模糊集的基本运算

0
A( x)
x b
a a
1
0
xa
A( x)
1 2
1 2
sin
b
a
[x
a
2
b
]
1
xb
a xb
xa a xb xb
“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布, 其中取 a =1/5 , b =25 , c =2. “年老”模糊集合的隶属函数为升半柯 西分布, 其中取a=1/5 , b=50, c=2. 3. 中间型(对称型)
度值。 对于任意论域X中的模糊集合A可记为:
A A(x) / x xX
A A(x) xX x
模糊集“年轻”A可表示为
A
1
x x[ 0 , 25 ]
[1 ( x 25)2 ]1
x( 25,100 )
5 x
0
x x[100,200]
注意：当论域明确的情况下, 在序偶和Zadeh表示法 中, 隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中, 应 该写出全部分量。
第二章 模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有 以下的表示方法： 1)序偶表示法
A={(x, A(x)|xX}. 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为:
c
x
a
cb
0
x a c ac xab ab xab ab xac xac
0
x b
1 1 sin [x a b] b x a
A(x) 12 2 b a
2 a x a
1 1 sin [x a b] a x b
2 2 ba 2
源自文库
0
xb
三. 模糊集上的运算 1. 几点说明
3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
易证 CAB(x)=max{CA(x), CB(x)}=CA(x)CB(x).
例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“近似于 5”A可表示为：
A 0 /1 0 / 2 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 0 / 9 0 /10
或 A 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 或 A (0, 0, 0.3, 0.7,1,1, 0.7, 0.3, 0, 0)
A( x)
1 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A( x)
1 ek
(
xa)2
xa x a, k 0
1
A( x)
1
1 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
1
xa
A( x)
1 2
1 2
sin
b
a
[x
a
2
b
]
0
xb
a xb
1
A(
x)
b b
x a
向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。
3） Zadeh表示法 当论域为有限集{x1, x2, …, xn}时, 模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ …+A(xn)/xn. 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表示分数 和运算, 而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属
1 B(x) A(x)
X
例 论域X={x1, x2, x3, x4}时, X上的模糊集A为:
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为:
帅哥
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.
超男
定义 论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
二. 典型的隶属函数
构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一 种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”, 即参 考一些典型的隶属函数, 通过选择适当的参数, 或通过拟 合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。
下面介绍典型隶属函数。 1. 偏小型
降半矩形分布, 降半Γ形分布, 降半正态分布, 降半柯 西分布, 降半梯形分布, 降岭形分布。
2. 模糊集的包含关系 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB
当且仅当属于A的元素都属于B. 易证AB当且仅当对任意xX有CA(x) CB(x).
11
X
定义 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。
经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成 模糊集的特例(即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集)。
设 X 为 非 空 论 域 , X 上 的 全 体 模 糊 集 记 作 F(X). 于 是 , P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).
特别地, 空集的隶属函数恒为0, 全集X的隶属函数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。
A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
2) 向量表示法 当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)). 模糊集“帅哥”A可记为:
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).
0
xa a xb xb
2. 偏大型
升半矩形分布，升半Γ形分布，升半正态分布，升半柯
西分布，升半梯形分布，升岭形分布。
A( x)
0 1
xa xa
A(
x)
0 1
ek
(
xa
)2
xa x a, k 0
0
xa
A(x) 1 ek(xa) x a, k 0
0
A( x)
1
1 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
矩形分布, 尖Γ形分布, 正态分布, 柯西分布, 梯形分布, 岭形分布。
0 A(x) 1
0
x a b ab xab x ab
A(x) ek(xa)2 , k 0
A( x)
ek (xa) ek (xa)
xa xa
A(x) 1
b 0 (c为正偶数)
1 b(x a)c
0
c
x
a
A(x) 1 c b