平面向量常见题型与解题方法归纳(1)学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳

（1）

常见题型分类

题型一：向量的有关概念与运算

例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 .

例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少？

题型二：向量共线与垂直条件的考查

例1（1）,a b 为非零向量。“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的

A 充分而不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条件

（2）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且

PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的

A.重心 外心 垂心

B.重心 外心 内心

C.外心 重心 垂心

D.外心 重心 内心

例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21,

23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，

且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.

例3： 已知平面向量a ＝(3，－1)，b

＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a ＋(sin α－3)b , d ＝－k a ＋(sin α)b ,且c ⊥d ，试求实数k 的取值范围.

例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值.

题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查

向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2

π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值.

例8：已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直； （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α

巩固练习

1.函数cos(2)26y x π

=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数

时，向量a 可以等于

.(,2)6A π

-- .(,2)6B π

- .(,2)6

C π- .(,2)6

D π 1. 2.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若

,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.

3给出下列命题

① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |，则a 与a +b 的夹角为30°；

② a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；

③ 将函数y =|x -1|的图象按向量a =（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y =|x |；

④若（AC AB +）·（AC AB -）=0，则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）