高考数学一轮复习第四章三角函数三角函数的化简与求值课件
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2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件
组数 一
二
三
四
五
六
2kπ＋α 角
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 余弦 正切
sin α cos α tan α
__－__si_n_α___ __－__s_in__α__ ___s_in__α___ __c_o_s__α___ ___c_o_s_α___ _－__c_o_s__α__ ___c_o_s_α___ __－__c_o_s_α__ ___si_n_α____ __－__s_i_n_α__ __t_a_n_α____ __－__t_a_n_α__ __－__t_an__α__
归纳拓展 1．同角三角函数基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
1－sin 1＋sin
αα＋sin
α
π<α<32π得( A ) A．sin α＋cos α－2 C．sin α－cos α
B．2－sin α－cos α D．cos α－sin α
1－cos α 1＋cos α
[解析] 原式＝cos α
1－cossi2nαα2＋sin α
1－cos sin2α
α2，
α＋bcos α＋dcos
αα＝acttaann
αα＋＋db；
sin
αcos
α＝sin
αcos 1
2017数学一轮课件：4-3 三角函数的化简与求值
14 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
第十四页，编辑于星期六：二点 五十一分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬法·命题法 解题法
15 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
第十五页，编辑于星期六：二点 五十一分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[考法综述] 此部分考查内容题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．主要侧重于两角和与 差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，化简三角函数关系式或求值．利用同角三角函数的基本关系式
变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点，常与三角函 数式的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查．
10 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
第十页，编辑于星期六：二点 五十一分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
注意点 先看角，再求值 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”.
11 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题ห้องสมุดไป่ตู้必刷题
第十一页，编辑于星期六：二点 五十一分。
撬题·对点题 必刷题
第八页，编辑于星期六：二点 五十一分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
cos2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝
1－tan2α 1＋tan2α ；
1±sinα＝ sinα2±cosα22 ；
sinα
1－cosα
tanα2＝ 1＋cosα ＝ sinα .
4 辅助角公式
高考文科数学第一轮考点总复习课件 4.3 三角函数的化简、求值
所 所以以0解- ：4 因, 为2 32,
3
4
,
▪ 所以sin( - ) 1-cos2( - ) 5 , cos( ) - 1-sin2( ) - 4 ,
13
5
sin 2 sin[( - ) ( )]
sin( - )cos( ) cos( - )sin( )
第四章
函
数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
4.3 三角函数的化简、求值
第二课时
[2sin 50 sin10(1 3 tan10)] 2sin2 80
题型4
化简求值
• 1. 求
的值.
[2sin 50 sin10(1 3 sin10)] 2 sin 80 cos10
•
解：原 (2式sin 50 sin10 cos10 3 sin10) 2 sin 80
应用
▪
给值求值的重要思想是沟通已知
式与欲求式之间的联系，常常在进行角
的倍 变、1[换 分(2时的2,，关) (要系( -注，))]意如-,,各： 1角[(-(之 -间))-,(的 -和 )]、, 差、
2
2
▪ 等等.
13
▪
2. 给值求角的两个重要步骤
缺一不可
▪
(1)根据题设条件，求角的某
一三角函数值；
sin10
cos10 - 2sin 30cos10 2 cos 30sin10 sin10
cos10 - cos10 3 sin10 3. sin10
4
题型5
给值求值
▪
2. 已 知 3 , cos( - ) 12 ,sin( ) - 3 ,
▪ 求sin2α的值2 . 4
13
高考数学(理)一轮总复习课件：第四章 三角函数 4-2
2
49 120 ∴(sinθ＋ cosθ) ＝ .∴2sinθcosθ＝－ . 169 169 又 θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0. ∴sinθ－ cosθ＝ （sinθ－cosθ）2 17 ＝ sin θ－2sinθcosθ＋ cos θ＝13.
2 2
(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝ 7 60 1 603 13×(1＋169)＝2 197.
