (SAS).7.B8.解:(1)证明:在△BEF 和△CDA 中,{BE =CD,∠B =∠1,BF =CA,∴△BEF ≌△CDA (SAS).∴∠D=∠2.(2)∵∠D=∠2,∴∠2=78°.∵EF∥AC,∴∠BAC=∠2=78°.9.答案不唯一,如:如果①②,那么③(或如果①③,那么②)[解析] (1)已知AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,可得△ABC≌△ADC(SAS),所以BC=DC;(2)已知AB=AD,BC=DC,AC=AC,可得△ABC≌△ADC(SSS),所以∠BAC=∠DAC.10.82°[解析] ∵CA平分∠DCB,∴∠BCA=∠DCA.又∵CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴∠B=∠D.∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD.∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°,∴∠B+∠ACB=49°.∴∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠CAE=82°.故答案为82°.11.①③④[解析] ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.又∠CDE=∠BDF,DE=DF,∴△BDF≌△CDE,故④正确;由△BDF≌△CDE,可知CE=BF,故①正确;∵AD是△ABC的中线,∴△ABD和△ACD等底同高,∴△ABD和△ACD的面积相等,但不一定全等,故②错误;由△BDF≌△CDE,可知∠FBD=∠ECD,∴BF∥CE,故③正确.故答案为①③④.12.解:(1)证明:∵D是边BC的中点,∴BD=CD.在△ABD 和△ECD 中,{BD =CD,∠ADB =∠EDC,AD =ED,∴△ABD ≌△ECD (SAS).(2)∵在△ABC 中,D 是边BC 的中点,∴S △ABD =S △ACD .∵△ABD ≌△ECD ,∴S △ABD =S △ECD . ∵S △ABD =5,∴S △ACE =S △ACD +S △ECD =5+5=10,即△ACE 的面积为10.变式:解:如图,延长AD 到点E ,使ED=AD ,连接BE.∵AD 是△ABC 的中线,∴BD=CD.又ED=AD ,∠ADC=∠EDB ,∴△BED ≌△CAD (SAS). ∴BE=AC=3. ∵DE=AD ,∴AE=2AD.在△ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE , 即AB-BE<2AD<AB+BE ,∴7-3<2AD<7+3. ∴2<AD<5.。
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全等三角形的判定（SAS ）
一、常用的知识点
1、全等三角形的性质：
2、等腰直角三角形的性质：
两锐角互余，相等，且等于︒45。
3、等边三角形的性质：
三条边相等，三个角相等并且等于︒60。
4、任意三角形三边的关系：
另外两边之差的绝对值 < 第三边<另外两边之和
5、三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于︒180。
6、关于三角形的外角的推论：
三角形的外角等于其不相邻两内角和。
7、 关于公共角公共边的问题
①（公共角问题）若CAE BAD ∠=∠,则EAD BAC ∠=∠ ? 为什么 ？
②(公共边问题)若AF DC =，则AC BF = ? 为什么 ？
例题展示
1、（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
2、（2016•同安区一模）如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．
3、（2016秋•宜兴市校级月考）已知，如图，BC上有两点D、E，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，AB和AC相等吗？为什么？
4、（2015秋•江都市期中）已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE，
求证：△ABC≌△DEF．
5、（2015秋•泊头市校级月考）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE．
6、（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE
7、（2014•漳州）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）
8、（2014•黄冈模拟）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE．
9、（2014•房县三模）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
求证：△ACD≌△BCE
10、（2013秋•合浦县期末）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD．
11、（2014春•工业园区期末）已知：如图，BC∥EF，AD=BE，BC=EF，试说明△ABC≌△DEF．
12、（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由
13、（2012秋•台州期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．
（1）求证：△ABD≌△GCA；
（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．
14、（2012秋•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
15、（2009•吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE 于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。
16、（2006•泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD间的等量关系式为；∠APB的大小为；
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