用空间向量求点到面的距离 ppt课件
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用空间向量求点到面的距离 PPT
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
向量法求空间点到平面的距离课件
2、向量数量积公式
a•b abcos(为a与b的夹角）
学习交流PPT
2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
学习交流PPT
3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
学习交流PPT
1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
学习交流PPT
y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
学习交流PPT
4
练习1
a•b abcos(为a与b的夹角）
学习交流PPT
2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
学习交流PPT
3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
学习交流PPT
1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
学习交流PPT
y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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4
练习1
点到平面的距离-PPT课件
→ d＝|AP1|＝||AP|cos∠PAN|＝|A|Pn·|n|.
思考感悟
在求两条异面直线的距离，直线到平面的距离， 两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求 解吗？
提示：能．因为直线与平面平行，两个平面平 行时，直线上的点或其中一个平面上的点到另一 个平面的距离均相等，而两条异面直线可以构造 线面平行，所以在求以上距离时均可转化为点到 平面的距离．
解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标
系，由题设可知 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(1，12，1)，
N(12，0,1)，B(1，1,0)．于是有 N→M＝(12，12，0)， A→M＝(0，12，1)，A→B ＝(0,1,0)．
取 BD 的中点 G，连接 GE，易知 M→N ＝E→F ， A→M＝G→E .
(2)s 是直线的方向向量，则 s0＝|ss|是直线的单 位方向向量，在求解时，一般先任取一个方向向量 s，然后求其单位向量 s0.
考点二 点到平面的距离 点到平面的距离的求法：
如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距
离就是线段 BO 的长度．
若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，
以 AB，AP，AO 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间
直角坐标系．则 A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0， 22，0)，D(－ 22，
22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)． (1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ，
∵A→B ＝(1,0,0)，
M→D ＝(－ 22， 22，－1)，
例2 如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是
边长为 1 的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面 ABCD， OA＝2，M 为 OA 的中点．求：
思考感悟
在求两条异面直线的距离，直线到平面的距离， 两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求 解吗？
提示：能．因为直线与平面平行，两个平面平 行时，直线上的点或其中一个平面上的点到另一 个平面的距离均相等，而两条异面直线可以构造 线面平行，所以在求以上距离时均可转化为点到 平面的距离．
解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标
系，由题设可知 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(1，12，1)，
N(12，0,1)，B(1，1,0)．于是有 N→M＝(12，12，0)， A→M＝(0，12，1)，A→B ＝(0,1,0)．
取 BD 的中点 G，连接 GE，易知 M→N ＝E→F ， A→M＝G→E .
(2)s 是直线的方向向量，则 s0＝|ss|是直线的单 位方向向量，在求解时，一般先任取一个方向向量 s，然后求其单位向量 s0.
考点二 点到平面的距离 点到平面的距离的求法：
如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距
离就是线段 BO 的长度．
若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，
以 AB，AP，AO 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间
直角坐标系．则 A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0， 22，0)，D(－ 22，
22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)． (1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ，
∵A→B ＝(1,0,0)，
M→D ＝(－ 22， 22，－1)，
例2 如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是
边长为 1 的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面 ABCD， OA＝2，M 为 OA 的中点．求：
点到平面的距离PPT课件
(1)证明：DE∥平面PFB； (2)求点E到平面PFB的距离．
17
解：(1)以 D 为原点，建立如图所示的坐标系， 则 P(0,0,2)，F(1,0,0)、 B(2,2,0)，E(0,1,1)． FP ＝(－1,0,2)， FB＝(1,2,0)， DE ＝(0,1,1)， ∴ DE ＝12FP ＋12FB， ∴ DE ∥平面 PFB. 又∵D∉平面 PFB，∴DE∥平面 PFB.
＝| F|Dn|·n|＝
2＝ 6
6 3.
∴点
E
到平面
PFB
的距离为
6 3.
19
u A1B = 0,
D1
E
C1
A1B1 = 0,1,0,
A1
B1
B1到面A1BE的距离为 d = A1B1 n = 2 n3
D
Ax
C
y
B 7
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
解2 等体积法
V V B1 A1BE
E A1BB1
18
(2)∵DE∥平面 PFB，∴点 E 到平面 PFB 的距离等于点 D 到平 面 PFB 的距离． 设平面 PFB 的一个法向量 n＝(x，y，z)，
则n·FB＝0， n·FP ＝0
⇒x－＋x2＋y＝2z＝0，0.
令 x＝2，得 y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，FD＝(－1,0,0)，∴点 D 到平面 PFB 的距离 d
立体几何中的向量方法
3.2.4 利用向量解决 点到面的距离
.
