高一数学人教B版必修1：2.1.3 函数的单调性学案

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人教版高中必修1(B版)2.1.3函数的单调性教学设计

人教版高中必修1(B版)2.1.3函数的单调性教学设计教学内容与目标本次教学的内容是针对高中数学必修1(B版)教材中2.1.3节的函数的单调性进行教学设计，并着重培养学生对于单调性的理解和运用能力。

本节教学的目标是：1.理解函数单调性的概念；2.能够判断函数的单调性，并画出函数的单调变化图；3.能够运用函数的单调性来解决实际问题。

教学重难点分析本节内容的重点在于函数单调性的判定和函数单调变化图的绘制。

难点在于培养学生对于函数单调性的理解和运用能力。

具体重点和难点如下：1.掌握函数单调性的概念和特征；2.学会判断函数的单调性，并能灵活运用；3.能够画出函数的单调变化图，表达函数单调性的变化规律。

教学过程设计1. 导入环节通过引入具体的实际问题，向学生介绍函数单调性的概念和作用。

例如：小明经营一家超市，他想知道每天卖出的商品数量是否与天气状况有关。

我们可以用函数的单调性来判断这个问题。

2. 概念讲解引导学生从实际例子中理解函数单调性的概念，并介绍函数单调性的判定方法和特点。

重点讲解单调递增和单调递减的概念和区别。

3. 典型例题从教材中选择一道典型的例题，让学生独立思考函数单调性的判定过程，并在教师的引导下找出规律，掌握判定函数单调性的方法。

可以引导学生运用数学工具，如导数和函数图像等。

4. 练习环节通过多组实例题目进行练习，帮助学生深入掌握函数单调性的判定方法，培养学生独立解题的能力。

同时，可以引导学生多种方式进行练习，如手算、编程、作图等。

5. 归纳总结通过一些典型例子的讲解和练习，并结合实际问题培养学生的应用能力，对本节内容进行总结归纳，并引导学生思考实际应用场景，激发学生的创造力。

教学评价方法1.通过上课的课堂练习来了解孩子们对概念的掌握情况；2.布置家庭作业，检验学生对于本节的掌握情况；3.布置考试题目，通过考试的考核，来检验学生的掌握程度。

人教版高一数学《函数单调性的运用》教案

人教版高一数学《函数单调性的运用》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解函数单调性的定义，并能准确判断函数的单调性。

（2）学生能够熟练运用函数单调性解决比较函数值大小、解不等式等问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察函数图象、分析函数表达式，培养学生的观察能力和逻辑推理能力。

（2）通过解决实际问题，让学生体会函数单调性在数学和实际生活中的应用，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

（2）通过解决问题的过程，培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点（1）函数单调性的定义和判断方法。

（2）利用函数单调性解决实际问题。

2、教学难点（1）函数单调性的证明。

（2）运用函数单调性解决复杂的不等式问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课（1）展示函数图象，如一次函数 y ＝ x ＋ 1，二次函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 等，引导学生观察函数图象的上升和下降趋势。

（2）提问学生：如何用数学语言来描述函数图象的这种上升和下降趋势？从而引出函数单调性的概念。

2、讲解新课（1）函数单调性的定义设函数 f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数（或减函数）。

强调定义中的关键词：定义域、区间、任意、都有。

（2）函数单调性的判断方法①图象法：观察函数的图象，图象上升为增函数，图象下降为减函数。

②定义法：设 x₁，x₂是给定区间上的任意两个自变量，且 x₁＜x₂，计算 f(x₂) f(x₁)，若 f(x₂) f(x₁) ＞ 0，则函数为增函数；若f(x₂) f(x₁) ＜ 0，则函数为减函数。

2.1.函数的单调性-人教B版必修一教案

2.1.函数的单调性-人教B版必修一教案教学目标1.能够明确函数的单调性的概念和性质；2.能够运用一阶导数的正负判定函数的单调性；3.能够掌握二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数的单调性。

教学重点1.函数单调性的概念和性质；2.一阶导数的符号可以判断函数的单调性。

教学难点1.二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数的单调性的判定。

教学方法1.归纳总结法：学生自主学习单调性相关概念和性质，然后通过教师梳理和归纳总结掌握方法；2.讨论法：教师发起问题，学生分组讨论，多角度、多方面地讨论单调性相关问题和例题，从而进一步深化理解。

教学过程Step 1 引入新知识（5分钟）教师介绍本节课所要学习的内容：函数的单调性，并与前一节课所学习的函数解析式和研究真数域等相关概念进行联系。

Step 2 阐述概念（10分钟）教师向学生讲解函数的单调性的概念和性质，并较详细地说明一阶导数的正负判定函数的单调性的方法和步骤。

Step 3 分组讨论（15分钟）教师将学生分为若干组，每组分别拿到一组函数通式（二次函数、三次函数、正比例函数、反比例函数等），让学生研究和讨论这些函数的单调性，掌握如何根据一阶导数的符号判断这些函数的单调性。

Step 4 练习（20分钟）教师让学生自主完成若干关于函数单调性的例题，并在完成后进行对比和讨论，进一步令学生熟练掌握根据一阶导数符号判断函数单调性的方法和过程。