答案 6 19 10
sin2α 2si nαcosα 解析 ＝ ＝2tanα＝2×3＝6. 2 2 cos α cos α
授 人 以 渔
题型一
诱导公式 )
π 1 7 (1)已知 sin(α＋12)＝3，则 cos(α＋12π )的值为( 1 A. 3 2 C．－ 2 3 1 B．－3 2 D. 2 3
2
1 2 2 2 1－（ ） ＝－ . 3 3
1 (2)∵sinα＝3，∴α是第一或第二象限角． 当 α 是第一象限角时， ∴cosα＝ 1－sin α＝ sinα 2 ∴tanα＝ cosα＝ 4 ； 当 α 是第二象限角时，tanα＝－ 2 . 4
2
1 2 2 2 1－（ ） ＝ . 3 3
(3)∵sinα＝ m(m≠0， m≠±1)， ∴cosα＝± 1－sin2α＝± 1－ m2 (当 α 为第一、四象限角时 取正号，当 α 为第二、三象限角时取负号)． m ∴当 α 为第一、四象限角时，tanα＝ 2； 1－ m m 当 α 为第二、三象限角时，tanα＝－ 2. 1－ m 【答案】 2 (1)－ 4 2 2 (2) 或－ 4 4
3π 3π sin（－α－ ）sin（ －α）tan2（2π－α） 2 2 (2)化简： ； π π cos（ 2－α）cos（ 2＋α）sin（π＋α） sin（ nπ－α）· cos（nπ＋α） (3)若 n∈Z，化简： . sin[（n＋1）π＋α]·cos[（ n＋1）π－α]
49 120 ∴(sinθ＋ cosθ) ＝ .∴2sinθcosθ＝－ . 169 169 又 θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0. ∴sinθ－ cosθ＝ （sinθ－cosθ）2 17 ＝ sin θ－2sinθcosθ＋ cos θ＝13.
2 2
(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝ 7 60 1 603 13×(1＋169)＝2 197.
答案 6 19 10
sin2α 2si nαcosα 解析 ＝ ＝2tanα＝2×3＝6. 2 2 cos α cos α
授 人 以 渔
题型一
诱导公式 )
π 1 7 (1)已知 sin(α＋12)＝3，则 cos(α＋12π )的值为( 1 A. 3 2 C．－ 2 3 1 B．－3 2 D. 2 3
2
1 2 2 2 1－（ ） ＝－ . 3 3
1 (2)∵sinα＝3，∴α是第一或第二象限角． 当 α 是第一象限角时， ∴cosα＝ 1－sin α＝ sinα 2 ∴tanα＝ cosα＝ 4 ； 当 α 是第二象限角时，tanα＝－ 2 . 4
2
1 2 2 2 1－（ ） ＝ . 3 3
(3)∵sinα＝ m(m≠0， m≠±1)， ∴cosα＝± 1－sin2α＝± 1－ m2 (当 α 为第一、四象限角时 取正号，当 α 为第二、三象限角时取负号)． m ∴当 α 为第一、四象限角时，tanα＝ 2； 1－ m m 当 α 为第二、三象限角时，tanα＝－ 2. 1－ m 【答案】 2 (1)－ 4 2 2 (2) 或－ 4 4
3π 3π sin（－α－ ）sin（ －α）tan2（2π－α） 2 2 (2)化简： ； π π cos（ 2－α）cos（ 2＋α）sin（π＋α） sin（ nπ－α）· cos（nπ＋α） (3)若 n∈Z，化简： . sin[（n＋1）π＋α]·cos[（ n＋1）π－α]
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第2课时三角恒等变换的综合应用课件
sin cos − cos sin = 0，即sin − = 0.因为B, ∈ 0, π ，所以 = .故
△ 为等腰三角形.故选B.
【点拨】利用三角恒等变换判断三角形的形状，主要是考虑三角形内角和为180∘ ，
结合诱导公式与和、差、倍角公式进行推断.
变式4 在△ 中，若sin − = sin ，则△ 是(
又sin =
10
= − ，所以cos
10
5
2 5
，所以cos =
.