1
线面夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
17
解：(1)以 D 为原点，建立如图所示的坐标系， 则 P(0,0,2)，F(1,0,0)、 B(2,2,0)，E(0,1,1)． FP ＝(－1,0,2)， FB＝(1,2,0)， DE ＝(0,1,1)， ∴ DE ＝12FP ＋12FB， ∴ DE ∥平面 PFB. 又∵D∉平面 PFB，∴DE∥平面 PFB.
＝| F|Dn|·n|＝
2＝ 6
6 3.
∴点
E
到平面
PFB
的距离为
6 3.
19
u A1B = 0,
D1
E
C1
A1B1 = 0,1,0,
A1
B1
B1到面A1BE的距离为 d = A1B1 n = 2 n3
D
Ax
C
y
B 7
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
解2 等体积法
V V B1 A1BE
E A1BB1
18
(2)∵DE∥平面 PFB，∴点 E 到平面 PFB 的距离等于点 D 到平 面 PFB 的距离． 设平面 PFB 的一个法向量 n＝(x，y，z)，
则n·FB＝0， n·FP ＝0
⇒x－＋x2＋y＝2z＝0，0.
令 x＝2，得 y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，FD＝(－1,0,0)，∴点 D 到平面 PFB 的距离 d
立体几何中的向量方法
3.2.4 利用向量解决 点到面的距离
.
1
线面夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
A(0,0,0),C(1,1,0),N 1,0,
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件
= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算2.6.1
题型一
题型二
题型三
反思计算空间中两点间的距离一般有三种方法: (1)构造三角形,通过解三角形求解; (2)建立适当的空间直角坐标系,求出两点的坐标,利用公式求解; (3)把线段用向量表示,转化为求向量的模,利用|a|2=a· a求解.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】
如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,线段 DD'⊥α于D',如果∠DBD'=30°,AB=a,AC=BD=b,求CD的长. 分析:求CD的长就是求 |������������|,把������������ 用已知的有向线段表示出来再 求.
=|������������|2+|������������ |2+| ������������ |2+2(������������ ·������������ + ������������ ·������������ + ������������ ·������������ ) =b2+a2+b2+2(0+b2cos 60° + 0)=a2+3b2,
2.6.1
点到直线的距离、点到平面的距离
1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念. 2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式. 3.体会用向量法求点到直线的距离、点到平面的距离的解题思 想.
1.点到直线的距离 (1)因为直线和直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距 a 2
)
������ D. 2
B.a
C. 2a
答案 :A
2.点到平面的距离 (1)如图所示,设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的平面 ,A 是平面 π 外 一定点.作 AA'⊥π,垂足为 A',则点 A 到平面 π 的距离 d 等于线段 AA' 的长度.而向量������������在 n 上的投影的大小| ������������· n0|等于线段 AA'的长度, 所以点 A 到平面 π 的距离 d=| ������������· n0|.
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.7 点到平面的距离课件 湘教版选修2-1
→
d＝|AP1|＝___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__＝___|_A_|Pn_·|_n_| __．
1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝
(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( )
A．5
B．14
C.154
D.45
答案：C
2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中
d＝
|B→C|2－B→|CA→·′AC→′|C2＝
16 4－14
＝2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向 量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到 直线的距离之间的转化．
则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95， 所以A→B＝(－4，3，0)，A→P＝－4，0，95， 所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|＝156， 所以点 P 到 AB 的距离为 d＝ |A→P|2－1562＝ 16＋8215－22556＝3. 答案：3
点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
又 AC∥平面 PEF，
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标； (4)利用公式即可求得点到平面的距离．
d＝|AP1|＝___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__＝___|_A_|Pn_·|_n_| __．
1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝
(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( )
A．5
B．14
C.154
D.45
答案：C
2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中
d＝
|B→C|2－B→|CA→·′AC→′|C2＝
16 4－14
＝2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向 量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到 直线的距离之间的转化．
则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95， 所以A→B＝(－4，3，0)，A→P＝－4，0，95， 所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|＝156， 所以点 P 到 AB 的距离为 d＝ |A→P|2－1562＝ 16＋8215－22556＝3. 答案：3
点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
又 AC∥平面 PEF，
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标； (4)利用公式即可求得点到平面的距离．
用向量法求空间距离课件
奇异点
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
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用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
空间向量求距离PPT课件
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n (x, y, z)x
D
C
n
EF，n
EG
2x 2y 0 2x 4 y 2
0
F
n ( 1 , 1 ,1) ,BE (2,0,0) A
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
第6页/共17页
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 GEF的距离。
.