Step 5 小结（5分钟）教师让学生回答问题，总结今天所学的内容，强化学生的记忆和理解。

教学反思通过这节课的教学，学生在梳理和归纳总结中理解了函数单调性的相关概念和性质，掌握了一阶导数的符号判断函数单调性的方法和步骤，并通过讨论和练习深化了对单调性的理解和认识。

同时，学生也锻炼了自主学习和合作学习的能力，所以今天的教学取得了良好的教学效果。

函数的单调性教案-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

函数的单调性【第1课时】【教学目标】【核心素养】1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．（重点）2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．（重点、难点）3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．（重点、难点）1．借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．【教学过程】一、新知初探条件一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A，且M⊆A：如果对任意x1，x2∈M，当x1＞x2时都有f（x1）＞f（x2）都有f（x1）＜f（x2）结论y＝f（x）在M上是增函数（也称在M上单调递增）y＝f（x）在M上是减函数（也称在M上单调递减）图示思考1：增（减）函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征（1）任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小，通常规定x1＞x2；（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f（x）在M上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在M上具有单调性（当M为区间时，称M为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）．思考2：函数y＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y＝1x在（－∞，0）上递减，在（0，＋∞）上也递减，但不能说y＝1x在（－∞，0）∪（0，＋∞）上递减．最大值最小值条件一般地，设函数f（x）的定义域为D：且x0∈D，如果对任意x∈D 都有f（x）≤f（x0）都有f（x）≥f（x0）结论称f（x）的最大值为f（x0），记作f max ＝f（x0），而x0称为f（x）的最大值点称f（x）的最小值为f（x0），记作f min＝f（x0），而x0称为f（x）的最小值点统称最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点二、初试身手1．函数y＝f（x）的图像如图所示，其增区间是（）A．[－4，4]B．[－4，－3]∪[1，4]C．[－3，1]D．[－3，4]答案：C解析：由题图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3，1]，选C．2．下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（）A．y＝－1x B．y＝xC．y＝x2D．y＝1－x答案：D解析：函数y ＝1－x 在区间（0，＋∞）上是减函数，其余函数在（0，＋∞）上均为增函数，故选D ．3．函数y ＝f （x ）在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A ．－1，0B ．0，2C ．－1，2D ．12，2答案：C解析：由题图可知，f （x ）的最大值为f （1）＝2，f （x ）的最小值为f （－2）＝－1．4．函数f （x ）＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．答案：（－∞，1]解析：因为f （x ）＝x 2－2x ＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f （x ）的单调减区间是（－∞，1]．三、合作探究类型1：定义法证明（判断）函数的单调性例1：证明：函数f （x ）＝x ＋1x 在（0，1）上是减函数．思路点拨：设元任取x 1，x 2∈0，1且x 1＞x 2―→作差：fx 1－fx 2――→变形判号：fx 2>fx 1――→结论减函数证明：设x 1，x 2是区间（0，1）上的任意两个实数，且x 1＞x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝（x 1－x 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝（x 1－x 2）＋x 2－x 1x 1x 2＝（x 1－x 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2－1＋x 1x 2x 1x 2，∵0<x 2<x 1<1，∴x 1－x 2＞0，0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴x1－x2－1＋x1x2x1x2＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）＝x＋1x在（0，1）上是减函数．规律方法利用定义证明函数单调性的步骤1．取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＞x2．2．作差变形：作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．3．定号：确定f（x1）－f（x2）的符号．4．结论：根据f（x1）－f（x2）的符号及定义判断单调性．提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．跟踪训练1．证明：函数y＝xx＋1在（－1，＋∞）上是增函数．证明：设x1>x2>－1，则y1－y2＝x1x1＋1－x2x2＋1＝x1－x2x1＋1x2＋1．∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴x1－x2x1＋1x2＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝xx＋1在（－1，＋∞）上是增函数．类型2：求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－1x；（2）f（x）＝⎩⎨⎧2x＋1，x≥1，5－x，x<1；（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3．解：（1）函数f（x）＝－1x的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f （x ）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f （x ）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f （x ）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．f （x ）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．规律方法求函数单调区间的方法1．利用已知函数的单调性求函数的单调区间． 2．利用函数图像求函数的单调区间．提醒：1．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．2．理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．跟踪训练2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．解：函数在[－1，0]，[2，4]上是减函数，在[0，2]，[4，5]上是增函数． 3．写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．解：先画出f （x ）＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－（x 2－2x －3），－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为（－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞）．类型3：函数单调性的应用探究问题1．若函数f （x ）是其定义域上的增函数，且f （a ）>f （b ），则a ，b 满足什么关系．如果函数f （x ）是减函数呢？提示：若函数f （x ）是其定义域上的增函数，那么当f （a ）>f （b ）时，a >b ；若函数f （x ）是其定义域上的减函数，那么当f （a ）>f （b ）时，a <b ．2．决定二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？提示：开口方向和对称轴的位置，即字母a 的符号及－b2a 的大小．例3：（1）若函数f （x ）＝－x 2－2（a ＋1）x ＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．（2）已知函数y ＝f （x ）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f （2x －3）>f （5x －6），则实数x 的取值范围为________．思路点拨：（1）分析fx 的对称轴与区间的关系数形结合，建立关于a 的不等式――→求a 的范围（2）f2x －3>f5x －6f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，建立关于x 的不等式――→求x 的范围答案：（1）（－∞，－4] （2）（－∞，1）解析：（1）∵f （x ）＝－x 2－2（a ＋1）x ＋3的图像开口向下，要使f （x ）在（－∞，3]上是增函数，只需－（a ＋1）≥3，即a ≤－4．