高一数学人教B版必修1：2.1.3 函数的单调性 学案
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2.1.3 函数的单调性
自主学习
学习目标
1．理解单调性的定义．
2．运用单调性的定义判断函数的单调性．
自学导引
1．增函数与减函数
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A .如果取区间M 中的________________，改变量Δx ＝x 2－x 1>0，则当____________________时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数(如图甲)，当____________________时，那么就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数(如图乙)．
2．单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M 上是________或是________，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为________________．
3．a >0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递增区间为__________．
4．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是________函数．
5．函数y ＝k x
(k >0)的单调递减区间为________________．
对点讲练
知识点一 利用图象求单调区间
例1 求下列函数的单调区间．
(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|.
规律方法 函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间
端点使f (x )有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．
变式迁移1 写出函数f (x )＝ax 2
|x |
＋1(a ≠0)的单调区间．
知识点二 利用定义证明函数的单调性
例2 证明：函数f (x )＝x ＋1x
在(0,1)上是减函数．
规律方法 证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x 1、x 2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．
变式迁移2 利用单调性的定义证明函数y ＝x －1x
在(0，＋∞)上是增函数．
知识点三 函数单调性的应用
例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x
(x ∈[2，＋∞))， (1)求f (x )的最小值；
(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．
规律方法 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f (x )>a 恒成立，等价于f (x )min >a ，f (x ) 变式迁移3 求函数f (x )＝x x －1