5
5
− =
所以sin = sin [ − − ]
= sin cos − − cos sin −
=
5
3 10
×
5
10
π
4
−
2 5
×
5
所以 = .故选C.
−
10
10
=
2
.
2
3 10
.
10
= + − = − + 等.②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的
目的，其方法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.③变式，根据式子的结构特征进行变形，
使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其方法通常有“常值代换”（如1 =
π
tan ,
4
1 = sin 2 + cos 2 )“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.其中角
+ =
4
− .
5
3
5
于是sin = sin [ + − ] = sin + cos − cos( + )sin = ×
新高考2023版高考数学一轮总复习第4章第3讲第2课时三角函数式的化简与求值课件
MING SHI DIAN BO
(1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用． (2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准 确． (3)对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．
〔变式训练 1〕 (1)化简 sinx＋π3＋2sinx－π3－ 3cos23π－x＝_0__. (2)tan2π4co＋s2α4π·－coαs 2α.
＝78，故选 C．
(4)∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2，
∴cos α＝ 1－sin2α＝255，
cos(α－β)＝
1－sin2α－β＝3
10 10
∴sin β＝sin [α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
55×3
1010－2
5
5×－
θ－1＋1tan
； θ
1 (3)(2021·开封模拟)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos 2αcos 2β＝ __2__.
[解析] (1)原式
＝s2isninα·αc·ossinββ＋＋ccoossαα·s·icnosβ－β－2ssiinn
α·cos α·sin
β β
＝－cosisnαα·c·coossββ＋－scinosαα·s·isninββ
[解析] (1)∵cos A＝35，0<A<π，∴A 为锐角， 且 sin A＝ 1－cos2A＝45. 又 sin B＝153<sin A，∴B<A， ∴B 为锐角且 cos B＝ 1－sin2B＝1132. ∴sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝6635. 故选 D．
高考理科数学第一轮总复习-三角函数的化简、求值 (第二课时)PPT优质课件
第四章 三角函数
第讲
（第二课时）
题型4：化简求值
• 1. 求 cos40sin50(1 3tan10) 的值.
• •
sin70 1cos40
原式
cos40sin50(1 3sin10)
cos10
sin701 cos40
cos40sin50·3sin10cos10
cos10
sin70 1cos40
cos40cos40· 2sin(1030)
cos10
sin70 1cos40
co s4 0 sin 8 0
cos10
sin 7 0 1 co s4 0
cos40 1
cos20 2cos220
2cos220 2. 2cos220
• 【点评】：在化简、求值中，注意“配 角”变形：一是把角化为特殊角与已知 角的关系；二是把异角化为同角.
2
sin ( )1 c o s2 ( )5，
1 3
cos()-1-sin2()-4,
5
• 所以 sin2sin[(-)()]
sin(-)cos()cos(-)sin()
5(-4)12(-3)-56. 13 5 13 5 65
• 【点评】：解决“给值求值”问题的策略 是：一方面主要进行角的变换，即所求式 子的角如何转化为已知角(或特殊角)之间的 和、差、倍的关系，如本题中所求的角2α 就是转化为α+β与α-β的和；另一方面注意 角的范围及三角函数符号的确定.
• 给值求值的重要思想是沟通已知式与欲 求式之间的联系，常常在进行角的变换 时，要注意各角之间的和、差、倍、分 的关系，如：
2· ， ()，
• α=β-(β-α2 )，
•
第讲
（第二课时）
题型4：化简求值
• 1. 求 cos40sin50(1 3tan10) 的值.
• •
sin70 1cos40
原式
cos40sin50(1 3sin10)
cos10
sin701 cos40
cos40sin50·3sin10cos10
cos10
sin70 1cos40
cos40cos40· 2sin(1030)
cos10
sin70 1cos40
co s4 0 sin 8 0
cos10
sin 7 0 1 co s4 0
cos40 1
cos20 2cos220
2cos220 2. 2cos220
• 【点评】：在化简、求值中，注意“配 角”变形：一是把角化为特殊角与已知 角的关系；二是把异角化为同角.