∴实数a 的取值范围为（－∞，－4]．（2）∵f （x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f （2x －3）>f （5x －6），∴2x －3>5x －6，即x <1．∴实数x 的取值范围为（－∞，1）．]母题探究1．（变条件）若本例（1）的函数f （x ）在（1，2）上是单调函数，求a 的取值范围．解：由题意可知－（a ＋1）≤1或－（a ＋1）≥2，即a ≤－3或a ≥－2．所以a 的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）．2．（变条件）若本例（2）的函数f （x ）是定义在（0，＋∞）上的减函数，求x 的取值范围．解：由题意可知，⎩⎨⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32．∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞．规律方法函数单调性的应用1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．2．若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．类型4：求函数的最值（值域）例4：已知函数f （x ）＝2x ＋1x ＋1．（1）判断函数在区间（－1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：（1）f （x ）在（－1，＋∞）上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2（x 1＋1）（x 2＋1），因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f （x 1）－f （x 2）<0⇒f （x 1）<f （x 2），所以f （x ）在（－1，＋∞）上为增函数．（2）由（1）知f （x ）在[2，4]上单调递增，所以f （x ）的最小值为f （2）＝2×2＋12＋1＝53，最大值为f （4）＝2×4＋14＋1＝95．规律方法1．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤（1）判断函数的单调性．（2）利用单调性求出最大（小）值． 2．函数的最大（小）值与单调性的关系（1）若函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增（减）函数，则f （x ）在区间[a ，b ]上的最小（大）值是f （a ），最大（小）值是f （b ）．（2）若函数f （x ）在区间[a ，b ]上是增（减）函数，在区间[b ，c ]上是减（增）函数，则f （x ）在区间[a ，c ]上的最大（小）值是f （b ），最小（大）值是f （a ）与f （c ）中较小（大）的一个．提醒：（1）求最值勿忘求定义域．（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．跟踪训练4．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1＜x ≤1，1x ，x >1，求（1）f （x ）的最大值、最小值；（2）f （x ）的最值点．解：（1）作出函数f （x ）的图像（如图）．由图像可知，当x ＝1时，f （x ）取最大值为f （1）＝1．当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，故f （x ）的最大值为1，最小值为0．（2）f （x ）的最大值点为x 0＝1，最小值点为x 0＝0．四、课堂小结1．定义单调性时应强调x 1，x 2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性（利用定义）一定要严格遵循设元、作差、变形、定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：（1）图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值；（2）单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．五、当堂达标1．思考辨析（1）若函数y ＝f （x ）在定义域上有f （1）<f （2），则函数y ＝f （x ）是增函数．（）（2）若函数y ＝f （x ）在区间[1，3]上是减函数，则函数y ＝f （x ）的单调递减区间是[1，3]．（）（3）任何函数都有最大（小）值．（）（4）函数f （x ）在[a ，b ]上的最值一定是f （a ）（或f （b ））．（）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2．下列函数中，在（0，2）上是增函数的是（）A ．y ＝1x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝1－2x D ．y ＝（2x －1）2答案：B解析：对于A ，y ＝1x 在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝（2x －1）2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B ．3．函数y ＝x 2－2x ，x ∈[0，3]的值域为________．答案：[－1，3]解析：∵函数y ＝x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ∈[0，3]，∴当x ＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x ＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]．4．试用函数单调性的定义证明：f （x ）＝2xx －1在（1，＋∞）上是减函数．证明：f （x ）＝2＋2x －1，设x 1>x 2>1，则f （x 1）－f （x 2）＝2x 1－1－2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）．因为x 1>x 2>1，所以x 2－x 1<0，x 1－1>0，x 2－1>0，所以f （x 1）<f （x 2），所以f （x ）在（1，＋∞）上是减函数．【第2课时】【教学目标】【核心素养】1．理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点） 2．掌握判断函数单调性的充要条件．（重点、难点）通过利用函数f （x ）的平均变化证明f （x ）在I 上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．【教学过程】一、新知初探 1．直线的斜率（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1为直线AB 的斜率；（若记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，当Δx ≠0时，斜率记为ΔyΔx ），当x 1＝x 2时，称直线AB 的斜率不存在．（2）作用：直线AB 的斜率反映了直线相对于x 轴的倾斜程度． 2．平均变化率与函数单调性若I 是函数y ＝f （x ）的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I 且x 1≠x 2，记y 1＝f（x 1），y 2＝f （x 2），Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，则（1）y ＝f （x ）在I 上是增函数的充要条件是ΔyΔx ＞0在I 上恒成立；（2）y ＝f （x ）在I 上是减函数的充要条件是ΔyΔx ＜0在I 上恒成立．当x 1≠x 2时，称Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1为函数y ＝f （x ）在区间[x 1，x 2]（x 1＜x 2时）或[x 2，x 1]（x 1＞x 2时）上的平均变化率．通常称Δx 为自变量的改变量，Δy 为因变量的改变量．3．平均变化率的物理意义（1）把位移s 看成时间t 的函数s ＝s （t ），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1．（2）把速度v 看成时间t 的函数v ＝v （t ），则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1，t 2]上的平均加速度，即a ＝v （t 2）－v （t 1）t 2－t 1．二、初试身手1．已知点A （1，0），B （－1，1），则直线AB 的斜率为（）A ．－12B ．12C ．－2D ．2 答案：A解析：直线AB 的斜率1－0－1－1＝－12．2．如图，函数y ＝f （x ）在[1，3]上的平均变化率为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案：B解析：Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－33－1＝－1．3．一次函数y ＝－2x ＋3在R 上是________函数．（填“增”或“减”）答案：减解析：任取x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2．∴y 1＝－2x 1＋3，y 2＝－2x 2＋3，∴Δy Δx ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2＜0，故y ＝－2x ＋3在R 上是减函数．4．已知函数f （x ）＝2x 2＋3x －5，当x 1＝4，且Δx ＝1时，求Δy 的平均变化率Δy Δx ．