练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求
异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D
A x
第15页/共17页
C y
B
练习6:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
z S
B
Ay
xC
D
第16页/共17页
n CE 0 即 x y 0
(
x,
y,
z).则
A1
C1
z
B1
n AB1 0
2x 2 y 4z 0
C
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
向量法求空间点到平面的距离ppt课件
BA BO
BO
AB n
量的方向，可以得到点B到平面的距离为BO
。
n
3、因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三个步骤：（1）找 出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（2）求出该平 面的一个法向量；（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积 的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面距离。
5
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
பைடு நூலகம்
y,
z)
(0,
xD
C
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2), F
BE (2, 0, 0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
6
n EF，n EG
2x 2y 0 2x 4 y 2 0
n ( 1 , 1 ,1) 33
向量法求空间点到平面的距离
用空间向量求点到面的距离精选ppt课件
用空间向量求点到面的距离
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
uur
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
uur
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
用向量法求空间距离ppt课件
9.8 距离 用向量法求空间距离
1
上节课，我们学习了用立几的方法求距离，我
们来简单回忆一下：
点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离
两个平行平面的距离 异面直线的距离
2
如何用向量法求解点到平面的距离呢？
已知点P和面ABCD， 用向量法求解就得构造向量，比如说 AP
过P点作PH垂直平面并交平面于点H，则PH的长为所求
A x x
A
Cy B
B
1200
y C
接下来我们要求面SBC的法向量了
SB (a, 3a, 3a), SC (0, 2 3a, 3a)
n (x, y, z), n SB, n SC
ax 3ay 3az 0, 2 3ay 3az 0
一个平面的法向量有很多，只要满足 上面的这个等式即可，为了计算的方 便，我们通常会要相对简洁的数字组 成的法向量，可以令z=1，则得到平 面SBC的一个法向量了：
首先我们建立空间直角坐标系，求出两异面直线的法向量
A D
A1
D1
B C
B1
AC (1,1, 0), A1D (1, 0,1) n (1, 1, 1)
则两异面直线间的距离d为：
C1
d A1A n (0, 0,1) (1, 1, 1) 3
n
3
3
经过了上面几道例题，我们已经熟悉并掌握了用向量法求空间距
P
我们发现，PH 垂直平面ABCD，
我们可以理解成面ABCD的法向量 n
AP, PH
AP, n
PH AP COS AP, PH
A
B AP COS AP, n
AP n
H
AP AP n
1
上节课，我们学习了用立几的方法求距离，我
们来简单回忆一下：
点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离
两个平行平面的距离 异面直线的距离
2
如何用向量法求解点到平面的距离呢？
已知点P和面ABCD， 用向量法求解就得构造向量，比如说 AP
过P点作PH垂直平面并交平面于点H，则PH的长为所求
A x x
A
Cy B
B
1200
y C
接下来我们要求面SBC的法向量了
SB (a, 3a, 3a), SC (0, 2 3a, 3a)
n (x, y, z), n SB, n SC
ax 3ay 3az 0, 2 3ay 3az 0
一个平面的法向量有很多，只要满足 上面的这个等式即可，为了计算的方 便，我们通常会要相对简洁的数字组 成的法向量，可以令z=1，则得到平 面SBC的一个法向量了：
首先我们建立空间直角坐标系，求出两异面直线的法向量
A D
A1
D1
B C
B1
AC (1,1, 0), A1D (1, 0,1) n (1, 1, 1)
则两异面直线间的距离d为：
C1
d A1A n (0, 0,1) (1, 1, 1) 3
n
3
3
经过了上面几道例题，我们已经熟悉并掌握了用向量法求空间距
P
我们发现，PH 垂直平面ABCD，
我们可以理解成面ABCD的法向量 n
AP, PH
AP, n
PH AP COS AP, PH
A
B AP COS AP, n
AP n
H
AP AP n
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求法向量
GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
则n·EF ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
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第三章 空间向量与立体几何
用空间向量求点到面的距离
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
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精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
n
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA n | .
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
工绝具对值.
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
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第三章 空间向量与立体几何
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用向量方法求点到平面的距离时：
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
利用向量点到平面的距离
如何利用空间向量求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
则 d=| PO |=| PA | cosAPO.
答案：
10 3
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)， ∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个法向量
4、代入公式—通过公式 d | A P n | 代入求解．
n
工具Biblioteka 第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
练考题、验能力、轻巧夺冠
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤
d
AP n
d | AP n |
n
O
A
其中 A P 为斜向量，n 为法向量。
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d| AP|sin
P
n
| AP n |
sin
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
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第三章 空间向量与立体几何
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解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.