2
sin ( )1 c o s2 ( )5，
1 3
cos()-1-sin2()-4,
5
• 所以 sin2sin[(-)()]
sin(-)cos()cos(-)sin()
5(-4)12(-3)-56. 13 5 13 5 65
• 【点评】：解决“给值求值”问题的策略 是：一方面主要进行角的变换，即所求式 子的角如何转化为已知角(或特殊角)之间的 和、差、倍的关系，如本题中所求的角2α 就是转化为α+β与α-β的和；另一方面注意 角的范围及三角函数符号的确定.
• 给值求值的重要思想是沟通已知式与欲 求式之间的联系，常常在进行角的变换 时，要注意各角之间的和、差、倍、分 的关系，如：
2· ， ()，
• α=β-(β-α2 )，
•
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换 课件(24张)
α22－csoins
2α)·(1＋csoins 2
αα·csoins
2 α) 2
＝cos2α2α－sinα2α2·cos αcos
α2＋sin αsin α
α 2＝2scionsαα·
cos
α 2
α＝sin2 α.
sin 2cos 2
cos αcos 2
cos αcos 2
答案：sin2 α
【思维升华】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式 子结构与特征．
【考点集训】
1．(2022·全国新高考Ⅱ)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos (α＋π4)sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1
B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1
D．tan (α＋β)＝－1
解析：由已知等式，得 sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2
)
A．74π
B．94π
C．54π或74π
D．54π或94π
解析：∵α∈π4，π∴2α∈π2，2π.
∵sin
2α＝
55，∴2α∈π2，π，∴α∈π4，π2，cos
2α＝－2
5
5 .
∵β∈π，32π，∴β－α∈π2，54π，∴cos (β－α)＝－31010，
∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)
第四章 三角函数
考点 1 三角函数式的化简 【考点集训】
1．(多选)当 3π<α<4π，化简
1＋sin 2
α－
1－sin 2
高考数学第1轮总复习 4.3三角函数的化简、求值(第1课时)课件 理(广西专版)
1-tan
2
• 四、常用公式的变形 • 1. cos2α=
1+cos2 2α= ， sin 2 tan( ) 4 tan( 1-cos2 . 2
1 tan • 2. = 1 tan 1 tan • = 1 tan
，
.
(1 tan tan . )
4
- )
2 2 1 2 cos2 cos2 =cos (α+β)2 1 1 2 2 cos ( ) ［2cos ( ) 1］ . 2 2
• 【点评】：两角和 ( 差 ) 的正弦、余弦、正 切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式 是三角函数化简与求值最常用的公式 .应用 时，按公式的结构形式从左往右运用，这 就是公式的正用.如把两角和、差按公式展 开，二倍角化单角等都是正用.
• =sin2αsin2β+cos2αcos2β• 1 (4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) 2 2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β • =sin • =sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β 1
1 1 1 sin cos 1 . 2 2 2
• 3. tanα±tanβ=tan(α±β)
• 1.(sin75°-sin15°)(cos15°+cos75°)的 值是( ) 1 D A. 1 B.
2 C. 2 2 3 D. 2
• (sin75°-sin15°)(cos15°+cos75°) • =(cos15°-sin15°)(cos15°+sin15°) • =cos215°-sin215°=cos30° 3 , • 故选D. 2
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
得 2cos2α+2 2cos α+1=0,
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
2022版高考苏教版数学(江苏专用)一轮课件：第四章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
S＝_12_l_R_．
3．任意角的三角函数
y
(1)终边与单位圆交点P(x，y)，sin α＝_y；cos α＝__，x tan α＝___(xx≠0).
(2)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r＞0)，
y
x
y
那么：sin α＝___r，cos α＝___，r tan α＝___(xx≠0).
sin α＝__M__P，cos α＝___O_M，tan α＝___A．T
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．若 α∈(0，π2 )，则 tan α＞α＞sin α. 3．象限角的集合
5．特殊角的三角函数值
1．角－870°的终边所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】选 C.－870°＝－2×360°－150°，－870°和－150°的终边相同，所以－870° 的终边在第三象限．
【解析】(1)若△ AOB 为等边三角形，
则∠AOB＝π3
，故与角 α 终边相同的角 β 的集合为ββ＝π3＋2kπ
，k∈Z
.