解：∵f（x）＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，∴Δy＝f（x2）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－（2x21＋3x1－5）＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx．当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21．则ΔyΔx＝211＝21．三、合作探究类型1：平均变化率的计算例1：一正方形铁板在0℃时边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10（1＋at）cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．思路点拨：由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．解：设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量ΔS＝102[1＋a（t＋Δt）]2－102（1＋at）2＝200（a＋a2t）Δt＋100a2（Δt）2，所以平均膨胀率ΔSΔt＝200（a＋a2t）＋100a2Δt．规律方法1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．2．求平均变化率只需要三个步骤：（1）求出或者设出自变量的改变量；（2）根据自变量的改变量求出函数值的改变量；（3）求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．跟踪训练1．路灯距地面8m，一个身高为1．6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．（1）求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；（2）求人离开路灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率．解：（1）如图所示，设此人从C点运动到B点的位移为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，即yy＋x＝1.68，所以y＝0．25x．（2）84m/min＝1．4m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0．25×1．4t＝0．35t，所以10 s内平均变化率ΔyΔt＝3.510＝0．35（m/s），即此人离开灯10s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0．35m/s．类型2：利用平均变化率证明函数的单调性例2：若函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数且f（x）＞0，求证：g＝1f（x）在I上为减函数．思路点拨：由y＝f（x）在I上为增函数的充要条件可得ΔyΔx＞0，再证ΔgΔx＜0即可．证明：任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f（x2）－f（x1），∵函数y＝f（x）是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，ΔyΔx＞0，∴Δg＝g（x2）－g（x2）＝1f（x2）－1f（x1）＝f（x1）－f（x2）f（x1）f（x2）．又∵f（x）＞0，∴f（x1）f（x2）＞0且f（x1）－f（x2）＜0，∴Δg＜0，∴ΔgΔx＜0，故g＝1f（x）在I上为减函数．规律方法单调函数的运算性质若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则：1．f（x）与f（x）＋C （C为常数）具有相同的单调性．2．f（x）与a·f（x），当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性．3．当f（x）恒为正值或恒为负值时，f（x）与1f（x）具有相反的单调性．（4f（x）g（x）f（x）＋g（x）f（x）－g（x）增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数跟踪训练2．已知函数f（x）＝1－3x＋2，x∈[3，5]，判断函数f（x）的单调性，并证明．解：由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f（x）＝1－3x＋2为增函数．证明过程如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－3x2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫1－3x1＋2＝3x1＋2－3x2＋2＝3（x2－x1）（x1＋2）（x2＋2）．∵（x1＋2）（x2＋2）＞0，∴Δy＞0，∴ΔyΔx＞0，故函数f（x）在[3，5]上是增函数．类型3：二次函数的单调性最值问题探究问题1．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f（x）在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a 与区间[m ，n ]的关系．例3：已知函数f （x ）＝x 2－ax ＋1，求f （x ）在[0，1]上的最大值．思路点拨：解：因为函数f （x ）＝x 2－ax ＋1的图像开口向上，其对称轴为x ＝a2，当a 2≤12，即a ≤1时，f （x ）的最大值为f （1）＝2－a ；当a 2>12，即a >1时，f （x ）的最大值为f （0）＝1．母题探究1．在题设条件不变的情况下，求f （x ）在[0，1]上的最小值．解：（1）当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，1]上单调递增，∴f （x ）min ＝f （0）＝1．（2）当a2≥1，即a ≥2时，f （x ）在[0，1]上单调递减，∴f （x ）min ＝f （1）＝2－a ．（3）当0<a 2<1，即0<a <2时，f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递增，故f （x ）min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24．2．在本例条件不变的情况下，若a ＝1，求f （x ）在[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值．解：当a ＝1时，f （x ）＝x 2－x ＋1，其图像的对称轴为x ＝12， ①当t ≥12时，f （x ）在其上是增函数，∴f （x ）min ＝f （t ）＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f （x ）在其上是减函数，∴f （x ）min ＝f （t ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f （x ）min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34．规律方法二次函数在闭区间上的最值设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），则二次函数f（x）在闭区间[m，n]上的最大对称轴与区间的关系－b2a＜m＜n，即－b2a∈（－∞，m）m＜－b2a＜n，即－b2a∈（m，n）m＜n＜－b2a，即－b2a∈（n，＋∞）图像最值f（x）max＝f（n），f（x）min＝f（m）f（x）max＝max{f（n），f（m）}，f（x）min＝f⎝⎛⎭⎪⎫－b2af（x）max＝f（m），f（x）min＝f（n）四、课堂小结1．平均变化率中Δx，Δy，ΔyΔx的理解（1）函数f（x）应在x1，x2处有定义；（2）x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；（3）注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f（x2）－f（x1），而不是Δy ＝f（x1）－f（x2）；（4）平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．2．判断函数y＝f（x）在I上单调性的充要条件（1）y＝f（x）在I上单调递增的充要条件是ΔyΔx＞0恒成立；（2）y＝f（x）在I上单调递减的充要条件是ΔyΔx＜0恒成立．五、当堂达标1．思考辨析（1）一次函数y＝ax＋b（a≠0）从x1到x2的平均变化率为a．（）（2）函数y＝f（x）的平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1的几何意义是过函数y＝f（x）图像上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））所在直线的斜率．（）（3）在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c（a≠0）任意两点的平均变化率都相等．（）答案：（1）√（2）√（3）×2．函数f（x）＝x从1到4的平均变化率为（）A．13B．12C．1 D．3 答案：A解析：Δy＝4－1＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为ΔyΔx＝13．3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h（t），则函数h（t）的图像可能是（）答案：B解析：由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）．求该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．解：该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝8－3（1＋Δt）2－8＋3×12Δt＝（－6－3Δt）（m/s）．。

高中数学 2.1.3函数的单调性教学设计新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学教案

2015-2016学年高中数学函数的单调性教学设计新人教B版必修1整体设计教学分析在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容．实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出．而本节内容，正是初中有关内容的深化和提高．给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了．由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解．三维目标1．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力．3．能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：函数的单调性．教学难点：增函数、减函数形式化定义的形成．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850～1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准．他经过对自己的测试，得到了一些数据．观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数．当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)．从左向右看，图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图象)学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如下图所示．遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题．思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌．按这个变化趋势，2008年，在举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确)，教师：提示、点拨，并引出本节课题．推进新课新知探究提出问题①如下图所示的函数y＝x，y＝x2，y＝－x2的图象，它们的图象有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？②函数图象上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？③如何理解图象是上升的？④对于函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)．完成下表并体会图象在y轴右侧上升．x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …f(x)……＝x2⑤在数学上规定：函数y＝x2在区间0，＋∞上是增函数.谁能给出增函数的定义？⑥增函数的几何意义是什么？⑦类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑧函数y＝f x在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f x在区间D上的图象有什么变化趋势？讨论结果：①函数y ＝x 的图象，从左向右看是上升的；函数y ＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；函数y ＝－x 2的图象在y 轴左侧是上升的，在y 轴右侧是下降的．②函数图象上任意点P 的坐标(x ，y)的意义：横坐标x 是自变量的取值，纵坐标y 是自变量为x 时对应的函数值的大小．③按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．④在区间(0，＋∞)上，任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，那么就有y 1＜y 2，也就是有f(x 1)＜f(x 2)．这样可以体会用数学符号来刻画图象上升．⑤在函数y ＝f(x)的图象上任取两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，记Δx＝x 2－x 1，Δy＝f(x 2)－f(x 1)＝y 2－y 1.Δx 表示自变量x 的改变量，Δy 表示因变量y 的改变量，其中“Δ”为希腊字母，读作“delta”．一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为A ，区间M ⊆A.如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx＝x 2－x 1＞0，则当Δy＝f(x 2)－f(x 1)＞0时，就称函数y ＝f(x)在区间M 上是增函数．如下图(1)所示．⑥从左向右看，图象是上升的．⑦在函数y ＝f(x)的图象上任取两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，记Δx＝x 2－x 1，Δy＝f(x 2)－f(x 1)＝y 2－y 1.Δx 表示自变量x 的改变量，Δy 表示因变量y 的改变量，其中“Δ”为希腊字母，读作“delta”．一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为A ，区间M ⊆A.如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx＝x 2－x 1＞0，则当Δy＝f(x 2)－f(x 1)＜0时，就称函数y ＝f(x)在区间M 上是减函数，如下图(2)所示．几何意义：从左向右看，图象是下降的．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性．(区间M 称为单调区间)⑧函数y ＝f(x)在区间D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图象是上升(下降)的．应用示例思路1例1说出函数f(x)＝1x的单调区间，并指明在该区间上的单调性．活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图象得单调区间．解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f(x)＝1x都是单调递减的．点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性．图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题．如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性．函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性．图象法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图象；第二步，观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.活动：教师提示利用函数单调性的几何意义．学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数．的单调区间是[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数例2证明函数f(x)＝2x ＋1，在(－∞，＋∞)上是增函数．分析：画出这个一次函数的图象如下图，直观上很容易看出函数值随着自变量增大而增大．下面根据定义进行证明．同学们可以根据图象理解每一步证明的几何意义．证明：设x 1，x 2是任意两个不相等的实数，且x 1＜x 2，则Δx＝x 2－x 1＞0，Δy＝f(x 2)－f(x 1)＝2x 2＋1－(2x 1＋1)＝2(x 2－x 1)＝2Δx＞0，所以函数f(x)＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性．定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取．两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2；第二步，比．较f(x 1)和f(x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再．归纳结论．定义法的步骤可以总结为：一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”，因此简称为“去比赛”.例1 (1)画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象；(2)证明函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，某某数m的取值X围．解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如下图所示．(2)设x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，则有f(x1)－f(x2)＝(－x21＋2x1＋3)－(－x22＋2x2＋3)＝(x22－x21)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(2－x1－x2)．∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2.∴2－x1－x2＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数．(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值X围是(－∞，1]．