(2)若 α∈0，23π ，
则 S 扇形＝12 αr2＝12 α，而 S△ AOB＝21 ×1×1×sin α＝21 sin α，
故弓形 AB 的面积 S＝S 扇形－S△ AOB＝12 α－21 sin α，α∈0，23π .
对点训练 若角 α 的终边在函数 y＝－x 的图象上，试写出角 α 的集合为________________． 【解析】方法一：函数 y＝－x 的图象是第二、四象限的平分线， 可以先在 0°～360°范围内找出满足条件的角， 再进一步写出满足条件的所有角，并注意化简． 方法二：结合图象，α 与 135°相差 180°的整数倍，由此写出集合． 答案：{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}
2024版高考数学一轮复习教材基础练第四章三角函数与解三角形第五节解三角形教学课件
规律总结
三角形中的常见结论
+
π
（1）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> + + = π<
m
>.变形: <
/m
>2 = 2 − 2<
m
>.
/m
（2）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> > ⇔ > ⇔ sin > sin ⇔ cos < cos <
m
>.
m
>.
/m
（7）在 <
△ <
>
> = cos + cos <
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>（射影定理）.
/m
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是
第五节
解三角形
知识点44：利用正弦定理、余弦定理解三角形
教材知识萃取
在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径.
定理
内容
常见变形
正弦定理
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.
三角形中的常见结论
+
π
（1）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> + + = π<
m
>.变形: <
/m
>2 = 2 − 2<
m
>.
/m
（2）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> > ⇔ > ⇔ sin > sin ⇔ cos < cos <
m
>.
m
>.
/m
（7）在 <
△ <
>
> = cos + cos <
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>（射影定理）.
/m
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是
第五节
解三角形
知识点44：利用正弦定理、余弦定理解三角形
教材知识萃取
在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径.
定理
内容
常见变形
正弦定理
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件
1
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
4
人教A版数学必修第一册期末复习：三角函数的化简与求值课件
的核心素养
变式训练
变式1 tan(-945°)的值为
tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°
=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
-1
.
变式2
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,
则f(202X)的值为
高一必修一
三角函数的化简与求值
考情分析
202X年
Ⅰ Ⅱ卷
三角函 卷
数的化
简与求
值
T6,T15
202X年
202X年
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ卷 新高考Ⅰ
卷
卷
卷
卷
卷
T7 T10
T9
T9
本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为
基础，考查三角函数的化简与求值.利用同角三角函数基本关
系式、辅助角公式，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式
真题再现
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
3
3
D.
2 5
5
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
变式训练
变式1 tan(-945°)的值为
tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°
=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
-1
.
变式2
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,
则f(202X)的值为
高一必修一
三角函数的化简与求值
考情分析
202X年
Ⅰ Ⅱ卷
三角函 卷
数的化
简与求
值
T6,T15
202X年
202X年
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ卷 新高考Ⅰ
卷
卷
卷
卷
卷
T7 T10
T9
T9
本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为
基础，考查三角函数的化简与求值.利用同角三角函数基本关
系式、辅助角公式，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式
真题再现
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
3
3
D.
2 5
5
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
高三数学一轮复习课件 第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析 当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝ －1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于
2022高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件新人教B版
解析
第十三页，编辑于星期六：五点 十九分。
(2)化简：tancoπs＋－ααc－os3π2πs＋inα－si3nπα－－α32π＝__－__1____.
解析 原式＝tcaonsαc3oπs＋αsαin[－－s2iπn＋3πα＋＋α2π] ＝tanα－cocsoαssαisninπ2α＋α＝ta－nαccoossααscinoαsα ＝－tansαincαosα＝－csoinsαα·csoinsαα＝－1.