点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内．判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明．判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图象来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论．函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一．因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性．函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联例2(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如下图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？(4)由以上你发现了什么结论？试加以证明．分析：(1)画出二次函数y＝x2－2x的图象，借助于图象解决；(2)类似于(1)；(3)根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；(4)归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明．解：(1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)；对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1)和区间(1，＋∞)关于直线x＝1对称，而单调性相反．(2)函数y＝|x|的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)；对称轴是y 轴即直线x＝0；区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)关于直线x＝0对称，而单调性相反．(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图象如下图．函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称，而单调性相反，区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，而单调性相反．(4)可以发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称单调区间内具有相反的单调性．证明如下：不妨设函数y＝f(x)在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数，区间[a，b]关于直线x＝m的对称区间是[2m－b,2m－a]．由于函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，则f(x)＝f(2m－x)．设2m－b≤x1＜x2≤2m－a，则b≥2m－x1＞2m－x2≥a，f(x1)－f(x2)＝f(2m－x1)－f(2m－x2)．又∵函数y＝f(x)在[a，b]上是增函数，∴f(2m－x1)－f(2m－x2)＞0.∴f(x1)－f(x2)＞0.∴f(x1)＞f(x2)．∴函数y＝f(x)在区间[2m－b,2m－a]上是减函数．∴当函数y＝f(x)在对称轴直线x＝m的右侧一个区间[a，b]上是增函数时，其在[a，b]关于直线x＝m的对称区间[2m－b,2m－a]上是减函数，即单调性相反．因此有结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性．点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征．本题作为结论记住，可以提高解题速度．图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征．这需要有细致的观察能力.知能训练1．利用图象法写出基本初等函数的单调性．解：①正比例函数：y ＝kx(k≠0)当k ＞0时，函数y ＝kx 在定义域R 上是增函数；当k ＜0时，函数y ＝kx 在定义域R 上是减函数．②反比例函数：y ＝k x(k≠0) 当k ＞0时，函数y ＝k x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递增区间；当k ＜0时，函数y ＝k x的单调递增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在单调递减区间． ③一次函数：y ＝kx ＋b(k≠0)当k ＞0时，函数y ＝kx ＋b 在定义域R 上是增函数；当k ＜0时，函数y ＝kx ＋b 在定义域R 上是减函数．④二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递减区间是(－∞，－b 2a]，单调递增区间是[－b 2a，＋∞)；当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调递减区间是[－b 2a，＋∞)，单调递增区间是(－∞，－b 2a]．点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度．2．已知函数y ＝kx ＋2在R 上是增函数，某某数k 的取值X 围．答案：k∈(0，＋∞)．3．二次函数f(x)＝x 2－2ax ＋m 在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，某某数a 的值．答案：a ＝2.4．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，若f(a ＋1)＜f(－4a ＋1)成立，则a 的取值X 围是__________．解析：∵f(x)的定义域是(0，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，－4a ＋1>0.解得－1＜a ＜14. ∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴a＋1＞－4a ＋1.∴a＞0.∴0＜a ＜14，即a 的取值X 围是(0，14)．答案：(0，14) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式．解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式．拓展提升问题：1.画出函数y ＝1x的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？ (1)函数y ＝1x 是减函数；(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2．对函数y ＝1x ，取x 1＝－1＜x 2＝2，则f(x 1)＝－1＜f(x 2)＝12，满足当x 1＜x 2时f(x 1)＜f(x 2)，说函数y ＝1x在定义域上是增函数对吗？为什么？ 3．通过上面两道题，你对函数的单调性定义有什么新的理解？解答：1.(1)是错误的，从左向右看，函数y ＝1x的图象不是下降的． (2)是错误的，函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上函数y ＝1x的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的． 2．不对．这个过程看似是定义法，实质上不是．定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替．3．函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性．点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y ＝f(x)在区间(a ，b)和(b ，c)上均是增(减)函数，那么在区间(a ，b)∪(b，c)上的单调性不能确定．课堂小结本节学习了：①函数的单调性；②判断函数单调性的方法：定义法和图象法．作业课本本节练习B 1、2.设计感想“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”．本设计致力于展示概念是如何生成的．在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材．本节课采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔．备课资料判断下列说法是否正确：①已知f(x)＝2x，因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)是增函数． ②若函数f(x)满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数．③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f(x)＝2x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f(x)＝2x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．活动：教师强调以下三点后，让学生判断．①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A 、B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A∪B 上是增(或减)函数．答案：这四个判断都是错误的．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？解答：证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可．也就是说，只要找到两个特殊的自变量不符合定义就行．。

高中数学 2.1.3 函数的单调性教案1 新人教B版必修1

学科：数学课题：2.1.3函数的单调性教学目标（三维融通表述）：通过实例，学生理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学生能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程教学环节问题与任务时间教师活动学生活动引入新课讲解引导学生理解增减函数、单调性、单调区间的意义会用定义证明3分钟8分钟1．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x （2）f(x) = -2x+1（3）f(x) = x2（1）增函数:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的内的自变量x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说f(x)在区间D上是增函数．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．(2)函数的单调性定义:如果函数y=f(x)在上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这具有（严格的），区间D叫做y=f(x)的：(3)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2∈D，且x1<x2；作差f(x1)－f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．画图学生参与发现概念典型例题分析巩固提高单调性熟练运用定义证明单调性，强化对定义的理解及应用18分钟14分钟例1 证明函数y＝2x＋1在(,)-∞+∞上是增函数.例2证明函数y＝x1在（－∞，0）是减函数，在（0，＋∞）也是减函数．教师指导讲评学生的解题情况1.函数xxf2)(=在]2,1[-∈x上的单调性为2.函数2xy-=的单调增区间为3.若函数bmxy+=在),(+∞-∞上是增函数，那么4.函数32)(2+-=mxxxf，当),2[+∞-∈x时是增函数，当]2,(--∞∈x时是减函数，则)1(f=学生尝试解决问题学生尝试解决问题，或讨论完成题目小结2分增减函数、单调性、单调区间的定义，用定义判断单调性的步骤个别回答板书设计课题1.增减函数定义例12.用定义证明步骤例2作业训练作业训练：1.函数||)(xxf=的减区间是____________________.3.如果函数5)1()(2+--=xaxxf在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f的取值范围是__________________.4.已知函数3)(2+--=axxxf在区间]1,(--∞上是增函数，求a的取值范围5.证明函数2)(xxf-=在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数。

高中数学 2.1.3函数的单调性教学设计新人教B版必修1

函数的单调性（教学设计）一、教材分析：《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。

在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情分析：按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。

依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。

所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。

在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

三、教学目标依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

高中数学人教新课标必修一B版教案2.1.3函数的单调性

“2.1.3 函数的单调性”教学设计（一）学习目标1．构建增（减）函数的概念。

通过观察简单函数的图象的升降，形成增（减）函数的直观认识。

再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义。

掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。

2．函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图形到数学语言，理解增函数、减函数、单调区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

（二）重点与难点教学重点函数单调性是函数的基本性质，也是本节的教学重点。

教学时，要特别重视概念的形成过程，并以其作为建立数学概念的范例去影响学生今后的数学学习。

同时，要通过本节教学使学生学会判断简单函数的单调性，会利用函数的单调性解决简单的数学问题.教学难点1．函数单调性概念的形成是学生学习过程中可能遇到的困难之一。

这些困难主要发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”的理解。

要解决这个困难，建议教学时多给学生操作与思考的空间。

2．利用函数单调性的定义判断、证明函数的单调性是本节学习可能遇到的另一个困难，主要原因是学生比较大小的能力停留在一个比较低的水平。

因此，对函数的复杂程度要加以控制。

同时，帮助学生建立判断函数单调性的基本步骤也是解决困难的一个方面。

（三）教学内容安排教学基本流程：教学重点内容设计：1．函数单调性的概念，是以学生熟悉的一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2为例展开研究的。

（1）先给出函数的图象，让学生从图象获得“上升”与“下降”的整体认识，这是对函数单调性的一种定性描述。

问题1：y=x的图象从左至右是如何变化的？学生观察y=x的图象从左至右的变化情况，并回答问题。

学生直观感受函数y=x 的图象是上升的.问题2：你能描述一下函数y=x 2的图象的变化规律吗？（通过本问题，是学生体会同一函数在不同区间上的变化差异）学生感受在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的。

人教B版高中数学必修一教案-2.1.3 函数的单调性

课题：2.1.3 函数的单调性
性质；
○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1，x
2
；当x
1
<x
2
时，总有
f(x
1)<f(x
2
) ．
4．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
练习：1.判断下列函数的单调性和单调区间
（1）f(x) = x+2
○2在区间 ____________ 上，是 ________函数．（2）f(x) = -2x+4
○2在区间 ____________ 上，是 ________函数．（3）f(x) =a x^2+bx+c
（4）○1在区间 ____________ 上，
是 ________ 函数．
○2在区间 ____________ 上，是 ________函数．
2如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
（三）质疑答辩，发展思维。

例1 ：证明函数f(x)=2x-3在R上是增函数
证明：根据单调性的定义，任取x1，x2∈R，且
21
注：1、课题字体：黑体小二加粗
2、栏目字体：仿宋四号加粗
3、内容字体：宋体小四。