2．(2020·江西宜春中学诊断)若 α 为锐角，且 cosα＋π6＝13，则 cosα－π3 的值为( )
22 A. 3
B．
2 3
2 C. 6
D．5 6 2
解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<23π，
∴sinα＋π6＝ 1－cos2α＋6π＝2 3 2， ∴cosα－π3＝cosα＋π6－π2＝sinα＋π6＝2 3 2.故选 A.
[即时训练] 6.(2019·佛山模拟)已知 tanα＝2，则
3sinα－2cosα
4
(1) sinα＋cosα ＝___3_____；
7
(2)23sin2α＋14cos2α＝__1_2_____.
解析 因为 tanα＝2，所以，
(1)原式＝3ttaannαα＋－12＝3×2＋2－1 2＝43. (2)原式＝23·sin2αsi＋n2cαos2α＋14·sin2αco＋s2cαos2α ＝23·tanta2nα2＋α 1＋14·tan21α＋1＝23×222＋2 1＋14×22＋1 1＝172.
解析
第十五页，编辑于星期六：五点 十九分。
1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中 可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－ cosα.
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13 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬法·命题法 解题法
14 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[考法综述] 此部分考查内容题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．主要侧重于两角和与 差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，化简三角函数关系式或求值．利用同角三角函数的基本关系式
1－tan2α 1＋tan2α ；
1±sinα＝ sinα2±cosα22 ；
sinα
1－cosα
tanα2＝ 1＋cosα ＝ sinα .
4 辅助角公式
asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ) ，
其中 cosφ＝
a2a＋b2，sinφ＝
b a2＋b2.
8 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
(3)降幂公式
1－cos2α
1＋cos2α
sin2α＝
2
；cos2α＝
2.
(4)其他常用变形 2tanα
sin2α＝si2ns2iαn＋αccoossα2α＝ 1＋tan2α ；
7 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
cos2α＝ccooss22αα－ ＋ssiinn22αα＝
3．在△ABC 中，tanA＋tanB＋ 3＝ 3tanA·tanB，则 C 等于( ) π 2π
A.3 B. 3 ππ
C.6 D.4 解析 由已知可得 tanA＋tanB＝ 3(tanA·tanB－1)， ∴tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝－ 3， 又 0<A＋B<π，∴A＋B＝23π，∴C＝π3.
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
5 角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝4π＋α－π4＝α－π3＋π3. (2)互余与互补关系 例如，π4＋α＋34π－α＝π， π3＋α＋π6－α＝π2. (3)非特殊角转化为特殊角 例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点，常与三角函 数式的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查．
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形 tanα＋tanβ＝ tan(α＋β)(1－tanαtanβ) ； tanα－tanβ＝ tan(α－β)(1＋tanαtanβ) ．
(2)升幂公式
1＋cosα＝ 2cos2α2 ；1－cosα＝ 2sin2α2 .
9 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
注意点 先看角，再求值 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”.
10 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成立．( √ ) (3)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意 α，β 都成 立．( × ) (4)存在实数 α，使得 tan2α＝2tanα.( √ ) (5)公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值有关．( √ )
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
考点 三角函数的化简与求值
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
5 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1 两角和与差的三角函数公式
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第四章 三角函数
1 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
第3讲 三角恒等变换
2 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
3 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
11 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬5°sin45°的值为( )
A.21
B.
3 2
C．－12
D．－
3 2
(2)1－tatna7n527°5°的值为(
)
A．2 3
23 B. 3
C．－2 3
tanα－tanβ tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ .(Tα－β)
2 二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；(S2α) cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；(C2α)
2tanα tan2α＝ 1－tan2α .(T2α)
6 撬点·基础点 重难点
D．－2 3 3
解析 (1)cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝21.故选 A. (2)由题意知tan1250°＝－2 3.
12 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ ；(Sα＋β) sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ .(Sα－β) cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ ；(Cα＋β) cos(α－β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ .(Cα－β)
tanα＋tanβ tan(α＋β)＝ 1－tanαtanβ ；(Tα＋β)