2.1.3函数的单调性课件人教新课标B版(1)

O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述降落的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
函数f (x)在给定区间上为减函数.
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述降落的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
法有图象法、定义法．（2）证明函数的单调性的步骤
y
y x2
f ( x1 )
x
O x1
y
y x2
f ( x1 )
x
O
x1
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
Oபைடு நூலகம்

人教新课标高中数学B版必修1《2.1.3 函数的单调性》教学设计(表格式)

§2.1.3函数的单调性
一、教学目标
1.知识与技能目标
使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法;
2.过程与方法目标
引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
3.情感态度与价值观目标
在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.
二、教学重点与难点
重点：函数单调性的概念形成和初步运用．
难点：函数单调性的概念形成．
三、教法与学法
（一）教法
在教学中以问题为核心，采取“导引体验式”教学方法，通过“提出问题、思考问题、解决问题”的教学过程，借助实物试验、多媒体课件引导学生进行试验探究、观察类比、概括归纳出增函数和减函数的定义,再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

（二）学法
学生通过“试验观察、思考探究、归纳总结”的自主学习解惑过程，体验从特殊到一般的数学思维过程，体会学以致用和数学的严谨之美，增强学习的兴趣和信心。

四、教学教具
多媒体课件
五、教学过程设计。

3.1.2函数的单调性-人教B版高中数学必修第一册(2019版)教案

3.1.2 函数的单调性-人教B版高中数学必修第一册（2019版）教案知识点概述函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。

如果在定义域内，随着自变量的增大，函数值也增大，那么该函数就是单调递增的。

反之，如果随着自变量的增大，函数值反而减小，那么该函数就是单调递减的。

本节课程将介绍函数单调性的判断方法，通过一些例题帮助学生掌握这一知识点。

教学目标1.掌握函数单调性的定义；2.熟悉函数单调性的判断方法；3.通过例题训练，提高学生应用函数单调性的能力。

教学重点函数单调性的判断方法教学难点如何应用单调性判断函数的增减性教学过程1. 导入新知识通过一个实例来引导学生理解函数单调性的概念。

给学生出示一个数轴图像，用手指在数轴上滑动，问学生，随着手指从左到右的滑动，哪些方向的箭头所指方向与手指滑动方向相同？引导学生发现箭头向右的部分，与手指从左到右滑动的方向一致，这表明该数轴部分是单调递增的。

而箭头指向左的部分，则相反，是单调递减的。

然后，将此概念应用到函数中，强调函数的单调性是指函数值的递增或递减的性质，通常用单调递增和单调递减两个概念来描述。

2. 函数单调性的判断方法为了帮助学生更好地理解函数单调性，本节课程将介绍两种判断函数单调性的方法。

方法一：一阶导数法对于可导函数f(x)，如果在定义域上f′(x)>0，那么f(x)单调递增；如果在定义域上f′(x)<0，那么f(x)单调递减。

这是一种常见的判断函数单调性的方法，但是需要前提是函数f(x)在定义域上可导。

同时，需要注意的是，f′(x)=0的点可能是转折点，此时函数从单调递增变为单调递减，或者从单调递减变为单调递增。

方法二：二阶导数法对于二次可导函数f(x)，如果在x=a处f″(a)>0，那么f(x)在x=a处有一个局部最小值，同时f(x)在x<a和x>a上单调递增；如果在x=a处f″(a)<0，则f(x)在x=a处有一个局部最大值，同时f(x)在x<a和x>a上单调递减。

高中数学人教B版必修一2.1.3《函数的单调性》word教案2

学科：数学
课题：2.1.3函数的单调性2
教学目标（三维融通表述）：
通过实例，学生巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；通过讲解学生初步了解复合函数单调性的判断方法.会求复合函数的单调区间.明确复合函数单调区间方法和步骤.
教学难点：复合函数单调性的判定
3.如何证明函数单调性
5．复合函数单调性的判断：对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
例1、判断并证明函数的单调性.
例2、已知函数在上递增，那么的取值范围是.
例3、求函数的单调区间。
任务三：闯关训练
1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
2．函数的单调减区间是
3．函数，上的单调性是
4．已知函数在上递减，那么的取值范围是____
复习回顾
学生共同理解复合函数单调性的判定
与老师共同探讨解题
学生尝试解决问题，或讨论完成题目
教学过程
教学环节
问题与任务
时间
教师活动
学生活动
复习
新课讲解
典型例题分析
巩固提高
复习单调性及判定
引导学生理解复合函数单调性的判定
会用定义证明单调性，会判定复合函数的单调性
熟练运用定义证明单调性，强化对复合函数单调性的理解
3分钟
8分钟
18分钟
14分钟
引导学生复习
1.什么是增函数；减函数.
2.什么是单调性，单调区间.
4．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

人教B版高中数学必修一2.1.3函数的单调性教学设计.doc

2.1.3函数的单调性教学设计一、教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。

二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点三、教学目标1．知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3.情感、态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．四、教学重点、难点教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性教学难点：归纳并抽象函数单调性定义；用定义判断单调性的基本步骤五、学法与教法学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如例题的处理）。

教学用具：电脑、多媒体。

教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。

（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得函数单调性的定义。